-1-1 -3-2
3
t y=t€+4t+3 그리면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 -3<t<-1에서 함수 y=(t+2)€-1은
t=-3일 때 최대이고, 최댓값은 0 t=-2일 때 최소이고, 최솟값은 -1
⑵ y=(log;3!; x)€-log;3!; x€+2에서 y=(log;3!; x)€-2 log;3!; x+2 log;3!; x=t로 놓으면 y =t€-2t+2
=(t-1)€+1 åå㉠
이때, ;9!;<x<27에서
log;3!; 27<log;3!; x<log;3!;;9!;이므로 -3<t<2
-3<t<2에서 ㉠의 그래프를 그리면 y
-3O1 17
1 2 2
t y=t€-2t+2 오른쪽 그림과 같다.
따라서 -3<t<2에서 함수 y=(t-1)€+1은
t=-3일 때 최대이고, 최댓값은 17 t=1일 때 최소이고, 최솟값은 1
07-2
최댓값: 8, 최솟값: -1|해결 전략 | 주어진 식을 변형하여 loga x=t로 치환한 후 이차함수의 최대, 최 소를 이용한다.
y=log£ ;3X;_log£ x 27
y=(log£ x-log£ 3)(log£ x-log£ 27) y=(log£ x-1)(log£ x-3)
y=(log£ x)€-4 log£ x+3 log£ x=t로 놓으면
y=t€-4t+3=(t-2)€-1 åå㉠
이때, ;3!;<x<27에서
log£ ;3!;<log£ x<log£ 27이므로 -1<t<3
-1<t<3에서 ㉠의 그래프를 그리면 y
O 2
8
-1-1 3 t
y=t€-4t+3 오른쪽 그림과 같다.
따라서 -1<t<3에서 함수 y=(t-2)€-1은
t=-1일 때 최대이고, 최댓값은 8 t=2일 때 최소이고, 최솟값은 -1
로그방정식
2
개념 확인 113쪽
1 ⑴ x=9 ⑵ x=;4!; 또는 x=64
1
⑴ 진수의 조건에서 x-2>0이므로 x>2 åå㉠밑이 같으므로 x-2=7 ∫ x=9 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=9
⑵ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
log™ x=t로 놓으면
t€-4t-12=0, (t+2)(t-6)=0 ∫ t=-2 또는 t=6
t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=2-2=;4!;
t=6일 때, log™ x=6에서 x=2fl=64
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;4!; 또는 x=64
개념 check
1-1 ⑴ 16, 17, 17 ⑵ 2, 1, 1 ⑶ ;3!;, 4, 4 2-1 0, 2, 4, 2, 4
개념 드릴
| 114쪽 |1
STEP
스스로 check
1 -2
⑴ x=;;¡9ª;; ⑵ x=4 ⑶ x=5 ⑷ x=5⑴ 진수의 조건에서 x-2>0
∫ x>2 åå㉠
로그의 정의에 의하여 x-2=3-2=;9!;
∫ x=;;¡9ª;;
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;;¡9ª;;
⑵ 진수의 조건에서 3x+4>0 ∫ x>-;3$; åå㉠
로그의 정의에 의하여 3x+4={;4!;}-2=16
∫ x=4
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4
⑶ 진수의 조건에서 x+2>0, 2x-3>0이므로
x>;2#; åå㉠
밑이 같으므로 x+2=2x-3
∫ x=5
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
⑷ log™ (x-1)=log¢ 2(x+3)에서 log™ (x-1)=;2!; log™ 2(x+3) 2 log™ (x-1)=log™ 2(x+3) log™ (x-1)€=log™ 2(x+3)
진수의 조건에서 x-1>0, 2(x+3)>0이므로
x>1 åå㉠
밑이 같으므로 (x-1)€=2(x+3) x€-2x+1=2x+6, x€-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0
∫ x=-1 또는 x=5
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
2-2
⑴ x=;4!; 또는 x=4 ⑵ x=;3!; 또는 x=81 ⑶ x=;5!; 또는 x=25⑴ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
log™ x=t로 놓으면 t€-4=0, (t+2)(t-2)=0
∫ t=-2 또는 t=2
t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=;4!;
t=2일 때, log™ x=2에서 x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;4!; 또는 x=4
⑵ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
log£ x=t로 놓으면
t€-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0
∫ t=-1 또는 t=4
t=-1일 때, log£ x=-1에서 x=;3!;
t=4일 때, log£ x=4에서 x=81 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;3!; 또는 x=81
⑶ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
log∞ x=t로 놓으면
t€-t-2=0, (t+1)(t-2)=0
∫ t=-1 또는 t=2
t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;5!; 또는 x=25
필수 유형
| 115쪽~119쪽 |2
STEP
01-1
⑴ x=2 ⑵ x=5 ⑶ x=6 ⑷ x=1|해결 전략| loga f(x)=loga g(x)이면 f(x)=g(x)임을 이용한다.
