2=y/3=z/4=k`(knot=0)로 놓으면 x=2k, y=3k, z=4k
⑴ (주어진 식)2= 2k+3k+4k 2.c12k+3.c13k+4.c14k 2 2 =92/9kk=9/29
⑵ (주어진 식)2= (2k)^&-(3k)^&+(4k)^2k.c13k+3k.c14k-4k.c12k 2 2 =4k^&-9k^&+16k^
6k^&+12k^&-8k^
2 2 = 11k^10k^ =11/102
답 ⑴ 9/29 ⑵ 11/10
285
3b+2c
a = 2c+a3b =a+3b
2c =k로 놓으면 3b+2c=ak, 2c+a=3bk, a+3b=2ck 세 식의 양변을 더하면
2a+6b+4c=(a+3b+2c)k 이항하여 정리하면
(a+3b+2c)(k-2)=0 .t3`a+3b+2c=0 또는 k=2
a+3b+2c=0일 때, a=-3b-2c이므로 k= 3b+2ca = -aa =-1
따라서 구하는 분수식의 값은 2 또는 -1이다.
답 2 또는 -1
2 유리식과 유리함수
273
(주어진 식)2= x(x+1)x+2 \(x+2)(x-1) (x-2)(x+1) \x-2
x-1
2 2 =x2 2 답x
275
[1단계] 분모를 (a-b)(b-c)(c-a)로 통분한다.
(주어진 식)= -a(b-c)-b(c-a)-c(a-b)(a-b)(b-c)(c-a) [2단계] 분자를 전개하여 정리한다.
(분자)=-ab+ac-bc+ba-&ca+cb=0 .t3`(주어진 식)= 0
(a-b)(b-c)(c-a) =0
답0
277
분자를 상수로 만든 후 (+)와 (-) 둘씩 조를 짜 통분 한다.
(주어진 식)
= x+2x -(x+1)+2
x+1 - (x-3)-2x-3 + (x-4)-2x-4
=^(1+2/x^)-^(1+ 2x+1 ^)-^(1- 2
x-3 ^)+^(1- 2 x-4 ^)
=^(2/x- 2x+1 ^)+^( 2 x-3 - 2
x-4 ^)
= 2
x(x+1) + -2 (x-3)(x-4)
= 2(x-3)(x-4)-2x(x+1)x(x+1)(x-3)(x-4)
= -16x+24
x(x+1)(x-3)(x-4)
답 -16x+24
x(x+1)(x-3)(x-4)
279
부분분수로 분해하면 연쇄적으로 소거된다. (주어진 식)2
=2^(1/x- 1x+1 ^)+^( 1
x+1 - 1 x+10 ^) 2 +^( 1x+10 - 1
x+100 ^) 2 +^( 1
x+100 - 1 x+1000 ^)
=1/x- 1
x+1000 = 1000 x(x+1000)
답 1000 x(x+1000)
Ⅴ. 함수와 그래프 29 이 함수의 그래프는 y=4/x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
.t3`a=4, b=2, c=22 2 2 답a=4, b=2, c=2
293
ㄱ. y= x-4x-3 =(x-3)-1
x-3 =- 1x-3 +1 ㄴ. y= 3x-5x-2 =3(x-2)+1
x-2 = 1x-2 +3 ㄷ. y= 2x-3x-1 =2(x-1)-1
x-1 =- 1x-1 +2 따라서 그래프가 서로 겹칠 수 있는 것은 ㄱ과 ㄷ이다.
답 ㄱ과 ㄷ
295
y= 4xx-1 =4(x-1)+4
x-1 = 4x-1 +4
따라서 주어진 함수의 그래프는 두 점근선인 직선 x=1, y=4의 교점 (1, 4)에 대하여 대칭이므로
a=1, b=4
.t3`a+b=52 2 2 답5
297
y= 2x-4x-3 =2(x-3)+2
x-3 = 2x-3 +2
따라서 주어진 함수의 그래프는 점 (3, 2)를 지나고 기울기가 /+-1인 두 직선에 대하여 대칭이므로 x=3, y=2를 주어진 두 직선의 방정식에 대입하면 2=3+a, 2=-3+b
.t3`a=-1, b=52 2 2 답 a=-1, b=5
299
[1단계] 점근선의 방정식이 x=-1, y=2이므로 주어진 함수를
2 y= kx+1 +2 .c3.c3 ㉠ 로 놓는다.
