삼차방정식xÜ`=1에서
xÜ`-1=0,(x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴x=1또는xÛ`+x+1=0
삼차방정식xÜ`=1의한허근이x이므로x는이차방정식
xÛ`+x+1=0의허근이다.
∴xÜ`=1,xÛ`+x+1=0
⑴x29+x19=(xÜ`)á`_xÛ`+(xÜ`)ß`_x
=xÛ`+x(∵xÜ`=1)
=-1(∵xÛ`+x+1=0)
⑵xÛ`+x+1=0의양변을x로나누면
x+ 1x=-1
x는이차방정식xÛ`+x+1=0의허근이므로xÕ도이이차 방정식의근이다.즉,같은방법으로xÕ+ 1
xÕ=-1
∴{x+ 1x}2`+{xÕ+1
xÕ }2`=(-1)Û`+(-1)Û`=2
⑶xÛ`+x+1=0에서
x+1=-xÛ`,xÛ`+1=-x,xÜ`=1
수의관계에의하여
a+b+c=-1,ab+bc+ca=0,abc=-2
ab,bc,ca를세근으로하고xÜ`의계수가1인삼차방정식을
xÜ`+axÛ`+bx+c=0`(a,b,c는상수)이라하면근과계수의
관계에의하여
-a=ab+bc+ca ∴a=0 b=ab_bc+bc_ca+ca_ab
=abc(a+b+c)=2
-c=ab_bc_ca=(abc)Û`=4 ∴c=-4 따라서구하는삼차방정식은xÜ`+2x-4=0이다.
답xÜ`+2x-4=0
327
f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3에서x=1,x=2,x=3은방정 식f(x)=x의세근이다.
f(x)=x에서f(x)-x=0
이때f(x)는최고차항의계수가1인삼차식이므로
f(x)-x의최고차항의계수역시1인삼차식이다.
즉,f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)이므로
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x
=xÜ`-6xÛ`+12x-6
따라서방정식f(x)=0,즉xÜ`-6xÛ`+12x-6=0의세근의
곱은근과계수의관계에의하여6이다. 답6
삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 세 근이 a, b, c일 때, f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d라 하면
f(a)=0, f(b)=0, f(c)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x-a, x-b, x-c를 인수로 갖는다.
즉, f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d=a(x-a)(x-b)(x-c)
328
삼차방정식f(x)=0의세근이a,b,c이므로
f(a)=0,f(b)=0,f(c)=0
삼차방정식f(2x-1)=0을만족시키려면2x-1=a또는
2x-1=b또는2x-1=c이어야한다.
∴x= a+12 또는x= b+12 또는x= c+12 따라서삼차방정식f(2x-1)=0의세근의곱은
a+12 _ b+12 _ c+12
=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc 8
= 1+15+59+458 = 120 8 =15 답15
∴ (x-1)(x-1)Ó
(3x+1)(3x+1)Ó= (x-1)(xÕ-1) (3x+1)(3xÕ+1)
= xxÕ-(x+xÕ)+1 9xxÕ+3(x+xÕ)+1
= 1-1+19+3+1 = 113 답 1 13
연습 문제 12 323
삼차방정식xÜ`-2xÛ`+x+7=0의세근이a,b,c이므로근 과계수의관계에의하여
a+b+c=2,ab+bc+ca=1,abc=-7
∴ 1a+1 b+1
c=ab+bc+ca
abc =-1
7 답- 17
삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 a+b+c=- b a , ab+bc+ca= c a , abc=- d a
324
삼차방정식xÜ`+axÛ`+b=0의세근이a,b,c이므로근과계 수의관계에의하여
a+b+c=-a,ab+bc+ca=0,abc=-b
∴(1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc
=1+a+b=2
∴a+b=1 답1
325
삼차방정식xÜ`-2xÛ`+kx+6=0의세근이a,b,c이므로근 과계수의관계에의하여
a+b+c=2,ab+bc+ca=k,abc=-6 이때a+b+c=2에서
a+b=2-c,b+c=2-a,c+a=2-b
∴(a+b)(b+c)(c+a)
=(2-a)(2-b)(2-c)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-8+2k+6=8
∴k=1 답1
326
삼차방정식xÜ`+xÛ`+2=0의세근이a,b,c이므로근과계
한편,x가이차방정식xÛ`+x+1=0의한허근이면켤레근의
성질에의하여xÕ도이이차방정식의근이므로
xÕÛ`+xÕ+1=0
즉,1+xÕ=-xÕÛ`이므로 xÕÛ`
1+xÕ= xÕÛ`
-xÕÛ`=-1
yy㉡
따라서㉠,㉡에의하여
1+xÛ`x + xÕÛ`
1+xÕ=(-1)+(-1)=-2 답-2
방정식 xÜ`=1의 한 허근을 x라 하면 다음 성질이 성립한다.
