연립방정식 ( { - Ⅲ . 부등식과 연립방정식

y=2x-4

y=-x+;2!;을 풀면 x=;2#;, y=-1

두 일차함수 y=2x-4, y=-x+;2!;

의 그래프의 y절편은 각각 -4, ;2!;이므로 구하는 도형의 넓이는 ;2!;_;2(;_;2#;=;;ª8¦;;

15

^y=-;3!;x+2에 y=0을 대입하면 0=-;3!;x+2에서 x=6

∴ A(6, 0)

y=-;3!;x+2에 x=0을 대입하면 y=2 ∴ B(0, 2)

∴ △ABO=;2!;_6_2=6

두 직선 y=-;3!;x+2와 ax+y=0의 교점을 C라 하면

△ACO=3이므로 점 C의 y좌표를 k라 하면

;2!;_6_k=3 ∴ k=1

y=-;3!;x+2에 y=1을 대입하면 x=3 즉, 직선 ax+y=0이 점 (3, 1)을 지나므로 3a+1=0 ∴ a=-;3!;

ZÅY 0

# A

" A

$ L

BYZ

2

① 0.H0H2 ③ 0.3H3H8 ④ 1.H23H1 ⑤ 1.H65H1

6

^①^{;3!0!;= 11}2_3_5 ② ;1ª0Á5;=;5!; ③ ;9@1^;=;7@;

④ 42Û`_3=;3!; ⑤ 36

2_3Û`_5Ü`= 2 5Ü`

따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ②, ⑤이다.

4

;7#;=0.H42857H1 yy`①

50=6_8+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는

순환마디의 2번째 숫자인 2이다. yy`②

따라서 소수점 아래 첫째 자리의 숫자부터 소수점 아래 50 번째 자리의 숫자까지의 합은

(4+2+8+5+7+1)_8+4+2=222 yy`③

단계 채점 기준 비율

① ;7#;을 순환소수로 나타내기 20`%

② 소수점 아래 50번째 자리의 숫자 구하기 40`%

③ 소수점 아래 첫째 자리의 숫자부터 소수점 아래 50번째

자리의 숫자까지의 합 구하기 40`%

7

^;3÷0;=2_3_5 이므로 ;3÷0;이 유한소수가 되려면 n은 3의 ⁿ 배수이어야 한다.

따라서 1에서 29까지의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9, y, 27의 9개이므로 유한소수가 되는 분수는 9개이다.

3

^①;3%;=1.H6 ⇨ 1개 ② ;9@;=0.H2 ⇨ 1개

③ ;1£1;=0.H2H7 ⇨ 2개 ④ :ª9£:=2.H5 ⇨ 1개

⑤ ;3@;=0.H6 ⇨ 1개

8

²¹_{5Ü`_a} 이 유한소수가 되려면 a는 소인수가 2나 5뿐인 수 또 는 21의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.

따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②, ③이다.

11

1000x=245.555y, 100x=24.555y이므로 가장 편리한 식은 ⑤ 1000x-100x이다.

9

^;28A0;=_{2Ü`_5_7}^a 이므로 a는 7의 배수이어야 하고 기약분수 로 고치면 ;b#;이므로 a는 3의 배수이어야 한다.

즉, a는 7_3=21의 배수이고 50 이하의 짝수이므로

a=42 yy`①

a=42일 때, ;2¢8ª0;=;2£0;이므로 b=20 yy`② 따라서 a=42, b=20이므로 a-b=42-20=22 yy`③

단계 채점 기준 비율

① a의 값 구하기 70`%

② b의 값 구하기 20`%

③ a-b의 값 구하기 10`%

12

^{① 0.H4H7=};9$9&; ② 0.H34H5=;9#9$9%;=;3!3!3%;

③ 0.H2H6=;9@9^; ④ 1.H8H9= 189-199 =;;;Á9¥9;*;

⑤ 0.5H3H6=536-5990 =;9%9#0!;=;1°1»0;

5

^{;12@5;= 2}_5Ü`^{= 2_2Ü`}_{5Ü`_2Ü`}^{= 16}_10Ü`이므로 a의 최솟값은 16, n의 최 솟값은 3이다.

