35 이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프 개념북 138쪽

확인 1 답 ⑴ x축: 3, y축: -;3@; ⑵ x축: -6, y축: -3 확인 2 답 ⑴ 아래, >　　⑵ x, > ⑶ y, <

개념북 139쪽 개념 check

01

^답 ⑴ y=(x-1)Û`+2 ⑵ y=-;2#;(x-4)Û`-3

02

^답 ⑴ x축: 2, y축: 3 ⑵ x축: -4, y축: -5

03

^답 ⑴ (-2, 1), x=-2 ⑵ (2, 3), x=2

04

^답 ⑴ a>0, p<0, q<0 ⑵ a<0, p>0, q<0

⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점의 x좌표가 음수이므로 p<0 꼭짓점의 y좌표가 음수이므로 q<0

⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 꼭짓점의 x좌표가 양수이므로 p>0 꼭짓점의 y좌표가 음수이므로 q<0

05

^{답 apq<0}

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

Ⅲ 이차함수

38

^{정답과 해설 Ⅲ. 이차함수}

39

8=a_2Û` ∴ a=2

3

- 1 ^{답 -5}

y=-5(x+3)Û`의 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로 k=-5(-4+3)Û`=-5

3

- 2 ^{답 8}

f(x)=2{x-;2#;+;2!;}2`=2(x-1)Û`이므로 f(3)=2(3-1)Û`=8

4

^{답 ④}

④ x<2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

4

- 1 ^{답 16}

y=-6(x-8)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (8, 0), 축의 방정식은 x=8이므로 a=8, b=0, c=8

∴ a+b+c=16

4

- 2 ^{답 ①}

x=-3 이차함수 y=;4!;(x+3)Û`의 그래프의 개형은

오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소하는 x의 값의 범위는 x<-3

5

^{답 3}

이차함수 y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동하면 y=-3(x-a)Û`+4 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, b)이므로

a=-2, b=4

따라서 y=-3(x+2)Û`+4의 그래프가 점 (-1, c)를 지 나므로 c=-3(-1+2)Û`+4=-3+4=1

∴ a+b+c=-2+4+1=3

5

- 1 ^{답 1}

y=3(x+3)Û`-2의 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로 k=3(-4+3)Û`-2=1

5

- 2 ^{답 x<-2}

이차함수 y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=2(x+2)Û`+2 따라서 이 그래프는 x<-2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

6

^{답 ㄴ, ㄷ}

ㄱ. y=-(x-2)Û`-5에 x=0을 대입하면

-(0-2)Û`-5=-9이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -9)이다.

ㄹ. 이차함수 y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이다.

6

- 1 ^{답 ③}

③ y=2(x+3)Û`-1에 x=0을 대입하면

y=2(0+3)Û`-1=17이므로 y축과 만나는 점의 y좌표 는 17이다.

꼭짓점 (p, q)가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0

∴ apq<0

개념북 140~143쪽 유형 check

1

^{답 ③}

이차함수 y=-;2!;xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평 행이동한 그래프가 나타내는 이차함수의 식은

y=-;2!;xÛ`+3

이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 k=-;2!;_2Û`+3=1

1

- 1 ^답 -5

y=;2!;xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 y=;2!;xÛ`+k

이 그래프가 점 (-4, 3)을 지나므로 3=;2!;_(-4)Û`+k ∴ k=-5

1

- 2 ^{답 -6}

이차함수 y=axÛ`+q+3의 그래프가 이차함수 y=axÛ`-4 의 그래프와 완전히 포개어지므로

q+3=-4 ∴ q=-7

즉, 이차함수 y=axÛ`-7의 그래프가 점 (2, -5)를 지나 므로

-5=a_2Û`-7, 4a=2 ∴ a=;2!;

∴ 2a+q=2_;2!;+(-7)=-6

2

^{답 ④}

① xÛ`의 계수가 4로 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.

② 축의 방정식은 x=0이다.

③ 꼭짓점의 좌표는 (0, -3)이다.

⑤ 이차함수 y=4xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

2

- 1 ^답 4

y=-;5$;xÛ`+4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 4) 따라서 a=0, b=4이므로 a+b=4

2

- 2 ^{답 ㄱ, ㄷ}

ㄱ. 꼭짓점의 좌표가 (0, q)이므로 꼭짓점은 y축 위에 있다.

ㄴ. 축의 방정식은 x=0이다.

ㄷ. xÛ`의 계수의 절댓값이 같으므로 y=xÛ`의 그래프와 폭 이 같다.

3

^{답 ⑤}

이차함수 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평 행이동하면 y=a(x+1)Û`

이 그래프가 점 (1, 8)을 지나므로

40

^{정답과 해설 Ⅲ. 이차함수}

41

∴ aq>0, apq<0

단원 마무리

개념북 144~146쪽

01

^④

02

^③

03

^②

04

^④

05

^④

06

^⑤

07

^③

08

^⑤

09

^③

10

^④

11

^③

12

^⑤

13

^⑤

14

^2개

15

³

16

¹⁰

17

^-1

18

³⁶

01

y=x(xÛ`-2x)-axÜ`=(1-a)xÜ`-2xÛ`이 이차함수이므로 1-a=0 ∴ a=1

02

f(-2)=-(-2)Û`+4_(-2)+3=-9,

f(1)=-1Û`+4_1+3=6

이때 a>0이므로 a=3, b=2_3-4=2

∴ a+b=3+2=5

40

^{정답과 해설 Ⅲ. 이차함수}

41 07

조건 ㈎, ㈐에 의하여 xÛ`의 계수는 -2이다.

