적분법

여러 가지 적분법

08

508

⑴: ;[@; dx=2: ;[!; dx=2 ln|x|+C

⑵: dx=: x—‹ dx=-;2!;x—¤ +C=- +C

⑶: ‹'x dx=: x^;3!;dx=;4#;x^;3$;+C=;4#;x ‹'x+C

⑷: dx=: x—^;2!;dx-: ;[!; dx=: { -;[!;}dx

⑻:

dx=2x

^;2!;-ln|x|+C=2'x-ln|x|+C 정답_ ⑴ 2ln|x|+C ⑵ -

+C

⑶ ;4#;x ‹'x+C ⑷ 2'x-ln|x|+C 122

1

2x¤

1231 'x 1311'x-1x

1322x¤1 13x‹1

509

: dx=: x dx-: 1 dx+2: ;[!; dx :

dx

=;2!;x¤ -x+2 ln|x|+C

따라서 a=;2!;, b=-1, c=2이므로

abc=;2!;¥(-1)¥2=-1 ^{정답_ ②}

x¤ -x+2 121231x

510

f(x)=: "√xfi dx=: x^;2%;dx

f(x)

=;7@;x^;2&;+C=;7@;x‹ 'ßx+C

f(1)=;7@;이므로　f(1)=;7@;+C=;7@; ∴ C=0 따라서 f(x)=;7@;x‹ 'ßx이므로

f(4)=;7@;¥4‹ '4=256 ^{정답_ ⑤}

7

511

f(x)=: dx=: dx

f(x)=

: 1 dx-2: x^-;2!;dx+: ;[!; dx

f(x)

=x-4'ßx+ln|x|+C

f(1)=1이므로　1-4+0+C=1 ∴ C=4 따라서 f(x)=x-4'ßx+ln|x|+4이므로

f(e¤ )=e¤ -4e+6 정답_ ⑤

x-2'ßx+1 121233421x ('ßx-1)¤

12123342x

512

f(x+h)-f(x)={3x¤ -;[!;}h이므로

f'(x)= =

f'(x)=

{3x¤ -;[!;}=3x¤ -;[!;

따라서 f(x)=: {3x¤ -;[!;} dx=x‹ -ln|x|+C이므로 f(e)-f(1)=(e‹ -ln e+C)-(1-ln 1+C)

=e‹ -2 정답_ ①

limh⁄0

{3x¤ -;[!;} h 1212311h limh⁄0

f(x+h)-f(x) 121231111h limh⁄0

513

: dx =: x—¤ dx=-;[!;+C¡

: (3x¤ +1)dx =x‹ +x+C™

이므로

f(x)= -;[!;+C¡ (x<-1) x‹ +x+C™ (xæ-1) f(-2)=;2!;이므로

f(-2)=- +C¡=;2!;+C¡=;2!; ∴ C¡=0 함수 f(x)는 x=-1에서 연속이므로

- +C¡=(-1)‹ +(-1)+C™, 1=-2+C™

∴ C™=3

따라서 f(x)= -;[!; (x<-1) 이므로 x‹ +x+3 (xæ-1)

f(0)=3 정답_ ③

·{ ª 1

-1 1 -2

·{ ª 1 x¤

514

⑴: (2e≈ +4≈ )dx=2: e≈ dx+: 4≈ dx=2e≈ + +C

⑵: e≈ ±‹ dx=e‹ : e≈ dx=e‹ ¥e≈ +C=e≈ ±‹ +C

⑶: dx=: 2≈ dx+3: ;[!;dx= +3ln|x|+C

⑷: 3¤ ≈ ±⁄ dx=3: (3¤ )≈ dx=3¥ +C= +C 정답_ ⑴ 2e≈ +

+C

` ⑵ e≈ ±‹ +C

정답_ ⑶

+3 ln|x|+C ⑷

1222

3¤ ≈ ±⁄ +C

2 ln 3 122

2≈

ln 2 122ln 4

4≈

3¤ ≈ ±⁄

122252 ln 3 (3¤ )≈

1222ln 3¤

122ln 22≈

x¥2≈ +3 122123x

122ln 44≈

515

: dx=:12211111(2≈ -1)(2≈ +1)2≈ -1 dx 4≈ -1

12212≈ -1

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지086

516

f(x)=: (3≈ -1)(9≈ +3≈ +1)dx

f(x)=

: (3≈ -1)(3¤ ≈ +3≈ +1)dx

f(x)=

: (3^3x-1)dx

f(x)=

: (27≈ -1)dx

f(x)=

-x+C

f(0)= 이므로　

f(0)= +C= ∴ C=0

따라서 f(x)= -x이므로

f(1)= 9 -1 정답_ ④

ln 3 27≈

3 ln 3 1 3 ln 3 1

3 ln 3 1 3 ln 3

27≈

3 ln 3

517

f(x)=: f'(x)dx=: (2e¤ ≈ +e≈ )dx

f(x)=2

: (e¤ )≈ dx+: e≈ dx=e¤ ≈ +e≈ +C f(0)=-4이므로

1+1+C=-4 ∴ C=-6

∴ f(x)=e¤ ≈ +e≈ -6

방정식 f(x)=0, 즉 e¤ ≈ +e≈ -6=0에서 (e≈ +3)(e≈ -2)=0 ∴ e≈ =2 (∵ e≈ +3>0)

∴ x=ln 2 정답_ ④

518

조건 ㈏에서 =f'(x)이므로

f'(x)= =e≈ -;[!;

∴ f(x)=: {e≈ -;[!;} dx=e≈ -ln|x|+C 조건 ㈎에서 f(1)=e이므로　

e-0+C=e ∴ C=0

따라서 f(x)=e≈ -ln|x|이므로　

f(e)=e“ -1 정답_ ⑤

xe≈ -1 12123x

f(x+h)-f(x) 121231111h limh⁄0

=: (2≈ +1)dx

= +x+C

따라서 a= , b=1이므로

= 1 =ln 2 정답_ ①

123241 123ln 2 1ba

123ln 21 123ln 22≈

519

y=ln (x+2)-1로 놓고 x와 y를 서로 바꾸면 x=ln (y+2)-1, x+1=ln (y+2)

e^x+1=y+2 ∴ y=e^x+1-2 G(x)=: g(x)dx=: (e^x+1-2)dx

G(x)

=e^x+1-2x+C

G(-1)=4이므로

G(-1)=1+2+C=4 ∴ C=1 따라서 G(x)=e^x+1-2x+1이므로

G(0)=e+1 정답_ ④

520

곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 e≈ 에 정비 례하므로 f'(x)=ke≈ (k+0)으로 놓으면

f(x)=: f'(x)dx=: ke≈ dx=ke≈ +C

곡선 y=f(x)는 두 점 (0, 5), (1, 2e+3)을 지나므로

f(0)=k+C=5 yy ㉠

f(1)=ke+C=2e+3 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면　k=2, C=3 따라서 f(x)=2e≈ +3

f(2)=2e¤ +3 정답_ ⑤

521

W(t)=: 0.02e^0.1tdt=0.02: (e^0.1)^tdt=0.2e^0.1t+C 처음 효모의 질량이 2 g이므로 W(0)=2에서　 0.2+C=2 ∴ C=1.8

