x 0 y p y 2p
f '(x) 0 + 0 - 0
f(x) 0 ↗ p ↘ -2p
따라서 함수 f(x)는 x=p에서 최댓값 p, x=2p에서 최솟값 -2p 를 갖는다.
07-1
1|해결 전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 구한 후 주 어진 최댓값을 이용하여 a의 값을 구한다.
f(x)=ax€e-x에서
f '(x)=2axe-x+ax€_(-e-x)=-ax(x-2)e-x f '(x)=0에서 x=2 (∵ 1<x<3)
1<x<3에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x 1 y 2 y 3
f '(x) + 0
-f(x) ;eA; ↗ 4a
e€ ↘ 9a
e‹
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값을 가지므로 f(2)= 4ae€= 4e€ ∴ a=1
07-2
a=2, b=1|해결 전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 구한 후 주 어진 최댓값과 최솟값을 이용하여 a, b의 값을 구한다.
f(x)=a"ƒ3-x€e-2x+b에서 -'3<x<'3이고 f '(x)=a [ -2x
2"ƒ3-x€e-2x+"ƒ3-x€_(-2e-2x)]
= a{-xe-2x-2(3-x€)e-2x}
"ƒ3-x€
= a(2x€-x-6)e-2x
"ƒ3-x€
= a(2x+3)(x-2)e-2x
"ƒ3-x€
f '(x)=0에서 x=-;2#; (∵ -'3<x<'3 )
-'3<x<'3에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -'3 y -;2#; y '3
f '(x) + 0
-f(x) b ↗ '3e‹a
2 +b ↘ b
따라서 함수 f(x)는 x=-;2#;에서 최댓값을 갖고, x=-'3 또는 x='3에서 최솟값을 갖는다.
f {-;2#;}='3 e‹+1에서 '3e‹a
2 +b='3 e‹+1 …… ㉠
f(-'3 )=f('3 )=1에서 b=1 b=1을 ㉠에 대입하면
'3e‹a
2 +1='3 e‹+1 ∴ a=2
08-1
;4&;|해결 전략| 두 점 P, Q의 좌표를 구하여 PQ’의 길이를 a에 대한 함수로 나타낸 후 최솟값을 구한다.
P(a, a), Q(a, 'ßa-2 )이므로 PQ’=a-'ßa-2
이때, f(a)=a-'ßa-2 로 놓으면 f '(a)=1- 1
2'ßa-2= 2'ßa-2-12'ßa-2 f '(a)=0에서 2'ßa-2-1=0, 'ßa-2=;2!;
a-2=;4!; ∴ a=;4(;
a>2에서 함수 f(a)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a (2) y ;4(; y
f '(a) - 0 +
f(a) ↘ ;4&; ↗
따라서 함수 f(a)는 a=;4(;에서 극소이면서 최소이므로 PQ’의 길이 의 최솟값은 ;4&;이다.
2 방정식과 부등식에의 활용
개념 확인 165쪽~166쪽
1 ⑴ 2 ⑵ 1
2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
1
⑴ f(x)=x-6 ln x로 놓으면 x>0이고 f '(x)=1-;x^;f '(x)=0에서 x=6
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) y 6 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 6-6 ln 6 ↗
이때, x d 0+lim f(x)=M, x d Mlim f(x)=M이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
y
O 6
6-6 ln 6 x
y=f(x)
7 도함수의 활용 ⑵
059
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서
⑵ f(x)=ln x+;x!;-1로 놓으면 x>0이고
f '(x)=;x!;- 1x€= x-1x€
따라서 x>0일 때, 부등식 ln x>1-;x!;이 성립한다.
y
또, x>0일 때, f '(x)>0이므로 f(x)는 증가하고, f(0)=0이므로 f(x)>0
따라서 x>0일 때, 부등식 x+2>(2-x)ex이 성립한다.
⑵ f(x)= 1x€+1-1로 놓으면
f '(x)=- 2x (x€+1)€
f '(x)=0에서 x=0
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 0 y
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 0 ↘
이때, x d Mlim f(x)=-1, x d -Mlim f(x)=-1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림
과 같다.
함수 f(x)는 x=0에서 최댓값 0을 가지므로 f(x)= 1x€+1-1<0
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 1x€+1 <1이 성립한다.
y O
-1 y=f(x) x
필수 유형
| 168쪽~170쪽 |2
STEP
01-1
k>2+ln 2|해결 전략| f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓고 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 직 선 y=k와 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=2x-ln {x-;2!;}
의 그래프와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.
f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓으면 x>;2!;이고 f '(x)=2- 1
x-;2!;=2- 2
2x-1 =4(x-1) 2x-1 f '(x)=0에서 x=1
x>;2!;에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x {;2!;} y 1 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 2+ln 2 ↗
이때, lim
x d ;2!;+
f(x)=M, limx d M f(x)=M이 므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.
따라서 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근 을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는 k>2+ln 2
02-1
0<k< 1e€|해결 전략| 곡선 y=ln x와 직선 y=kx+1이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
방정식 ln x=kx+1이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 y=ln x 와 직선 y=kx+1이 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
f(x)=ln x, g(x)=kx+1로 놓으면 f '(x)=;x!;, g '(x)=k
곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접할 때, 접점의 x좌표를 a라 하면
f(a)=g(a)에서 ln a=ka+1 …… ㉠
f '(a)=g'(a)에서 1a =k …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
ln a= 1a _a+1, ln a=2 ∴ a=e€
a=e€을 ㉡에 대입하면 k= 1e€
따라서 주어진 방정식이 서로 다 른 두 실근을 갖도록 하는 k의 값 의 범위는
0<k< 1e€
03-1
k<2e|해결 전략| x>1에서 함수 f(x)= x€ln x -k의 최솟값이 0보다 크거나 같도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
f(x)= x€ln x -k로 놓으면
f '(x)=2x ln x-x€_;x!;
(ln x)€ = x(2 ln x-1)(ln x)€
f '(x)=0에서 ln x=;2!; ∴ x='e
x>1에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (1) y 'e y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 2e-k ↗
y
O 1
1 x
y=f(x) y=g(x) y
O 1 x
y=f(x)
2+ln 2 y=k
;2!;
7 도함수의 활용 ⑵
061
함수 f(x)는 x='e 에서 최소이므로 f(x)>0이 성립하려면 2e-k>0 ∴ k<2e
03 -2
-e;2π;|해결 전략| 0<x<;4#;p에서 함수 f(x)=-ex(sin x+cos x)-k의 최솟값 이 0보다 크거나 같도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
f(x)=-ex(sin x+cos x)-k로 놓으면
f '(x)=-ex(sin x+cos x)-ex(cos x-sin x)=-2excos x f '(x)=0에서 x=;2π; {∵ 0<x<;4#;p}
0<x<;4#;p에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 y ;2π; y ;4#;p
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ -e;2π;-k ↗
함수 f(x)는 x=;2π;에서 최소이므로 f(x)>0이 성립하려면 -e;2π;-k>0 ∴ k<-e;2π;
따라서 구하는 k의 최댓값은 -e;2π;이다.