Ⅱ. 문항설명 및 학생답안
4. 문항 3
먹잇감을 향해 날아가는 독수리를 하늘 위에서 내려다보면, 독수리는 먹이를
(다)
논제 3. 이번에는 다음과 같이 일정한 길이마다 정해진 각도로 방향을 바꾸는 형태의 다각 나선을 생각해 보자. 원점이
인 좌표평면 위에 한 점
이 주어졌다고 하자. 아래 그림과 같이 점
에서 선분
에 대하여 각 방향으로 길이
만큼 이동한 점을
라 하자. 이러한 과정을 계속반복하여, 점
에서 선분
에 대하여 각 방향으로 길이
만큼 이동한 점을
이라 하자. 이 한없이 커짐에 따라 점
이 좌표평면에서 어떻게 움직이는지 cos 에 관하여 구체적으로 기술하시오.논제 4. 제시문 (가)의 로그 나선 cos, sin 위의 한 점
에서 나선의 접선을 긋고, 원점
에서 선분
에 수직인 직선을 그어 접선과 만 나 는 점을
라고 하자. 가 에서 까지 변할 때, 선분
가지나간 영역을 구체적인 그림으로 나타내고 그 넓이를 구하시오.
출제의도 및 문항설명
- 논제 2 : 수학 10-나의 사인법칙과 수학 I의 무한등비급수
진다. 올바른 풀이과정은
<학생 답안 2>
이 답안은 많은 학생들이 공통적으로 잘못 이해하고 접근한 예를 보여준다.
이 되도록 잡으면, 한 바퀴 돌고 나서 겹치게 되므로 주어진 조건 을 만족하지 못하게 된다.
이 되도록 잡으면, 길이의 합이 발산하는 것 은 맞지만, 이 경우 제시된 방법으로 나선이 만들어 질 수 없다.
q 논제 2
수학 10-나에서 배운 사인법칙을 활용하여 나선의 최종적인 움직임을 관찰하는 논제이다. 이를 통해 수학 I에서 배운 무한등비급수의 수렴에 관한 기본 개념을 이해 하고 있는지 평가하고자 하였다.
논제 2에서와 같이 주어진 조건이 항상 성립되는 것을 증명할 때 특정한 경우를 예로 들어 설명하고, 이 경우에 성립되므로 모두 다 성립한다는 논지는 논제에 대한 답안이 될 수 없다.
<학생 답안 1>
앞의 논제 1의 학생답안과 비슷한 접근 방식이지만,
임을 그림을 통하여 정확하게 보여주고 있다.<학생 답안 2>
이 답안은 문제 해결과정에서 약간의 오류는 있으나,
≤
cos
임을 잘관찰하였다. 다만,
임을 주장함에 있어서, ∆
이 둔각삼각형 이라고 주장하고 있으나, 49°, 50°, 81°로 이루어진 삼각형 같은 경우가 생길 수 있기 때문에 둔각삼각형이 되지 않을 수 있다.
는 맞지만, 설명 과정에 오류가 있는 점은 아쉽다.
<학생 답안 3>
일 때, 수렴함을 보이게 됨을 제시문 (다)에서 알 수 있다고 했
는데, 이에 대한 설명이 없어서 어떻게 알 수 있다는 것인지 확인할 수 없다. 또한
인 경우만 설명하고, 특정한 경우에 성립하므로 모두 성립한다고 주
장하고 있는데, 이는 학생들이 범하는 대표적인 오류 중 하나이다. 하나의 예를 통해 논지를 주장하는 것을 타당하지 않을 수 있다.
q 논제 3
길이에 따라 변하는 나선의 움직임을 관찰하도록 하여, 수학 10-나에서 배운 코사인 법칙을 적절히 활용할 수 있는지 확인하고자 하였다. 이 논제를 해결하기 위해서는 주어진 현상을 분석하고 종합할 수 있는 사고력이 필요하다. 아래 제시된 예시답안 이외에
cos 를 좌표를 통해 구한 경우도 있었다.
<학생 답안 1>
등비수열임을 보이고, 경우에 따라 정확하게 기술하여 좋은 평가를 받았다.
<학생 답안 2>
이 답안은 등비수열이라는 것을 찾아 내었지만, 이를 정확하게 기술하지 못한 점은 아쉽다. “cos
이라면, (...)
이다. 따라서
은 나선이 더욱 커지는형태로 발산하게 될 것이다”라고 했으나,
⋯ 라고 해서 나선이 발산하는 것은 아니다. 예를 들어,
이면
은 증가하지만,lim
→∞
로수렴할 수 있다. 마찬가지로 cos
인 경우에도
⋯ 라고해서
이 0으로 수렴하는 것은 아니다. 여기에서 중요한 것은
이 등비수열이고 공비가 1보다 작은지 혹은 큰지에 따라 0으로 수렴 혹은 발산하게 된다는 점이다.<학생 답안 3>
이 등비수열임을 올바르게 설명하고 있으나, 공비가 1일 때, 즉, cos
인 경우에 대한 설명이 빠져있다. 이를 고려하여 설명하였다면 좀 더 좋은 평가를 받을 수 있었을 것이다.
q 논제 4
제시문에서 필요한 수학적 내용을 확인하고, 로그 나선과 관련된 기하학적 성질을 추론하도록 하였다. 특히 이 논제는 수학 10-가, 10-나의 교육과정 내용에 대한 기 본적인 이해만으로 충분히 문제를 해결할 수 있으나, 오히려 어렵게 적분과 벡터를 이용하면 많은 계산이 필요하기 때문에 시간을 소모할 수 있다. 따라서 이 논제를 해결하는 데 있어서는 수학적 논리력, 추리력, 상상력 등이 중요하다.
즉, 제시문의 내용에서 ∠
는 항상 이고, ∠
는 직각이므로 각
도
임을 알 수 있으므로, 이를 토대로 그림을 그려보면 복잡한 계산을 하지 않고도 쉽게 논제를 해결할 수 있었을 것이다.
<학생 답안 1>
논제를 잘 이해하고 그림을 올바르게 그렸다.
로 둘러싸인 넓이와
로 둘러싸인 넓이가 같다는 것을 잘 관찰하여, 복잡한 계산 없이 논제를 잘 해결하여 좋은 평가를 받았다.
<학생 답안 2>
주어진 논제에 대하여 매우 정확한 설명을 하고 있으나,
≤ ≤ 를 ≤ ≤
로 착각하여 문제를 해결한 점은 매우 아쉽다.