위 그림에서 주어진 세 개의 도형(삼각형 OAB, 부채꼴 OAB, 삼각형 OAD)의 면적을 비교해 보면 삼각함수와 관련된 중요한 극한중의 하나인
lim
→
을 유도할 수 있다 (단, 의 단위는 라디안).
1-2. 구간 에서 연속인 함수 가 에서 미분가능하면
′
를 만족하는 ∈ 가 적어도 하나 존재한다. 평균값의 정리라 불리는 이 정 리는 미분가능한 함수의 다양한 성질을 유도하는데 중요한 역할을 한다.
1-3. 함수의 볼록성에 대한 엄밀한 수학적 정의는 다음과 같다. 는 구간
에서 정의된 함수이다. 임의의 ∈ ( )에 대해, 점
이 두 점 을 잇는 선분에 포함되거나 그 아래 (또는 위)에 있을 때 는 에서 아래로 (또는 위로) 볼록이라고 부른다.
1-4. 구간 에서 정의된 함수 에 대하여 다음의 극한
lim
4 서울시립대학교 모의논술
이 존재할 때, 는 에서 적분가능하다고 하고, 그 때의 극한을 의 정적분이라고 부른다. 일반적으로 가 연속함수이면 적분가능하다는 것은 잘 알려진 사실이다.
1-5. 시소의 양끝에 질량이 과 인 두 사람이 앉아 있고, 중심으로부터 거 리는 각각 , 이다. 시소가 한쪽으로 기울지 앉고 평형이 되려면
를 만족하여야 한다(단, 시소의 질량은 무시한다). 이를 지렛대의 법 칙이라고 부른다.
1-6. 평면 위에 면적이
인 도형이 있다. 도형을 지나지 않는 직선 을 축으로 도형을 360도 회전시켰을 때 생기는 입체의 부피는 면적
와 도형의 중심이 움 직인 거리 의 곱이다. 이를 파푸스의 정리라 부른다. 여기서 도형의 중심이란 밀도가 일정하다고 가정하였을 때 도형의 질량 중심을 말한다.[논제 1-1] 제시문 1-1의 주장을 구체적으로 설명하여라. 그리고 부채꼴 OAB를 축 OA를 중심으로 360도 회전시켰을 때 나타나는 입체의 부피를
라고 할 때lim
→
를 구하여라. (40점)
[논제 1-2] 함수 가 에서 연속이고 에서 미분가능할 때, 평균값의 정 리를 사용하여 다음의 사실들을 설명하여라. (50점)
(a) ′ (∈)이면 는 증가함수이다(즉, 이면
이다). (20점)
(b) 가 에서 두 번 미분가능하고, ″ (∈)이면
는 아래로 볼록이다. (30점)
[논제 1-3] 다음에 주어진 함수 가 아래로 (또는 위로) 볼록인지를 판별하고 그 이유를 설명하여라. (40점)
(a)
(는 실수). (20점)(b) ( ≤ ≤ )는 를 만족하는 함수 (단, 는 0과 1사이의 유리수). (20점)
[논제 1-4] 다음 물음에 답하여라.
(a) 질량이 ⋯ 인 개의 물체가 수직선 위의 좌표 ⋯ 에 위치하고 있을 때의 질량 중심을 지렛대의 원리를 사용하여 유도하 여라. (30점)
(b) 길이가
(단위: )인 선분이 있다. 위치 ( ≤ ≤
)에서의 밀도 함수가 (단위: )로 주어졌을 때, 이 선분의 질량 중심 는 다음과 같이 유도됨을 설명하여라. (단, 는 연속함수이다).(20점)
단
(c) 곡선 ( ≤ ≤ )와 축으로 둘러싸인 영역을 축을 중심으로 360도 회전시켰을 때 생기는 입체의 부피를 구하여라. (20점)
제시문 분석
① [제시문 1-1]은 호도법의 정의와 제시한 그림에서 대표적인 삼각함수의 극한의 한 유형인
lim
→
을 유도할 수 있다는 내용설명이다.
② [제시문 1-2]는 수학Ⅱ 교과서의 내용인 평균값의 정리를 그대로 제시문으로 옮 겼다고 볼 수 있다.
③ [제시문 1-3]의 경우 함수의 볼록성에 대한 수학적 정의에 대한 설명을 하고 있 는데 비록 교과서에서 구체적으로 언급하고 있지는 않지만 학생들이 비교적 많 이 접해 본 문제 유형으로 제시문 파악에는 어려움이 없을 듯하다.
④ [제시문 1-4]는 정적분의 정의와 일반적인 연속함수의 적분가능성에 대한 간단 한 내용을 설명하고 있다.
⑤ [제시문 1-5]는 지렛대의 법칙, [제시문 1-6]은 파푸스-굴딘의 정리가 제시되었다.
논제 분석
① [논제 1-1]은 삼각함수의 기본적 성질 이해 및 이를 이용한 lim
→
이 성 립함을 서술할 수 있는가? 입체의 부피를 활용한 극한값을 구할 수 있는가?
삼각함수의 미분과 적분을 이용하여 문제를 해결하면 된다.
② [논제 1-2]는 평균값 정리에 대한 이해 및 논리적 증명 능력을 측정하는 문제로
"(a) 평균값 정리를 사용하여 ′ 이면 가 증가함수이다. (b) 평균값 정 리를 이용하여 ″ (∈)이면 는 아래로 볼록이다."를 각각 증명할 수 있는가?
두 개의 소논제로 분리된 유형으로 평균값 정리를 이용하여 (단조)증가함수, 함수 의 오목․볼록성을 증명하면 된다. 특히 (b)의 경우 귀류법으로 증명하는 것이 접근 하기가 수월하다.
