본 장에서는 앞서 구한 결과를 이용하여 평균 성능척도를 유도한다. 식 (3.4.1) 과 (3.4.2)로부터 안정상태 고객수 확률분포는 재고량의 확률분포와 독립이며 일 반적인 M/M/1과 동일함을 알 수 있다. 따라서 을 고객수 평균이라 정의하 면 다음을 얻는다.
∞
. (3.5.1)
이제 평균재고량을 유도하자. 먼저 저속 생산 기간 동안의 평균재고량을
라 정의하면, 식 (3.4.17)을 이용하여 다음을 얻는다.
⋅ (3.5.2)
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
여기서, 는 정규화 상수로 식 (3.4.28)로부터 얻는다.
식 (3.5.2)는 임의시점의 관찰시점에 시스템이 저속 생산 기간에 있을 확률을 포함하는 평균이다. 식 (3.4.9)를 이용하면 고속 생산 기간 동안의 평균재고량을 유도할 수 있다. 고속 생산 기간 동안의 평균 재고량을 라고 정의하자.
그러면 다음을 얻는다.
⋅ (3.5.3)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
식 (3.5.3) 역시 임의시점의 관찰시점에 시스템이 고속 생산 기간에 있을 확률 을 포함하는 평균이다. 따라서 안정상태 임의의 시점에서의 재고량의 평균을
라 정의하면 식 (3.5.2)와 식 (3.5.3)을 더하여 다음을 얻는다.
(3.5.4)
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
.
제 4 장 수치예
본 장에서는 3장의 결과를 이용하여 수치예를 보인다. 우선 변화에 따른 평 균재고량과 평균고객수에 대한 수치예를 보인다. 따라서 , , ,
, 로 고정한 채 를 변화시켜 평균을 구하면 다음의 표를 얻는다.
1
2.33333
4.16435 1.50982 5.67417
2 4.41632 1.67739 6.09371
3 4.66808 1.86581 6.53389
4 4.90772 2.07411 6.98183
5 5.12192 2.30663 7.42855
6 5.29161 2.57452 7.86613
7 5.38439 2.90117 8.28556
8 5.33681 3.33681 8.67362
9 5.00244 4.00293 9.00537
<표 4.1> 변화에 따른 평균재고량과 평균고객수
<표 4.1>에서 고객수의 평균에 변화가 없는 까닭은 안정상태 하에서 고객수 분포와 재고량의 분포는 서로 독립이 때문이다. 따라서 와 값이 고정된 경우 는 생산속도 및 , 와 관계없이 동일한 결과를 얻게 된다.
이제 평균 비용을 최소화 하는 와 를 찾기 위한 비용함수를 정의하고 관련 된 수치예를 보인다. 비용함수를 위해 다음과 같은 단위시간 당 비용을 정의하 자.
- : 단위시간 당 단위 재고를 유지하는데 드는 유지비용, - : 저속 생산 기간에 단위시간 머무는데 드는 비용, - : 고속 생산 기간에 단위시간 머무는데 드는 비용, - : 단위 고객당 판매 손실 비용.
이제 를 시스템을 단위시간 당 운용하는데 드는 평균운용비용으로 정의하
면, 다음과 같은 비용함수를 정의할 수 있다.
. (4.1.1)
식 (4.1.1)에서 와 는 각각 안정상태의 임의 시점에 저속 생산 기간 및 고속 생산 기간을 관찰할 확률이므로, 식 (3.4.9)과 (3.4.17)을 이용하여 다음을 얻는다.
(4.1.2)
⋅
⋅
(4.1.3)
⋅
⋅
이제 식 (3.5.4), (4.1.2) 및 (4.1.3)을 식 (4.1.1)에 이용하여 단위시간 당 운용비용 을 최소화 하는 최적의 및 를 결정하는 수치예를 보인다.
우선 고속 생산 기간에 단위시간 머무는데 드는 비용이 전체 운용비용에 미치는 영향을 살피기 위해 를 제외한 나머지 값을 다음과 같이 설정한다.
(설정 1) , , , , , ,
아래의 그림은 위의 설정에 로 설정하여 비용을 그린 것이며, 평 균비용 값이 와 값에 따라 볼록 함수 (convex function)가 된다는 것을 보이고 있으며, 표 <4.2>는 를 100, 125, 150, 175로 설정하였을 경우의 최적의 와
및 그 때의 평균 운용비용 를 보인 것이다.
<그림 4.1> , , , , ,
, , 인 경우의 평균 비용
100 7 12 203.34
125 7 12 222.89
150 6 12 242.12
175 5 12 280.54
<표 4.2> 값의 변화에 따른 최적 평균 비용
제 5 장 결론
본 연구에서는 가변 생산속도 및 판매상실을 갖는 생산-재고 모형을 분석하였 다.
가변 생산속도를 갖는 생산-재고 모형의 분석을 위한 안정상태 방정식을 유도 하였고 고객수 및 재고량에 대한 결합확률분포를 유도하였다. 기존의 밝혀진 안 정상태 하의 결합확률분포는 고객수 확률과 재고량 확률이 분해된 형태로 나타 낼 수 있다는 사실을 이용하여 고객수 조건에 상관없이 재고량에 대한 안정상태 방정식을 구하였다. 이로부터 가변 생산속도를 갖는 ‘변조된 재고모형’을 정의하 여 저속 생산 기간과 고속 생산 기간의 재고량에 대한 확률을 구하였다. 이를 이 용하여 임의시점에서 평균재고량을 유도하였다. 단위시간당 시스템을 운용하는데 드는 평균운용비용을 정의하여 평균비용을 최소화하는 와 를 유도하였다.
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