W(t)=0.2e^0.1t+1.8이므로 W(10)=0.2e+1.8

따라서 10시간 후 효모의 질량은 (0.2e+1.8)g이다. 정답_ ④

522

{ f(x)+g(x)}=e≈ 에서 f(x)+g(x)=: e≈ dx=e≈ +C¡

양변에 x=1을 대입하면 f(1)=1,g(1)=-1이므로 f(1)+g(1)=e+C¡=0 ∴ C¡=-e

∴ f(x)+g(x)=e≈ -e yy ㉠

{f(x)-g(x)}=e—≈ 에서 f(x)-g(x)=: e—≈ dx=-e—≈ +C™

양변에 x=1을 대입하면 f(1)=1,g(1)=-1이므로 f(1)-g(1)=-e—⁄ +C™=2 ∴ C™=e—⁄ +2

∴ f(x)-g(x)=-e—≈ +e—⁄ +2 yy ㉡ 12dxd

123dxd

523

⑴: (3 sin x+2 cos x)dx=-3 cos x+2 sin x+C

⑵: (sec x+tan x)sec x dx

=: sec¤ x dx+: sec x tan x dx

=tan x+sec x+C

⑶: dx=: { -1} dx

=: (csc¤ x-1)dx

=-cot x-x+C

⑷ tan¤ x=sec¤ x-1이므로

: tan¤¤ x dx=: (sec¤ x-1)dx=tan x-x+C

정답_ ⑴ -3 cos x+2 sin x+C ⑵ tan x+sec x+C

⑶ -cot x-x+C ⑷ tan x-x+C 12223sin¤ x1

1-sin¤ x 122112sin¤ x

㉠-㉡을 하면　2g(x)=(e≈ +e—≈ )-(e+e—⁄ )-2 따라서g(x)=;2!;(e≈ +e—≈ )-;2!;(e+e—⁄ )-1이므로

∴g(-1)=;2!;(e+e—⁄ )-;2!;(e+e—⁄ )-1=-1 ^{정답_ ②}

524

: dx+: dx

=: dx

=: dx

=2: csc¤ x dx

=-2 cot x+C 정답_ ④

1222sin¤ x2

(sin x-cos x)¤ +(sin x+cos x)¤

12211311111111111sin¤ x (sin x+cos x)¤

122113111sin¤ x (sin x-cos x)¤

122113111sin¤ x

525

f(x)=: tan x cos xdx=: sin xdx=-cos x+C

∴ f {;3“;}-f(0)={-cos ;3“;+C}-(-cos 0+C)

∴ f {;3“;}-f(0)=-;2!;+1=;2!; 정답_ ;2!;

526

f(x)=: dx=: dx

f(x)=

: (1+cos x)dx=x+sin x+C f(0)=0이므로　0+C=0 ∴ C=0 따라서 f(x)=x+sin x이므로　

f(p)=p+0=p 정답_ ④

1-cos¤ x 12211341-cos x sin¤ x

1221131-cos x

527

: (-sin x)dx=cos x+C¡,

: (1+cos x)dx=x+sin x+C™이므로 f(x)=[

f{;2“;}=;2“;이므로　;2“;+1+C™=;2“; ∴ C™=-1 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로

1+C¡=0+C™, 1+C¡=-1 ∴ C¡=-2

따라서 f(x)=[ 이므로

f(-p)+f(p)=-3+(p-1)=p-4 정답_ ①

cos x-2 (x<0) x+sin x-1 (xæ0) cos x+C¡ (x<0) x+sin x+C™ (xæ0)

528

접선의 기울기가 cot¤ x이므로　f'(x)=cot¤ x

f(x)=: cot¤ x dx=: (csc¤ x-1)dx=-cot x-x+C 곡선 y=f(x)가 점 {;2“;, -;2“;}를 지나므로

f {;2“;}=-;2“;에서　0-;2“;+C=-;2“; ∴ C=0 따라서 f(x)=-cot x-x이므로

f {;4“;}=-1-;4“; ^{정답_ ①}

529

F(x)=xf(x)-(x sin x+cos x)에서

F'(x)=f(x)+xf'(x)-(sin x+x cos x-sin x) f(x)=f(x)+xf'(x)-x cos x, xf'(x)=x cos x x>0이므로 양변을 x로 나누면　f'(x)=cos x

∴ f(x)=: cos x dx=sin x+C f(p)=0이므로　C=0

따라서 f(x)=sin x이므로　f{;2“;}=1 ^{정답_ ④}

530

=k-1에서 극한값이 존재하고 x⁄;6“;일 때

(분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다.

즉, f(x)=0에서　f {;6“;}=0

= =f'{;6“;}

=k cos ;3“;=;2!;k 즉, ;2!;k=k-1이므로　k=2

f(x)-f { ;6“;}

x-;6“;

lim

x⁄;6“;

f(x) x-;6“;

lim

x⁄;6“;

lim

x⁄;6“;

f(x) x-;6“;

lim

x⁄;6“;

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지088

f'(x)=2 cos 2x이므로

f(x)=: 2 cos 2xdx=sin 2x+C yy ㉠ f {;6“;}=0이므로

sin ;3“;+C=0, +C=0 ∴ C=-따라서 f(x)=sin 2x- 이므로

f {;2“;}=sin p- =- '3 정답_ ②

'3 2 2

'32

'32 '32

531

f(x)=: dx=: {;[!;- } dx

=ln|x|-ln|x+1|+C

f(1)=-ln 2이므로　-ln 2+C=-ln 2 ∴ C=0 따라서 f(x)=ln|x|-ln|x+1|이므로

f(2)=ln 2-ln 3=ln ;3@; ^{정답_ ①}

113x+11 1123x¤ +x1

532

= + (a, b는 상수)로 놓으면

= 이므로　

a+b=1, -3a+2b=-8

위의 두 식을 연립하여 풀면　a=2, b=-1

즉, = - 이므로

f(x)=: dx=: { - } dx

f(x)=2 ln|x+2|-ln|x-3|+C

f(2)=4 ln 2이므로　2 ln 4+C=4 ln 2 ∴ C=0 따라서 f(x)=2 ln|x+2|-ln|x-3|이므로

f(4)=2 ln 6-0=2 ln 6 정답_ ②

112x-31 112x+22

11112x¤ -x-6x-8

112x-31 112x+22

112313x¤ -x-6x-8

(a+b)x-3a+2b 1123131111(x+2)(x-3) 112313x¤ -x-6x-8

112x-3b 112x+2a

112313x¤ -x-6x-8

533

= = - 이므로

f(x)=: dx=: { - } dx

f(x)=ln|x-2|-ln|x+4|+C

f(3)=ln 7이므로　-ln 7+C=ln 7 ∴ C=2 ln 7 따라서 f(x)=ln|x-2|-ln|x+4|+2 ln 7이므로

f(-5)=ln 7+2 ln 7=3 ln 7 정답_ ② 112x+41

112x-21 112114x¤ +2x-86

112x+41 112x-21

112114124(x-2)(x+4)6 112114x¤ +2x-86

534

=;[A;+ +11212(x-1)¤c (a, b, c는 상수) 112x-1b

11211x(x-1)¤x+1

로 놓으면

=

이므로 x+1=a(x-1)¤ +bx(x-1)+cx에서 x+1=(a+b)x¤ +(-2a-b+c)x+a a+b=0, -2a-b+c=1, a=1 위의 세 식을 연립하여 풀면　 a=1, b=-1, c=2

