4.2 데이터 보간 및 다항식 회귀
4.2.1 데이터 보간
그러나 5분 또는 10분간의 전력 데이터를 활용하여 배터리 충전 및 방전에 따른 배 터리 충전상태(SOC)를 계산할 경우 데이터 수집 간격 시간 동안 일정한 양의 충전 또 는 방전으로 계산되어 경우에 따라 배터리의 충전상태가 20%이하로 떨어지거나 경우에 따라 음(-)의 값을 가질 수도 있다. 이러한 현상을 막기 위하여 시뮬레이션에 적용하는 모든 모델 및 데이터는 1분 시간 단위로 계산 또는 보간하여 적용한다. 이러한 통일된 루프타임(loop time)은 하나의 시뮬레이션 모듈을 활용하여 발전기 및 주 추진기관과 같이 연료유를 소비하는 장비에 대한 연료 소비량 적산을 가능하게 한다. 그러나 너무 짧은 시간 간격에 따른 데이터 보간은 에너지 효율 비교를 위한 연료 소비량 적산에 많은 연산 및 메모리 자원을 필요로 하므로 본 논문의 시뮬레이션은 1분 간격의 데이 터를 적용한다.
데이터 보간은 기법에 따라 여러 방법이 존재한다. 회귀를 통하여 데이터값들을 지 나는 추정 함수(estimated function)를 계산하거나, 주어진 데이터 값들을 연결하는 선형 보간한 값의 사용 또는 2차식 및 다항식의 곡선으로 값을 연결하여 사용하는 등 여러 방법을 통하여 값을 추정할 수 있다. 본 절에서는 시뮬레이션 수행을 위하여 선박 운 항 시나리오(scenario)에 따른 실제 취득한 입력 데이터 항목(발전기별 전력 생산량, 주 추진기관의 출력)에 대하여 1분 간격으로 데이터를 보간 및 회귀한다. 보간된 데이터의 검증은 실제 값과 예측 값의 차이를 나타내는 평균 제곱근 편차(Root Mean Square Error, RMSE), 평균 제곱근 편차의 의존적 오류의 단점을 보완할 수 있는 평균 절대적 백분율 오차(Mean Absolute Percentage Error, MAPE), 예측 값과 실제 값의 차이를 평균 변동 폭으로 나타내는 평균 절대적 스케일 오차(Mean Absolute Scaled Error, MASE) 등이 사 용된다. 본 논문에서 예측 데이터의 검증은 평균 제곱근 오차를 사용하며, 검증 함수는 식 (4.1)과 같다. 여기서 는 예측 값, 는 실제 값, 은 데이터 개수를 의미한다.
(4.1)
① 선형 보간(Linear interpolation)
선형 보간법은 시작 값과 끝 값이 주어졌을 때 사이에 위치한 값을 추정하기 위하여 직선거리에 따라 선형적으로 계산하는 방법으로 식 (4.2)와 같이 나타낼 수 있다.
(4.2)
즉, 선형 보간법은 1차원 직선상에서 양 끝 값을 이음으로 하나의 기울기를 갖도록 하여 직선상에서 이루어지는 보간법이다. Fig. 4.3의 6,800 TEU 선박에서 3번 발전기의 전력 생산량 10분마다의 데이터를 선형 보간을 통하여 1분 간격으로 전력 생산량을 나 타내면 Fig. 4.4와 같다. 선형 보간법을 통한 예측 값은 입력된 에서의 값이 항상 일 치하므로 평균 제곱근 편차는 항상 ‘0’이 된다.
Fig. 4.4 Result of linear interpolation
`
선형 보간법은 보간된 예측 값의 기울기가 급격하게 변하게 된다. 이러한 변화를 부 드럽게 하기 위하여 다항식을 적용한 다항식 보간법을 확장하여 사용할 수 있다.
② 다항식 보간(Polynomial interpolation)
다항식 보간법은 다항식의 차수에 따라 2차, 3차 등으로 나눌 수 있다. 본 논문에서 는 입력한 n개의 포인트(, )의 세트로 주어진 값에서 함수 를 보간하거나 외삽 하도록 한다. 이러한 다항식 보간법은 다항식의 차수 및 계수의 정밀도에 따라 예측된 값이 큰 차이를 가진다. Fig. 4.5는 5차 다항식의 계수를 소수점 6자리까지 처리하였을 때 Fig. 4.3의 입력 값에 대한 예측 값을 나타내며, Fig. 4.6은 6차 다항식의 계수를 소 수점 6까지 처리하였을 때의 예측 값을 나타낸다.
Fig. 4.5 Result of 5thorder polynomial interpolation
Fig. 4.6 Result of 6thorder polynomial interpolation
② 스플라인 보간(Spline interpolation)
스플라인 보간법은 입력 데이터가 순차적일 때 각 데이터 사이 값을 다항식으로 연 결하여 보간하는 것이다. 이때 연결되는 포인트에서 미분계수 또는 고계 미분계수가 일치하도록 하여야 한다.
즉 주어진 데이터는 ( ), ( )과 같은 순서에 따라 입력될 때 포인트( )와 포인트() 사이의 값을 직선이 아닌 다항식을 갖는 곡선으로 적용한다.
각 포인트의 보간 차수에 따라 1차, 2차, 3차 등 보간법이 다소 차이가 발생한다. 본 논문에서는 2차 스플리안 도함수를 적용한다. 스플리안 보간의 2차 도함수는
일 때 보간 함수 는 식 (4.3)과 같이 구간별 함수를 가진다.
≤ ≤
≤ ≤ (4.3) 함수 는 3차 다항식이며 아래와 같은 조건을 충족하도록 한다.
⚫ ,
⚫각 내부 에서 일 때 1차와 2차 도함수는 연속적이어야 한다.
′ ′ ′
′′ ′′ ′′
⚫도함수 :
′′
′
′′
⚫ 이때 는 입력 데이터 개수에서 마지막 두 값을 제외한다.
2차 도함수가 결정되면 구간 [, ]에서, 식 (4.4)와 같은 보간 값을 정의할 수 있 다.
′′ ′′ (4.4)
여기서 계수 , , , 는 식 (4.5)와 같다.
(4.5)
Fig. 4.7은 Fig. 4.2의 값에 대한 2차 도함수 스플라인 보간 값을 나타낸다.
Fig. 4.7 Result of spline interpolation
보간 프로그램은 선형 보간, 다항식 보간, 스플라인 보간을 직관적으로 사용자가 값 을 확인할 수 있도록 그래픽 기반으로 프로그램을 작성하였으며 각 주요 데이터에 따 른 보간 기법을 적용하였을 때 실시간으로 보간된 값을 확인할 수 있도록 하였다. 또 한 보간을 원하는 2D 배열 데이터를 .CSV 파일로 읽어오고 저장할 수 있도록 하였다.
취득 데이터 중 데이터 보간 항목은 아래와 같다. Fig. 4.8은 개발 프로그램의 GUI화면 을 나타내며, Fig. 4.9는 프로그램 블록 다이어그램을 나타낸다.
Fig. 4.8 Front panel of data interpolation program
본 논문에 시뮬레이션 입력 데이터로 활용될 메인 엔진의 출력(kW), 선속(knot), 발전 기 출력(kW), 발전기 부하율(%)의 보간 값은 스플라인 보간 값을 활용하여 적용한다.
Fig. 4.9 Block diagram of data interpolation program