1
필수유형 공략하기
64~70쪽관람한 영화 수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 0, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 6
따라서 중앙값은 4번째와 5번째 값의 평균인 2+3
2 =2.5(편)
∴ b=2.5
∴ a-2b=3-2_2.5=3-5=-2 -2
279
중앙값은 5번째와 6번째 값의 평균이므로 14+16
2 =15(권) 15권
280
공 던지기 기록을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14
따라서 공 던지기 기록의 중앙값은 6번째와 7번째 값의 평균인 10+11
2 =10.5(m)이다.
윗몸 일으키기 기록을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 15, 18, 19, 20, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42, 43, 45, 50, 52 따라서 윗몸 일으키기 기록의 중앙값은 8번째 값인 30회이다.
④
281
(평균) =1_4+2_11+3_7+4_6+5_2
30
=;3*0!;=2.7(회)
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 15번째와 16번째 값의 평균이 중앙값이므로
(중앙값)=2+3
2 =2.5(회) 또 2회의 도수가 11로 가장 크므로 (최빈값)=2(회)
∴ (평균)>(중앙값)>(최빈값)
(평균)>(중앙값)>(최빈값)
282
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 18번째의 값은 155`cm 이상 160`cm 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계 급의 계급값인 157.5`cm이다.
∴ a=157.5 ❶
또 도수가 가장 큰 계급은 160`cm 이상 165`cm 미만이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 162.5`cm이다.
∴ b=162.5 ❷
∴ b-a=162.5-157.5=5 ❸
5
단계 채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 40`%
❷ b의 값 구하기 40`%
❸ b-a의 값 구하기 20`%
a-73=-4
∴ a=69
따라서 규영이의 점수는 69점이다. ③
290
⑤ 변량이 흩어져 있는 정도를 나타내는 값은 분산, 표준편차
등의 산포도이다. ⑤
291
(평균) =29+35+37+38+31
5
=;:!5&:);=34(mm) ❶ 이므로 각 지역의 편차를 표로 나타내면 다음과 같다.
지역 A B C D E
편차(mm) -5 1 3 4 -3
❷
따라서 편차의 절댓값이 가장 큰 지역은 A이다. ❸
A
단계 채점 기준 배점
❶ 평균 구하기 40`%
❷ 각 지역의 편차 구하기 40`%
❸ 편차의 절댓값이 가장 큰 지역 구하기 20`%
292
(평균) =9+7+5+8+7+8+5
7
=;;¢7»;;=7(시간)
따라서 편차는 각각 2, 0, -2, 1, 0, 1, -2시간이므로 (분산) =22+02+(-2)2+12+02+12+(-2)2
7
=;;Á7¢;;=2
∴ (표준편차)='2(시간) '2 시간
293
(평균) =80+100+60+100+60
5
=;:$5):);=80(점)
따라서 편차는 각각 0, 20, -20, 20, -20점이므로 (분산) =02+202+(-20)2+202+(-20)2
5
=1600 5 =320
∴ (표준편차)='¶320=8'5(점) ④
294
(평균) =6+8+5+5+4+10+8+5+3+6
10
=;1^0);=6(회)
283
(중앙값)=13+19 2 =16 평균과 중앙값이 같으므로 (평균)=9+11+13+19+x+23
6 =16
75+x=96 ∴ x=21 21
284
(중앙값)=x+16
2 =15 ∴ x=14 14
285
주어진 자료의 최빈값이 2이므로 x=2
∴ (평균)=5+2+2+8+2+5
6 =;;ª6¢;;=4 ③
286
나머지 변량을 x라 하면 중앙값이 37이므로 x+40
2 =37
x+40=74 ∴ x=34
따라서 구하는 변량은 34이다. ②
287
최빈값이 7이므로 a, b, c 중 적어도 2개는 7이다.
a=b=7이라 할 때, c를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으 로 나열하면
6, 7, 7, 7, 10, 10, 11
중앙값이 8이므로 주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열 하면
6, 7, 7, 7, c, 10, 10, 11 따라서 (중앙값)=7+c
2 =8이므로 7+c=16 ∴ c=9
∴ a+b+c=7+7+9=23 23
288
(평균)=82+x+87+86+85
5 =340+x
5
주어진 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값을 가지려면 x는 82, 87, 86, 85 중 하나이고 최빈값은 x점이다.