즉, =;[!;- + 이므로

f(x)=: dx

f(x)=

: [;[!;- + ] dx

f(x)=ln|x|-ln|x-1|-

+C

f(x)

=ln| |- +C

f(2)=-2이므로　ln 2-2+C=-2 ∴ C=-ln 2 따라서 f(x)=ln| |- -ln 2이므로

f(3)=ln ;2#;-1-ln 2=ln ;4#;-1 ^{정답_ ④} 112x-12

112x-1x 112x-12 112x-1x

112x-12 11212(x-1)¤2 112x-11

11211x(x-1)¤x+1

11212(x-1)¤2 112x-11

11211x(x-1)¤x+1

a(x-1)¤ +bx(x-1)+cx 1121111111113x(x-1)¤

11211x(x-1)¤x+1

535

2x+3=t로 놓으면 ;dD[T;=2이므로 f(x)=: (2x+3)‹ dx=;2!;: t‹ dt

f(x)

=;8!;t› +C=;8!;(2x+3)› +C 따라서 a=8, b=4이므로　

a+b=8+4=12 정답_ ②

536

3x¤ -x+1=t로 놓으면 ;dD[T;=6x-1이므로 f(x)=: (6x-1)(3x¤ -x+1)› dx

f(x)=

: t› dt=;5!;tfi +C

f(x)

=;5!;(3x¤ -x+1)fi +C

f(0)=;5!;이므로　;5!;+C=;5!; ∴ C=0 따라서 f(x)=;5!;(3x¤ -x+1)fi 이므로

f(1)=;5!;¥3fi = 243 ^{정답_ ⑤}

115

537

x› +1=t로 놓으면12dxdt =4x‹ 이므로

f(x)=: dx =;4!;: dx

f(x)

=;4!;: ;t!; dt=;4!; ln|t|+C

f(x)

=;4!; ln (x› +1)+C (∵ x› +1>0)

f(0)=;4!;이므로　;4!; ln (0+1)+C=;4!; ∴ C=;4!;

따라서 f(x)=;4!; ln (x› +1)+;4!;이므로

f(›"√e¤ -1)=;4!; ln (e¤ -1+1)+;4!;=;4@;+;4!;=;4#; ^{정답_ ③} 1123x› +14x‹

1123x› +1x‹

538

=x-1+

x¤ +x+1=t로 놓으면 =2x+1이므로

f(x)=: dx

f(x)=

: (x-1)dx+: dx

f(x)=

: (x-1)dx+: ;t!; dt

f(x)

=;2!;x¤ -x+ln|t|+C

f(x)

=;2!;x¤ -x+ln (x¤ +x+1)+C (∵ x¤ +x+1>0) f(0)=0이므로 0+C=0 ∴ C=0

따라서 f(x)=;2!;x¤ -x+ln (x¤ +x+1)이므로

f(-1)=;2!;+1+0=;2#; ^{정답_ ⑤}

112313x¤ +x+12x+1 x‹ +2x

112313x¤ +x+1 12dxdt 112313x¤ +x+12x+1 x‹ +2x

112313x¤ +x+1

539

0<x<1이므로　f(x)=1+x+x¤ +x‹ +y=

1-x=t로 놓으면 =-1이므로

F(x)=: dx=-: dt

=-ln|t|+C=-ln|1-x|+C F(0)=0이므로　-ln 1+C=0 ∴ C=0 따라서 F(x)=-ln|1-x|이므로

F(e‹ +1)=-ln e‹ =-3 정답_ ①

11t 1121-x1

13dxdt

1121-x1

540

2x+1=t로 놓으면 =2이므로

: 'ƒ2x+1 dx=;2!;: 't dt=;2!;¥;3@;t^;2#;+C=;3!;t't+C : 'ƒ2x+1 dx=;3!;(2x+1)'ƒ2x+1+C

12dxdt

541

x¤ +1=t로 놓으면 =2x이므로

f(x)=: x"√x¤ +1 dx=;2!;: 't dt=;2!;¥;3@;t^;2#;+C

f(x)

=;3!;t't+C=;3!;(x¤ +1)"√x¤ +1+C f(0)=;3!;이므로　;3!;+C=;3!; ∴ C=0 따라서 f(x)=;3!;(x¤ +1)"√x¤ +1이므로

f(2'2)=;3!;(8+1)'ƒ8+1=9 ^{정답_ ⑤}

12dxdt

542

'∂x+1=t로 놓으면 = 이므로　

f(x)=: dx

f(x)=

: ¥2t dt

f(x)=

: dt

f(x)=

: {2t-4+ } dt

f(x)=t¤ -4t+4 ln|t+1|+C

f(x)

=x+1-4'∂x+1+4 ln ('∂x+1+1)+C f(0)=4 ln 2이므로　-3+4 ln 2+C=4 ln 2 ∴ C=3 따라서 f(x)=x+1-4'∂x+1+4 ln ('∂x+1+1)+3이므로 f(e¤ -1)=e¤ -4e+4 ln (e+1)+3 정답_ ⑤

112t+14 2t¤ -2t 1211t+1 1223t-1t+1

'∂x+1-1 121113

'∂x+1+1

111251 2'ƒx+1 12dxdt

543

x¤ +1=t로 놓으면 ;dD[T;=2x이므로 f(x)=: dx=: dt

f(x)

=4't+C=4"√x¤ +1+C

∴ f('3)-f(0)=(8+C)-(4+C)=4 ^{정답_ ④} 2

't 4x

"√x¤ +1

544

x‹ +5=t로 놓으면 ;dD[T;=3x¤ 이므로 f(x)=: 3x¤ e^{x‹ +5}dx=: e† dt

f(x)=e† +C=e

^{x‹ +5}+C

f(0)=-efi 이므로　efi +C=-efi ∴ C=-2efi

∴ f(x)=e^{x‹ +5}-2efi 정답_ ①

∴ k=;3!; 정답_ ;3!;

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지090

545

ln x=t로 놓으면 =;[!;이므로 f(x)=: dx=: t¤ dt

f(x)