(단, x는 xÕ의 켤레복소수이다.)
① xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
② x+xÕ=-1, xxÕ=1
③ xÛ`=xÕ= 1 x
333
삼차방정식xÜ`=1에서
xÜ`-1=0,(x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴x=1또는xÛ`+x+1=0
삼차방정식xÜ`=1의한허근이x이므로x는이차방정식
xÛ`+x+1=0의허근이다.
즉,xÜ`=1,xÛ`+x+1=0이므로
x+1=1 1 -xÛ`, 1
xÛ`+1= 1-x, 1
xÜ`+1= 1 1+1=1 2
∴ 1x+1+ 1
xÛ`+1+ 1xÜ`+1
= 1-xÛ`+ 1-x+1
2 =- x+xÛ`
xÜ` + 12
=- -1 1 + 12 (∵xÛ`+x=-1)
= 32
한편,x=xÝ`=xà`=x10=y=x28,
xÛ`=xÞ`=x¡`=x11=y=x29,xÜ`=xß`=xá`=x12=y=x30이 므로
x+1+1 1
xÛ`+1+ 1
xÜ`+1+y+ 1 x30+1
={ 1x+1+ 1
xÛ`+1+ 1
xÜ`+1 }+{ 1x+1+ 1
xÛ`+1+ 1 xÜ`+1 }
+y+{ 1x+1+ 1
xÛ`+1+ 1xÜ`+1 }
=10{ 1x+1+ 1
xÛ`+1+ 1 xÜ`+1 }
=10_ 32 =15 답15
329
삼차방정식xÜ`+axÛ`+bx+1=0의계수가모두유리수이므 로한근이2+'5이면2-'5도근이다.
즉,주어진삼차방정식의세근이1,2+'5,2-'5이므로근 과계수의관계에의하여
-a=(2+'5)+(2-'5)+1=5 ∴a=-5 b=(2+'5)(2-'5)+(2+'5)+(2-'5)=3
∴ab=(-5)_3=-15 답-15
330
x=1-'2가삼차방정식3axÜ`+7bxÛ`-'2=0의근이므로대 입하면
3a(1-'2)Ü`+7b(1-'2)Û`-'2=0 3a(7-5'2)+7b(3-2'2)-'2=0
∴21a+21b-(15a+14b+1)'2=0
a,b가정수이므로무리수가서로같을조건에의하여
21a+21b=0 yy㉠
15a+14b+1=0 yy㉡
㉠,㉡을연립하여풀면 a=-1,b=1
∴a-b=(-1)-1=-2 답-2
331
삼차방정식xÜ`+pxÛ`+qx+p=0의계수가모두실수이므로
한근이2+i이면2-i도근이다.
즉,주어진삼차방정식의나머지한근을k라하면세근이 2+i,2-i,k이므로근과계수의관계에의하여
-p=(2+i)+(2-i)+k=4+k ∴p=-4-k
yy㉠
q=(2+i)(2-i)+k(2+i)+k(2-i)=5+4k yy㉡
-p=(2+i)(2-i)k=5k ∴p=-5k yy㉢
이때㉠,㉢을연립하여풀면
k=1,p=-5
k=1을㉡에대입하면q=5+4=9 답p=-5,q=9
332
삼차방정식xÜ`=1에서xÜ`-1=0
(x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴x=1또는xÛ`+x+1=0 삼차방정식xÜ`=1의한허근이x이므로x는이차방정식
xÛ`+x+1=0의허근이다.
즉,xÛ`+x+1=0에서xÛ`+1=-x이므로
1+xÛ`x = x-x=-1 yy㉠
즉, xÕÛ`+xÕ+1=0에서 xÕ+1=-xÕÛ`
∴ (x+1)(xÕ+1)=(-x)Û`_(-xÕÛ`)=(xxÕ)Û`
한편, 방정식 xÛ`+x+1=0의 두 근이 x, xÕ이므로 근과 계수의 관계에 의하여 xxÕ=1이다.
