수학
[논제 I-1] 구간 에서 각 반구의 부피가 , 이므로, 입체의 부피 는 다음과 같다.
그러나 구간 에서는 아래 반구가 없어지므로, 입체의 부피는 이다.
이를 종합하면, 입체의 부피 는 아래와 같다.
[논제 I-2] 적어도 하나의 반지름이 보다 크거나 같아야 하므로, 인 에 대해서만 고려한
다. 다음으로, 두 반구의 위치관계를 이해하기 위해서 오른쪽 그림에서처럼 이 되는 시각 를 구한다.
[그림 1] [그림 2] [그림 3]
두 반구의 형태는,
인 경우 (그림 1), 인 경우 (그림 2), 인 경우 (그림 3) 등의 3가지로 표현될 수 있다.
(i) 인 경우, (그림 1)에서처럼 이고 이다.
(ii) 인 경우, (그림 2)에서와 같이 변수 를 설정하면 이고 가 된다.
피타고라스 정리를 이용하여 에 관한 방정식 을 만들면 다음과 같이 를 구할 수 있다.
따라서 이고, 이다.
(iii) 인 경우, (그림 3)에서 보는 바와 같이, 눈 반구가 얼음 반구에 완전히 포함되기 때문에
눈 반구가 모두 녹아 없어진다. 따라서 와 는 정의하지 않는다.
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경희대학교 2017학년도 논술가이드북67
논술고사 문제지_의학계열(i), (ii), (iii)을 종합하면
, 이고,
눈으로 이루어진 부분이 완전히 녹아 없어질 때의 시각은 이고,
이때 와 의 좌극한은 이다.
[논제 I-3] [논제 I-2]의 해설처럼 이후에는 두 반구 모두 녹아 없어지므로 이다. 편의상, 인 경우에 얼음과 눈으
로 구분되어 보이는 경계를 반구의 밑면과 평행한 단면으로 자르면 각각 높이가 , 인 두 개의 입체를 생각할 수 있다.
이때 높이를 로 갖는 입체의 부피를 , 높이를 로 갖는 입체의 부피를 라 하자.
(i) 인 경우, 은 반지름이 인 반구의 부피이므로 이고,
는 높이가 , 인 평면도형의 축에 대한 회전체의 부피이므로 이다.
따라서 이때 구하고자 하는 부피 는 다음과 같다.
(ii) 인 경우, 은 높이가 , 인 평면도형의 축에 대한 회전체의 부피이므로
이고, 는 위에서처럼 으로 표현된다.
따라서 구하고자 하는 부피 는 다음과 같다.
(iii) 인 경우, 반지름이 인 얼음 반구만 고려하면 되므로 이 된다.
(i), (ii), (iii)을 종합하면 입체의 부피 는 다음과 같다.
[논제 I-4] 라 하자.
(i) 인 경우, 이고 , 이므로,
합성함수의 미분법을 사용하여 를 로 미분하면
이 되어 는 항상 증가한다.
(ii) 인 경우, 이 되고,
, , , 이므로, 합성함수의 미분법을 사용하여 를 로 미분하면 다음과 같다.
따라서 는 이 범위에서 한 개의 실근 을 갖는다.
일 때는 이고, 일 때는 이므로,
이 구간에서는 에서 최댓값을 갖게 된다.
(iii) 일 경우에는 상황 1에서의 아래 반구가 있을 때와 없을 때로 나누어 생각한다.
인 경우에 이고, 가 시간 에 따라서 감소하므로, 는 항상 감소한다.
그리고 인 경우에는 이다.
는 연속함수이므로, (i), (ii), (iii)을 종합하면 에서 는 최댓값을 갖는다.
과학(물리)
[논제Ⅱ-1] 촛불은 레이저와 달리 나오는 빛의 위상이 동일하지 않다. 빛의 간섭에서는 빛의 위상이 중요하므로 두 슬릿에 들어가는 빛의 위상 을 같게 해 주기 위해 이중 슬릿 앞에 단일 슬릿을 놓아 동일한 위상을 갖게 해 줄 수 있다. (* 위에 제시한 것 외에도 적절한 장치를 제시하여 실제로 촛불로 실험하는 것을 가능하게 하는 장치를 논하는 것도 가능하다. 예시 : 촛불에서 나오는 빛의 파장은 단일하 지 않으므로 파장에 따라 다른 간섭무늬가 서로 겹친 형태의 무늬를 스크린에 만든다. 따라서 단일한 파장이 이중 슬릿을 통과하게 하려면 색 필터와 같은 장치가 필요하다. 촛불은 그 빛의 밝기가 어두우므로 외부의 빛을 차단하기 위한 장치가 필요하다.) 전자가 높은 에너지 준위에 있을 때 외부에서 에너지 준위 차이만큼의 에너지를 가진 빛을 쪼여주면 높은 에너지 준위의 전자가 낮은 에너지 준위로 전이 되면서 방향, 파장, 위상이 같은 빛을 방출하는데 이를 유도방출이라 한다. 레이저는 유도방출에 의해 빛 을 증폭한 것이기 때문에 레이저에서 나온 빛은 위상이 모두 같다. 따라서 이중 슬릿 앞에 단일 슬릿이 없어도 이중 슬릿 실험을 할 수 있다. (* 레이저의 다른 특성들 예를 들어 단위 면적당 세기를 매우 크게 만들 수 있고, 동일한 진동수의 빛만을 증폭한 것이 기 때문에 단색광인 점 등을 논하는 것도 가능하다.)