[2단계]㉠의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 2 0= k1+1 +2222.t3`k=-4 2 k=-4를 ㉠에 대입하면 2 y=- 4x+1 +2=2x-2
x+1 2 .t3`a=2, b=-2, c=-12
답 a=2, b=-2, c=-1 다른 풀이
3b+2c
a = 2c+a3b =a+3b
2c 에서 가비의 리에 의해 (3b+2c)+(2c+a)+(a+3b)
a+3b+2c = 2(a+3b+2c)a+3b+2c (ⅰ) a+3b+2c=0일 때, a=-3b-2c이므로 2 2 3b+2ca = -aa =-1
(ⅱ) a+3b+2cnot=0일 때, 2(a+3b+2c)a+3b+2c =2 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 분수식의 값은 2 또는 -1이다.
287
⑴ y= 4x 의 그래프는 그림과 같다.
점근선의 방정식:2x=0, y=0 2 정의역: {x|xnot=0인 실수}
치역: {y|ynot=0인 실수}
⑵ y=- 1x+2 -1의 그래프는 y=-1/x의 그래프를 x축의 방
향으로 -2만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동한 것이다.
따라서 그래프는 그림과 같다.
점근선의 방정식: x=-2, y=-1 정의역&:`{x|xnot=-2인 실수}
치역&:`{y|ynot=-1인 실수}22 답 풀이 참조
289
y= x+1x-1 =(x-1)+2
x-1 = 2x-1 +1 이 함수의 그래프는 y= 2x 의 그 래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 것이다.
따라서 그래프는 그림과 같다.
점근선의 방정식&:`x=1, y=1 정의역&:`{x|xnot=1인 실수}
치역&:`{y|ynot=1인 실수}2 2 2 답 풀이 참조
291
y= 2xx-2 =2(x-2)+4
x-2 = 4x-2 +2
[3단계] y= x+bx-3 에 x=5를 대입하면 5+b 2 =0 2 22 .t3`b=-5
y= x-5x-3 에 x=a을 대입하면 a-5
a-3 =-1에서 a-5=-a+3, 2a=8222.t3`a=4
22 답 a=4, b=-5
307
⑴ y= 4x-3-x+2 의 x와 y를 서로 바꾸면 2 x= 4y-3-y+2
2 -xy+2x=4y-3, (-x-4)y=-2x-3 2 .t3`y= 2x+3x+4
⑵ y= ax+b-x+c 의 x와 y를 서로 바꾸면 2 x= ay+b-y+c
2 -xy+cx=ay+b, (-x-a)y=-cx+b 2 .t3`y= cx-bx+a 222
답 ⑴ y= 2x+3x+4 ⑵ y=cx-b x+a 다른 풀이 공식을 이용하여 부호와 자리를 바꾼다.
⑴ y= 4x-3-x+2 에서 4와 2의 부호와 자리를 바꾸면 2 y= -2x-3-x-4 =2x+3
x+4
⑵ y= ax+b-x+c 에서 a와 c의 부호와 자리를 바꾸면 2 y= -cx+b-x-a =cx-b
x+a
309
함수 y= -3x+7x-2 의 그래프와 직선 y=-x+a가 만 나지 않으므로
-3x+7
x-2 =-x+a에서 -3x+7=(x-2)(-x+a) .t3`x^&-(a+5)x+2a+7=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(a+5)^&-4(2a+7)<0 a^&+2a-3<0, (a+3)(a-1)<0
.t3`-3<a<12 2 2 답-3<a<1 다른 풀이
[1단계] 공식을 이용하면 y= ax+bx-c 의 그래프의 점근선의 방정식은 x=c, y=a
이것이 x=-1, y=2와 같아야 하므로 2 c=-1, a=222
[2단계]y= ax+bx-c 의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 2 0= a+b1-c , 0=2+b
1+1 .t3`b=-2
301
y= x+1x-1 =(x-1)+2
x-1 = 2x-1 +1 그래프를 그린 후 0-<x<1 또는 1<x-<2인 부분만 살려 놓으면 그림과 같다.
x=0일 때 y=-1, x=2일 때 y=3이므로
치역은 {y|y-<-1 또는 y->3}
답{y|y-<-1 또는 y->3}
303
y= -2x+3x-1 =-2(x-1)+1
x-1 = 1x-1 -2 그래프를 그린 후 2-<x-<4인
부분만 살려 놓으면 그림과 같다.