따라서 a+n의 최솟값은 16+3=19

10

^{③ 90}

13

^②x=0.1H1H7이고 100-1=2_49+1이므로 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 순환마디의 첫 번째 숫자인 1이다.

③ 1000x=117.1717y, 10x=1.1717y이므로 1000x-10x의 값은 정수이다.

④ 0.1H1H7= 117-1990 =;9!9!0^;=;4°9¥5;

⑤ x는 순환소수이므로 유리수이다.

1

^{④ p는}_{(0이 아닌 정수)}^(정수) 꼴로 나타낼 수 없으므로 유리수가 아니다.

1

^④

2

^②

3

^③

4

²²²

④

26

②

27

④

28

②

29

30

^④

중간 모의고사

개념익힘탑 81~84쪽

개념익힘탑

14

0.4H5= 45-490 =;9$0!;= 41 2_3Û`_5

따라서 a는 3Û`=9의 배수이어야 하므로 가장 작은 자연수 a는 9이다.

24

원기둥 A의 부피는

p_(ab)Û`_9aÛ`=p_aÛ`bÛ`_9aÛ`=9paÝ`bÛ` yy`① 원기둥 B의 부피는

p_(3aÛ`)Û`_2bÛ`=p_9aÝ`_2bÛ`=18paÝ`bÛ` yy`② 따라서 두 원기둥의 부피의 비는

9paÝ`bÛ`：18paÝ`bÛ`=1`:`2 yy`③

단계 채점 기준 비율

① 원기둥 A의 부피 구하기 40`%

② 원기둥 B의 부피 구하기 40`%

③ 두 원기둥의 부피의 비 구하기 20`%

15

^x=0.H2H7=;9@9&;=;1£1;이므로

;[!;=:Á3Á:, 1-;[!;=1-:Á3Á:=-;3*;, 1

1-;[!;=-;8#;

∴ 1- 1

1-;[!;=1-{-;8#;}=1+;8#;=:Á8Á:

16

③ 정수가 아닌 유리수에는 유한소수와 순환소수가 있다.

④ 정수는 모두 유리수이다.

20

^2Þ`_5⁸=2Þ`_5Þ`_5Ü`=5Ü`_(2_5)Þ`=125_10Þ`

따라서 2Þ`_5⁸은 8자리의 자연수이므로 n=8

28

(주어진 식)= 3xÜ`-6xÛ`+3x-3x -(x-2)(-3x)

=-xÛ`+2x-1+3xÛ`-6x=2xÛ`-4x-1 따라서 a=2, b=-4이므로 a+b=2+(-4)=-2

17

① aÛ`_aÞ`=aà` ② (aÜ`)Ý`=aÚ`Û`

④ (abÛ`)Ü`=aÜ`bß` ⑤ {:£b:}Û`=9aÛ`bÛ`

25

(a+2)x+(-3-b)y+23=-5x+10y+c이므로 a+2=-5, -3-b=10, 23=c

따라서 a=-7, b=-13, c=23이므로 a+b+c=-7+(-13)+23=3

22

^(aÜ`b^x^)Ü`Ö(a^ybÝ`)Û`= aá`b^3x

a^2yb⁸=aÜ`bà`이므로 9-2y=3 ∴ y=3

3x-8=7 ∴ x=5

∴ x+y=5+3=8

21

ㄱ. (aÜ`)Þ`_aÛ`=aÚ`Þ`_aÛ`=aÚ`à`

ㄷ. (-2xyÛ`)Ý`=16xÝ`y⁸

ㅁ. (6aÛ`bÜ`)Û`Ö(-3abÛ`)Ü`=36aÝ`bß`_{- 127aÜ`bß` }=-;3$;a 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

29

^{(주어진 식)}

=(6xÛ`-3xy)_{- 23x }-{6xy+;3$;yÛ`}_{- 32y }

=-4x+2y+9x+2y=5x+4y

=5_(-1)+4_2=3

19

^{-2x_{yÜ` }}^a ^b^{= (-2)}_y^3b^b^x^ab^{= -8xß`}_y^c ^이므로

(-2)^b=-8, ab=6, 3b=c ∴ a=2, b=3, c=9

∴ a+b+c=2+3+9=14

18

⁸^x+2^=(2Ü`)^x+2⁼²^3x+6^=2ß`_2^3x^=2ß`_(2^x^)Ü`=64aÜ`

27

^{(주어진 식)}

=12xÛ`-{3x-1-(6-2x-8xÛ`+5x-1-2x)}

=12xÛ`-{3x-1-(-8xÛ`+x+5)}

=12xÛ`-(3x-1+8xÛ`-x-5)