[논제Ⅱ-2] 두 슬릿에서 나온 빛의 경로차는 스크린까지의 거리가 충분히 먼 경우 슬릿간격을 , 스크린까지의 거리를 ,
스크린의 중앙점으로부터의 거리를 라고 할 때 이다.
이 경로차가 파장의 정수배일 때 보강간섭이 일어나므로 밝은 무늬 사이의 간격 은 가 된다.
문제에서 밝은 무늬 사이의 간격을 측정하면 이므로 이다.
만약 이 실험을 굴절률이 1.5인 매질 안에서 한다면 매질 안에서의 빛의 파장이 인 이므로
밝은 무늬 사이의 간격도 배 만큼 줄어들어 가 된다. (* 측정에 의해 약간의 오차가 있는 경우에도 답으로 인정한다.)
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경희대학교 2017학년도 논술가이드북69
논술고사 문제지_의학계열[논제Ⅱ-3] 초기속도 으로 전기장구역 를 통과한 후 전자의 운동에너지는 전위차 에 의한 포텐셜 에너지와 같으므로, 속도
은 를 만족하고, 자기장 영역에서는 자기장이 전자에 작용하는 힘이 원운동을 가능하게 하는 구심력의 역할을 하므로
으로부터, 로 주어진다.
따라서 이 두 식으로부터 이 된다. 한편, 자기장은 전자의 운동에너지 증가분에 기여하
지 않으므로 또 다른 전기장구역 까지 모두 통과한 후에 전자의 속도를 라고하면, 의 관계
식이 성립한다. 따라서 이고, 전자의 물질파 파장 는 혹은 위에서 얻은 를 이용하면,
이다.
[논제Ⅱ-4] 폭이 인 슬릿을 통과한 전자들의 축 방향에 대한 위치 불확정성을 라고 하면, 불확정성원리로부터 축 방향에 대한
운동량 는 의 관계를 만족한다. 슬릿을 통과한 후, 전자는 축 방향에 대한 운동량의 부정확도에 의해
가량의 방향 속력의 부정확도를 가지게 된다. 슬릿에서 형광판까지 전자가 도달하는데 걸리는 시간 는
약 이므로, 전자의 물질파는 아래 그림과 같이 회절하게 된다.
[그림 4]
형광판에 도달한 전자의 분포에서 중심의 밝은 무늬의 폭 는 와 에 비례하므로 다음과 같이 추정할 수 있다.
(* 어림 계산이므로 를 로 하거나 계산에서 배 정도의 차이가 나는 것도 정답으로 인정한다.)
과학(화학)
[논제Ⅱ-1] (1) 이므로 암모늄 이온(NH4
+
)의 이온화 상수( )는 5×10-10이다. 암모니아의 농도와 암모늄 이온(NH4+
)의 농도 가 같을 때 H3O+
의 농도는 암모늄 이온(NH4+
)의 이온화 상수( )와 같으므로, 5×10-10이다. 그리고, pH와 H3O+
의 농도의 관 계는 ([H3O+
])이므로, 25°C에서 암모니아의 농도와 암모늄 이온(NH4+
)의 농도가 같을 때의 pH는 9.301이다.(2) 에틸렌다이아민(L)이 수용액에서 평형 상태에 있을 때, 수용액에는 L, LH
+
, LH22+
의 세 가지 형태로 존재할 수 있다고 했으 므로, 초기(또는 전체) 에틸렌다이아민의 농도는 [L], [LH+
], [LH22+
]의 합이다(또는 초기 에틸렌다이아민의 농도는 [L], [LH+
], [LH22+
]의 합이다). 따라서, 초기 에틸렌다이아민에 대한 LH+
의 농도비는 [LH+
]/([L]+[LH+
]+[LH22+
)이다. 이를 아래와 같이 정 리해서, 초기(또는 전체) 에틸렌다이아민에 대한 LH+
의 농도비를, H3O+
의 농도와 , 를 이용한 관계식으로 나타낼 수 있다.또는
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경희대학교 2017학년도 논술가이드북71
논술고사 문제지_의학계열[논제Ⅱ-2] (1) 트라이에틸아민((CH3CH2)3N)수용액으로 이산화 탄소(CO2)를 포집하면, 우선 이산화 탄소가 물에 용해되어 다음과 같은 반응 이 일어난다.
