연구의 목적을 실행하기 위하여 중학교 7, 8, 9단계 전과정의 함수단원 학습자료 지도요소를 <표 Ⅲ-3>와 같이 작성하였으며, 그에 따라 개발한 학습자료들은 일 선의 교사들의 교수-학습자료의 활용을 위해 <부록 2>에 제시하였다. 그리고 개 발한 학습자료를 교수-학습활동에 적용하기 위하여 학습지도안을 작성하여 수업 을 실시하였다. 학습자료 중 ‘학습자료 Ⅰ-3 y = ax(x≠0) 의 그래프’와 ‘학습자료
Ⅰ-5 y = ax ( x≠0) 의 그래프’를 학습지도안과 같이 일례를 제시한다.
1) 함수단원 학습자료 지도요소
<표 Ⅲ-3> 함수단원 학습자료 지도요소 단
계 단 원 차
시 지 도 내 용 학습
자료명
7 단 계
2. 함수의 그래프 2 순서쌍과 좌표 Ⅰ-1
〃 1 y = ax의 그래프 그리기 Ⅰ-2
〃 1 y = ax의 그래프의 성질 Ⅰ-3
y = ax의 그래프(애니메이션) Ⅰ-4
〃 1 y =a
x 의 그래프 그리기 Ⅰ-5
〃 1
y =a
x 의 그래프의 성질 Ⅰ-6
y =a
x 의 그래프(애니메이션) Ⅰ-7
〃 2 함수의 활용
(정비례, 반비례 함수의 그래프) Ⅰ-8
8 단 계
1. 일차함수와 그래프 1 y = ax+b의 그래프 Ⅱ-1 y = ax+b의 그래프(애니메이션) Ⅱ-2
〃 1 일차함수 그래프의 x 절편, y 절편 Ⅱ-3
〃 1 일차함수 그래프의 기울기 Ⅱ-4
〃 1 기울기와 y 절편을 이용한 그래프 그리기 Ⅱ-5
2. 일차함수의 활용 1 일차함수와 일차방정식 Ⅱ-6
9 단 계
1. 이차함수와 그래프 1 y = x2과 y =- x2의 그래프 그리기 Ⅲ-1
〃 1 y= ax2의 그래프 Ⅲ-2
y= ax2의 그래프(애니메이션) Ⅲ-3
〃 1 y = ax2+q 의 그래프 Ⅲ-4
y = ax2+q 의 그래프(애니메이션) Ⅲ-5
〃 1 y= a(x-p)2의 그래프 Ⅲ-6
y= a(x-p)2의 그래프(애니메이션) Ⅲ-7
〃 1 y = a( x - p)2+q 의 그래프 Ⅲ-8
〃 1 y = ax2+bx+q 의 그래프(최대, 최소) Ⅲ-9 2. 이차함수와 이차방정
식 1 이차함수와 이차방정식 Ⅲ-10
2)
실험처치 방법
본 연구의 실험 처치는 실험반(1개 반)과 비교반(1개 반)에 서로 다른 유형의 학습을 실시하는 것이었다. 실험처치에 이용된 교과 내용은 중학교 7단계 규칙 성과 함수단원의 중단원(‘2. 함수의 그래프’와 ‘3.함수의 활용’)을 총 9차시로 구 성하였다. 실험반에서는 본 수업에 들어가기에 앞서 2차시에 걸쳐 LiveMath의 사용법을 익히도록 했다. 실험반의 수업은 연구자가 개발한 학습자료를 토대로 교사와의 계속적인 협의를 통해 재구성하여 지도하였다.
(1) 실험반(LiveMath를 활용한 수업)
본 연구에서 의도하는 대로 LiveMath를 활용하여 학생들이 주도적으로 학습 을 하도록 하였다. 이 학급에서는 학생들이 다양한 방법으로 LiveMath를 조작 하고 그 결과를 스스로 또는 동료들과 토의를 거쳐 결론을 도출함으로써 자기 주도적으로 함수와 그래프에 관한 여러 가지 개념을 구성해 나가도록 하였다.
교사는 정리 단계에서 전체 토의와 발표를 통해 학생들이 구성한 내용을 정리 해 주었다.
(2) 비교반(전통적인 수업)
이 학급에서는 실험반과 대조적으로, 교사가 주도적으로 수업을 이끌어 가면 서 교과서의 내용 전개에 따라 먼저 개념을 설명하고 예제를 제시한 후 학생 들로 하여금 그 개념을 확인해보게 하는 과정으로 칠판을 통한 설명식 수업이 진행되었다.