평균과 최빈값이 같으므로 340+x
5 =x, 340+x=5x
4x=340 ∴ x=85 85
289
편차의 총합은 0이므로 (-5)+7+3+x+(-1)=0
∴ x=-4
따라서 규영이의 점수를 a점이라 하면 평균이 73점이므로
따라서 편차는 각각 0, 2, -1, -1, -2, 4, 2, -1, -3, 0회 이므로
(분산)
=02+22+(-1)2+(-1)2+(-2)2+42+22+(-1)2+(-3)2+02 10
=;1$0);=4 4
295
편차의 총합은 0이므로
(-10)+(-5)+0+x+10=0
∴ x=5
∴ (분산) =(-10)2+(-5)2+02+52+102
5
=;:@5%:);=50
∴ (표준편차)='¶50=5'2(점) ③
296
평균이 8이므로 7+x+9+10+y
5 =8
26+x+y=40
∴ x+y=14 yy ㉠ ❶
분산이 2이므로
(7-8)2+(x-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(y-8)2
5 =2 ❷
134+x2+y2-16(x+y)=10 위의 식에 ㉠을 대입하면 134+x2+y2-16_14=10
∴ x2+y2=100 ❸
100
단계 채점 기준 배점
❶ 평균을 이용하여 식 세우기 30`%
❷ 분산을 이용하여 식 세우기 30`%
❸ x2+y2의 값 구하기 40`%
297
편차의 총합은 0이므로
(-2)+(-3)+x+1+4+y=0
∴ x+y=0 yy ㉠
표준편차가 2'2이면 분산은 (2'2)2=8이므로 (-2)2+(-3)2+x2+12+42+y2
6 =8
30+x2+y2=48 ∴ x2+y2=18 yy ㉡ 따라서 (x+y)2=x2+y2+2xy에 ㉠, ㉡을 대입하면
0=18+2xy ∴ xy=-9 ②
298
a, b, c, d의 평균이 7이므로
a+b+c+d
4 =7
따라서 3a, 3b, 3c, 3d의 평균은 3a+3b+3c+3d
4 =3_a+b+c+d 4
=3_7=21 a, b, c, d의 분산이 5이므로
(a-7)2+(b-7)2+(c-7)2+(d-7)2
4 =5
따라서 3a, 3b, 3c, 3d의 분산은
(3a-21)2+(3b-21)2+(3c-21)2+(3d-21)2 4
=9_(a-7)2+(b-7)2+(c-7)2+(d-7)2 4
=9_5=45 ⑤
299
a, b, c의 평균이 4이므로 a+b+c
3 =4
따라서 2a-4, 2b-4, 2c-4의 평균은 M =(2a-4)+(2b-4)+(2c-4)
3
=2_a+b+c
3 -4
=2_4-4=4 ❶
a, b, c의 분산이 3이므로 (a-4)2+(b-4)2+(c-4)2
3 =3
따라서 2a-4, 2b-4, 2c-4의 분산은
S2 =(2a-4-4)2+(2b-4-4)2+(2x-4-4)2
3
=4_(a-4)2+(b-4)2+(c-4)2
3
=4_3=12 ❷
∴ M-S2=4-12=-8 ❸
-8
단계 채점 기준 배점
❶ M의 값 구하기 40`%
❷ S2의 값 구하기 50`%
❸ M-S2의 값 구하기 10`%
300
5명의 중간고사 과학 성적을 각각 a, b, c, d, e라 하자.
a, b, c, d, e의 평균이 M이므로 a+b+c+d+e
5 =M
따라서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은 (a+3)+(b+3)+(c+3)+(d+3)+(e+3)
5
=a+b+c+d+e
5 +3
=M+3
a, b, c, d, e의 표준편차가 S이므로 (a-M)2+(b-M)2+y+(e-M)2
5 =S2
a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산은
;5!;{(a+3-M-3)2+(b+3-M-3)2
+y+(e+3-M-3)2}
=;5!;{(a-M)2+(b-M)2+y+(e-M)2}
=S2
따라서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 표준편차는 S이다.
