수II-II-1,2단원정답(15~37).indd 22 17. 7. 5. 오전 9:22
두 접선이 서로 수직이므로
(2-a)(4-a)=-1, a^2-6a+9=0 (a-3)^2=0 .t3 a=3
답3
151
[1단계] f(x)=2x^3-3x+10으로 놓으면 f '(x)=6x^2-3
이 곡선 위의 점 (1, 9)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=6-3=3
따라서 기울기가 3이고, 점 (1, 9)를 지나는 접 선의 방정식은
y-9=3(x-1) .t3 y=3x+6 …… ㉠
[2단계] 직선 ㉠의 x절편과 y절편이 각각 -2, 6이므로 이 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1
/ 2.c12.c16=6
답6
152
[1단계] 직선 x+3y+3=0, 즉 y=-1/3x-1에 수직인 직선의 기울기는 3이므로 기울기가 3인 접선을 구하면 된다.
[2단계] f(x)=2x^2-x+3으로 놓으면 f '(x)=4x-1
접점의 x좌표를 a라 하면 기울기가 3이므로 f '(a)=4a-1=3 .t3 a=1
따라서 x=1을 f(x)에 대입하면 접점의 좌표는 (1, 4)이므로 접선의 방정식은
y-4=3(x-1) .t3 y=3x+1 …… ㉠
[3단계] 직선 ㉠이 x축과 만나는 점의 좌표는 (-1/3, 0)이므로
k=-1/3 .t3 6k=-2
답-2
153
f(x)=x^3-2x^2+x+8로 놓으면 f '(x)=3x^2-4x+1
접점의 좌표를 (a, a^3-2a^2+a+8)이라 하면 기울기
는 f '(a)=3a^2-4a+1이므로 접선의 방정식은 y-(a^3-2a^2+a+8)=(3a^2-4a+1)(x-a) 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로
-(a^3-2a^2+a+8)=(3a^2-4a+1)(-a) a^3-a^2-4=0, (a-2)(a^2+a+2)=0 .t3 a=2
따라서 접점의 좌표는 (2, 10)이다.
답(2, 10)
154
[1단계] f(x)=x^3-9x, g(x)=-3x^2+k로 놓으면 f '(x)=3x^2-9, g '(x)=-6x
두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면
f(t)=g(t)에서 t^3-9t=-3t^2+k …… ㉠ f '(t)=g '(t)에서 3t^2-9=-6t
t^2+2t-3=0,(t+3)(t-1)=0
t=-3 또는 t=1 …… ㉡
[2단계] ㉡을 ㉠에 대입하면
t=-3일 때, 0=-27+k .t3 k=27 t=1일 때, -8=-3+k .t3 k=-5 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 27+(-5)=22
답22
155
f(x)=ax^2+bx, g(x)=x^3+c에서 f '(x)=2ax+b, g '(x)=3x^2
두 곡선이 점 (1, 1)을 지나므로
f(1)=1에서 a+b=1 …… ㉠
g(1)=1에서 1+c=1 .t3 c=0 …… ㉡
두 곡선의 x=1에서의 접선이 서로 수직이므로 f '(1)g '(1)=-1에서 (2a+b).c13=-1
.t3 6a+3b=-1 …… ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-4/3, b=7/3, c=0
.t3 6a+3b+c=-8+7+0=-1
답-1
157
⑴ 함수 f(x)=x^2-6x+5는 닫힌구간 [0, 6]에서 연 속이고, 열린구간 (0, 6)에서 미분가능하다.
또 f(0)=f(6)=5이므로 롤의 정리에 의하여
24 정답과 풀이
f'(c)=0`(0<c<6)인 c가 적어도 하나 존재한다.
f'(x)=2x-6이므로 f'(c)=2c-6=0 .t3 c=3
⑵ 함수 f(x)=(x+1)(x-2)^2은 닫힌구간 [-1, 2]
에서 연속이고, 열린구간 (-1, 2)에서 미분가능하 다.
