Fig. 28. Bending strain of the beam subjected to lateral load
굽힘 모멘트 이 작용하여 의 기울기를 나타냈다고 가정하면 보전체 길이에 대 한 굽힘 변형 에너지 는 다음과 같다.
(3.4)여기서,
이므로 이를 정리하면 식(3.5)와 같다.
(3.5)중립축에서 외주까지의 거리를 라 하면
, Z축 주위의 단면 모멘트
이므로 식(3.5)에 대입하여 정리하면 굽힘 변형에너지는 식(3.6)과 같다.
(3.6)3.2.2. 자유단에 작용하는 힘의 보존성분에 의한 일
Fig. 29에 있어서 탄성곡선(elastic curve)의 미소 요소 길이를 , 축 방향성분을
, 축 성분을 라고 하면 는 다음 식으로 주어진다.
(3.7)보의 변형은 미소변형 ≪ 로 가정하고, 1차까지의 테일러급수 전개(Taylor series expansion)를 이용하면 식(3.7)은 다음과 같이 주어진다.
Fig. 29. Movement amount for loading points
(3.8)또한 이경우의 수직방향의 변위 는 식(3.9)와 같다.
(3.9)위의 식(3.9)를 보 전체로 적분하면, 자유단에 있어서 수직방향의 변위 가 얻어진다.
(3.10)보존력계에서는 모든 외력들과 모든 내력들이 하나의 퍼텐셜을 갖고, 계의 운동 및 포텐셜 에너지로부터 시작된다. 자유단에 작용하는 힘 T는 추력으로서 종동력을 고려 하면, Fig. 30에서 알 수 있는 바와 같이 퍼텐셜과 비퍼텐셜 힘들에 의하여 행해진 일 로 나눌 수 있다.
Fig. 30. Acting force at the free end
따라서 자유단 보존성분에 의한 일 는 수직방향의 힘과 수직방향 변위 의 곱으 로 식(3.11)과 같다.
cos
(3.11)여기서,
의 값이 매우 적으므로 cos
≃ 로 가정한다.3.2.3. 보의 자중에 의한 일
보의 자유단으로부터 위치에 있는 미소요소의 수직방향 는 식(3.9)로 주어진 다. 단위 길이 당 질량을 이라 하면, 미소요소의 상부에 있는 보의 자중에 의한 일 은 Fig. 31에서 알 수 있듯이 식(3.12)으로 나타낸다.
Fig. 31. Deformation by mass of beam
(3.12)여기서,
이다.식(3.12)를 보 전체에 대해서 적분하면 보 전체의 자중에 의한 일이 구해진다.
(3.13)3.2.4 보의 관성력에 의한 가상일
가상일(virtual work)은 서로 연결된 여러 개의 물체들로 이루어진 다자유도계를 다루는데 중요한 역학을 한다. 즉, 가상변위(virtual displacement)의 원리로부터 가상 변위를 통해서 외력이 하는 일 와 그 사이에 축적되는 변형에너지 의 합은 0이 어야 한다. 이러한 가상일의 원리에 관성력의 개념을 제안함으로서 동역학의 영역으로 확장될 수 있다. 보의 관성력에 의한 가상일은 다음과 같이 주어진다.
·
(3.14)여기서 는 모든 구속력과 마찰이 없는 결합부의 내력(internal force)을 제외한 가 해진 힘들이고, 는 가상변위이다. D’Alembert의 관성력을 포함하면 동역학 문제로 확장될 수 있다.
·
(3.15)보의 밀도를 , 면적을 라 하면, 보의 미소 변위 에서 요소에 작용하는
관성력은
이다.[82] 본 논문에서 고려대상은 오일러 보이므로 회전
관성과 전단변형의 영향은 무시한다. 보의 횡방향 가상변위를 라면 보의 관성력에 의한 가상일은 다음과 같다.
(3.16)여기서 는 절점 에서의 단위 질량이다.
3.2.5 자유단에 작용하는 힘의 비보존 성분에 의한 가상일
비보존 성분(non-conservative component)은 반드시 힘의 차원일 필요는 없다. 즉, 힘의 차원과 다른 단위로 가질 수 있다. 이를테면 변위가 각도이면 일의 차원이어야 하므로 모멘트가 곱해져야 한다. 따라서 비보존 성분의 유일한 요구조건은 일의 차원 이 되어야 한다는 것이다. Fig. 31에서 보듯이 보의 자유단에 작용하는 힘의 비보존 성 분에 의한 일은 다음 식으로 주어진다.
sin
(3.17)여기서,
의 값이 매우 작으므로 sin
≃ 로 간주한다.
가상변위를 라 하면 에 의한 가상일은 다음과 같다.
(3.18)