4(1-cosÛ` h)-6 cos h¾0 (2 cos h-1)(cos h+2)É0
∴ -1Écos hÉ;2!; (∵ -1Écos hÉ1) 0Éh<2p에서
Ú cos h=-1일 때, h=p
Û cos h=;2!;일 때, h= p3 또는 h=;3%;p
함수 y=cos h의 그래프가 직선 y=-1의 그래프와 만나거나 위쪽에 있고, 직선 y=;2!;의 그래프와 만나거나 아래쪽에 있는 h의 값의 범위는 p3 ÉhÉ;3%;p
사인법칙
과코사인법칙
3
123쪽~134쪽095
(1) '6 (2) 8Ⅱ. 삼각함수
57
(2) xÛ` =bÛ` =cÛ`+aÛ`-2ca cos B
=(2'2 )Û`+3Û`-2´2'2´3´cos 45ù
=17-12=5 ∴ x='5 (∵ x>0)
103
(1) '¶39 (2) '7 (3) 2 (4) 13(1) aÛ` =bÛ`+cÛ`-2bc cos A
=5Û`+7Û`-2´5´7´cos 60ù
=74-35=39 ∴ a='¶39 (∵ a>0)
(2) cÛ` =aÛ`+bÛ`-2ab cos C
=4Û`+(3'3 )Û`-2´4´3'3´cos 30ù
=43-36=7 ∴ c='7 (∵ c>0)
(3) bÛ` =cÛ`+aÛ`-2ca cos B
=(1+'3 )Û`+('2 )Û`-2´(1+'3 )´'2´cos45ù
=6+2'3-2-2'3=4 ∴ b=2 (∵ b>0)
(4) aÛ` =bÛ`+cÛ`-2bc cos A
=8Û`+7Û`-2´8´7´cos 120ù
=113+56=169 ∴ a=13 (∵ a>0)
104
(1) ;4#; (2) 5'39 (3) ;1¥5;(1) cos A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc = 5Û`+6Û`-4Û`2´5´6 =45 60 =3
4 (2) cos C= aÛ`+bÛ`-cÛ`2ab = 3Û`+(2'3 )Û`-1Û`
2´3´2'3 = 20 12'3= 5'39 (3) cos B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca = 3Û`+5Û`-(3'2)Û`2´3´5 = 1630 = 8
15
105
(1) ;1!6!; (2) ;8%; (3) 45ù (4) 120ù (1) a=2k, b=3k, c=4k라 하면cos B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca = (4k)Û`+(2k)Û`-(3k)Û`2´4k´2k = 11kÛ`16kÛ`= 1116 (2) a=2k, b=6k, c=5k라 하면
cos C= aÛ`+bÛ`-cÛ`2ab = (2k)Û`+(6k)Û`-(5k)Û`2´2k´6k = 15kÛ`24kÛ`= 58 (3) cosC= aÛ`+bÛ`-cÛ`2ab = (2'2 )Û`+6Û`-(2'5 )Û`
2´2'2´6 = '22 ∴ C=45ù (∵ 0ù<C<180ù)
(4) cos B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca = 5Û`+3Û`-7Û`2´5´3 =-1 2 ∴ B=120ù (∵ 0ù<B<180ù)
답
답
답 (2) 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
c
2R -3´ a 2R = b
2R 에서
c-3a=b, 3a=c-b=18 ∴ a=6 (3) 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
a
2R + b 2R + c
2R ='6에서 a+b+c=2'6R
∴ a+b+c=12'3
100
(1) 5 (2) ;3@; (3) 4`:`5`:`6 (4) 2`:`3`:`5 (1) a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=2`:`5`:`4이므로 a=2k, b=5k, c=4k라 하면 bcaÛ`= 20kÛ`
4kÛ` =5 (2) A+B+C=180ù이고, A`:`B`:`C=1`:`2`:`3이므로 A=180ù_;6!;=30ù, B=180ù_;6@;=60ù, C=180ù_;6#;=90ù
∴ sin A`:`sin B`:`sin C=;2!;`:` '32 `:`1=1`:`'3`:`2 이때 a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=1`:`'3`:`2이므로 a=k, b='3k, c=2k라 하면 acbÛ`= 2kÛ`3kÛ`=;3@;
(3) a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=5`:`3`:`7이므로 a=5k, b=3k, c=7k라 하면
(a+b)`:`(b+c)`:`(c+a)=8k`:`10k`:`12k=4`:`5`:`6 (4) a+b-c=0 yy ㉠
2a-3b+c=0 yy ㉡ 2_㉠-㉡을 하면