=;3!;t‹ +C=;3!;(ln x)‹ +C

f(e)=;3!;이므로　;3!;¥1‹ +C=;3!; ∴ C=0 따라서 f(x)=;3!;(ln x)‹ 이므로

f(e‹ )=;3!;¥3‹ =9 ^{정답_ 9}

(ln x)¤

1113x 12dxdt

547

1-e≈ =t로 놓으면 =-e≈ 이므로　 f(x)=: dx=-: ¥(-e≈ )dx

f(x)=-

: dt=-ln|t|+C=ln| |+C

∴ f(1)-f(2)=ln -ln

=ln e¤ -1=ln (e+1) 정답_ ⑤ 121e-1

121e¤ -11 1224e-11

12121-e≈1 241t

12121-e≈1 12121-e≈e≈

12dxdt

548

e≈ +1=t로 놓으면 ;dD[T;=e≈ 이므로

f(x)=: dx=: dx

f(x)=

: dt=: { -;t!;} dt

f(x)

=ln|t-1|-ln|t|+C=ln| |+C

f(x)

=ln| |+C

f(x)=ln

+C {∵ e≈ >0}

e≈ +1 e≈

e≈ +1 e≈

e≈ +1

t-1 t 1 t-1 1

t(t-1)

e≈

(e≈ +1)e≈

1 e≈ +1

549

xf'(x)=2(ln x)‹ 에서　f'(x)=

ln x=t로 놓으면 ;dD[T;=;[!;이므로 f(x)=: dx=: 2t‹ dt

f(x)

=;2!;t› +C=;2!;(ln x)› +C

f(e)=;2&;이므로　;2!;+C=;2&; ∴ C=3

∴ f(x)=;2!;(ln x)› +3 방정식 f(x)=11에서

;2!;(ln x)› +3=11, (ln x)› =16 ln x=-2 또는 ln x=2 (∵ x는 실수)

∴ x= 또는 x=e¤

따라서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 곱은

¥e¤ =1 정답_ ①

1 e¤

1 e¤

2(ln x)‹

x

2(ln x)‹

x

546

ln x+1=t로 놓으면 =;[!;이므로

: dx=: dt=: { - } dt

:

dx=ln|t|+

+C

:

dx=ln|ln x+1|+

+C

따라서 a=1, b=1이므로　

a+b=1+1=2 정답_ ②

1211ln x+11 241t

1t¤1 241t 1223t-1t¤

121111x(ln x+1)¤ln x

12dxdt

f(0)=0이므로

ln ;2!;+C=0 ∴ C=ln 2

따라서 f(x)=ln +ln 2이므로 f(ln 3)=ln +ln 2

f(ln 3)

=ln ;4#;+ln 2=ln ;2#; ^{정답_ ①} e^{ln 3}

e^{ln 3}+1 e≈

e≈ +1

550

-x¤ =t로 놓으면 =-2x이므로

P(x)=: 2xe^-x¤dx=-: e^tdt=-e^t+C=-e^-x¤+C 새로운 기술로 제품을 생산한 지 1개월 후의 이익이 1천만 원이 므로 P(1)=1에서　

-e^-1¤+C=1 ∴ C=1+;e!;

∴ P(x)=-e^-x¤+1+;e!; ^{정답_ ④}

12dxdt

551

곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선에 수직인 직선 의 기울기가 -(2+e≈ )이므로　

f'(x)=

f(x)=: dx=: e—≈ dx 112322e—≈ +1 11232+e≈1

11232+e≈1

552

cos‹ x=cos¤ x cos x=(1-sin¤ x)cos x sin x=t로 놓으면 ;dD[T;=cos x이므로 f(x)=: cos‹ xdx=: (1-sin¤ x)cos xdx

f(x)=

: (1-t¤ )dt=t-;3!;t‹ +C

f(x)

=sin x-;3!; sin‹ x+C f(0)=0이므로　C=0

f(x)=sin x-;3!; sin‹ x=sin x{1-;3!; sin¤ x}

따라서 a=1, b=-;3!;이므로

a+b=1+{-;3!;}=;3@; 정답_ ;3@;

2e—≈ +1=t로 놓으면　;dD[T;=-2e—≈

f(x)=: dx=-;2!;: ;;t!;dt

f(x)

=-;2!; ln |t|+C

f(x)

=-;2!; ln (2e—≈ +1)+C (∵ 2e—≈ +1>0) 곡선 y=f(x)가 점 {0, - }을 지나므로 f(0)=-;2!; ln 3+C=- ∴ C=0 따라서 f(x)=-;2!;ln (2e—≈ +1)이므로

f(ln 2)=-;2!; ln (2e^{-ln 2}+1)=-;2!; ln 2=ln12'22 ^{정답_ ①} 115ln 32

115ln 32 112322e—≈ +1e—≈

553

'ßx=t로 놓으면 = 이므로　 f(x)=: dx=2: cos t dt

f(x)

=2 sin t+C=2 sin 'x+C f(0)=1이므로　2¥0+C=1 ∴ C=1 따라서 f(x)=2 sin 'x+1이므로

f{ }=2 sinÆ…14p¤4 +1=2 sin ;2“;+1=3 ^{정답_ 3} 14p¤4

cos 'x 122512

'x

12251 2'x 12dtdx

554

ln x=t로 놓으면 =;[!;이므로 f(x)=: dx=: cos t dt

f(x)=sin t+C=sin (ln x)+C

f(e^-p)=-1이므로　sin (ln e^-p)+C=-1 ∴ C=-1

∴ f(x)=sin (ln x)-1 ^{정답_ ①}

cos (ln x) 11112x 12dxdt

555

f(x)=: dx=: dx

tan x=t로 놓으면 =sec¤ x이므로

f(x)=: dx=: dt=ln|1+t|+C

f(x)=ln|1+tan x|+C

f{;4“;}=ln 2이므로　ln (1+1)+C=ln 2 ∴ C=0 따라서 f(x)=ln|1+tan x|이므로

f(0)=ln (1+0)=0 정답_ ①

12231+t1 sec¤ x

121121+tan x 12dxdt

sec¤ x 1211241+tan x 121111114cos¤ x(1+tan x)1

556

f(x)=: tan x dx=: dx cos x=t로 놓으면 =-sin x이므로 f(x)=: dx=-: dt

f(x)=-ln|t|+C=-ln|cos x|+C

f(0)=1이므로　-ln|1|+C=1 ∴ C=1

∴ f(x)=-ln|cos x|+1 정답_ ⑤

11t sin x

1213cos x 12dxdt

sin x 1213cos x

557

f'(x)=2 sin x cos x-cos x=(2 sin x-1)cos x sin x=t로 놓으면 =cos x이므로

f(x)=: (2sinx-1)cosxdx=: (2t-1)dt

f(x)=t¤ -t+C=sin¤ x -sinx+C

한편, f(x)가 극댓값을 가지므로 f'(x)=0에서 (2 sin x-1)cos x=0 ∴ sin x=;2!; 또는 cos x=0

∴ x=;6“; 또는 x=;2“; {∵ 0<x<;4#;p}

x=;6“;, x=;2“;를 기준으로 0<x<;4#;p에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=;6“;에서 극솟값을 갖고, x=;2“;에서 극댓 값을 갖는다.

