이산수학의 각 영역별 내용

1) 내용 체계표

선택과 배열의 영역은 경우의 수, 순열, 조합, 세기와 관련된 문제로 모든 경우 를 나열하는 것부터 시작하여 추론하고, 검증하는 탐구적 태도를 기르고, 정의나 공식 등을 도입하여 적용하는 훈련을 강조하지 않는다. 세기는 전형적으로 부분 집합의 원소 사이의 짝짓기를 포함한다. 예를 들어 nCr는 nCn-r와 같아지는데 조 합 공식의 대수적인 증명보다는 선택된 r개의 원소에 대하여 선택되지 않은 n-r 개의 원소가 대응된다는 것을 이해하면 쉽게 알 수 있다. 이러한 구조를 가지고 있는문제를 해결하는 농력은 세기에서의 추론을 강조함으로써 얻어진다. 선택과 배열에서는 추론 능력을 장려하는 학습이 바람직하다. 여사건을 구함으로써 주어 진 사건의 확률을 쉽게 구할 수도 있는데 이것도 사고의 유연성 훈련에 도움을 준다.

비둘기집 원리나 포함 배제 원리 등은 쉽게 해의 존재성을 확인하는 방법을 제시해 준다. 존재성을 확인하지 않고 시작하는 노력이나 사고는 때로는 너무 비 용이 클 수 있다는 깨우침도 배울 수 있는 것이다.

(2) 그래프

그래프는 강력한 표현 수단으로 NCTM의 ‘교육과정과 평가 규준’에서 강력히 추천하고 있다. 실제로 유한그래프는 연결 상태를 기하학적으로 표현할 수 있고 행렬은 연결 상태의 대수적 표현을 가능하게 하다. 그래프는 또 통신 네트워크, 회로도, 경기 대진표, 생산 스케줄, 약수와 배수 등과 같은 수학적 관계를 포함하 는 문제 상황을 표현하는 수단을 제공한다. 수형도(tree)는 특별한 그래프로서 확 률 상황을 모델화 하거나 순서 구조를 나타낼 때 사용된다.

(3) 알고리즘

알고리즘의 영역은 수학의 가치를 높이는 데 크게 기여할 수 있다. 실생활의 이해는 연역적인 접근보다 오히려 귀납적인 방법이 보다 효과적일 때가 많다. 단 순한 경우부터 살펴 가면 복잡한 경우가 알고리즘적인 관계로 쉽게 파악이 되거 나 모델화될 수 있다. 문제 해결의 과정에서도 알고리즘적인 사고는 아주 중요하 다. 수열과 점화식도 실생활에 기반을 두어 새로운 각도에서 접근함으로써 수학 탐구 활동을 경험하고 수학이 단순한 수의 나열이 아님을 인식하게 할 수 있다.

정수의 성질을 살피는 수학적인 탐구 과정은 인류 역사 이래의 문제가 현재도

연구되고 있고, 약간의 끈기만 있으면 수학에서 새로운 발견을 할 수 있다는 자 신감을 줄 수 있다. 이것은 수학이 결코 무미건조하고 딱딱한 학문이 아니라는 인식을 갖도록 내적 충동을 줄 필요가 있다. 정수에 대한 최대공약수 판정 알고 리즘을 알고 있다면 다양한 실험을 행할 수 있다.

또한, 점화 관계는 수학과 타 학문의 관계를 통합해 주는 이상적인 환경도 제 공한다. 생태학의 개체 증가의 문제는 이미 점화적으로 모델활되어 이용된다. Pn

을 n세대의 생존율이라고 하면 P0는 초기의 개체 수의 상태, Pn=0은 소멸 상태, Pn=1은 포화 상태를 의미하게 된다. 수식이 어떤 의미를 갖는지를 아는 것은 수 학과 과학적 사고의 또 다른 시작이 되는 것이다.

한편, 알고리즘의 개발과 분석은 문제를 컴퓨터를 서서 해결하는 방법의 핵심 을 이룬다. 알고리즘적 관점에서 수학을 구성하는 기회를 일관되게 제공하고 컴 퓨터나 계산기를 활용하도록 장려하여 효율적인 계산에 익숙하게 하고 기술 공 학적 도구를 수학 활동에 편입시킴으로써 생활인으로서 갖추어야 할 기본 소양 을 준비시켜야 한다.

수학의 학습은 많은 경우에 논리적 전개를 너무 중시함으로써 사고의 역동성 에 익숙하지 않은 학생들에게는 수학이 정적이라는 편견을 갖게 한다. 이것이 수 학이 무미건조하다는 비난의 근거가 된다. 수학은 무척 역동적인 대상이라는 시 각을 모든 학생들이 갖도록 함으로써 이러한 비난을 불식하여야 한다.

두 항 또는 세 항 사의의 관계는 반복의 수학으로 자연스럽게 발전시킬 수가 있다. 이 때의 수학 주제와 활동은 계산기나 컴퓨터의 사용을 요구하여 육체적으 로도 결코 정적일 수가 없을 뿐만 아니라, 이 주제를 으르는 수학적 용어처럼 다 이나믹 시스템이 된다. 또, 무심하게 지나쳤던 중학교 과정의 내용들을 새로운 관점에서 다시 접근하게 함으로써 수학적으로 풍부한 아이디어가 아주 가까이 있음을 깨닫게 해준다. 또한, 소프트웨어를 수학적 도구로 사용하는 환경을 제시 하여 다양한 활동을 하게 해 줄 수 있다.

(4) 의사 결정과 최적화

어떤 과제의 수행에서 행해지는 각각의 절차의 타당성의 판단과 효율적인 절 차의 선택에는 지혜로운 의사 결정 과정이 필요하다. 주어진 조건 아래에서 가능

한 경우를 조사하고 다른 경우보다 우위에 있는 경우를 결정하는 것은 현실적인 문제이다. 때로는 일반적인 해가 존재하지 않는 경우도 있다. 그러나 알고리즘적 인 사고는 문제 해결의 실마리를 제공하고 풀이가 가능하도록 해준다.

사회적인 현상이나 상황도 수학으로 표현되고 그 문제가 해결될 수가 있다. 게 임이나 선거 등의 과제 수행은 사회적인 대상이지만 수학적인 접근이 가능하고 의사 결정 과정에서 객관성과 효율성을 확보할 수가 있다. 선거에서 정당성의 문 제는 그 사회의 건전한 의사 결정 과정을 필요로 한다.