3)
수업의 실제
개발한 학습자료를 교수-학습 활동에 적용하기 위하여 학습지도안을 작성하여 수업을 실시하였다.
(1) 단원의 학습목표
① 정비례 관계와 반비례 관계를 이해하고 그 관계를 식으로 나타낼 수 있다.
② 함수의 뜻을 알고 함수값의 변화에 대하여 안다.
③ 순서쌍과 좌표를 이해하고 간단한 함수의 그래프를 그릴 수 있다.
(2) 단원의 주안점
① 함수
•정비례와 반비례 관계를 이해하고 그 관계를 식으로 나타내어 본다.
•변수, 함수, 함수값, 정의역, 치역, 공역의 뜻을 알아본다.
② 함수의 그래프
•순서쌍과 좌표에 대해 알고, 수직선 또는 평면 위의 점을 좌표를 사용하여 나타내어 본다.
•함수의 그래프의 뜻을 알고 간단한 함수 y = ax , y = ax ( x ≠0) 의 그래프를 그려본다.
③ 함수의 활용
•함수를 실생활 문제에 활용하여 본다. 또한 실생활의 다양한 소재에서 함수 관계가 있는 것을 찾아보고, 이를 식으로 나타내어 본다.
(3) 단원의 지도상의 유의점
① 함수
•생활주변에서 비례하는 두 양의 관계를 조사하여 비례관계를 이해시킨다. 정 비례 관계 또는 반비례 관계에서 비례상수라는 용어는 지도하지 않는다.
•비례관계를 이용하여 함수의 개념을 도입하되 그 엄밀성은 강조하지 않는다.
•엄밀한 의미의 함수란 정의역, 관계, 공역의 3요소에 의해서 결정되는 것이지 만 공역은 강조하지 않는다
② 함수의 그래프
•순서쌍은 좌표평면을 이해시키는 데 중점을 두고 지도한다.
•함수의 그래프는 y = ax , y = ax( x ≠0) 의 그래프 정도만을 그릴 수 있도록 지도한다.
•그래프를 그리는데 정의역을 유한집합으로 정하여 그리게 한 후에 수 전체 로 유추시켜서 확장하도록 한다. 이 때, 수 전체의 집합은 직관적으로 취급함 에 유의한다.
③ 함수의 활용
•함수를 실생활에 활용할 수 있음을 강조하되 함수를 이용한 문제 해결보다 는 함수를 사용한 수식 관계와 그 그래프로 문제 해결을 할 수 있음을 지도 한다.
(4) 단원 지도 계획
<표 Ⅲ-4> 단원 학습지도 계획
중단원 소단원 지도 내용 쪽수 차시
수업형태
실험반 비교반
1.함수
1.정비례와 반비례 정비례, 반비례 136∼140 1∼2
전통적인 수업
전통적 인 수업 2.함수의 뜻 함수의 뜻, 함수값,
정의역, 치역, 공역 141∼144 3∼4
연습 문제 145∼147 4
2 . 함 수 의 그래 프
LiveMath 기본 사용법 학습 5∼6 1.순서쌍과 좌표 순서쌍, 좌표, 사분
면 148∼152 6∼7
LiveMath 활용 수업
전통적 인 수업 2.함수의 그래프
y = ax 의 그래프 y =a
x ( x ≠0) 의 그래프
153∼159 8∼11
연습 문제 160∼161 11
3 . 함 수 의 활용
1.함수와 실생활 함수와 실생활 162∼167 12∼
13
연습 문제 168∼170 14
단원 마무리 171∼173 14
4) LiveMath를 활용한 학습 지도
(1) 함수 y = ax (a≠0) 의 그래프의 성질(9차시)
<표 Ⅲ-5> 함수 y = ax (a≠0) 의 그래프의 성질
학습목표 ․함수 y = ax(a≠0) 의 그래프의 성질을 알 수 있다. 차시 9 학습
단계 학습내용 교수․학습활동 자료 및
교사 학생 유의점
도입
․선수학습
․학습목표 제시
․LiveMath를 구동하게 한다.
․선수학습 문제를 풀게 한다.
․학습목표를 제시한다.
․LiveMath를 구동
․학습 내용 확인
전개
․함수 y = ax( a≠0) 의 그래프의 성질
․함수 y = ax 의 a 의 값을 변화시켜 그에 따른 그래프의 변화를 살펴보도록 한다.
․ a 의 값을 바꾸면서 변화에 따른 y = ax 의 그래프의 형태 의 변화에 관하여 질문한다.
․함수 y = ax 에서 a 의 값을 양수 0.5, 3
4 , 1, 2, 3…으로 증 가시키면서 값을 바꾸면 그래 프는 어떻게 될까요?