극댓값이 0이므로 f{;2“;}=0에서　1¤ -1+C=0 ∴ C=0 따라서 f(x)=sin¤ x-sin x이므로 구하는 극솟값은

f{;6“;}={;2!;}¤ -;2!;=;4!;-;2!;=-;4!; ^{정답_ ②} 12dxdt

(0) y

-↘

;6“;

0 극소

y +

↗

;2“;

0 극대

y

-↘ {;4#;p}

x f'(x)

f(x) (해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지092

558

f(x)>0이므로: dx=x에서　ln f(x)+C¡=x ln f(x)=x+C (단, C=-C¡) ∴ f(x)=e≈ ±Ç f(0)=1이므로　eÇ =1 ∴ C=0

따라서 f(x)=e≈ 이므로　f(e)=e“ 정답_ ⑤ f'(x)

1213f(x)

559

f'(x)+2g(x)=0과 g'(x)+2f(x)=0의 양변을 변끼리 더하면 f'(x)+g'(x)+2{ f(x)+g(x)}=0

f'(x)+g'(x)=-2{ f(x)+g(x)}

∴ =-2

f(x)+g(x)>0이므로 위 등식의 양변을 x에 대하여 적분하면

: dx=-: 2 dx

ln { f(x)+g(x)}=-2x+C

∴ f(x)+g(x)=e—¤ ≈ ±Ç

f(1)+g(1)=e‹ 이므로　e—¤ ±Ç =e‹ ∴ C=5

따라서 f(x)+g(x)=e—¤ ≈ ±fi 이므로 f(x)+g(x)=e에서 e—¤ ≈ ±fi =e, -2x+5=1 ∴ x=2 정답_ ④

f'(x)+g'(x) 121311123f(x)+g(x)

f'(x)+g'(x) 121311133f(x)+g(x)

560

{f(x)g(x)}=f(x)[g(x)+ g(x)]에서 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f(x)g(x)+f(x)g'(x)

∴ f'(x)g(x)=f(x)g(x) yy ㉠

f(x)>0, g(x)+0이므로 ㉠의 양변을 f(x)g(x)로 나누면

=1

이 등식의 양변을 적분하면　: dx=: 1 dx

ln f(x)+C¡=x+C™, 즉 ln f(x)=x+C (단, C=C™-C¡)

∴ f(x)=e≈ ±Ç

f(0)=e이므로　eÇ =e ∴ C=1

따라서 f(x)=e≈ ±⁄ 이므로　f(-1)=e‚ =1 정답_ ① f'(x)

1215f(x) f'(x)

1215f(x)

12dxd 12dxd

561

⑴ f'(x)=e≈ , g(x)=x로 놓으면 f(x)=e≈ , g'(x)=1이므로

: xe≈ dx=xe≈ -: e≈ dx=xe≈ -e≈ +C

⑵ f'(x)=1, g(x)=ln x로 놓으면 f(x)=x, g'(x)=;[!;이므로

: ln x dx=x ln x-: 1 dx=x ln x-x+C

⑶ f'(x)=cos x, g(x)=x로 놓으면

562

f'(x)=(x-2)e≈ 이므로　f(x)=: (x-2)e≈ dx u'(x)=e≈ , v(x)=x-2로 놓으면

u(x)=e≈ , v'(x)=1이므로

f(x)=: (x-2)e≈ dx=(x-2)e≈ -: e≈ dx

f(x)=(x-2)e≈ -e≈ +C=(x-3)e≈ +C

f(1)=-e이므로　-2e+C=-e ∴ C=e 따라서 f(x)=(x-3)e≈ +e이므로　

f(2)=(2-3)e¤ +e=-e¤ +e 정답_ ①

563

f'(x)=x¤ ln x이므로　f(x)=: x¤ ln x dx u'(x)=x¤ , v(x)=ln x로 놓으면

u(x)=;3!;x‹ , v'(x)=[!;이므로

f(x)=: x¤ ln x dx=;3!;x‹ ln x-;3!;: x¤ dx

=;3!;x‹ ln x-;9!;x‹ +C

f(1)=-;9!;이므로　-;9!;+C=-;9!; ∴ C=0

∴ f(x)=;3!;x‹ ln x-;9!;x‹

f(x)=0에서　;3!;x‹ ln x-;9!;x‹ =0, ;3!;x‹ {ln x-;3!;}=0 x>0이므로　ln x-;3!;=0, ln x=;3!;

∴ x=‹'e ^{정답_ ①}

f(x)=sin x, g'(x)=1이므로　 : x cos x dx=x sin x-: sin x dx : x cos x dx=x sin x+cos x+C

정답_ ⑴ xe≈ -e≈ +C ⑵ x ln x-x+C

⑶ x sin x+cos x+C

564

: xe≈ dx에서 u'(x)=e≈ , v(x)=x로 놓으면 u(x)=e≈ , v'(x)=1

∴: xe≈ dx=xe≈ -: e≈ dx=xe≈ -e≈ +C¡=(x-1)e≈ +C¡

: x¤ dx=;3!;x‹ +C™이므로

f(x)=

f(1)=;3!;이므로　;3!;+C™=;3!; ∴ C™=0 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로

(x-1)e≈ +C¡ (x<0)

;3!;x‹ +C™ (xæ0) ({

9

565

;dÎ[;e^f(x)=x cos x¥e^f(x)에서 e^f(x)f'(x)=x cos x¥e^f(x) f'(x)=x cos x (∵ e^f(x)>0) f(x)=: x cos xdx에서

u'(x)=cos x, v(x)=x로 놓으면 u(x)=sin x, v'(x)=1

f(x)=x sin x-: sin xdx=x sin x+cos x+C f(p)=-1이므로

0+(-1)+C=-1 ∴ C=0 따라서 f(x)=x sin x+cos x이므로

f {;2“;}=;2“;+0=;2“; ^{정답_ ①}

566

곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 x sin x이므로　f'(x)=x sin x ∴ f(x)=: x sin x dx u'(x)=sin x, v(x)=x로 놓으면

u(x)=-cos x, v'(x)=1이므로

f(x)=: x sin x dx=-x cos x+: cos x dx

f(x)=-x cos x+sin x+C

곡선 y=f(x)가 원점 (0, 0)을 지나므로 f(0)=0에서　0+C=0 ∴ C=0

따라서 f(x)=-x cos x+sin x이므로　f(p)=p 정답_ ⑤

568

xf'(x)+f(x)=x ln x에서

{xf(x)}=xf'(x)+f(x)이므로　xf(x)=: x ln x dx u'(x)=x, v(x)=ln x로 놓으면

u(x)=;2!;x¤ , v'(x)=;[!;이므로 : x ln x dx=;2!;x¤ ln x-;2!;: x dx : xln x dx=;2!;x¤ ln x-;4!;x¤ +C

