4. 시뮬레이션 및 결과 분석
4.2 위상 변화된 신호에 대한 시뮬레이션
송신기에서 방출된 음파 신호는 수신기까지 전파되는 과정에서 해저면, 해수면을
비롯한 여러 환경에 의해 반사, 투과되어 위상이 변하게 되는 것은 일반적이다. 이번 절에서는 간단한 환경에 대한 반사 신호를 모의하고 반사되어 수신된 신호의 시간 지연을 추정하는 시뮬레이션을 보인다.
해수면에서 반사된 신호에 대한 시뮬레이션 환경은 Fig.13과 같다. 여기서
, 의 물성치를 가진 해수로 가정하였고 해수면의 경우 파도에 의한 굴곡이 없이 평평하며 공기의 물성치는 , 로 가정하였다. 송신기와 수신기의 깊이는 각각 , 로 설정하였으며, 송신기와 수신기의 수평 거리는 로 설정하였다.
Fig.13 Environmental conditions of the simulation for the surface reflection
해수면에 대한 입사각과 반사각은 반사의 법칙에 의거하여 같아야 하므로 시뮬레이션 환경의 경우 입사각과 반사각은 45°임을 알 수 있다.
시뮬레이션 신호를 모의하기 위해 해수면에 대한 반사계수와 반사로 인한 위상의 변화는 다음과 같다.
ℝ cos cos
cos cos
(29)
tan
coscos
(30)식(29)와 식(30)에서 는 입사각, 은 굴절각이며 이는 스넬의 법칙에 근거하여 쉽게 계산할 수 있다. 과은 입사하는 매질의 밀도와 음속, 와은 반사 또는 굴절되는 매질의 밀도와 음속을 의미한다. 해수면의 반사파에 대한 시뮬레이션 환경에서는 ℝ≈ 로 전반사이며, ≈ 로 위상의 변화가 있음을 알 수 있다.
Fig.14 Source signal in simulation
시뮬레이션에서 모의한 송신신호는 Fig. 14와 같이 중심주파수 1.5 kHz의 해밍 윈도우가 적용 된 CW신호이며 신호 길이는 5파장이다. 수신 신호는 상대적으로 경로가 짧은 직접경로의 신호와 반사된 신호가 모의되었으며 반사된 신호의 경우 반사로 인한 위상변화가 고려되었음을 Fig.15를 통해 확인할 수 있다. 시뮬레이션의 목적은 시간 지연 추정 방법에 대한 검증 빛 성능 비교이므로 모의한 수신 신호는 전달 손실 및
반사 손실 등의 에너지 손실이 없으며 동일한 파워와 SNR로 가정하였다.
Fig.15 Received signal in simulation for the surface reflection
반사파의 위상 변화를 쉽게 확인 할 수 있도록 Fig.15(a)의 확대한 결과를 Fig. 15(b)에 도시하였다. 두 경로의 수신신호에 대한 시간추정 결과는 Fig.16과 Table 4를 통하여 확인 할수 있다.
Table 4를 통해 송신기와 수신기 사이의 거리를 계산하여 산정한 지연시간과 시간 추정 방법을 이용하여 구한 추정값의 오차가 없음을 알 수 있다. 상호 상관과 힐베르트 변환의 부호 변환점을 이용한 시간 추정방법에서 오차가 없는 이유는 반사되어 수신된 신호의 경우 위상의 변화가 발생하였지만 식(20)과 식(22)를 통해 위상의 변화가 인 경우는 위상의 변화가 없는 것과 부호만 다름을 알 수 있고, 이는 시간 지연 추정에 영향을 주지 않기 때문이다. 포락선을 이용한 시간 추정의 경우 식(27)을 통해 확인 하였듯이 위상의 변화에 영향을 받지 않기 때문에 오차가 없음을 알 수 있다.