④
301
주어진 자료의 계급값을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급(회) 계급값(회) 도수(명)
3`이상~ 5`미만 4 2
5 ~ 7 6 4
7 ~ 9 8 2
9 ~11 10 1
11 ~13 12 1
합계 10
(평균) =4_2+6_4+8_2+10_1+12_1
10
=;1&0);=7(회)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(회) 편차(회) (편차)2 도수(명)
4 -3 9 2
6 -1 1 4
8 1 1 2
10 3 9 1
12 5 25 1
합계 10
(분산) =9_2+1_4+1_2+9_1+25_1
10
=;1%0*;=5.8
∴ (표준편차)='¶5.8(회) ③
302
(분산) =(-3)2_2+(-1)2_4+02_8+12_2+22_4
20
=;2$0);=2 2
303
(평균) =60_5+70_10+80_30+90_10+100_5
60
=;:$6*0):);=80(점)
각 점수의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
점수(점) 편차(점) (편차)2 도수(명)
60 -20 400 5
70 -10 100 10
80 0 0 30
90 10 100 10
100 20 400 5
합계 60
(분산) =400_5+100_10+0_30+100_10+400_5
60
=;:^6)0):);=100
∴ (표준편차)='¶100=10(점) 10점
304
주어진 자료의 계급값을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급(개) 계급값(개) 도수(명)
0`이상~ 2`미만 1 1
2 ~ 4 3 1
4 ~ 6 5 3
6 ~ 8 7 2
8 ~10 9 3
합계 10
(평균) =1_1+3_1+5_3+7_2+9_3
10
=;1^0);=6(개)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(개) 편차(개) (편차)2 도수(명)
1 -5 25 1
3 -3 9 1
5 -1 1 3
7 1 1 2
9 3 9 3
합계 10
∴ (분산) =25_1+9_1+1_3+1_2+9_3
10
=;1^0^;=6.6 ④
305
⑴ 평균이 6이므로
4_3+5_6+6_3+7_x+8_4
3+6+3+x+4 =6
92+7x 16+x =6 92+7x=96+6x
∴ x=4 ❶
⑵ 편차는 각각 -2, -1, 0, 1, 2이므로
(분산) = (-2)2_3+(-1)2_6+02_3+12_4+22_4
20
=;2#0*;=1.9
∴ (표준편차)='¶1.9 ❷
⑴ 4 ⑵ '¶1.9
단계 채점 기준 배점
❶ x의 값 구하기 50`%
❷ 표준편차 구하기 50`%
306
2+4+10+x=20에서 16+x=20 ∴ x=4
주어진 자료의 계급값을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급(점) 계급값(점) 도수(명)
60`이상~ 70`미만 65 2
70 ~ 80 75 4
80 ~ 90 85 10
90 ~100 95 4
합계 20
(평균) = 65_2+75_4+85_10+95_420
= 166020 =83(점)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(점) 편차(점) (편차)2 도수(명)
65 -18 324 2
75 -8 64 4
85 2 4 10
95 12 144 4
합계 20
(분산) = 324_2+64_4+4_10+144_420
= 152020 =76
∴ (표준편차)='¶76=2'¶19(점) ①
307
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
계급(건) 계급값(건) 도수(명)
0`이상~ 4`미만 2 1
4 ~ 8 6 4
8 ~12 10 7
12 ~16 14 5
16 ~20 18 3
합계 20
(평균) =2_1+6_4+10_7+14_5+18_3
20
=;;ª2ª0¼;;=11(건)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(건) 편차(건) (편차)2 도수(명)
2 -9 81 1
6 -5 25 4
10 -1 1 7
14 3 9 5