또 f(-1)=f(2)=0이므로 롤의 정리에 의하여 f'(c)=0`(-1<c<2)인 c가 적어도 하나 존재한다.
f'(x)=(x-2)^2+2(x+1)(x-2)
=(x-2)(x-2+2x+2)
=3x(x-2) 이므로
f'(c)=3c(c-2)=0 .t3 c=0 또는 c=2 이때 -1<c<2이므로 c=0
답 ⑴ 3 ⑵ 0
159
⑴ 함수 f(x)=x^2-2x는 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속 이고, 열린구간 (-1, 2)에서 미분가능하므로 평균 값 정리에 의하여
f(2)-f(-1)
2-(-1) =f '(c)`(-1<c<2) 인 c가 적어도 하나 존재한다.
f'(x)=2x-2이므로 0-33 =2c-2 -1=2c-2 .t3 c=1/2
⑵ 함수 f(x)=x^3-3x는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이 고, 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하므로 평균값 정 리에 의하여
f(2)-f(0)
2-0 =f '(c)`(0<c<2) 인 c가 적어도 하나 존재한다.
f'(x)=3x^2-3이므로 2-02 =3c^2-3
1=3c^2-3, c^2=4/3 .t3 c=- 2133 또는 c=213 3 이때 0<c<2이므로 c= 2133
답 ⑴ 1/2 ⑵ 2133
160
함수 f(x)=2x(6-x)+3은 닫힌구간 [0, 6]에서 연 속이고 열린구간 (0, 6)에서 미분가능하다.
또 f(0)=f(6)=3이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0`(0<c<6)인 c가 적어도 하나 존재한다.
f(x)=12x-2x^2+3에서 f '(x)=12-4x이므로 f '(c)=12-4c=0 .t3 c=3
답3
161
구간 [0, 1]에서 롤의 정리가 성립하려면 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이고 열린구간 (0, 1)에서 미분가능하 여야 하며, f(0)=f(1)이어야 한다.
ㄱ. f(x)=x^3(1-x)는 다항함수이므로 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이고 열린구간 (0, 1)에서 미분가 능하며, f(0)=f(1)=0이다.
ㄴ. 함수 g(x)=|x-1/2|의 그래
O -12 -12
-12
1 y g{x}=
|
x-|
x
프는 그림과 같으므로 f(x) 는 닫힌구간 [0, 1]에서 연 속이고, g(0)=g(1)=1/2이 지만 x=1/2에서 미분가능하지 않다.
ㄷ. 0_<x_<1에서 x+3>0이므로 h(x)= |x+3|x+3 =x+3
x+3 =1
따라서 h(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이고 열 린구간 (0, 1)에서 미분가능하며, h(0)=h(1)=1 이다.
이상에서 롤의 정리가 성립하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
답 ㄱ, ㄷ
162
함수 f(x)=x^3-2x는 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고, 열린구간 (1, 2)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의 하여
f(2)-f(1)
2-1 =f '(c)`(1<c<2) 인 c가 적어도 하나 존재한다.
f '(x)=3x^2-2이므로 4-(-1)
2-1 =3c^2-2, 3c^2=7 이때 1<c<2이므로 c= 121q 3
답 121q 3
수II-II-1,2단원정답(15~37).indd 24 17. 7. 5. 오전 9:22
163
함수 f(x)=x^3-4x는 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고 열린구간 (0, 3)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의 하여
f(3)-f(0)
3-0 =f '(c)`(0<c<3) 인 c가 적어도 하나 존재한다.
f '(x)=3x^2-4이므로 15-03-0 =3c^2-4, c^2=3
이때 0<c<3이므로 c=13 답13
165
⑴ f(x)=x^3-3x에서
f '(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 -1 .c3 1 .c3
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗
따라서 함수 f(x)는 구간 (-inf, -1], [1, inf)에 서 증가하고, 구간 [-1, 1]에서 감소한다.
⑵ f(x)=-x^3-3/2x^2+6x+1에서
f '(x)=-3x^2-3x+6=-3(x+2)(x-1) f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 -2 .c3 1 .c3
f '(x) - 0 + 0
f(x) ↘ -9 ↗ 9/2 ↘
따라서 함수 f(x)는 구간 [-2, 1]에서 증가하고, 구간 (-inf, -2], [1, inf)에서 감소한다.