∴ (x+1)(xÕ+1)=(xxÕ)Û`=1
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③
337
삼차방정식 xÜ`+pxÛ`+2x+q=0의 연속하는 세 정수인 근을 a-1, a, a+1이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a(a-1)+(a-1)(a+1)+a(a+1)=2 3aÛ`=3 ∴ a=Ñ1
Ú a=1일 때
주어진 방정식에 x=1을 대입하면 1+p+2+q=0 ∴ p+q=-3 Û a=-1일 때
주어진 방정식에 x=-1을 대입하면 -1+p-2+q=0 ∴ p+q=3
Ú, Û에서 (p+q)Û`=(Ñ3)Û`=9 답 9 [다른 풀이]
삼차방정식 xÜ`+pxÛ`+2x+q=0의 세 근을 a-1, a, a+1이 라 하면 a=Ñ1
Ú a=1일 때
세 근은 0, 1, 2이므로 근과 계수의 관계에 의하여 -p=0+1+2=3 ∴ p=-3
-q=0_1_2=0 ∴ q=0
∴ p+q=-3 Û a=-1일 때
세 근은 -2, -1, 0이므로 근과 계수의 관계에 의하여 -p=(-2)+(-1)+0=-3 ∴ p=3
-q=(-2)_(-1)_0=0 ∴ q=0
∴ p+q=3 Ú, Û에서 (p+q)Û`=9
338
삼차방정식 xÜ`=1에서
xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴ x=1 또는 xÛ`+x+1=0
삼차방정식 xÜ`=1의 한 허근이 x이므로 x는 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 허근이다.
∴ xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
334
x=1-'3i
2 에서 2x-1=-'3i 이 식의 양변을 제곱하면
4xÛ`-4x+1=-3 ∴ xÛ`-x+1=0 양변에 x+1을 곱하면
(x+1)(xÛ`-x+1)=0 ∴ xÜ`=-1
∴ x2018+ 1x2018=(xÜ`)672_xÛ`+ 1
(xÜ`)672_xÛ`
=xÛ`+ 1xÛ`=xÛ`-x`(∵ xÜ`=-1)
=-1`(∵ xÛ`-x+1=0) 답-1
335
이차방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근을 x라 하면 xÛ`+x+1=0
이 식의 양변에 x-1을 곱하면 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴ xÜ`=1 즉, x40=(xÜ`)13_x=x, x30=(xÜ`)10=1, x20=(xÜ`)ß`_xÛ`=xÛ`, x10=(xÜ`)Ü`_x=x이므로 x40-x30+x20-x10+1 =x-1+xÛ`-x+1
=xÛ`
한편, 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 해는 근의 공식에 의하여 x=-1Ñ'3i
2 이므로 x=-1+'3i
2 또는 x=-1-'3i 2
∴ x40-x30+x20-x10+1 =xÛ`=-x-1
=--1Ñ'3i 2 -1
=-1Ñ'3i
2 답 -1Ñ'3i 2
336
x+ 1x =-1에서 xÛ`+x+1=0 이 식의 양변에 x-1을 곱하면
(x-1)(xÛ`+x+1)=0, xÜ`-1=0 ∴ xÜ`=1 주어진 방정식의 한 허근이 x이므로
xÛ`+x+1=0, xÜ`=1 ㄱ. xß`=(xÜ`)Û`=1
ㄴ. n=3이면 xß`+xÜ`+1=3이므로 0이 아니다.
ㄷ. xÛ`+x+1=0에서 x+1=-xÛ`
또한 방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이 x이므로 켤레근의 성질에 의하여 xÕ도 한 근이다.
Ú,Û에서x,y는자연수이므로x=4,y=1
∴x+y=4+1=5 답5
341
xÛ`+yÛ`=5에서(x+y)Û`-2xy=5
x+y=u,xy=v라하면주어진연립방정식은
[uÛ`-2v=5 yy㉠
u-v=1 yy㉡
㉡에서v=u-1이므로이를㉠에대입하면 uÛ`-2(u-1)=5
uÛ`-2u-3=0,(u-3)(u+1)=0
∴u=3또는u=-1
u=3일때v=u-1=2,u=-1일때v=u-1=-2이므로
[x+y=3
xy=2 또는[x+y=-1
xy=-2 Ú[x+y=3
xy=2 일때
x,y는t에대한이차방정식tÛ`-3t+2=0의두근이다.