5b-3c=0 ∴ b=;5#;c yy ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면
a+;5#;c-c=0 ∴ a=;5@;c
따라서 a`:`b`:`c=;5@;c`:`;5#;c`:`c=2`:`3`:`5이므로 sin A`:`sin B`:`sin C=a`:`b`:`c=2`:`3`:`5
101
(1) 4'3 (2) 2'2+2'6 (3) 1+'3 (1) x=2'3 cos 60ù+6 cos 30ù='3+3'3=4'3 (2) x=4 cos 45ù+4'2 cos 30ù=2'2+2'6 (3) x=2 cos 60ù+'6 cos 45ù=1+'3102
(1) '3 (2) '5(1) xÛ` =aÛ` =bÛ`+cÛ`-2bc cos A
=(2'3 )Û`+3Û`-2´2'3´3´cos 30ù
=21-18=3 ∴ x='3 (∵ x>0) 답
답
답
2단원해설-OK.indd 57 2018-04-17 오후 2:17:46
(2) S=;2!;´'6´b´sin45ù=2'6 '3
2 b=2'6 ∴ b=4'2 (3) S=;2!;´8´c´sin 60ù=36
2'3c=36 ∴ c=6'3 (4) S=;2!;´a´3'2´sin 120ù=9 3'6
4 a=9 ∴ a=2'6
110
(1) 4'6 (2) 4'5 (3) 6'6 (4) 10'3 (5) 12'5 (1) s= 4+5+72 =8이므로삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã8(8-4)(8-5)(8-7)=4'6 (2) s= 3+7+62 =8이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã8(8-3)(8-7)(8-6)=4'5 (3) s= 5+6+72 =9이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã9(9-5)(9-6)(9-7)=6'6 (4) s= 5+7+82 =10이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã10(10-5)(10-7)(10-8)=10'3 (5) s= 7+8+92 =12이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã12(12-7)(12-8)(12-9)=12'5
111
(1) 9'28 (2) 9'55 (3) 27'28(1) s= 2+3+32 =4이므로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã4(4-2)(4-3)(4-3)=2'2 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 2´3´3
4R =2'2 ∴ R=9'2 8 (2) s= 6+6+82 =10이므로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã10(10-6)(10-6)(10-8)=8'5 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 6´6´8
4R =8'5 ∴ R=9'5 5 답
답
106
(1) 정삼각형 (2) C=90ù인 직각삼각형(1) 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A= a2R , sin B= b
2R , sin C= c 2R 이므로 a´ a2R =b´ b
2R =c´ c 2R
aÛ`=bÛ`=cÛ` ∴ a=b=c (∵ a>0, b>0, c>0) 따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이다.
(2) 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A= a2R , sin B= b
2R , sin C= c 2R 이므로 { a2R }2`+{ b
2R }2`={ c
2R }2` ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
따라서 삼각형 ABC는 C=90ù인 직각삼각형이다.
107
(1) A=90ù인 직각삼각형 (2) b=c인 이등변삼각형 (1) cos B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca , cos A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc 이므로a´ cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca =b´ bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc +c 양변에 2c를 곱하여 정리하면 bÛ`+cÛ`=aÛ`
따라서 삼각형 ABC는 A=90ù인 직각삼각형이다.