답 ⑴ 구간 (-inf, -1], [1, inf)에서 증가, 구간 [-1, 1]에서 감소
⑵ 구간 [-2, 1]에서 증가,
구간 (-inf, -2], [1, inf)에서 감소
167
함수 f(x)=-1/3x^3+ax^2-(3a-2)x가 감소하려면
f '(x)=-x^2+2ax-(3a-2)_<0 즉, x^2-2ax+(3a-2)_>0
위의 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하 므로 이차방정식 x^2-2ax+(3a-2)=0의 판별식을 D라 하면
D/4=a^2-3a+2_<0, (a-1)(a-2)_<0 .t3 1_<a_<2
답1_<a_<2
169
함수 f(x)=-x^3+6x^2-ax+2가 증가하려면 f '(x)=-3x^2+12x-a_>0
위의 이차부등식이 열린구간 (1, 4)에서 성립해야 한다.
따라서 이차함수
f '(x)=-3x^2+12x-a의 그래
1 4 x
y=f'{x}
프가 그림과 같아야 하므로 f '(1)_>0, f '(4)_>0이어야 한다.
f '(1)=-3+12-a_>0에서 a_<9 …… ㉠
f '(4)=-48+48-a_>0에서 a_<0 …… ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 a의 값의 범위는 a_<0
답a_<0
171
f(x)=x^3-3x^2+3에서 f '(x)=3x^2-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 0 .c3 2 .c3
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 3 ↘ -1 ↗
따라서 x=0일 때, 극댓값: f(0)=3 x=2일 때, 극솟값: f(2)=-1
답 극댓값: 3, 극솟값: -1
173
f(x)=x^3+1/10ax^2+bx에서 f '(x)=3x^2+1/5ax+b
26 정답과 풀이
f(x)=x^4+ax^3+4x^2+b에서 y=f{x}
{1, 3}
⑴ f(x)=x^3-6x^2+9x에서
f '(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)
181
y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -1, 1이므로 이 값을 경계로 함수 f(x)의 증가와 감 소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 -1 .c3 1 .c3
f '(x) + 0 - 0
f(x) ↗ 극대 ↘ ↘
위의 증감표에 의하여 함수 f(x)의 그래프는 증가하다 가 x=-1에서부터 감소하고, x=1에서 멈칫한 후 다 시 감소한다.
따라서 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ④ 이다.
답 ④
183
⑴ 삼차함수 f(x)=x^3-3ax^2+(9a-6)x-5가 극댓 값과 극솟값을 갖기 위해서는 방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로
f '(x)=3x^2-6ax+(9a-6)=0의 판별식을 D라 하면 D/4=9a^2-3(9a-6)>0, a^2-3a+2>0
(a-1)(a-2)>0 .t3 a<1 또는 a>2
⑵ 삼차함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 갖지 않기 위해 서는 방정식 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 f '(x)=3x^2-6ax+(9a-6)=0의 판별식 을 D라 하면
D/4=9a^2-3(9a-6)_<0, a^2-3a+2_<0 (a-1)(a-2)_<0 .t3 1_<a_<2
답 ⑴ a<1 또는 a>2 ⑵ 1_<a_<2
185
⑴ f(x)=x^4+2(a-1)x^2+4ax에서 f '(x)=4x^3+4(a-1)x+4a
=4(x+1)(x^2-x+a)
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x^2-x+a=0 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 f(x)가 극댓값 을 가지려면 방정식 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근 을 가져야 한다.
그런데 x=-1이 방정식 f '(x)=0의 한 근이므로 이차방정식
x^2-x+a=0 …… ㉠
이 x=-1이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
㉠이 x=-1이 아닌 근을 가져야 하므로 f(1)=1+1+anot=0 .t3 anot=-2
㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 ㉠의 판 별식을 D라 하면
D=1-4a>0 .t3 a<1/4 따라서 f(x)가 극댓값을 가질 조건은 anot=-2이고 a<1/4
.t3 a<-2 또는 -2<a<1/4
⑵ 극댓값을 갖지 않을 조건은 극댓값을 가질 조건을 부 정하면 된다.