즉,(t-1)(t-2)=0에서t=1또는t=2이므로
[x=1
y=2또는[x=2
y=1 Û[x+y=-1
xy=-2 일때
x,y는t에대한이차방정식tÛ`+t-2=0의두근이다.
즉,(t+2)(t-1)=0에서t=-2또는t=1이므로
[x=-2
y=1 또는[x=1
y=-2
Ú,Û에서구하는연립방정식의해는
[x=1
y=2또는[x=2
y=1또는[x=-2
y=1 또는[x=1
y=-2
답[x=1
y=2또는[x=2
y=1또는[x=-2
y=1 또는[x=1
y=-2
342
x-2y=k에서x=2y+k 이를xÛ`-yÛ`=-3에대입하면 (2y+k)Û`-yÛ`=-3
∴3yÛ`+4ky+kÛ`+3=0 yy㉠
주어진연립방정식이오직한쌍의해를가지려면㉠을만족 시키는y의값도오직하나이므로㉠의판별식을D라하면
D 4 =4kÛ`-3(kÛ`+3)=0 kÛ`-9=0 ∴k=Ñ3
이때k>0이므로k=3 답3
f(n)= x2n
xÇ`+1이므로n=1,2,3,y에대하여 f(1)= xÛ`x+1 = xÛ`
-xÛ`=-1 f(2)= xÝ`xÛ`+1= x
xÛ`+1= x-x=-1 f(3)= xß`xÜ`+1= 11+1 = 12
f(4)= x¡`xÝ`+1= xÛ`x+1 =f(1)=-1
⋮
즉,f(n)의값은-1,-1, 12 이이순서대로계속반복되고 20=3_6+2이므로
f(1)+f(2)+f(3)+y+f(18)+f(19)+f(20)
=6_{f(1)+f(2)+f(3)}+f(1)+f(2)
=6_[(-1)+(-1)+ 12 ]+(-1)+(-1)
=-11 답-11
22 연립이차방정식 339
x-y=2에서y=x-2 yy㉠
㉠을xÛ`+4xy+yÛ`=-2에대입하면 xÛ`+4x(x-2)+(x-2)Û`=-2
6xÛ`-12x+6=0,xÛ`-2x+1=0,(x-1)Û`=0
∴x=1
x=1을㉠에대입하면y=-1
∴(x-2y)Û`={1-2_(-1)}Û`=3Û`=9 답9
340
xÛ`-5xy+4yÛ`=0에서(x-4y)(x-y)=0
∴x=4y또는x=y Úx=4y일때
xÛ`+2yÛ`=18에대입하면 18yÛ`=18,yÛ`=1 ∴y=Ñ1
x=4y이므로x=Ñ4,y=Ñ1`(복부호동순) Ûx=y일때
xÛ`+2yÛ`=18에대입하면
3yÛ`=18,yÛ`=6 ∴y=Ñ'6
x=y이므로x=Ñ'6,y=Ñ'6`(복부호동순)
상수항을소거하기위하여㉡_2-㉠을하면
aÛ`+2a=0
a(a+2)=0 ∴a=0또는a=-2 Úa=0일때
㉠에대입하면-2=0
이는옳지않은등식이므로a+0 Úa=-2일때
㉠에대입하면 4-2kÛ`-4k-2=0
kÛ`+2k-1=0 ∴k=-1Ñ'2
Ú,Û에서k=-1Ñ'2 답-1Ñ'2
346
두이차방정식의공통근이a이므로
[aÛ`+ka+2k+2=0 yy㉠
aÛ`-a-kÛ`-k=0 yy㉡
이차항을소거하기위하여㉠-㉡을하면
(k+1)a+kÛ`+3k+2=0 (k+1)a+(k+1)(k+2)=0 (k+1)(a+k+2)=0
이때k+-1이므로a=-k-2 a=-k-2를㉠에대입하면 (-k-2)Û`+k(-k-2)+2k+2=0 kÛ`+4k+4-kÛ`-2k+2k+2=0 4k+6=0 ∴k=- 32
k=- 32 을a=-k-2에대입하면a=-1 2
∴ka={- 32 }_{-1
2 }= 34 답3 4
347
xÛ`-3xy+2yÛ`+1=0에서 (x-2y)(x-y)=-1
∴[x-2y=1
x-y=-1또는[x-2y=-1
x-y=1 Ú[x-2y=1
x-y=-1을연립하여풀면[x=-3 y=-2
Û[x-2y=-1
x-y=1 을연립하여풀면[x=3
y=2
Ú,Û에서자연수x,y는x=3,y=2
∴x+y=3+2=5 답5
343
직사각형 모양의 처음 땅의 가로의 길이와 세로의 길이를
xkm,ykm라하자.