Fig.16 Output of estimates for surface reflected wave (a) Cross-correlation (b) Zero-crossing of Hilbert-transform (c) Envelope of cross-correlation (d) Hilbert-transform of envelope
Table 4 Time delay estimates for surface reflection Time Delay1
(
)Error 1
∆
Time Delay2 (
)Error 2
∆
Cross-correlation 0.0728 0.0000 0.0999 0.000
Zero-crossing of
Hilbert-transform 0.0728 0.0000 0.0999 0.000
envelop 0.0728 0.0000 0.0999 0.000
Hilbert-transform
of envelope 0.0728 0.0000 0.0999 0.000
해수면에 대한 반사의 경우 해수와 공기의 밀도차가 클 뿐만 아니라 음속의 차이도 크기 때문에 일반적으로 전반사로 생각하는 것이 일반적이다. 하지만 해저면의 경우 해수면과 달리 밀도와 속도의 비와 신호의 입사각도에 따라 전반사 발생 여부가 결정되어진다. 해저면 반사에 대한 시뮬레이션 환경은 해수면부터 해저면까지의 깊이는
로 가정하였으며 송신기와 수신기의 깊이와 각각 , 이며 수평거리는
로 설정하였으며 Fig.17은 이러한 환경을 보인다.
Fig.17 Environmental conditions of the simulation for the bottom reflection
해저면의 밀도와 음속은 , 음속 이며 송신 신호는 해수면 반사의 경우와 동일한 5파장 길이의 중심주파수 1.5 kHz의 해밍 윈도우가 적용 된 CW신호를 사용하였다. 시뮬레이션 환경의 밀도와 음속은 식(29)와 식(30)을 통해 Fig.18과 같은 입사각도에 따른 반사계수와 Fig.19의 반사에 따른 위상변화를 결정한다.
임계각보다 큰 입사각의 경우 전반사 현상에 대하여 Fig.18에서 반사계수를 1로 나타내었지만 실제 반사계수는 복소수의 크기가 1이고 위상이 변하게 된다. 시뮬레이션 환경에서 반사파의 입사각이 임계각인 약 36.87°보다 큰 45°이므로 전반사이며, 이때 위상의 변화가 만큼 발생함을 알 수 있다. 위상이 변화된 반사신호와 직접경로의 신호는 Fig.20에서 볼 수 있다.
Fig.21과 Table 5는 Fig.20의 두 신호에 대한 시간 지연 추정을 각각의 방법에 따라 시뮬레이션 한 결과이다.
Fig.18 Reflection coefficient Fig.19 Reflection phase change
Fig.20 Received signal in simulation for the bottom reflection
Table 5 Time delay estimates for bottom reflection Time Delay1
(
)Error 1
∆
Time Delay2 (
)Error 2
∆
Cross-correlation 0.06502 0.0000 0.08857 0.0006 Zero-crossing of
Hilbert-transform 0.06502 0.0000 0.08857 0.0006
envelop 0.06502 0.0000 0.08862 0.0000
Hilbert-transform
of envelope 0.06502 0.0000 0.08862 0.0000
Fig.21 Output of estimates for bottom reflected wave (a) Cross-correlation (b) Zero-crossing of Hilbert-transform (c) Envelope of cross-correlation (d) Hilbert-transform of envelope
Table 5에서 확인 할 수 있듯이 상호 상관을 이용한 방법과 힐베르트 변환을 이용한 방법은 위상이 변한 신호에 대해 오차가 발생하였다. 0.1 ms 단위의 오차 크기가 주기의 1/12을 반올림 한 값과 같음은 위상이 만큼 변화되었기 때문에 오차가 발생하였음을 나타낸다. 반면에 시뮬레이션 결과를 통해 반사된 신호만 위상이 변한 경우에도 포락선을 이용한 방법과 포락선의 힐베르트 변환을 이용한 방법 모두 시간 지연 추정의 정확도가 높음을 확인 할 수 있다.
제 5 장 결론
음향 신호 처리에서 시간 지연 추정은 다양한 분야에서 현재 많이 이용되고 있지만 정확한 시간 지연 추정은 이루지 못하고 있기에 수십년 전부터 오늘날 까지 많은 연구 가 이루어지고 많은 알고리즘과 방법이 제시되고 있다.