∴ xf(x)=;2!;x¤ ln x-;4!;x¤ +C 위의 등식의 양변에 x=e를 대입하면 ef(e)= - +C= +C

ef(e)= 이므로　 +C= ∴ C=0

∴ xf(x)=;2!;x¤ ln x-;4!;x¤

위의 등식의 양변에 x=1을 대입하면

1¥f(1)=;2!;¥1¥0¥-;4!;¥1 ∴ f(1)=-;4!; 정답_ -;4!;

1e¤4 1e¤4

1e¤4

1e¤4 1e¤4

1e¤2 12dxd

조건 ㈏에서 F(1)=2e이므로 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1¥F(1)=2e+C=2e ∴ C=0

따라서 xF(x)=2xe≈ 이므로

F(x)=2e≈ (∵ x>0) ∴ F(3)=2e‹ 정답_ ④

567

함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이므로 F'(x)=f(x)이고 {xF(x)}'=F(x)+xF'(x)=F(x)+xf(x)

즉, 조건 ㈎에서 F(x)+xf(x)=(2x+2)e≈ 이므로 {xF(x)}'=(2x+2)e≈

: {xF(x)}'dx=: (2x+2)e≈ dx에서 u'(x)=e≈ , v(x)=2x+2로 놓으면 u(x)=e≈ , v'(x)=2이므로

: (2x+2)e≈ dx=(2x+2)e≈ -: 2e≈ dx

: (2x+2)e≈ dx=(2x+2)e≈ -2e≈ +C=2xe≈ +C

∴ xF(x)=2xe≈ +C yy ㉠

569

f(g(x))=f'(g(x))g'(x)=e≈ sin x에서 f(g(x))=: e≈ sin x dx

u'(x)=e≈ , v(x)=sin x로 놓으면 u(x)=e≈ , v'(x)=cos x이므로

: e≈ sin x dx=e≈ sin x-: e≈ cos x dx yy ㉠ 이때, : e≈ cos x dx에서

h'(x)=e≈ , k(x)=cos x로 놓으면 h(x)=e≈ , k'(x)=-sin x이므로

: e≈ cos x dx=e≈ cos x+: e≈ sin x dx yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

: e≈ sin x dx=e≈ sin x-{e≈ cos x+: e≈ sin x dx}

: e≈ sin x dx=e≈ sin x-e≈ cos x-: e≈ sin x dx

∴ f(g(x))=: e≈ sin x dx

∴ f(g(x))=1e≈2 (sin x-cos x)+C yy ㉢ 12dxd

-1+C¡=C™, -1+C¡=0 ∴ C¡=1

따라서 f(x)= 이므로　

f(-1)=-2e—⁄ +1=1-;e@; ^{정답_ ②}

(x-1)e≈ +1 (x<0)

;3!;x‹ (xæ0) ({

9

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지094

g(x)=e≈ 에서 g(0)=1이고, f(1)=-;2!;이므로 ㉢에서 f(g(0))=-;2!;+C=-;2!; ∴ C=0

∴ f(g(x))= (sin x-cos x) 이때, g(p)=e^p이므로

f(e^p)=f(g(p))= (0+1)=e^p 정답_ ③ 12

e^p 12 1e≈2

570

f(x)=: dx =: (x^;3@;-1) dx

f(x)

=;5#;x^;3%;-x+C=;5#;x ‹"çx¤ -x+C... ❶

f(0)=1이므로　C=1

따라서 f(x)=;5#;x ‹"çx¤ -x+1이므로 ... ❷

f(1)=;5#;-1+1=;5#;... ❸ 정답_ ;5#;

x-‹'x 12123

‹'x

571

조건 ㈏에서g(x)=xf(x)-x이므로 g'(x)=f(x)+xf'(x)-1

이때, 조건 ㈎에서g'(x)=f(x)이므로 f(x)=f(x)+xf'(x)-1, xf'(x)=1

x+0인 모든 실수 x에 대하여　f'(x)=;[!; ... ❶

f(x)=: ;[!; dx=ln|x|+C...yy ㉠

... ❷

또한, 조건 ㈐에서g(e)=e이므로

g(e)=ef(e)-e=e(ln e+C)-e=e¥C=e ∴ C=1

∴ f(x)=ln|x|+1... ❸ 정답_ f(x)=ln|x|+1

572

f(x)+g(x)=2e≈ yy ㉠

f'(x)-g'(x)=6e≈ 의 양변을 x에 대하여 적분하면 : { f'(x)-g'(x)} dx=: 6e≈ dx에서

f(x)-g(x)=6e≈ +C

위의 식에 x=0을 대입하면

f(0)-g(0)=6+C, 2-0=6+C ∴ C=-4

∴ f(x)-g(x)=6e≈ -4 ...yy ㉡

... ❶

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

f(x)=4e≈ -2, g(x)=-2e≈ +2... ❷ 정답_ f(x)=4e≈ -2,

g(x)=-2e≈ +2

단계

❶

❷

채점 기준 f(x)-g(x) 구하기

f(x), g(x) 구하기

비율 50%

50%

573

h'(x)=2f(x)+g(x)이므로 h(x)=: {2f(x)+g(x)}dx

h(x)=2

: f(x)dx+: g(x)dx yy ㉠

⁄: f(x)dx=: (-e^-x)dx=e^-x+C¡ yy ㉡

¤: g(x)dx=: cos¤ x sin xdx에서 cos x=t로 놓으면

¤;dD[T;=-sin x이므로

¤: g(x)dx=-: t¤ dt=-;3!;t‹ +C™

¤: g(x)dx=-;3!; cos‹ x+C™ yy ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면

h(x)=2e^-x-;3!; cos‹ x+C... ❶

h(0)=0이므로　2-;3!;+C=0 ∴ C=-;3%;

따라서 h(x)=2e^-x-;3!; cos‹ x-;3%;이므로... ❷

h{;2“;}=2e^-;2“;-;3!; cos‹ ;2“;-;3%;=2e^-;2“;-;3%;... ❸ 정답_ 2e^-;2“;

-;3%;

단계

❶

❷

❸

채점 기준 부정적분을 이용하여 f(x) 구하기 f(0)=1을 이용하여 f(x)의 식 완성하기 f(1)의 값 구하기

비율 60%

20%

20%

단계

❶

❷

❸

채점 기준 f'(x) 구하기

f(x) 구하기 (적분상수 C 제외) 적분상수 C의 값과 f(x) 구하기

비율 40%

30%

30%

574

F(x)=xf(x)-x¤ sin x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-2x sin x-x¤ cos x

xf'(x)=2x sin x+x¤ cos x x>0이므로 양변을 x로 나누면

f'(x)=2 sin x+x cos x... ❶

: x cos x dx에서 u'(x)=cos x, v(x)=x로 놓으면

단계

❶

❷

❸

채점 기준 h(x) 구하기 (적분상수 C 제외) 적분상수 C의 값과 h(x) 구하기 h{;2“;}의 값 구하기

비율 50%

30%

20%

575

점 (x, y)에서 접선의 기울기는 f'(x)이므로

f'(x)¥{- }=-1 ∴ f'(x)=ln x... ❶

f(x)=: ln x dx=x ln x-x+C ... ❷

곡선 y=f(x)가 점 (1, 0)을 지나므로 f(1)=-1+C=0 ∴ C=1

∴ f(x)=x ln x-x+1... ❸ 정답_ f(x)=x ln x-x+1 114ln x1

단계

❶

❷

❸

채점 기준 f'(x) 구하기

f(x) 구하기 (적분상수 C 제외) 적분상수 C의 값과 f(x) 구하기

비율 40%

30%

30%

576

f(x)=ae≈ 에서　f'(x)=ae≈

g(x)=: e≈ f(x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)=e≈ f(x)