따라서 주어진 함수는 x=2일 때2최댓값 -1,
x=4일 때 최솟값 -5/3를 갖는다.
답 최댓값:`-1,최솟값:`-5/3
305
[1단계]y= x+bx-3 =(x-3)+3+b x-3 2 2= 3+bx-3 +1
[2단계]3+b<0이므로 함수 y= x+bx-3 는
x=a일 때 최솟값 -1, x=5일 때 최댓값 0을 갖는다.
Ⅴ. 함수와 그래프 31 으로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 5= k0+1 +3222.t3`k=2
k=2를 ㉠에 대입하면 y= 2x+1 +3=3x+5
x+1
따라서 a=1, b=3, c=5이므로
a+b+c=92 2 2 답9
315
y= 2x-5x-3 =2(x-3)+1
x-3 = 1x-3 +2 그래프를 그린 후 0-<x-<2인 부분만 살려 놓으면 그림과 같 다.
따라서 주어진 함수는
x=0일 때 최댓값 5/3,
x=2일 때 최솟값 1을 가지므로
M=5/3, m=1 .t3`M-m=2/32 답 2/3
316
f~-1`°`f~=I이므로
(2f~-1`°`f~`°`f~-1)(5)=(I`°`f~-1)(5)=f~-1(5) f~-1(5)=k로 놓으면2f~(k)=5이므로 2k+1k-1 =5 2k+1=5k-5, 3k=6222.t3`k=2
.t3`(2f~-1`°`f~`°`f~-1)(5)=f~-1(5)=22 답2
317
y= 4x-12x+3 의 x와 y를 바꾸면 x=4y-1 2y+3 2xy+3x=4y-1, (2x-4)y=-3x-1 .t3`y= -3x-12x-4
따라서 a=-3, b=-1, c=-4이므로
a+b+c=-82 2 2 답 -8
다른 풀이 공식을 이용하면2f~(x)= 4x-12x+3 의 역함수는 f~-1(x)= -3x-12x-4 (4와 3의 부호와 자리만 바꾼다.) 따라서 a=-3, b=-1, c=-4이므로
a+b+c=-8
311
y= 2x+1x =1/x+2
그래프를 그린 후 1/2-<x-<1의 부 분만 살려 놓으면 그림과 같고, 직 선 y=ax는 a의 값에 관계없이 항상 원점을 지난다.
따라서 구하는 a의`값의 범위는 직 선 y=ax가 두 점
A(1, 3), B^(1/2, 4^)2사이를 지날 때이다.