⑴ 밑의 조건에서 2x>0, 2x+1이므로 x>0, x+;2!; åå㉠
log2x 16=2에서 로그의 정의에 의하여 16=(2x)€, 4x€=16
x€=4 ∫ x=-2 또는 x=2 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=2
⑵ 진수의 조건에서 x>0, x-3>0이므로 x>3 åå㉠
log x+log (x-3)=1에서 log x(x-3)=1, log (x€-3x)=1 로그의 정의에 의하여
x€-3x=10, x€-3x-10=0
(x+2)(x-5)=0 ∫ x=-2 또는 x=5 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
⑶ 진수의 조건에서 x€-2x-15>0, x-3>0이므로 1 x€-2x-15>0에서 (x+3)(x-5)>0 x<-3 또는 x>5
2 x-3>0에서 x>3
1, 2에서 x>5 åå㉠
log;3!;(x€-2x-15)+1=-log£ (x-3)에서 log;3!;(x€-2x-15)+1=log;3!;(x-3) log;3!;(x€-2x-15)=log;3!;(x-3)-1 log;3!;(x€-2x-15)=log;3!;(x-3)-log;3!;;3!;
log;3!; (x€-2x-15)=log;3!; 3(x-3) 밑이 같으므로 x€-2x-15=3(x-3)
x€-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0
∫ x=-1 또는 x=6
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=6
⑷ 진수의 조건에서 x+3>0이므로 x>-3 åå㉠
log™ (x+3)=log¢ (x+3)+1에서 log™ (x+3)=log¢ (x+3)+log¢ 4 log™ (x+3)=log™€ 4(x+3) log™ (x+3)=;2!; log™ 4(x+3) 2 log™ (x+3)=log™ 4(x+3) log™ (x+3)€=log™ 4(x+3) 밑이 같으므로 (x+3)€=4(x+3)
x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∫ x=-3 또는 x=1
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=1
4 로그함수
035
02-1
⑴ x=;9!; 또는 x=27 ⑵ x=;5!; 또는 x=25|해결 전략| loga x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.
⑴ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
(log£ x)€=log£ x+6에서 (log£ x)€-log£ x-6=0 log£ x=t로 놓으면
t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0 ∫ t=-2 또는 t=3
t=-2일 때, log£ x=-2에서 x=;9!;
t=3일 때, log£ x=3에서 x=27 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;9!; 또는 x=27
⑵ 진수와 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로
0<x<1 또는 x>1 åå㉠
logx 5= 1
log∞ x 이므로 log∞ x=t로 놓으면 t= 2t +1, t€-t-2=0
(t+1)(t-2)=0 ∫ t=-1 또는 t=2 t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;5!; 또는 x=25
02-2
x=;1¡6; 또는 x=1|해결 전략| 식을 변형한 후 log™ x=t로 치환하여 푼다.
진수의 조건에서 x>0 åå㉠
log™ 8x_log™ 2x=3에서 (log™ x+3)(log™ x+1)=3 log™ x=t로 놓으면
(t+3)(t+1)=3, t€+4t=0 t(t+4)=0 ∫ t=-4 또는 t=0 t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6;
t=0일 때, log™ x=0에서 x=1
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;1¡6; 또는 x=1
03-1
⑴ x=;10!0; 또는 x=10 ⑵ x=10|해결 전략| ⑴ 주어진 식을 변형하여 양변에 로그를 취한다.
⑵ 주어진 식을 변형하여 3log x=t로 치환한다.
⑴ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
xlog x= 100 x 에서 x_xlog x=100이므로
xlog x+1=100
xlog x+1=100의 양변에 상용로그를 취하면
log xlog x+1=2, (log x+1)_log x=2
∫ (log x)€+log x-2=0 log x=t로 놓으면
t€+t-2=0, (t+2)(t-1)=0
∫ t=-2 또는 t=1
t=-2일 때, log x=-2에서 x=;10!0;
t=1일 때, log x=1에서 x=10
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;10!0; 또는 x=10
⑵ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠
로그의 성질에 의하여 xlog 3=3log x이므로 주어진 방정식은
3log x_3log x-3log x-6=0
∫ (3log x)€-3log x-6=0
3log x=t (t>0)로 놓으면
t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0
∫ t=3 (ç t>0) t=3일 때, 3log x=3에서 log x=1 ∫ x=10
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10
04-1
3|해결 전략| 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 log£ x=t로 치환한 후 얻은 방 정식의 두 근은 log£ a, log£ b이다.
(log£ x)€=log£ x+12에서 log£ x=t로 놓으면
t€-t-12=0 åå㉠
주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a, log£ b이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=1
즉, log£ ab=1 ∫ ab=3
04-2
-1|해결 전략| 주어진 방정식을 변형하고 log£ x=t로 치환한 후 얻은 이차방정식 의 근과 계수의 관계를 이용하여 상수 k의 값을 구한다.
log£ x-2 logx 3+k=0에서 logx 3= 1
log£ x 이므로 log£ x- 2
log£ x +k=0, (log£ x)€+k log£ x-2=0 log£ x=t로 놓으면
t€+kt-2=0 åå㉠
주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a, log£ b이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=log£ ab=-k 이때, ab=3이므로 log£ 3=-k
∫ k=-1
05-1
71.6 %|해결 전략| 주어진 조건을 관계식에 대입해 본다.
지반 A, B의 유효수직응력을 각각 SA, SB, 저항력을 각각 RA, RB, 상대밀도를 각각 DA, DB라 하면
SA=1.44SB, RA=1.5RB, DB=65 이므로
65=-98+66 log RB
"ƒSB, RB
"ƒSB=10;;¡6§6£;;
RA
"ƒSA= 1.5RB
"ƒ1.44SB=;4%;_10;;¡6§6£;;
따라서 구하는 지반 A의 상대밀도는 DA=-98+66 log RA
"ƒSA DA=-98+66 log {;4%;_10;;¡6§6£;;} DA=-98+66{log ;4%;+log 10;;¡6§6£;;} DA=-98+66{log ;;¡8º;;+;;¡6§6£;;}
DA=-98+66[(log 10-log 8)+;;¡6§6£;;]
DA=-98+66[(1-3 log 2)+;;¡6§6£;;]
DA=-98+66{0.1+;;¡6§6£;;}
DA=71.6 (%)