따라서 ⑴에서 구한 결과의 여집합을 구하면 되므로 a=-2 또는 a_>1/4
답 ⑴ a<-2 또는 -2<a<1/4 ⑵ a=-2 또는 a_>1/4
186
[1단계] f(x)=-x^3+ax^2-3x+2에서 f '(x)=-3x^2+2ax-3
함수 f(x)가 구간 (-inf,~ inf)에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)_<0이어야 한다.
[2단계] f '(x)=-3x^2+2ax-3_<0에서 3x^2-2ax+3_>0
위의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 방정식 3x^2-2ax+3=0의 판별식을 D라 할 때 D/4=a^2-9_<0, (a+3)(a-3)_<0
.t3 -3_<a_<3
따라서 M=3, m=-3이므로 M+m=0
답0
187
f(x)=-x^3+ax^2-1에서 f '(x)=-3x^2+2ax 함수 f(x)가 1<x<2에서 증가
1 2 3
x y=f'{x}
하고, x>3에서 감소하려면 f '(1)_>0, f '(2)_<0, f '(3)_<0이
어야 하므로 y=f '(x)의 그래프가 그림과 같아야 한다.
f '(1)=-3+2a_>0에서 a_>3/2 …… ㉠
f '(2)=-12+4a_>0에서 a_>3 …… ㉡
f '(3)=-27+6a_<0에서 a_<9/2 …… ㉢
28 정답과 풀이
㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족시키는 a의 값의 범위는 3_<a_<9/2
따라서 정수 a는 3, 4이므로 그 합은 3+4=7
[1단계] f(x)=2x^3+ax^2+bx+5에서 f '(x)=6x^2+2ax+b [2단계] f(x)=2x^3+3x^2-12x+5에서
f '(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)
⑴ f(x)=2x^3-3x^2-12x에서
f '(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2
수II-II-1,2단원정답(15~37).indd 28 17. 7. 5. 오전 9:22
-2_<x_<3에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -2 .c3 -1 .c3 2 .c3 3
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) -4 ↗ 7 ↘ -20 ↗ -9
따라서 양 끝값과 극값을 비교하면 최댓값: f(-1)=7
최솟값: f(2)=-20
⑵ f(x)=3x^4-4x^3-1에서
f '(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1
구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 .c3 1 .c3 2
f '(x) 0 - 0 +
f(x) -1 ↘ -2 ↗ 15
따라서 양 끝값과 극값을 비교하면 최댓값: f(2)=15
최솟값: f(1)=-2
답 ⑴ 최댓값: 7, 최솟값:-20
⑵ 최댓값: 15, 최솟값:-2
195
f(x)=x^3-3x+a에서
f '(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
0_<x_<2에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x 0 .c3 1 .c3 2
f '(x) - 0 +
f(x) a ↘ a-2 ↗ a+2
따라서 최댓값은 f(2)=a+2, 최솟값은 f(1)=a-2
주어진 조건에서 최댓값이 10이므로 a+2=10 .t3 a=8
답8
197
f(x)=ax^3-6ax^2+b에서 f '(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4
a>0일 때, -1_<x_<2에서 함수 f(x)의 증가와 감소 를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -1 .c3 0 .c3 2
f '(x) + 0
f(x) b-7a ↗ b ↘ b-16a
따라서 최댓값은 f(0)=b, 최솟값은 f(2)=b-16a 주어진 조건에서 최댓값이 10, 최솟값이-22이므로 b=10, b-16a=-22 .t3 a=2, b=10
답a=2, b=10
199
상자의 부피를 f(x)라 하면 f(x)=(6-2x)^2x
=4x^3-24x^2+36x`(0<x<3) f '(x)=12x^2-48x+36=12(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
0<x<3에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) .c3 1 .c3 (3)
f '(x) + 0 - (0)
f(x) (0) ↗ 16 ↘ (0)
따라서 x=1일 때 부피는 최대이고, 이때의 부피는 16 이다.
