확인 1 답 ⑴ x축: 3, y축: -;3@; ⑵ x축: -6, y축: -3 확인 2 답 ⑴ 아래, > ⑵ x, > ⑶ y, <
개념북 139쪽 개념 check
01
답 ⑴ y=(x-1)Û`+2 ⑵ y=-;2#;(x-4)Û`-302
답 ⑴ x축: 2, y축: 3 ⑵ x축: -4, y축: -503
답 ⑴ (-2, 1), x=-2 ⑵ (2, 3), x=204
답 ⑴ a>0, p<0, q<0 ⑵ a<0, p>0, q<0⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점의 x좌표가 음수이므로 p<0 꼭짓점의 y좌표가 음수이므로 q<0
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 꼭짓점의 x좌표가 양수이므로 p>0 꼭짓점의 y좌표가 음수이므로 q<0
05
답 apq<0그래프가 위로 볼록하므로 a<0
Ⅲ 이차함수
38
정답과 해설 Ⅲ. 이차함수39
8=a_2Û` ∴ a=2
3
- 1 답 -5y=-5(x+3)Û`의 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로 k=-5(-4+3)Û`=-5
3
- 2 답 8f(x)=2{x-;2#;+;2!;}2`=2(x-1)Û`이므로 f(3)=2(3-1)Û`=8
4
답 ④④ x<2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
4
- 1 답 16y=-6(x-8)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (8, 0), 축의 방정식은 x=8이므로 a=8, b=0, c=8
∴ a+b+c=16
4
- 2 답 ①x=-3 이차함수 y=;4!;(x+3)Û`의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소하는 x의 값의 범위는 x<-3
5
답 3이차함수 y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동하면 y=-3(x-a)Û`+4 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, b)이므로
a=-2, b=4
따라서 y=-3(x+2)Û`+4의 그래프가 점 (-1, c)를 지 나므로 c=-3(-1+2)Û`+4=-3+4=1
∴ a+b+c=-2+4+1=3
5
- 1 답 1y=3(x+3)Û`-2의 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로 k=3(-4+3)Û`-2=1
5
- 2 답 x<-2이차함수 y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=2(x+2)Û`+2 따라서 이 그래프는 x<-2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
6
답 ㄴ, ㄷㄱ. y=-(x-2)Û`-5에 x=0을 대입하면
-(0-2)Û`-5=-9이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -9)이다.
ㄹ. 이차함수 y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이다.
6
- 1 답 ③③ y=2(x+3)Û`-1에 x=0을 대입하면
y=2(0+3)Û`-1=17이므로 y축과 만나는 점의 y좌표 는 17이다.
꼭짓점 (p, q)가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0
∴ apq<0
개념북 140~143쪽 유형 check
1
답 ③이차함수 y=-;2!;xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평 행이동한 그래프가 나타내는 이차함수의 식은
y=-;2!;xÛ`+3
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 k=-;2!;_2Û`+3=1
1
- 1 답 -5y=;2!;xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 y=;2!;xÛ`+k
이 그래프가 점 (-4, 3)을 지나므로 3=;2!;_(-4)Û`+k ∴ k=-5
1
- 2 답 -6이차함수 y=axÛ`+q+3의 그래프가 이차함수 y=axÛ`-4 의 그래프와 완전히 포개어지므로
q+3=-4 ∴ q=-7
즉, 이차함수 y=axÛ`-7의 그래프가 점 (2, -5)를 지나 므로
-5=a_2Û`-7, 4a=2 ∴ a=;2!;
∴ 2a+q=2_;2!;+(-7)=-6
2
답 ④① xÛ`의 계수가 4로 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
② 축의 방정식은 x=0이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (0, -3)이다.
⑤ 이차함수 y=4xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
2
- 1 답 4y=-;5$;xÛ`+4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 4) 따라서 a=0, b=4이므로 a+b=4
2
- 2 답 ㄱ, ㄷㄱ. 꼭짓점의 좌표가 (0, q)이므로 꼭짓점은 y축 위에 있다.
ㄴ. 축의 방정식은 x=0이다.
ㄷ. xÛ`의 계수의 절댓값이 같으므로 y=xÛ`의 그래프와 폭 이 같다.
3
답 ⑤이차함수 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평 행이동하면 y=a(x+1)Û`
이 그래프가 점 (1, 8)을 지나므로
40
정답과 해설 Ⅲ. 이차함수41
∴ aq>0, apq<0
단원 마무리
개념북 144~146쪽01
④02
③03
②04
④05
④06
⑤07
③08
⑤09
③10
④11
③12
⑤13
⑤14
2개15
316
1017
-118
3601
y=x(xÛ`-2x)-axÜ`=(1-a)xÜ`-2xÛ`이 이차함수이므로 1-a=0 ∴ a=102
f(-2)=-(-2)Û`+4_(-2)+3=-9,f(1)=-1Û`+4_1+3=6
이때 a>0이므로 a=3, b=2_3-4=2
∴ a+b=3+2=5
40
정답과 해설 Ⅲ. 이차함수41 07
조건 ㈎, ㈐에 의하여 xÛ`의 계수는 -2이다.조건 ㈏에 의하여 꼭짓점의 x좌표와 y좌표는 모두 음수이 다. 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 포물선을 그래 프로 하는 이차함수의 식은 ③이다.
