이차방정식 xÛ`-2x-1=0을 완전제곱식을 이용하여 나타낼 수 있듯이 이차함수 y=xÛ`-2x-1도 완전제곱식을 이용하여 나타낼 수 있다.
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
다지기 이차함수 y=xÛ`-6x+11을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고치면 다음과 같다.
y =xÛ`-6x+11
=(xÛ`-6x+9-9)+11
=(x- )Û`+
탐구 학습에서 이차함수 y=xÛ`-6x+11=(x-3)Û`+2이다.
따라서 이차함수 y=xÛ`-6x+11의 그래프는 이차함수 y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것과 같다.
이때 이차함수 y=xÛ`-6x+11의 그래프는 점 (3, 2)를 꼭짓점으로 하고, 직선 x=3을 축으로 하는 아래로 볼록한 포물선이다. 또, x=0일 때 y=11이므로 이 그래프는 점 (0, 11)을 지난다.
이처럼 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프는 주어진 이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴 로 고쳐서 그릴 수 있다.
y=axÛ`+bx+c (단, a+0)의 그래프
y
4 6 8 10
-2 O 2 4 6 x 2
y=x¤
y=x¤-6x+11
12
3 2
키우기 이차함수 y=xÛ`-6x+11의 그래프는 어떻게 그릴까?
142
Ⅳ. 이차함수와 그래프이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
➊ y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 그린 그래프와 같다.
➋ y축 위의 점 (0, c)를 지난다.
➌ a>0이면 아래로 볼록하고, a<0이면 위로 볼록하다.
다음 이차함수의 그래프를 그리시오.
2
문제
다음 이차함수를 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 구하 시오.
⑴ y=xÛ`+2x+7 ⑵ y=-xÛ`+x+3
1
문제
개념 확인 식의 꼴을 바꾸면
축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 쉽게 구할 수 있어.
예제
1
이차함수 y=-xÛ`+6x-5의 그래프를 그리시오.| 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 그리기
풀이 주어진 이차함수를 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고치면 y =-xÛ`+6x-5
=-(xÛ`-6x)-5
=-(xÛ`-6x+9-9)-5
=-(x-3)Û`+4
이므로 꼭짓점의 좌표는 (3, 4)이고, 이 그 래프는 점 (0, -5)를 지난다.
따라서 이차함수 y=-xÛ`+6x-5의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.
풀이 참조
y 4
O 2 4 6 x
2
-2 -4
y=-x¤+6x-5
일반적으로 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프에 대하여 다음을 알 수 있다.
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)이고 점 (0, -3)을 지 날 때, 이 이차함수의 식을 구하시오. (단, a, b, c는 상수)
3
문제
| 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 식 구하기 따라 하기
예제
2
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표 가 (1, 1)이고 점 (2, -1)을 지날 때, 이 이차함수의 식을 구하시오. (단, a, b, c는 상수)
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표 가 (2, 5)이고 점 (1, 4)를 지날 때, 이 이차함수의 식 을 구하시오. (단, a, b, c는 상수)
풀이 꼭짓점의 좌표가 (1, 1)이므로 구하는 이차함 수의 식을
y=a(x-1)Û`+1 yy ① 과 같이 나타낼 수 있다.
또, 점 (2, -1)을 지나므로 ①에 x=2, y=-1을 대입하면 -1=a(2-1)Û`+1, a=-2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y =-2(x-1)Û`+1
=-2xÛ`+4x-1
풀이 꼭짓점의 좌표가 ( , )이므로 구하는 이차함수의 식을
yy ①
와/과 같이 나타낼 수 있다.
또, 점 ( , )을/를 지나므로 ①에 x= , y= 을/를 대입하면 , a=
따라서 구하는 이차함수의 식은 y =
= y=-2xÛ`+4x-1
다음은 이차함수 y=-2xÛ`+4x+6의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하는 과정이다. 두 사람 의 계산 과정에서 틀린 부분을 찾아 바르게 고쳐 보자.
추론
소미 혜림
144
Ⅳ. 이차함수와 그래프정답 및 풀이 257쪽
스스로 확인하기
1
다음 이차함수를 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 나타내시오.
⑴ y=xÛ`+2x+5 ⑵ y=-3xÛ`+6x-1