답x=1, 부피: 16
200
f(x)=-2x^3-6x^2+10에서 f '(x)=-6x^2-12x=-6x(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0
구간 [-3, 2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -3 .c3 -2 .c3 0 .c3 2
f '(x) - 0 + 0
f(x) 10 ↘ 2 ↗ 10 ↘ -30
양 끝값과 극값을 비교하면
최댓값: f(-3)=f(0)=10, 최솟값: f(2)=-30 따라서 M=10, m=-30이므로
M-m=10-(-30)=40
답40
30 정답과 풀이
201
[1단계] f(x)=2x^3+3ax^2-12a^2x+50에서 f '(x)=6x^2+6ax-12a^2
=6(x+2a)(x-a)
[1단계] f(x)=x^4-4x^3+4x^2+a에서 f '(x)=4x^3-12x^2+8x
f '(x)=3x^2-24x+36=3(x-2)(x-6)
y=2x^3-6x^2+6, y=-a로 놓고, 두 그래프의 교점의 개 수를 조사해도 된다.
⑴ -2<-a<6 .t3 -6<a<2
32 정답과 풀이 a+5>0, a-27<0, a<0 .t3 -5<a<0
삼차방정식 f(x)=0이 서로
O 2 -1
y
x y=f{x}
다른 두 개의 양근과 한 개의 음근을 가지려면 y=f(x)의 그 래프가 그림과 같아야 한다. (극댓값)>0, (극솟값)<0, (y축과 만나는 점의 y좌표)>0에서 p+7>0, p-20<0, p>0 .t3 0<p<20
따라서 정수 p는 1, 2, 3, .c3, 19로 그 개수는 19이다.
답19
216
두 곡선 y=x^3-3x^2+5x, y=3x^2-4x+m이 서로 다 른 세 점에서 만나려면 방정식
x^3-3x^2+5x=3x^2-4x+m, 즉
x^3-6x^2+9x-m=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
f(x)=x^3-6x^2+9x-m으로 놓으면 f '(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 1 .c3 3 .c3
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ -m+4 ↘ -m ↗
삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)\(극솟값)<0이어야 하므로
(-m+4)(-m)<0, m(m-4)<0 .t3 0<m<4
답0<m<4
217
x^3-8x+k>4x에서 x^3-12x+k>0 f(x)=x^3-12x+k로 놓으면 f '(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)
이때, x>2에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 x>2에 서 증가함수이다.
x>2일 때 f(x)>0이려면 f(2)=8-24+k_>0 .t3 k_>16
따라서 상수 k의 최솟값은 16이다.
답16
218
[1단계] f(x)=3x^4-8x^3-18x^2+a로 놓으면 f '(x)=12x^3-24x^2-36x
=12x(x+1)(x-3)
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=3 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
x .c3 -1 .c3 0 .c3 3 .c3
f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ a-7 ↗ a ↘ a-135 ↗ 위의 표에 의하여 함수 f(x)는 x=3일 때, 최솟 값 a-135를 갖는다.
[2단계] 모든 실수 x에 대하여 f(x)_>0이려면 (최솟값)_>0이어야 하므로
a-135_>0 .t3 a_>35 따라서 a의 최솟값은 135이다.
답135
220
⑴ (평균속도)= -36-03-0 =-12
⑵ 점 P의 시각 t에서의 위치가 x=1/3t^3-5t^2이므로 속도를 v, 가속도를 a라 하면
v= dxdt =t^2-10t a= dvdt =2t-10
따라서 시각 t=3일 때의 점 P의 속도와 가속도는 v=3^2-10.c13=-21, a=2.c13-10=-4
⑶ 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 v=t^2-10t=0에서 t(t-10)=0
.t3 t=10`(.T3 t>0)
답 ⑴ -12 ⑵ 속도: -21, 가속도: -4 ⑶ 10
222
⑴ h=45+40t-5t^2이므로
t초 후의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v= dhdt =-10t+40, a=dv
dt =-10 따라서 t=2(초)일 때의 속도와 가속도는 v=(-10).c12+40=20(m/초)
a=-10(m/초^2)
34 정답과 풀이
라 하자. semoABCZsemoDEC이므로 4.5`:`y=1.8`:`(y-x) .t3 t=5`(.T3 t>0)
따라서 속도가 45일 때, 즉 t=5일 때의 가속도는
따라서 t=2일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 구하 는 가속도는
2.c12-7=-3
답-3
229
그림과 같이 t초 후에
3`m 2`m A
B E C
D
x`m y`m
가로등을 기준으로 선 수가 움직인 거리를 x`m, 그림자의 끝이 움직인 거리를 y`m라 하자.