(2) 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A= a2R , sin C= c
2R , cos B=cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca 이므로
a
2R =2´cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca ´ c2R , aÛ`=cÛ`+aÛ`-bÛ`
bÛ`-cÛ`=0, (b+c)(b-c)=0 ∴ b=c (∵ b+c>0) 따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
108
(1) 12'2 (2) 3'22 (3) 2'3 (4) 12'3 (1) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면S=;2!;´6´8´sin 45ù=;2!;´6´8´ '22 =12'2 (2) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=;2!;´'3´2'2´sin60ù=;2!;´'3´2'2´ '32 =3'2 2 (3) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=;2!;´'8´2'6´sin150ù=;2!;´2'2´2'6´;2!;=2'3 (4) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=;2!;´8´3'6´sin135ù=;2!;´8´3'6´ '22 =12'3
109
(1) 6 (2) 4'2 (3) 6'3 (4) 2'6 (1) S=;2!;´2'5´c´sin 30ù=3'5 '52 c=3'5 ∴ c=6 답
답
답
답
Ⅱ. 삼각함수
59
(4) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=;2!;´4'3´6´sin 120ù=;2!;´4'3´6´ '32 =18
115
③외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
사인법칙에 의하여 3
sin 60ù =2R이므로 '33
2
=2R ∴ R='3
따라서 외접원의 넓이는 p_('3 )Û`=3p
116
2외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A+sin B+sin C= a2R + b
2R + c
2R =a+b+c 2R 이때 외접원의 반지름의 길이가 4이고
삼각형 ABC의 둘레의 길이가 16이므로 sin A+sin B+sin C= 162´4 =2
117
100`m원 모양의 호수의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 ABÓsin C =2R
이때 ABÓ=50`m, C=180ù-(45ù+105ù)=30ù이므로 2R= 50sin 30ù =100(m)
따라서 호수의 지름의 길이는 100`m이다.
118
'7코사인법칙에 의하여
BCÓÛ` =4Û`+5Û`-2´4´5´cos 60ù=16+25-20=21
∴ BCÓ='¶21 (∵ BCÓ>0) 따라서 사인법칙에 의하여
sin 60ù =2R, '¶21 '¶21 '32
=2R ∴ R='7
119
;7%;sin A 5 =sin B
7 =sin C
6 =k라 하면 sin A=5k, sin B=7k, sin C=6k
∴ a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=5`:`7`:`6 a=5m, b=7m, c=6m이라 하면
cos A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc = (7m)Û`+(6m)Û`-(5m)Û`2´7m´6m = 60mÛ`84mÛ`= 57 답
답
답
답
답 (3) s= 5+6+92 =10이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S="Ã10(10-5)(10-6)(10-9)=10'2 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 5´6´9
4R =10'2 ∴ R=27'2 8
112
(1) 7+6'3 (2) 20'3 (1) △ABD=;2!;´4´7´sin 30ù=7△BCD에서 s= 7+8+32 =9이므로 △BCD="Ã9(9-7)(9-8)(9-3)=6"3 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=△ABD+△BCD=7+6'3 (2) △BCD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓÛ`=10Û`+5Û`-2´10´5´cos 60ù=75 ∴ BDÓ=5'3 (∵ BDÓ>0)
△ABD=;2!;´6´5'3´sin 30ù= 15'32
△BCD=;2!;´5´10´sin 60ù= 25'32 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=△ABD+△BCD= 15'32 +25'3
2 =20'3
113
(1) 12 (2) 21'2 (3) 16'3 (1) 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=4´6´sin 30ù=4´6´;2!;=12(2) B=45ù이므로 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=6´7´sin 45ù=6´7´ '22 =21'2
(3) ADÓ=8이므로 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=4´8´sin 120ù=4´8´ '32 =16'3
114
(1) 15 (2) ;2(; (3) 12'2 (4) 18 (1) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면S=;2!;´6´10´sin 30ù=;2!;´6´10´;2!;=15 (2) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=;2!;´3´2'3´sin60ù=;2!;´3´2'3´ '32 =;2(;
(3) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=;2!´6´8´sin 135ù=;2!;´6´8´ '22 =12'2 답
답
답
2단원해설-OK.indd 59 2018-04-17 오후 2:17:48