=12xÛ`-(8xÛ`+2x-6)

=12xÛ`-8xÛ`-2x+6

=4xÛ`-2x+6

26

어떤 식을 라 하면

-(2xÛ`+3x-2)=-6xÛ`+4x-3

∴ =-6xÛ`+4x-3+(2xÛ`+3x-2)=-4xÛ`+7x-5 따라서 바르게 계산하면

-4xÛ`+7x-5+(2xÛ`+3x-2)=-2xÛ`+10x-7

23

(주어진 식)=(-8xÜ`yá`)_ 1

-4xÜ`yÛ`_ 9xÝ`

yß` =18xÝ`y 따라서 a=18, b=4, c=1이므로

a-b-c=18-4-1=13

30

30

^④

기말 모의고사

개념익힘탑 85~88쪽

7

공책을 x권 산다고 하면

700x>600x+2000, 100x>2000 ∴ x>20

따라서 공책을 적어도 21권 이상 살 경우 할인매장에서 사 는 것이 유리하다.

8

x곡을 내려받는다고 하면 2000+80(x-30)É3000 2000+80x-2400É3000, 80xÉ3400 ∴ xÉ:¥2°:

따라서 최대 42곡까지 내려받을 수 있다.

9

x, y가 자연수일 때, 3x+2y=20의 해는 (2, 7), (4, 4), (6, 1)의 3개이다.

11

^[7x-y-1=5x+2

5x+2=4x+y+2에서 [2x-y=3 yy ㉠ x-y=0 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 x=3 x=3을 ㉡에 대입하면 y=3

따라서 x=3, y=3을 2x+ay=12에 대입하면 6+3a=12 ∴ a=2

3

ㄱ. 3x-9<0 ㄴ. 10¾0 ㄷ. -2x-1¾0 ㄹ. 2xÛ`-4x>0 ㅁ. xÛ`+1¾0 ㅂ. -x-2<0 따라서 일차부등식은 ㄱ, ㄷ, ㅂ의 3개이다.

1

⑤ 부등식의 양변을 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀌 므로 a<b, c<0이면 ;cA;>;cB;이다.

12

^[^bx+ay=0_ax+by=-3에 x=2, y=1을 대입하면 [a+2b=0 yy ㉠

2a+b=-3 yy ㉡

㉠_2-㉡을 하면 3b=3 ∴ b=1

b=1을 ㉠에 대입하면 a+2=0 ∴ a=-2

즉, a=-2, b=1 yy`①

따라서 처음 연립방정식은 [-2x+y=0 yy ㉢ x-2y=-3 yy ㉣

㉢+㉣_2를 하면 -3y=-6 ∴ y=2 y=2를 ㉣에 대입하면 x-4=-3 ∴ x=1

따라서 처음 연립방정식의 해는 x=1, y=2이다. yy`②

단계 채점 기준 비율

① a, b의 값 구하기 60`%

② 처음 연립방정식의 해 구하기 40`%

4

3x-2É5x+4에서 -2xÉ6 ∴ x¾-3 따라서 해를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ②이다.

10

⁽^{

;2{;=y-23

5(x+y)=3(x-3)

에서 [3x-2y=-4 yy ㉠ 2x+5y=-9 yy ㉡

㉠_2-㉡_3을 하면 -19y=19 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면

3x+2=-4, 3x=-6 ∴ x=-2

따라서 x=-2, y=-1을 x-y=a-2에 대입하면 -2-(-1)=a-2 ∴ a=1

2

-2<x<4의 각 변에 -2를 곱하면 -8<-2x<4 각 변에 1을 더하면 -7<1-2x<5

따라서 a=-7, b=5이므로 a+b=-7+5=-2

6

8-9xÉa-3x에서 -6xÉa-8 ∴ x¾ 8-a6 이때 해 중 가장 작은 수가 1이므로

8-a6 =1, 8-a=6 ∴ a=2

5

8-x¾8(x-2)에서 8-x¾8x-16 -9x¾-24 ∴ xÉ;3*;

따라서 xÉ;3*;을 만족하는 자연수 x는 1, 2의 2개이다.