CO2(g) + H2O(ℓ) ⇄ H2CO3(aq)
생성된 탄산(H2CO3(aq))은 산으로 작용하고, 수용액에 녹아 있는 트라이에틸아민은 염기로 작용해 다음과 같은 산-염기 반응 이 일어난다.
(CH3CH2)3N(aq) + H2CO3(aq) ⇄ (CH3CH2)3N
+
H(aq) + HCO3-
(aq)(2) 이산화 탄소가 물에 용해되는 반응은 기체가 용해되어 용액이 생성되는 반응이므로 엔트로피( )의 관점에서 보면, 무질서도 가 높은 기체 상태에서 상대적으로 무질서도가 낮은 액체 상태로 변하게 된다. 또한 무질서도가 높은 기체의 개수가 정반응 쪽으로 반응이 진행되면 감소하게 된다. 따라서 이산화 탄소가 물에 녹는 반응은 엔트로피( )가 감소( )하는 반응이 다. 트라이에틸아민과 탄산의 산-염기 반응은 반응물과 생성물의 상태 변화가 없고 분자 수의 변화도 없어 엔트로피( )의 변 화가 무시할 수 있을 정도로 작다 (또는 거의 없다) ( ). 따라서 이산화 탄소의 포집이 일어나는 계의 엔트로피는 감소 ( )한다.
(3) 이산화 탄소가 물에 녹아 트라이에틸아민과 반응하여 포집되는 전체 반응은 아래와 같다.
(CH3CH2)3N(aq) + H2O(ℓ) + CO2(g) ⇄ (CH3CH2)3N
+
H(aq) + HCO3-
(aq)298 에서 이 반응은 자발적으로 일어난다. 일정한 온도에서 일어나는 반응에 대한 자유 에너지 변화는 다음과 같다.
이 반응이 자발적이 되기 위해서는 의 값이 음이어야 한다.
전체 반응의 엔트로피는 감소( )하므로,
이어야 하고,
이어야 한다.
298 에서 반응이 자발적으로 일어날 수 있는 엔탈피 변화량의 조건은
이다.
엔탈피 변화량( )이 이라면, 반응이 자발적으로 일어날 수 있는 온도 조건은
이다.
과학(생명과학)
[논제 Ⅱ-1] 제시문 [마]에서 암 발생의 원인은 직접적인 암을 유발하는 유전자의 돌연변이뿐만 아니라 암을 억제하는 유전자의 기능이 잘못 되어 나타나기도 하며, 암을 치료하기 위해서는 암 관련 유전자들과 이와 상호 작용하는 많은 단백질들 간의 네트워크를 이해해 야 한다고 주장한다. 제시문 [바]에서는 유전 질환의 원인으로 하나의 유전자가 단일 질환을 유발하는 경우는 소수이며, 두 개 이 상의 유전자가 관여하고 있고, 유전 요인 이외에 환경 요인들이 질병의 발생에 상당한 영향을 준다는 점을 역설한다. 반면, 제시문 [가]∼[라]에 나타난 현대 생명 공학 기술은 유전 정보와 이에 기초한 단일 유전자의 돌연변이에 집중되어 있음을 알 수 있다. 따라 서 현대 생명 공학 기술은 여러 유전자와 이에 상호 작용하는 많은 단백질들의 네트워크라는 관점에서 바라보지 못하고 있으며, 환경 요인, 유전자와 환경 사이의 상호 작용을 고려하지 못하고 있다.
[논제 Ⅱ-2] 유전자 검사를 통해 특정 질병이 발병할 가능성을 알게 된다면 그 질병의 발병을 예방하거나 미리 대비할 수 있는 혜택이 있다. 가 령 식습관 등의 환경 요인을 개선하여 발병 가능성을 낮추거나 유전자 치료 등 적극적인 대응 방안을 모색할 수 있다. 하지만 질 환의 발생이 하나의 특정 유전자 돌연변이로만 유발되는 것이 아니라 관련된 여러 가지 유전자들이 상호 작용을 하고 있으며, 또 한 환경 요인에 따라 발병 여부가 영향을 받기 때문에 현재의 기술로는 모든 질환에 대한 발병 가능성을 검사할 수는 없다. 더구
[논제 Ⅱ-2] 유전자 검사를 통해 특정 질병이 발병할 가능성을 알게 된다면 그 질병의 발병을 예방하거나 미리 대비할 수 있는 혜택이 있다. 가 령 식습관 등의 환경 요인을 개선하여 발병 가능성을 낮추거나 유전자 치료 등 적극적인 대응 방안을 모색할 수 있다. 하지만 질 환의 발생이 하나의 특정 유전자 돌연변이로만 유발되는 것이 아니라 관련된 여러 가지 유전자들이 상호 작용을 하고 있으며, 또 한 환경 요인에 따라 발병 여부가 영향을 받기 때문에 현재의 기술로는 모든 질환에 대한 발병 가능성을 검사할 수는 없다. 더구