∴ f'(x)+g'(x)=ae≈ +e≈ f(x)=ae≈ +e≈ ¥ae≈ =ae¤ ≈ +ae≈

f'(x)+g'(x)=e¤ ≈ +e≈ 이므로　ae¤ ≈ +ae≈ =e¤ ≈ +e≈

이 등식이 x에 대한 항등식이므로　a=1

따라서 f(x)=e≈ 이므로　f(2)=e¤ 정답_ ⑤

577

f(h)=: 2 sin h cos h dh-: (sin h+cos h)¤ dh

=: 2 sin h cos h dh-: (1+2 sin h cos h)dh

=: (-1)dh=-h+C

f(h¤ )=-h¤ +C이므로

f(h¤ )=f(h)-6에서　-h¤ +C=-h+C-6 h¤ -h-6=0, (h+2)(h-3)=0

∴ h=3 (∵ h>0) 정답_ ③

578

F(x)=xf(x)+x cos x-sin x의 양변을 x에 대하여 미분하 면

F'(x)=f(x)+xf'(x)+cos x-x sin x-cos x f(x)=f(x)+xf'(x)-x sin x

∴ xf'(x)=x sin x

x+0이므로 양변을 x로 나누면　f'(x)=sin x

∴ f(x)=: sin x dx=-cos x+C f(p)=1이므로　1+C=1 ∴ C=0 따라서 f(x)=-cos x이므로　

f{;2“;}=0 ^{정답_ ③}

579

⁄-;4“;<x<;4“;일 때

|sin x|<|cos x|이므로　| |<1 (sin« x+cos« x)^;n!;=[{ +1}cos« x]^;n!;

=[{ } n +1]

;n!;cos x

f'(x)= cos x[{ }« +1]

;n!;=cos x

∴ f(x)=: cos x dx=sin x+C¡

f(0)=0이므로　C¡=0 ∴ f(x)=sin x yy ㉠

¤ ;4“;<x<;4#;p일 때

|sin x|>|cos x|이므로　| |<1 (sin« x+cos« x)^;n!;=[{1+ } sin« x]

;n!;

=[1+{ } n ]

;n!;sin x

f'(x)= sin x[1+{ }« ]

;n!;=sin x

∴ f(x)=: sin x dx=-cos x+C™ yy ㉡ 함수 f(x)가 x=;4“;에서 연속이므로 ㉠, ㉡에서

=- +C™ ∴ C™='2

따라서 f(x)=-cos x+'2 {;4“;<x<;4#;p}이므로

f{;2“;}='2 ^{정답_ ⑤}

12'22 12'22

cos x 111sin x

nlimڦ

cos x 1132sin x

cos« x 11323sin« x

cos x 1132sin x sin x 1132cos x

nlimڦ

sin x 1132cos x

sin« x 11322cos« x

sin x 1132cos x u(x)=sin x, v'(x)=1이므로

: x cos x dx=x sin x-: sin dx

∴ f(x)=: (2 sin x+x cos x)dx

∴ f(x)=-2 cos x+x sin x-: sin x dx

∴ f(x)=-2 cos x+x sin x+cos x+C

∴ f(x)=x sin x-cos x+C ... ❷

f(p)=1이므로　0+1+C=1 ∴ C=0

∴ f(x)=x sin x-cos x ... ❸ 정답_ f(x)=x sin x-cos x

단계

❶

❷

❸

채점 기준 f'(x) 구하기

f(x) 구하기 (적분상수 C 제외) 적분상수 C의 값과 f(x) 구하기

비율 40%

40%

20%

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지096

580

x¤ +ax+b=(x+1)(x-2)이므로

= = +

로 놓고, 양변에 (x+1)(x-2)를 곱하여 정리하면 x-5=(A+B)x+(-2A+B)

위의 등식이 x에 대한 항등식이므로　 A+B=1, -2A+B=-5

위의 두 식을 연립하여 풀면　A=2, B=-1

∴: dx=: { - } dx

=2ln|x+1|-ln|x-2|+C

∴ f(3)-f(1)

=(2 ln 4-ln 1+C)-(2 ln 2-ln 1+C)

=2 ln 2 정답_ ②

112x-21 112x+12

112311x¤ +ax+bx-5

112x-2B 112x+1A

11231112(x+1)(x-2)x-5 112311x¤ +ax+bx-5

581

f(x)=: sin¤ x cos› x sin x dx

f(x)=

: (1-cos¤ x)cos› x sin x dx cos x=t로 놓으면 =-sin x이므로 f(x)=-: (1-cos¤ x)cos› x(-sin x)dx

=: (t¤ -1)t› dt=: (tfl -t› )dt

=;7!;t‡ -;5!;tfi +C

=;7!; cos‡ x-;5!;cosfi x+C f{;2“;}=0이므로　C=0

따라서 f(x)=;7!; cos‡ x-;5!; cosfi x이므로

f(0)=;7!;-;5!;=-;3™5; ^{정답_ ①}

132dxdt

582

2 f'(x)-f(x)=0, 2g'(x)-g(x)=0의 양변을 변끼리 더하면 2{ f'(x)+g'(x)}-{ f(x)+g(x)}=0

f'(x)+g'(x)=;2!; { f(x)+g(x)}

∴ =;2!;

위의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면 : f'(x)+g'(x) dx=: ;2!; dx

f(x)+g(x) f'(x)+g'(x)

f(x)+g(x)

ln | f(x)+g(x)|=;2!;x+C

ln { f(x)+g(x)}=;2!;x+C (∵ f(x)+g(x)>0)

∴ f(x)+g(x)=e^;2!;x+C 이때, f(0)=e, g(0)=0이므로

f(0)+g(0)=eÇ 에서　e=eÇ ∴ C=1

따라서 f(x)+g(x)=e^;2!;x+1이므로 방정식 f(x)+g(x)=1 의 해는

e^;2!;x+1=1, ;2!;x+1=0 ∴ x=-2 정답_ x=-2

583

(x+2)f'(x)-2f(x)+2=0에서 2{ f(x)-1}=(x+2)f'(x)

=

위의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면

: dx=: dx에서

ln|f(x)-1|=2 ln|x+2|+C

ln|f(x)-1|=ln|x+2|¤ +ln eÇ =ln eÇ (x+2)¤

|f(x)-1|=eÇ (x+2)¤

f(0)=0이므로　1=4eÇ ∴ eÇ =;4!;