08
주어진 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=3이므로 p=3또, 이차함수 y=a(x-3)Û`+b의 그래프가 점 (5, 9)를 지 나므로
9=4a+b yy ㉠
또, 이차함수 y=a(x-3)Û`+b의 그래프가 점 (1, q)를 지 나므로
q=4a+b yy ㉡
㉠, ㉡에서 q=9
∴ p+q=3+9=12
09
이차함수 y=-;2!;(x+a)Û`+b의 그래프의 꼭짓점의 x좌 표가 3이므로 a=-3즉, y=-;2!;(x-3)Û`+b의 그래프가 원점 (0, 0)을 지나므 로 0=-;2!;_(-3)Û`+b ∴ b=;2(;
따라서 꼭짓점의 좌표는 A{3, ;2(;}
또, ;2!; OBÓ=3이므로 OBÓ=6
∴
△
AOB=;2!;_6_;2(;=:ª2¦:10
이차함수 y=a(x-2)Û`+b의 그래프가 제3, 4사분면을 지나지 않으려면 오른 쪽 그림과 같아야 하므로a>0, b¾0
∴ ab¾0
11
두 이차함수 y=-(x-3)Û`+6, y=-(x+1)Û`+6의 그래프의 폭이 같으므로 ㉠의 넓이와 ㉡의 넓이는 같다. 따라서 색칠한 부분 의 넓이는 ABCD의 넓이와 같 다.이때 A(3, 6), B(-1, 6)이므로
ABCD=4_6=24
12
이차함수 y=(x-6)Û`-28의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (6, -28)이다.이때 점 (6, -28)을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으 로 q만큼 평행이동하면 점 (6+p, -28+q)
이것이 y=(x+1)Û`+2의 그래프의 꼭짓점 (-1, 2)와 같 으므로
6+p=-1, -28+q=2 ∴ p=-7, q=30
∴ p+q=(-7)+30=23
y
O 2 x b
O D
-1C 3
6 A
By
x
㉡ ㉠
| 다른 풀이 |이차함수 y=(x-6)Û`-28의 그래프를 x축의 방향으로 p만 큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면
y=(x-p-6)Û`-28+q
이 그래프가 이차함수 y=(x+1)Û`+2의 그래프와 일치하므로 -p-6=1, -28+q=2 ∴ p=-7, q=30
∴ p+q=(-7)+30=23
13
이차함수 y=-2xÛ`+8의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 8)이다.이때 점 (0, 8)을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 3-p만큼 평행이동하면
(p, 8+3-p), 즉 (p, 11-p) 이 점이 제4사분면 위에 있으므로 (x좌표)=p>0, (y좌표)=11-p<0
∴ p>11
14
xÛ`의 계수가 같으면 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.따라서 주어진 이차함수 중 xÛ`의 계수가 2인 것을 고르면 ㄹ, ㅁ의 2개이다.
15
이차함수 y=-2(x-2)Û`+3의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으로 2k만큼 평행이동하면y=-2(x-k-2)Û`+3+2k 이 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로 1=-2(3-k-2)Û`+3+2k -2(1-k)Û`+2+2k=0 kÛ`-3k=0, k(k-3)=0 k>0이므로 k=3
16
1단계 y=2(x-a-1)Û`-3+b의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (a+1, -3+b)이므로a+1=c, -3+b=2 2단계 b=5
y=2(x-c)Û`+2의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=2(1-c)Û`+2, (c-1)Û`=1
∴ c-1=Ñ1 이때 c>0이므로 c=2
∴ a=c-1=2-1=1 3단계 abc=1_5_2=10
17
y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 향으로 2만큼 평행이동하면y=-3(x+1)Û`+2 ...❶ 이 그래프가 점 (m, 2)를 지나므로
2=-3(m+1)Û`+2, (m+1)Û`=0
∴ m=-1 ...❷
단계 채점 기준 비율
❶ 평행이동한 그래프의 식 구하기 50`%
❷ m의 값 구하기 50`%
42
정답과 해설 Ⅲ. 이차함수43 18
주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, 3)이므로q=3
이 그래프가 점 A(2, 1)을 지나므로 1=a_2Û`+3, 4a=-2
∴ a=-;2!; ���������������������������������������������������������������������������������������������❶ CDÓ=8이므로 점 C의 x좌표는 -4이고, 점 D의 x좌표는 4이다�
x=4일 때, y=-;2!;_4Û`+3=-5이므로
C(-4, -5), D(4, -5)` ��������������������������������������������������������������❷
ABCD에서 ABÓ=4, CDÓ=8이고, 높이는 1-(-5)=6이므로
ABCD=;2!;_(4+8)_6=36 ����������������������������������������������❸
단계 채점 기준 비율
❶ a, q의 값 구하기 30`%
❷ 두 점 C, D의 좌표 구하기 40`%
❸ ABCD의 넓이 구하기 30`%