조건 ㈏에 의하여 꼭짓점의 x좌표와 y좌표는 모두 음수이 다. 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 포물선을 그래 프로 하는 이차함수의 식은 ③이다.

08

주어진 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=3이므로 p=3

또, 이차함수 y=a(x-3)Û`+b의 그래프가 점 (5, 9)를 지 나므로

9=4a+b yy ㉠

또, 이차함수 y=a(x-3)Û`+b의 그래프가 점 (1, q)를 지 나므로

q=4a+b yy ㉡

㉠, ㉡에서 q=9

∴ p+q=3+9=12

09

이차함수 y=-;2!;(x+a)Û`+b의 그래프의 꼭짓점의 x좌 표가 3이므로 a=-3

즉, y=-;2!;(x-3)Û`+b의 그래프가 원점 (0, 0)을 지나므 로 0=-;2!;_(-3)Û`+b ∴ b=;2(;

따라서 꼭짓점의 좌표는 A{3, ;2(;}

또, ;2!; OBÓ=3이므로 OBÓ=6

∴

△

AOB=;2!;_6_;2(;=:ª2¦:

10

이차함수 y=a(x-2)Û`+b의 그래프가 제3, 4사분면을 지나지 않으려면 오른 쪽 그림과 같아야 하므로

a>0, b¾0

∴ ab¾0

11

두 이차함수 y=-(x-3)Û`+6, y=-(x+1)Û`+6의 그래프의 폭이 같으므로 ㉠의 넓이와 ㉡의 넓이는 같다. 따라서 색칠한 부분 의 넓이는 ABCD의 넓이와 같 다.

이때 A(3, 6), B(-1, 6)이므로

ABCD=4_6=24

12

^이차함수 y=(x-6)Û`-28의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (6, -28)이다.

이때 점 (6, -28)을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으 로 q만큼 평행이동하면 점 (6+p, -28+q)

이것이 y=(x+1)Û`+2의 그래프의 꼭짓점 (-1, 2)와 같 으므로

6+p=-1, -28+q=2 ∴ p=-7, q=30

∴ p+q=(-7)+30=23

y

O 2 x b

O D

-1C 3

6 A

By

x

㉡ ㉠

| 다른 풀이 |이차함수 y=(x-6)Û`-28의 그래프를 x축의 방향으로 p만 큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면

y=(x-p-6)Û`-28+q

이 그래프가 이차함수 y=(x+1)Û`+2의 그래프와 일치하므로 -p-6=1, -28+q=2 ∴ p=-7, q=30

∴ p+q=(-7)+30=23

13

이차함수 y=-2xÛ`+8의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 8)이다.

이때 점 (0, 8)을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 3-p만큼 평행이동하면

(p, 8+3-p), 즉 (p, 11-p) 이 점이 제4사분면 위에 있으므로 (x좌표)=p>0, (y좌표)=11-p<0

∴ p>11

14

xÛ`의 계수가 같으면 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.

따라서 주어진 이차함수 중 xÛ`의 계수가 2인 것을 고르면 ㄹ, ㅁ의 2개이다.

15

이차함수 y=-2(x-2)Û`+3의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으로 2k만큼 평행이동하면

y=-2(x-k-2)Û`+3+2k 이 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로 1=-2(3-k-2)Û`+3+2k -2(1-k)Û`+2+2k=0 kÛ`-3k=0, k(k-3)=0 k>0이므로 k=3

16

1단계 y=2(x-a-1)Û`-3+b의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (a+1, -3+b)이므로

a+1=c, -3+b=2 2단계 b=5

y=2(x-c)Û`+2의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=2(1-c)Û`+2, (c-1)Û`=1

∴ c-1=Ñ1 이때 c>0이므로 c=2

∴ a=c-1=2-1=1 3단계 abc=1_5_2=10

17

y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 향으로 2만큼 평행이동하면

y=-3(x+1)Û`+2 ...❶ 이 그래프가 점 (m, 2)를 지나므로

2=-3(m+1)Û`+2, (m+1)Û`=0

∴ m=-1 ...❷

단계 채점 기준 비율

❶ 평행이동한 그래프의 식 구하기 50`%

❷ m의 값 구하기 50`%

42

^{정답과 해설 Ⅲ. 이차함수}

43 18

주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, 3)이므로

q=3

이 그래프가 점 A(2, 1)을 지나므로 1=a_2Û`+3, 4a=-2

∴ a=-;2!; ���������������������������������������������������������������������������������������������❶ CDÓ=8이므로 점 C의 x좌표는 -4이고, 점 D의 x좌표는 4이다�

x=4일 때, y=-;2!;_4Û`+3=-5이므로

C(-4, -5), D(4, -5)` ��������������������������������������������������������������❷

ABCD에서 ABÓ=4, CDÓ=8이고, 높이는 1-(-5)=6이므로

ABCD=;2!;_(4+8)_6=36 ����������������������������������������������❸

단계 채점 기준 비율

❶ a, q의 값 구하기 30`%

❷ 두 점 C, D의 좌표 구하기 40`%

❸ ABCD의 넓이 구하기 30`%

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