시계열의 자기상관 여부를 탐지하는 방법으로는 <그림 5-1>과 같이 회귀식으로부 터 도출된 잔차를 그려 보아 자기상관 여부를 판단하는 방법인 잔차의 그래프 분석 (residual plotting)과 통계적 검정을 통해 자기상관 여부를 판단하는 방법인 Durbin-Watson 검정방법, LM(Lagrange Multiplier) 검정방법 등이 있다.
<그림 5-1> 양의 자기상관 및 음의 자기상관
자기상관을 탐지하는 가장 간단한 방법은 잔차에 상관관계가 나타나는 지를 그래
자기상관이 있음에도 불구하고 OLS로 추정하면 불편추정량은 얻을 수 있으나 효 율적인 추정량은 얻지 못하기 때문에 원자료(original data)를 적당한 방법으로 변 환시켜 고전적 회귀모형의 기본가정에 맞도록 한 후 OLS로 추정하면 된다.
그러면 원자료를 어떻게 변환시킬 것인가? 다음과 같이 교란항이 1차 자기상관 이 있을 경우 교란항의 분산-공분산행렬은 어떻게 생겼는지를 살펴보자.
단, . ′ , 이다.
교란항이 1차 자기상관이 있을 경우 교란항의 분산-공분산 행렬은 다음과 같다.
<그림 5-2> 자기상관 검정
′
ρ
≧
≧
한편, 자기상관을 검정하는 또 다른 방법으로 LM 검정방법이 있다. 이 검정방법 은 Durbin-Watson 검정방법의 한계점이나 단점에서 지적한 문제와 관계없이 사용 할 수 있는 검정방법이라는 장점이 있으나 자료의 수가 많을 때 사용될 수 있다는 단점이 있다.
예를 들어, 다음의 1차 자기상관을 가정한 회귀모형에 대한 LM-검정은 다음과 같은 순서로 한다.
제1단계로 위의 회귀모형을 추정한 후 다음과 같은 잔차를 구한다.
2단계로 위 식에서 구한 잔차를 1차 자기상관을 가정한 회귀모형에 포함되어 있 는 설명변수와 에 대해 다음의 회귀모형을 추정하는데 이를 보조회귀식 (auxiliary regression)이라고 한다.
이 경우 검정하고자 하는 귀무가설은 즉, 자기상관이 없다는 것이며 귀 무가설 하에서 에 따르는 다음의 LM 검정통계량을 이용하여 의사결정을 할 수 있다.
∼
단, n은 관측치의 수, 는 보조회귀식에서의 결정계수이며 -분포의 자유도는 1이다.
4. 자기상관 추정
자기상관이 있음에도 불구하고 OLS로 추정하면 불편추정량은 얻을 수 있으나 효 율적인 추정량은 얻지 못하고 따라서 정확한 통계적 추론이 어렵다. 따라서 원자료 를 적당한 방법으로 변환시켜 고전적 회귀모형의 기본가정에 맞도록 한 후 OLS로 추정한다.
다음의 1차 자기상관을 가정한 회귀모형 Ⓐ 식에서 원자료를 변환시키는 방법을 살펴보면 다음과 같다.
Ⓐ
먼저 Ⓐ 식을 한 기간 이전의 식으로 표현하면 다음과 같다.
위 식의 양변에 를 곱한 후 Ⓐ 식에서 빼면 다음과 같게 되는데 이를 Cochrane-Orcutt 변환(transformation)이라고 한다.
Ⓑ
위 라 표기하면 다음과 같다.
Ⓒ
단, 이다.
Ⓒ 식의 추정방법은 를 알고 있는 경우와 를 모르는 경우에 따라 달라진다.
먼저 의 값이 알려져 있을 때는 , ,
를 구한 후 OLS로 추정하면 효율적인 추정량을 얻을 수 있는
데 이를 GLS 추정량이라고 한다.
다음으로 의 값이 알려져 있지 않을 경우 을 추정한 후 자료를 변환하고 OLS 를 적용하는데 값을 추정하는 방법에는 여러 가지가 있다.