따라서 f(x)-1=—;4!;(x+2)¤ 이므로　f(-2)=1 ^{정답_ ①} 112x+22

f'(x) 112313f(x)-1

112x+22 f'(x)

112313f(x)-1

584

y=e≈ -1로 놓고 x와 y를 서로 바꾸면　x=e¥ -1 x+1=e¥ ∴ y=ln (x+1)

∴ f—⁄ (x)=ln (x+1)

x+1=t로 놓으면 =1이므로 g(x)=: ln (x+1)dx=: ln t dt

g(x)

=t ln t-: 1 dt=t ln t-t+C

g(x)

=(x+1)ln (x+1)-(x+1)+C g(0)=0이므로　-1+C=0 ∴ C=1 g(x)=(x+1)ln (x+1)-(x+1)+1

=(x+1)ln (x+1)-x

이므로　g(e-1)=e-(e-1)=1 ^{정답_ ①}

12dxdt

585

: f(x)dx=xf(x)-x¤ e—≈ 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-(2-x)xe—≈

xf'(x)=(2-x)xe—≈

위의 등식이 x에 대한 항등식이므로　f'(x)=(2-x)e—≈

이때, (2-x)e—≈ =0에서 x=2이므로 f(x)는 x=2에서 극값 을 갖는다.

u'(x)=e—≈ , v(x)=2-x로 놓으면 u(x)=-e—≈ , v'(x)=-1이므로

f(x)=: (2-x)e—≈ dx=-(2-x)e—≈ -: e—≈ dx

=(x-2)e—≈ +e—≈ +C=(x-1)e—≈ +C 곡선 y=f(x)가 점 (1, 0)을 지나므로 f(1)=C=0

따라서 f(x)=(x-1)e—≈ 이므로 구하는 극값은

f(2)= 1 정답_ ①

13e¤

586

{ f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)이므로 조건 ㈎에서　{ f(x)g(x)}'=h(x)

위의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면

f(x)g(x)=: h(x)dx yy ㉠

이때, f(x)=x, h(x)=ln x를 ㉠에 대입하면

xg(x)=: ln xdx=x ln x-: dx+C=x ln x-x+C g(x)=ln x-1+;[;C; (∵ x>0)

한편, 조건 ㈏에서g(1)=-1이므로 -1=-1+C ∴ C=0 따라서g(x)=ln x-1이므로

g(e)=ln e-1=0 ^{정답_ ③}

587

조건 ㈎, ㈏에서

f™(x)=: f¡(x)dx=: xe≈ dx=xe≈ -: e≈ dx

=xe≈ -e≈ +C¡=(x-1)e≈ +C¡

조건 ㈐에서 f™(1)=0이므로　0+C¡=0 ∴ C¡=0

∴ f™(x)=(x-1)e≈ yy ㉠

조건 ㈏와 ㉠에서

f£(x)=: f™(x)dx=: (x-1)e≈ dx=(x-1)e≈ -: e≈ dx

=(x-1)e≈ -e≈ +C™ =(x-2)e≈ +C™

조건 ㈐에서 f£(2)=0이므로　0+C™=0 ∴ C™=0

∴ f£(x)=(x-2)e≈

같은 방법으로

f¢(x)=(x-3)e≈ , y, f«(x)=(x-n+1)e≈

∴_k=2¡¹⁰ f˚(0)=(-1-2-y-9)e‚ =-45 ^{정답_ ①}

09

정적분

588

⑴:!2 dx=:!2 {2+;[!;}dx=[2x+ln|x|]2!

⑴:!2

dx=(4+ln 2)-2=2+ln 2

⑵:!8 ‹'x dx=[;4#;x^;3$;]8!=12-;4#;=:¢4∞:

⑶:)^{ln 3}e≈ dx=[e≈ ])^{ln 3}=3-1=2

⑷:!4 2≈ dx=[ ]4!= =

정답_ ⑴ 2+ln 2 ⑵ :¢4∞: ⑶ 2 ⑷1242ln 2

14

1242ln 214

2› -2⁄

1241ln 2 1242ln 22≈

11222x+1x

589

:)1 dx-:)1 dx

=:)1 dx=:)1 dx

=:)1 (e≈ +1)dx=[e≈ +x]1)

=(e+1)-1=e 정답_ ②

(e≈ +1)(e≈ -1) 11111123e≈ -1 e¤ ≈ -1

1125e≈ -1

112e≈ -11 1125e≈ -1e¤ ≈

591

:!3 { +;[!;} dx=[ln|x+1|+ln|x|]3!

:!3 {

+;[!;} dx

=ln 4+ln 3-ln 2 :!3 {

+;[!;} dx

=ln =ln 6

∴ a=6 정답_ ②

4¥3 2 1

x+1

590

:!2 dx=:!2 {;[#;+ } dx=[3 ln|x|-;[@;]2!

:!2

dx=(3 ln 2-1)-(-2)=3 ln 2+1

정답_ ⑤ 2

x¤

3x+2 x¤

592

:)a dx =:)a dx=:)a sec¤ x dx

=[tan x]a)=tan a=1

이때, 0<a<;2“;이므로　tan a=1 ∴ a=;4“; ^{정답_ ③} 1122cos¤ x1

1121321-sin¤ x1

593

:@4 f(x)dx-:#4 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=:@4 f(x)dx+:$3 f(x)dx+:!2 f(x)dx

(해)(086~120)풍필유_미적분 2018.2.28 8:40 PM 페이지098

=:@3 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=:!3 f(x)dx

=:!3 (e^x-1+sin px)dx

=[e^x-1-;ç!; cos px]3!

={e¤ -;ç!; cos 3p}-{1-;ç!; cos p}

={e¤ +;ç!;}-{1+;ç!;}=e¤ -1 ^{정답_ ③}

594

:) dx+: 0 dx

=:) dx-:) dx

=:) dx

=:) (sin x+cos x)dx

=[-cos x+sin x])

=1-(-1)=2 정답_ ⑤

1p2 1p2

sin¤ x-cos¤ x 1122112423sin x-cos x

1p2

cos¤ x 11221124sin x-cos x

1p2

sin¤ x 11221122sin x-cos x

1p2

cos¤ x 11221124sin x-cos x

1p2

sin¤ x 11221122sin x-cos x

1p2

595

:@3 dx+:#2 dy

=:@3 dx-:@3 dx=:@3 dx

=:@3 (4≈ +2≈ +1)dx=[ + +x]3@

={ + +3}-{ + +2}

= + +1= +1

따라서 a=28, b=1이므로　

a-b=28-1=27 정답_ ②

1243ln 228 1243ln 24

124252 l n248

1243ln 24 1243ln 416 1243ln 28

1243ln 464

124ln 22≈

124ln 44≈

8≈ -1 1122≈ -1 1122≈ -11

1122≈ -18≈

1122¥ -11 1122≈ -18≈

596

점 A(1, 0)을 h만큼 회전한 점 A'의 좌

점 A(1, 0)을 h만큼 회전한 점 A'의 좌

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