음향 신호 처리를 위해 아날로그 신호를 디지털 신호로 변환 및 저장할 때 발생하는 샘플링 주기에 의한 문제점은 다양한 보간법과 FFT 알고리즘이 개발됨에 따라 더 나은 시간 지연 추정치를 도출 할 수 있게 되었지만 보간법의 경우 계산 과정의 간단함에 반 해 신호 대 잡음비가 좋지 못하는 경우 오차의 크기 커지는 단점이 있고 FFT 프루닝과 같은 FFT 알고리즘의 변환은 모든 상관함수 샘플을 필요로 하며 계상 과정이 복잡한 단점을 지고 있다(Tamim & Ghani, 2009). 또한 위상 변화 된 신호는 물체의 특성을 조 사하는데 중요하게 이용되지만 시간 지연 추정의 경우 오차를 발생하게 하는 요인 중 하나이다.
본 논문에서는 시간 지연 추정에서 위상 변화된 신호와 샘플링 주기에 의한 문제점을 보완한 시간 지연 추정 방법에 대하여 수학적으로 제시하고 제시한 방법을 통해 상호 상관과 힐베르트 변환을 이용한 방법에 비해 성능이 개선되었음을 시뮬레이션 수행 결 과로 보였다.
높은 신호 대 잡음비의 경우 신호와 소음의 구분이 쉬울뿐더러 수신 신호와 송신 신 호와의 유사성이 크기 때문에 포락선을 이용한 방법과 상호 상관을 이용한 방법의 차이 는 매우 작았다. 하지만 신호 대 잡음비가 낮아질수록 수신 신호와 송신 신호간의 유사 성이 작아짐에 따라 오차가 커지는 반면 포락선을 이용한 경우 오차의 증가율이 상대적 으로 작음을 확인 할 수 있다. 힐베르트 변환의 부호 변환점의 경우 좀 더 오차율이 줄 어듬을 확인 할 수 있는데 이러한 이유는 실제 지연 시간의 포인트가 샘플링 주파수의 문제로 인해 정확하지 못하여 두 신호가 정확하게 겹쳐지지 않는 경우이다. 즉, 디지털 신호의 샘플링 간격으로 인해 실질적인 포락선 또는 상관과계의 최대값이 되는 기록되
지 못하는 문제의 경우 힐베르트 변환의 부호 변환점을 이용한 방법으로 개선 가능함을 알 수 있다.
또한 위상 변화된 신호의 경우 상호 상관과 힐베르트 변환을 이용한 추정의 경우 소 음이 없음에도 불구하고 위상의 변화에 따른 오차가 일정하게 발생함을 알 수 있다. 반 면에 포락선을 이용한 방법의 경우 시뮬레이션 결과를 통해 위상의 변화에 관계없이 시 간 지연 추정이 가능함을 알 수 있고 이는 수학적으로도 증명하였다.
본 논문에서는 많은 환경적 요소와 시간 지연 추정에 오차를 발생하는 많은 요소 중 소음의 세기와 위상 변화, 데이터 샘플링 간격에 의한 문제를 보완하기 위한 방법을 제 시하였다. 많은 요소 중 극히 일부만 고려된 방법이지만 작은 수조에서의 실험과 같은 환경적 변화가 작은 실험에서 적용하였을 경우 매우 유용할 것이다.
참고문헌
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IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2005.
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pp. 809-814. IEEE.[5] Moghaddam, P. H., & Amindavar, H. 1998. A new algorithm for multipath time delay estimation in low SNR using MLE method.
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pp. 35-38. IEEE.[6] Salam, A. O. A. 1998. Assessment on Using The Hilbert-Transform for Time Delay Estimation.
Proceedings IWSSIP'98,
pp. 266-276.[7] Cabot, R. 1981. A note on the application of the Hilbert transform to time delay estimation.