처음땅의가로의길이와세로의길이를각각1km씩늘인땅 은처음땅보다6kmÛ` 만큼넓으므로
(x+1)(y+1)=xy+6
xy+x+y+1=xy+6 ∴x+y=5
처음땅은대각선의길이가'¶13km인직사각형모양이므로
xÛ`+yÛ`=13
즉,(x+y)Û`-2xy=13에서25-2xy=13 ∴xy=6 따라서연립방정식을세우면[x+y=5
xy=6
이때x,y는t에대한이차방정식tÛ`-5t+6=0의두근이다.
(t-2)(t-3)=0에서t=2또는t=3이므로
[x=2
y=3또는[x=3
y=2
그러므로처음땅의가로의길이와세로의길이의차는
3-2=1`(km) 답1 km
344
길이가160cm인철사를모두사용하였으므로두정사각형의
둘레의길이의합은철사의길이와같다.
즉,4a+4b=160에서a+b=40
또한두정사각형의넓이의합이850cmÛ`이므로
aÛ`+bÛ`=850
즉,(a+b)Û`-2ab=850에서40Û`-2ab=850
∴ab=375
따라서연립방정식을세우면[a+b=40
ab=375
이때a,b는t에대한이차방정식tÛ`-40t+375=0의
두근이다.
(t-25)(t-15)=0에서t=25또는t=15이므로
[a=25
b=15또는[a=15
b=25
그런데a>b이므로구하는a의값은a=25 답25
23 공통근과 부정방정식 345
두이차방정식의공통근을a라하면 ({
9
aÛ`+(kÛ`+2k)a-2=0 yy㉠
aÛ`+{ 12 kÛ`+k+1}a-1=0 yy㉡
따라서[x=4
y=-1또는[x=-1 y=4 이므로
|a-b| =|4-(-1)|=|-1-4|
=5 답5
351
2xÛ`-3xy+yÛ`=0에서(2x-y)(x-y)=0
∴y=2x또는y=x
Úy=2x일때,xÛ`+2xy+yÛ`=4에대입하면 xÛ`+4xÛ`+4xÛ`=4
xÛ`= 49 ∴x=Ñ2 3
y=2x이므로
({ 9
x= 23 y= 43
또는
({ 9
x=- 23 y=- 43 Ûy=x일때,xÛ`+2xy+yÛ`=4에대입하면
xÛ`+2xÛ`+xÛ`=4 xÛ`=1 ∴x=Ñ1 y=x이므로[x=1
y=1또는[x=-1 y=-1
Ú,Û에서xy의값이최대가되는것은 [x=1
y=1또는[x=-1
y=-1일때이고최댓값은
1_1=(-1)_(-1)=1 답1
352
[x+y=2(a+1)
xy=aÛ` 에서x,y는t에대한이차방정식
tÛ`-2(a+1)t+aÛ`=0의두근이다.