직선의 방정식 y=ax에 점 A(1, 3)과 B^(1/2, 4^)의 좌 표를 대입하여 a의 값의 범위를 구하면 3-<a-<8
답 3-<a-<8
312
(주어진 식)2= 3(x-1)+2x-1 - 3(x+1)-1x+1 2 22 2 =3+ 2x-1 -^(3- 1
x+1 ^) 2 22 2 =3+ 2x-1 -3+ 1
x+1 2 22 2 = 2x-1 + 1
x+1 2 22 2 = 2(x+1)+(x-1)(x-1)(x+1) 2 22 2 = 3x+1
(x-1)(x+1) 2 답 3x+1 (x-1)(x+1)
313
y= 2x+42x+1 =(2x+1)+3 2x+1 2= 32x+1 +1=
3 / 2 x+1/2+1 이 함수의 그래프는 y=3/2
x , 즉 y=3/2x의 그래프를 x축의 방향으로 -1/2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행 이동한 것이므로
a=3/2,2b=-1/2, c=1
.t3`a+b+c=22 2 2 답2
314
점근선의 방정식이 x=-1, y=3이므로 주어진 함수를 y= kx+1 +32222.c3.c32㉠
2k+1k-1 =3, 2k+1=3k-3 .t3`k=4 .t3`(2f&2-1`°`g`°`f2&-1)(3)2=f2&-1(g(2f2&-1(3)))2
=f&2-1(g(4))2
=f2&-1(5) g(4)=4+1=5 또 `f`-1(5)=l로 놓으면 f(l)=5이므로
2l+1l-1 =5, 2l+1=5l-5 3l=6222.t3`l=2
.t3`(2f&2-1`°`g`°`f2&-1)(3)=f2&-1(5)=2 답 ②
323
함수 y=-2/x+2의 그래프와 직선 y=2x+k가 서로 만나지 않아야 하므로
-2/x+2=2x+k에서 -2+2x=2x^2&+kx .t3`2x^2&+(k-2)x+2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(k-2)^2&-16<0,2k^2&-4k-12<0 (k+2)(k-6)<0222.t3`-2<k<6
따라서 구하는 정수 k는 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5로 그 개
수는 7이다.2 답7
324
주어진 함수의 그래프는 함수 y=5/x의 그래프를 x축의 방향 으로 p, y축의 방향으로 2만큼 평 행이동한 그래프이므로 점근선의 방정식은 x=p, y=2이다.
p-<0이면 곡선 y= 5x-p +2는 반드시 제3사분면을 지나므로 p>0이다.
(ⅰ) x>p인 범위에서 함수의 그래프는 제1사분면만을 지난다.
(ⅱ) x<p일 때 주어진 함수의 그래프가 제3사분면을 지나지 않기 위해서는 x=0일 때 y의 값은 0 이상 이 되어야 한다.
5
/-p+2>0, -5/p>-2 2 2p>5222.t3`p>5/2
따라서 조건을 만족시키는 최소의 정수 p는 3이다.
답 ①
318
x-x+2/x`
x+1 =x^&-x-2
x(x+1) =(x-2)(x+1) x(x+1) = x-2x
답 ①
319
주어진 식의 좌변을 변형하면
^(1/x-`1x/+1^)+^(`1x/+1-`1x/+3^)+^(`1x/+3-`1x/+5^)
=1/x-`1x/+5
분모를 0으로 만들지 않는 모든 실수 x에 대하여 x^&+5x =5 a
x^&+bx이므로 a=5, b=5이다.
.t3`a+b=102 답 ⑤
320
x+y6 =y+z 8 =z+x
10 =3x+2y-z
a =k`(knot=0) 로 놓으면
x+y=6k, y+z=8k, z+x=10k2 .c3.c3 ㉠
3x+2y-z=ak .c3.c3 ㉡
㉠의 각 변을 더하면
2(x+y+z)=24k222.t3`x+y+z=12k .t3`x=4k, y=2k, z=6k
이것을 ㉡에 대입하면 12k+4k-6k=ak
.t3`a=10 답 ⑤
321
점근선의 방정식이 x=2, y=3이므로 주어진 함수를 y= kx-2 +3222.c3.c32㉠
으로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 4= k0-2 +3222.t3`k=-2
k=-2를 ㉠에 대입하면 y=- 2x-2 +3=3x-8
x-2
따라서 a=-2, b=3, c=-8이므로
a+b+c=-72 답 ③
322
(2f&2-1`°`g`°`f&2-1)(3)=f&2-1(g(2f2&-1(3))) 이때 `f`-1(3)=k로 놓으면2f(k)=3이므로
Ⅴ. 함수와 그래프 33 328
점 P의 좌표를 (a, b)라 하면2b= 2a-1 +2이므로 직사각형 PRSQ의 둘레의 길이 2(PR+PQ)는 2(a-1)+2(b-2)
->2▣~2(a-1)\2(b-2)~
=2▒~2(a-1)\`4a/-1~=4rt2
(단, 등호는 a-1=b-2일 때, 즉 a=1+rt2, b=2+rt2일 때 성립한다.)
따라서 직사각형 PRSQ의 둘레의 길이의 최솟값은 4rt2
답4rt2