③ [논제 1-3]은 (a) 주어진 함수의 기울기의 변화를 통해 아래로 볼록임을 증명할 수 있는가? (b) 주어진 함수의 1계 도함수 및 2계 도함수를 이용하여 아래로 볼록임을 증명할 수 있는가?
함수의 그래프 및 도함수 계산 능력 측정을 측정하는 문제로 (a)는 정수 에 대 해 주어진 구간 에서 일차함수 의 기울기 변화를 통해 각각의 함수가 주어진 구간 내에서 연속임을 추론해서 설명해야 하고 (b)는 의 그래프 형태를 개괄해 내고 아래로 볼록임을 설명해야 한다.
④ [논제 1-4]의 경우 지렛대의 원리를 이용한 질량중심 공식 유도 및 정적분을 이
④ 파푸스- 굴딘의 정리(Pappus-Guldin's Theorem)
한 평면도형이, 같은 평면에 있는 이 평면도형과 만나지 않는 직선에 대해 360도 회전할 때 생기는 회전체의 부피는 그 평면도형의 넓이와 그 평면도형의 무게중심 이 그리는 원둘레의 길이와의 곱과 같다.
부연하면 다음과 같다.
평면도형
와 직선 이 같은 평면에 있다. 평면도형의 넓이를
, 평면도형의 무 게중심에서 직선 까지의 거리를 이라 하자. 이때, 이 평면도형을 직선 을 기준으 로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는
∙ 이다.•
•
풀어 보기
1. 미분의 평균값의 정리를 이용하여 다음 부등식을 증명하시오.
2. ( )의 그래프의 개형을 그리시오.
[개요 짜기]
[답안 작성]
읽기 자료
➡ 오목 볼록에 대한 탐구
어떤 구간에 속하는 임의의 실수 , 와 ≤ ≤ 인 실수 에 대하여
≤ ⋯⋯ ① 이 성립하면 함수 의 그래프는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
[증명]
①에서
이므로 이것은 수직선 축 위의 두 수 에 대 응하는 두 점을 로 내분하는 점이다.
또,
는 수직선 축 위의 두 수 에 대응 하는 두 점을 이은 선분을 로 내분하는 점이다. 즉 함수 의 그 래프는 아래 그림과 같다. 이 때, ①에
을 대입하면
≤
가 성립한다.
➡ 아르키메데스의 평행법을 이용한 부피구하기
아래 그림에서 두 개의 질량
과
는 질량을 무시할 수 있는 막대기에 고정 되어 있으며 서로 받침점에 대해 맞은 편 위치에 있다. 받침점으로부터의 거리를 각각 , 라고 하자. 이 막대는
일 때 균형을 찾는다. 이것이 아르키메데스가 발견하고 공리적 방법으로 증명한 지 레의 원리이다. (이 원리는 시소를 탈 때, 가벼운 사람이 무거운 사람과 균형을 맞 추기 위해서는 받침점에서 더 멀리 앉아야 한다는 것을 말해 준다.)
반지름 인 구의 부피는
이다. 지금으로부터 무려 2000여 년 전에, 아르키메
데스가 이 공식을 발견하고 증명했는데, 그는 구, 원뿔, 원기둥 형태의 기하학적 관 계를 관찰하고, 지레의 원리를 적용하여 그 공식을 구할 수 있었다. 그의 방법을 따 라가 보자.
왼쪽의 그림에서, 점선으로 된 도형들은 각 각, 구, 원뿔, 원기둥의 단면이다. 막대의 방향 에 -축이,
를 지나고 -축에 수직인 방향 으로 -축이 놓여 있다고 하면, 구의 단면(그 림에서, 원으로 보이는 것)의 방정식은 이다. 이제, 녹색 판의 두께를
라 하고, 가 매우 작은 값일 때 다음이 근 사적으로 성립한다.
녹색 판의, 구에 속한 부분의 부피 : … ㉠ 녹색 판의, 원뿔에 속한 부피 : … ㉡ 녹색 판의, 원기둥에 속한 부피 : … ㉢
여기서 ㉠+㉡=. 그런데,× ×이다. 따라서 기준점에서 만큼 떨어진 위치에 있는 녹색 판의, 원기둥에 속한 부분의 무게와 기준점에서
만큼 떨어진 위치에 있는 (녹색 판의, 구에 속한 부분의 무게)+(녹색 판의, 원뿔에 속한 부분의 무게)가 평형을 이루게 됨을 알게 된다. 즉 다음과 같은 상황일 때 지 레는 평형이 될 것이다.
그런데, 인 에 대해, 항상 이와 같이 성립하므로, 지레는, 기준점 왼쪽에 구와 원뿔이, 오른쪽에 원기둥이 아래와 같이 매달려 있을 때 평형을 이루게 될 것 이다.
여기서, 원기둥의 부피는 , 원뿔의 부피는 . 원기둥의 무게 중심은 원점에서 만큼 떨어져 있고 저울은 평형을 이루어야 하므로, 구의 부피를
라고 할 때 다음이 성립한다.
× × .
이제 간단한 계산을 통해
가 얻어진다.
이 아이디어에서 사용된 방법은 아르키메데스의 ‘평형법’이라고 불리는 것인데, 아르키메데스는 <방법론>이라는 책에서 이 방법을 기술했다. 이 방법은 현대의 극 한이론의 뒷받침을 통해 완벽한 엄밀함을 가질 수 있으며, 결국 오늘날의 적분법과 본질적으로 동일시될 수 있다. [함수기하 수리논술 1단계, 서울대학교]
B