주어진연립방정식이오직한쌍의해를가지려면이차방정식
tÛ`-2(a+1)t+aÛ`=0의해가오직하나이어야하므로판별식 을D라하면
D 4 ={-(a+1)}Û`-aÛ`=0
2a+1=0 ∴a=- 12 답- 12
연립방정식의 해가
① 모두 실근이면 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 D¾0
② 오직 한 쌍이면 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 D=0
③ 실근이 존재하지 않으면 연립하여 얻은 이차방정식의 판별 식 D<0
348
주어진방정식을x에대한내림차순으로정리하면 2xÛ`+2(y-5)x+yÛ`-6y+13=0
이이차방정식의판별식을D라하면x는실수이므로 D 4 =(y-5)Û`-2(yÛ`-6y+13)¾0
yÛ`-10y+25-2yÛ`+12y-26¾0 yÛ`-2y+1É0,(y-1)Û`É0 이때y는실수이므로y=1 y=1을주어진방정식에대입하면 2xÛ`-8x+8=0,xÛ`-4x+4=0 (x-2)Û`=0 ∴x=2
∴x+y=2+1=3 답3
연습 문제 13 349
y=x+1을xÛ`+yÛ`=5에대입하면 xÛ`+(x+1)Û`=5
xÛ`+x-2=0,(x-1)(x+2)=0
∴x=1또는x=-2
x=1일때y=x+1=2,x=-2일때y=x+1=-1 따라서[x=1
y=2또는[x=-2 y=-1이므로 aÛ`+bÛ`-ab
=1Û`+2Û`-1_2=(-2)Û`+(-1)Û`-(-2)_(-1)
=3 답3
[(일차식)=0
(이차식)=0 꼴이면 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정 리할 때에는 대입할 이차방정식의 계산이 간단해지는 문자를 선택한다.
350
xÛ`y+xyÛ`=-12에서xy(x+y)=-12 이때x+y=3이므로xy=-4
즉,주어진연립방정식은[x+y=3
xy=-4
이때x,y는t에대한이차방정식tÛ`-3t-4=0의두근이다.
(t-4)(t+1)=0 ∴t=4또는t=-1
356
xÛ`-a=0에서a=xÛ`
이를2017xÜ`+ax+2018=0에대입하면 2018xÜ`+2018=0
xÜ`+1=0,(x+1)(xÛ`-x+1)=0
∴x=-1또는xÛ`-x+1=0 이때공통근은실수이므로x=-1
∴a=xÛ`=(-1)Û`=1 답1
357
공통근을a라하고각방정식에대입하면 ({
9
aÛ`-(3k+7)a+k=0 yy㉠
2aÛ`+3{k+ 163 }a-k=0 yy㉡
㉠+㉡을하면3aÛ`+9a=0
3a(a+3)=0 ∴a=0또는a=-3
㉠에
Úa=0을대입하면k=0 Ûa=-3을대입하면
9+9k+21+k=0 ∴k=-3
Ú,Û에서구하는실수k의값은0,-3이다.
답0,-3
358
두이차방정식xÛ`-k=0,xÛ`-kx-2=0에서k=0이면
xÛ`=0,xÛ`-2=0
이두이차방정식을동시에만족시키는공통근은존재하지않
으므로k+0 yy㉠
공통근을a라하고각방정식에대입하면
[aÛ`-k=0 yy㉡
aÛ`-ka-2=0 yy㉢
㉡－㉢을하면
ka-k+2=0 ∴a= k-2 k `(∵㉠) a= k-2 k 를㉡에대입하면
kÛ`-4k+4
kÛ` -k=0
kÜ`-kÛ`+4k-4=0,kÛ`(k-1)+4(k-1)=0 (k-1)(kÛ`+4)=0
∴k=1`(∵k는실수) 답1
359
x-2y=a에서x=a+2y
353
[x+y=2
xy-kÛ`=1에서[x+y=2
xy=kÛ`+1이므로x,y는t에대한이차방 정식tÛ`-2t+kÛ`+1=0의두근이다.
이때x,y는모두실수이므로이차방정식tÛ`-2t+kÛ`+1=0 이실근을가져야한다.판별식을D라하면
D 4 =1-kÛ`-1¾0,kÛ`É0
∴k=0`(∵k는실수)
k=0을tÛ`-2t+kÛ`+1=0에대입하면
tÛ`-2t+1=0,(t-1)Û`=0 ∴t=1
∴[x=1
y=1 답k=0,x=1,y=1
354
∠C는ABÓ에대한원주각이므로∠C=90ù
ACÓ=xcm,BC=ycm`(0<x<y)라하면넓이가24cmÛ`
이므로
12 xy=24 ∴xy=48
직각삼각형ABC에서피타고라스정리에의하여xÛ`+yÛ`=100 (x+y)Û`-2xy=100에서(x+y)Û`=196(∵xy=48) 이때x,y는변의길이이므로x>0,y>0
∴x+y=14
즉,연립방정식을세우면[xy=48
x+y=14
x,y는t에대한이차방정식tÛ`-14t+48=0의두근이다.
(t-6)(t-8)=0 ∴t=6또는t=8
∴[x=6
y=8`(∵0<x<y)
따라서삼각형ABC의가장짧은변의길이는6cm이다.