semoABCZsemoDEC이므로
3`:`y=2`:`(y-x) .t3 y=3x …… ㉠ 선수가 매초 10`m의 속도로 뛰어가므로 t초 후 선수가 움직인 거리는 x=10t …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 y=30t .t3 dydt =30(m/초)
t초 후의 그림자의 길이를 l이라 하면
l=y-x=30t-10t=20t .t3 dldt =20(m/초)
답20`m/초
230
f(x)=x^4+ax+b로 놓으면 f '(x)=4x^3+a이고 x=1에서 접선의 기울기가 1이므로
f '(1)=4+a=1 .t3 a=-3 또 접점이 (1, 1)이므로 f(1)=1+a+b=1 .t3 b=3 .t3 2a+b=-6+3=-3
답-3
231
f(x)=x^2+1로 놓으면 f '(x)=2x
접점의 좌표를 (t, t^2+1)이라 하면 접선의 기울기는 tan 135°=-1이므로
f '(t)=2t=-1 .t3 t=-1/2
즉, 접점의 좌표는 (-1/2, 5/4)이므로 구하는 접선의 방 정식은
y-5/4=-{x-(-1/2)} .t3 y=-x+3/4
답y=-x+3/4
232
f(x)=x^2-4로 놓으면 f '(x)=2x
접점의 좌표를 (t, t^2-4)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=2t이므로 접선의 방정식은
y-(t^2-4)=2t(x-t) .t3 y=2tx-t^2-4
이 직선이 점 (0, -5)를 지나므로
-5=-t^2-4, t^2=1 .t3 t=-1 또는 t=1 따라서 두 접선의 기울기의 곱은
f '(-1)f '(1)=(-2).c12=-4
답-4
233
f(x)=x^3+kx^2-k+2에서 f '(x)=3x^2+2kx이므로 f '(1)=3+2k
이때 k=-7, -6, -4, -2이면 f '(1)<0이고, k=0이면 f '(1)>0이다.
따라서 f(x)가 x=1에서 증가할 때 k의 값이 될 수 있 는 것은 ⑤이다.
답 ⑤
234
f(x)=x^3, g(x)=ax^2+bx로 놓으면 f '(x)=3x^2, g '(x)=2ax+b
두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 (1, 1)을 지나므 로 f(1)=g(1)에서
a+b=1 …… ㉠
점 (1, 1)에서 두 곡선에 그은 접선의 기울기가 같으므 로 f '(1)= g '(1)에서
3=2a+b …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 .t3 ab=-2
답 ③
235
f(x)=-x^3+ax+b에서 f '(x)=-3x^2+a 함수 f(x)가 x=-1에서 극솟값 0을 가지므로 f(-1)=1-a+b=0 …… ㉠
f '(-1)=-3+a=0 …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2 .t3 f(x)=-x^3+3x+2
36 정답과 풀이
.t3 f '(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x .c3 -1 .c3 1 .c3
f '(x) - 0 + 0
f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값을 갖는다.
따라서 f(x)=-x^3+3x+2이므로 구하는 극댓값은 f(1)=-1+3+2=4
답4
236
f(x)=x^3+ax^2+bx+1에서 f '(x)=3x^2+2ax+b
함수 f(x)가 x=3에서 극솟값 1을 가지므로 f(3)=27+9a+3b+1=1 …… ㉠ f '(3)=27+6a+b=0 …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=9 .t3 f(x)=x^3-6x^2+9x+1
.t3 f '(x)=3x^2-12x+9=3(x-3)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
-1_<x_<3에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x -1 .c3 1 .c3 3
f '(x) + 0 - 0
f(x) -15 ↗ 5 ↘ 1
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 5를 갖는다.
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 5를 갖는다.