․또, 다른 변화는 없을까요?
․ x의 값이 증가할 때, y의 값은 어떻게 할까요?
․함수 y = ax 에서 a 의 값을 음수 -0.5,-1,- 2, -2.5,-3…으로 감소시키면서 값을 바꾸면 그 래프는 어떻게 변화될까요?
․ x의 값이 증가할 때, y의 값 은 어떻게 할까요?
․LiveMath를 이용 하여 함수 y = ax 의 a 의 값을 여러 가 지로 변화시켜 나타 나는 그래프의 형태 의 변화를 살펴본다.
(그림 1)
․항상 원점을 지나 고 있습니다.(그림 1)
․제1, 제3사분면을 지나면서 점점 y축 에 가까이 가고있습 니다.(그림 1, 2)
․ y : 증가합니다.
․원점을 지나고 제 2, 제4사분면을 지나 면서 점점 y축에 가 까이 가고 있습니다.
(그림 1, 2)
․ y : 감소합니다.
․ 함수 y = ax의 그 래 프 는 그래프 모 양을 확인, a 의 값의 부 호 에 따 라 직선의 방향이 다 름을 알게 한다.
․ a 의 값 의 부호에 따라 x, y의 증감관계를 파악할 수 있게 한다.
정리 정리 및 차시 예고
․LiveMath에 나타난 그래프 를 보면서 함수 y = ax(a≠0) 의 그래프 특징을 말해보자.
․차시 예고
1. 원점을 지나는 직 선입니다.
2. a > 0 일 때는 제1, 제3사분면을 지난다.
3. a < 0 일 때는 제2, 제4사분면을 지난다.
<그림 1> 함수 y = ax (a≠0) 의 그래프의 성질
<그림 2> 함수 y = ax (a≠0) 의 그래프(애니메이션)
(2) 함수 y = ax ( a ≠0) 의 그래프의 성질(11차시)
<표 Ⅲ-6> 함수 y = ax ( a ≠0) 의 그래프의 성질
학습목표 ․함수 y =a
x( a≠0)의 그래프의 성질을 알 수 있다. 차시 11 학습
단계 학습내용 교수․학습활동 자료 및
교사 학생 유의점
도입
․선수학습
․학습목표 제시
․LiveMath를 구동하게 한다.
․선수학습 문제를 풀게 한다.
․학습목표를 제시한다.
․LiveMath를 구동 한다.
․학습 내용 확인
전개
․함수 y =a
x( a≠0) 의 그래프의 성질
․함수 y =a
x의 a 의 값을 바 꾸면서 변화에 따른 그래프의 형태의 변화에 관하여 질문한다.
․함수 y =a
x에서 a 의 값을 양수 1, 2, 3…으로 증가시키면 그래프는 어떻게 될까요?
․ x의 값이 증가할 때, y의 값은 어떻게 할까요?
․함수 y =a
x에서 a 의 값을 음수 -1, -2, -3…으로 감소시키 면 그래프는 어떻게 될까요?
․ x의 값이 증가할 때, y의 값은 어떻게 할까요?
․ a 의 절대값이 클수록 그래 프는 어떻게 될까요?
․LiveMath를 이용 하여 함수 y =a
x의 a 의 값을 여러 가 지로 변화시켜 나타 나는 그래프의 형태 의 변화를 살펴본다.
․원점을 지나지 않고 제1, 제3사분면을 지 나는 두 개의 곡선이 됩니다.(그림 3)
․ y : 감소합니다.
․원점을 지나지 않고 제2, 제4사분면을 지 나는 두 개의 곡선이 됩니다.(그림 3)
․ y : 증가합니다.
․원점에서 점점 멀 어집니다.(그림 4)
․ 함수 y =a
x의 그 래 프 는 그래프 모 양을 확인, a 의 값의 부 호 에 따 라 곡선의 방향이 다 름을 알게 한다.
․ a 의 값 의 부호에 따라 x, y의 증감관계를 파악할 수 있게 한다.
정리 정리 및 차시 예고
․LiveMath에 나타난 그래프 를 보면서 함수y =a
x( a≠0)의 그래프 특징을 말해보자.
․차시 예고
1. 원점을 지나지 않 는 곡선입니다.
2. a > 0 일 때는 제1, 제3사분면을 지난다.
3. a < 0 일 때는 제2, 제4사분면을 지난다.
<그림 3> 함수 y = ax ( a ≠0) 의 그래프의 성질
<그림 4> 함수 y = a
x ( a ≠0) 의 그래프(애니메이션)