개념익힘탑

13

^[^ax+4y+1=03x-(b+2)y-1=0에서 [ax+4y+1=0

-3x+(b+2)y+1=0 따라서 a=-3, 4=b+2에서 a=-3, b=2

∴ a-b=-3-2=-5

14

민정이의 중간고사와 기말고사의 수학 점수를 각각 x점, y점이라 하면

({

y-x=4 x+y2 =89

에서 [-x+y=4

x+y=178 ∴ x=87, y=91 따라서 중간고사 수학점수는 87점이다.

21

f(x+2)-f(x-1)=-12이므로

`f(x+2)-f(x-1)

(x+2)-(x-1) =`f(x+2)-f(x-1)

3 =-123 =-4 즉, y=f(x)의 그래프의 기울기는 -4이고, f(0)=5이므로 y절편은 5이다.

∴ f(x)=-4x+5

15

희수가 걸은 거리를 x`km, 달린 거리를 y`km라 하면 ({

x+y=;2%;

;4{;+;7};=;2!;에서 [2x+2y=5

7x+4y=14　　∴ x=;3$;, y=;6&;

따라서 희수가 달린 거리는 ;6&;`km이다.

24

주어진 직선은 두 점 (5, 0), (0, 3)을 지나므로 기울기는 -;5#;이고 y절편이 3이다. 따라서 이 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은

y=-;5#;x+3 yy ㉠

18

① y=x_2=2x

② y=x_3=3x

③ y=;1£0¼0;x=;1£0;x

④ 52=x_5+y에서 y=-5x+52

⑤ ;2!;_x_y=10에서 y=20x 따라서 일차함수가 아닌 것은 ⑤이다.

22

y=ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 5), (5, 1)을 지나므로 [5=-3a+b

1=5a+b ∴ a=-;2!;, b=;2&;

따라서 y=;2&;x-;2!;의 그래프가 점 (3, -2k)를 지나므로 -2k=;2&;_3-;2!; ∴ k=-5

16

6`%인 소금물의 양을 x`g, 증발시킨 물의 양을 y`g이라 하면 ({

x-y=400

;10^0;x=;10(0;_400에서 [x-y=400 x=600

∴ x=600, y=200

따라서 물 200`g을 증발시키면 된다.

19

y=-x+2의 그래프의 y절편은 2이고, y=;4%;x-10의 그 래프의 x절편은 8이므로 구하는 일차함수의 그래프는 두 점 (8, 0), (0, 2)를 지난다.

(기울기)= 2-00-8 =-;4!;이므로 일차함수의 식은 y=-;4!;x+2이다.

① 3=-;4!;_(-4)+2

23

y=-4x+a-5의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로 2=-4_(-2)+a-5, 2=3+a ∴ a=-1 yy`① 따라서 y=-4x-6의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평 행이동한 그래프의 식은 y=-4x-6+b

이때 y=-4x-6+b의 그래프가 y=cx-2의 그래프와 일치하므로

-4=c, -6+b=-2 ∴ b=4, c=-4 yy`②

∴ a+b+c=-1+4+(-4)=-1 yy`③

단계 채점 기준 비율

① a의 값 구하기 30`%

② b, c의 값 구하기 60`%

③ a+b+c의 값 구하기 10`%

17

15를 3으로 나눈 나머지는 0이므로 f(15)=0 16을 3으로 나눈 나머지는 1이므로 f(16)=1 17을 3으로 나눈 나머지는 2이므로 f(17)=2

∴ f(15)+f(16)+f(17)=0+1+2=3

20

^y=;3@;x-4의 그래프의 x절편은 6, y절편은 -4이고,

y=ax-4의 그래프의 x절편은 ;a$;, y절편은 -4이므로 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 색칠한 부분이므로

;2!;_{6-;a$;}_4=16 ∴ a=-2

ZBYZ

0 Y

Z!Y

@

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