답6cm
355
xÛ`-4x-21=0에서(x+3)(x-7)=0
∴x=-3또는x=7 Úx=-3이공통근일때
x=-3이이차방정식xÛ`+ax-3=0의근이므로 9-3a-3=0 ∴a=2
Ûx=7이공통근일때
x=7이이차방정식xÛ`+ax-3=0의근이므로
49+7a-3=0 ∴a=- 46 7
Ú,Û에서정수a의값은2이다. 답2
y+1>1이고그넓이가6cmÛ`이므로
12 (x-3)(y+1)=6 ∴(x-3)(y+1)=12
이때x,y는자연수이므로x-3,y+1의값은다음표와같다.
x-3 1 2 3 4 6
y+1 12 6 4 3 2
∴[x=4
y=11또는[x=5
y=5또는[x=6
y=3또는[x=7 y=2 또는[x=9
y=1
이때두변중어느한변의길이를3cm짧게하여도직각삼 각형을이루어야하므로x>3,y>3
∴[x=4
y=11또는[x=5 y=5
처음직각삼각형의넓이는
x=4,y=11일때 12 xy=22(cmÛ`) x=5,y=5일때 12 xy=25
2 (cmÛ`)
따라서구하는넓이의최댓값은22cmÛ`이다. 답22cmÛ`
363
주어진방정식을y에대한내림차순으로정리하면
4yÛ`+2(2x-3)y+4xÛ`+3=0 yy㉠
y는실수이므로㉠의판별식을D라하면
D 4 =(2x-3)Û`-4(4xÛ`+3)¾0 4xÛ`-12x+9-16xÛ`-12¾0 4xÛ`+4x+1É0,(2x+1)Û`É0 x는실수이므로x=- 12
x=- 12 을㉠에대입하여정리하면 yÛ`-2y+1=0,(y-1)Û`=0 ∴y=1
∴4x+3y=4_{- 12 }+3_1=1 답1
364
f(a)=aÛ`+6a+9,g(b)=-bÛ`+4b+k에서
f(a)=g(b)이므로
aÛ`+6a+9=-bÛ`+4b+k,aÛ`+6a+9+bÛ`-4b-k=0
∴(a+3)Û`+(b-2)Û`=k+4
실수a,b의순서쌍(a,b)가오직하나존재하므로k+4=0 이어야한다.
∴k=-4 이를xÛ`-yÛ`=-aÛ`+a+3에대입하면
(a+2y)Û`-yÛ`=-aÛ`+a+3
∴3yÛ`+4ay+2aÛ`-a-3=0 yy㉠
주어진연립방정식이오직한쌍의실수인해를가지려면y에
대한이차방정식㉠의실근이오직하나존재해야한다.
㉠의판별식을D라하면 D 4 =4aÛ`-6aÛ`+3a+9=0
2aÛ`-3a-9=0,(2a+3)(a-3)=0
∴a=- 32 또는a=3
∴4|a-b|=4|3-{- 32 }|=18 답18
360
xy+2x=3y+10에서
xy+2x-3y-6=4,x(y+2)-3(y+2)=4
∴(x-3)(y+2)=4
x,y가양의정수이므로y+2>2 즉,y+2=4,x-3=1이므로
x=4,y=2 답x=4,y=2
361
xÛ`+yÛ`+2x-2y-8=0에서 xÛ`+2x+1+yÛ`-2y+1-10=0
∴(x+1)Û`+(y-1)Û`=10
x,y가정수이므로(x+1)Û`은제곱수,(y-1)Û`은0또는제곱 수이다.
즉,[(x+1)Û`=1
(y-1)Û`=9또는[(x+1)Û`=9
(y-1)Û`=1이므로정수x,y의순 서쌍(x,y)는
(-2,-2),(-2,4),(0,-2),(0,4),
(-4,0),(-4,2),(2,0),(2,2)
의8개이다. 답8
실수 조건이 있는 부정방정식은
(x에 대한 완전제곱식)+(y에 대한 완전제곱식)=0 꼴로 변형한다.
362
직각삼각형의직각을낀두변의길이를각각xcm,ycm라
하고길이가xcm인변의길이를줄이는것으로하면
새로만든직각삼각형의두변의길이는양수이므로x-3>0,