18 7 49 3
합계 20
∴ (분산) =81_1+25_4+1_7+9_5+49_3
20
=;;£2¥0¼;;=19 19
308
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
계급(분) 계급값(분) 도수(명)
10`이상~20`미만 15 1
20 ~30 25 5
30 ~40 35 9
40 ~50 45 3
50 ~60 55 2
합계 20
(평균) =15_1+25_5+35_9+45_3+55_2
20
=;;¦2¼0¼;;=35(분)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(분) 편차(분) (편차)2 도수(명)
15 -20 400 1
25 -10 100 5
35 0 0 9
45 10 100 3
55 20 400 2
합계 20
(분산) =400_1+100_5+0_9+100_3+400_2
20
=;:@2)0):);=100
∴ (표준편차)='¶100=10(분) ②
309
주어진 도수분포다각형을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
계급(시간) 계급값(시간) 도수(명)
2`이상~ 4`미만 3 1
4 ~ 6 5 2
6 ~ 8 7 4
8 ~10 9 2
10 ~12 11 1
합계 10
(평균) =3_1+5_2+7_4+9_2+11_1
10
=;1&0);=7(시간)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(시간) 편차(시간) (편차)2 도수(명)
3 -4 16 1
5 -2 4 2
7 0 0 4
9 2 4 2
11 4 16 1
합계 10
(분산) =16_1+4_2+0_4+4_2+16_1
10
=;1$0*;=4.8
∴ (표준편차)='¶4.8(시간) '¶4.8 시간
310
성적이 가장 고른 학급은 분산이 가장 작은 학급인 D이다.
D
311
수면 시간이 가장 불규칙한 학생은 표준편차가 가장 큰 학생인
우진이다. ④
312
분산이 가장 작은 것은 자료의 흩어진 정도가 가장 작은 것이므
로 ④이다. ④
313
①, ②, ③ 표준편차가 작을수록 성적이 고르므로 B반이 A반보 다 성적이 고르다.
④ 두 반의 평균이 같으므로 A반이 B반보다 성적이 우수하다 고 할 수 없다.
⑤ 미술 실기 성적이 90점 이상인 학생 수는 알 수 없다.
따라서 옳은 것은 ②이다. ②
314
① B반의 그래프가 A반보다 더 오른쪽에 있으므로 B반의 평 균이 더 높다.
316
전학을 간 학생의 몸무게를 x`kg이라 하면 20_51-x
19 =50 1020-x=950
∴ x=70
따라서 전학을 간 학생의 몸무게는 70`kg이다. ③
317
주어진 자료의 평균은 3+5+6+8+x
5 = 22+x5 주어진 자료의 중앙값은 6이므로
22+x5 =6, 22+x=30
∴ x=8 8
318
정아의 키를 x`cm라 하면 조건 ㈎, ㈐, ㈑, ㈒에 의하여 5명의 가족의 키를 크기순으로 나열하면
x`cm, 160`cm, 165`cm, 170`cm, 170`cm ❶ 조건 ㈏에 의하여
x+160+165+170+170
5 =163
x+665=815
∴ x=150
필수유형 뛰어넘기
71~72쪽② A반의 성적이 더 흩어져 있으므로 A반의 표준편차가 더 크 다.
③ A반의 성적이 더 흩어져 있으므로 A반의 분산이 더 크다.
④ A반의 개인차가 더 크다.
⑤ A반이 B반보다 성적이 낮은 학생들이 더 많다.
따라서 옳은 것은 ②이다. ②
315
각 히스토그램은 30을 중심으로 좌우 대칭이므로 세 자료의 평 균은 모두 30이다.
A는 평균을 중심으로 변량들이 많이 모여 있고, B는 평균에서 먼 변량들이 가장 많다.
또 C는 변량들이 B보다는 평균 주위에 모여 있지만 A보다는 평균에서 먼 변량들이 더 많음을 알 수 있다.
따라서 표준편차가 작은 것부터 차례로 나열하면 A, C, B이므
로 a<c<b이다. ②
따라서 정아의 키는 150`cm이다. ❷
150`cm
단계 채점 기준 배점
❶ 4명의 가족의 키 구하기 50`%
❷ 정아의 키 구하기 50`%
319
40점을 받은 학생 수를 x명, 50점을 받은 학생 수를 y명이라 하 면
1+x+y+3+1=10
∴ x+y=5 yy ㉠ 평균이 52점이므로
30_1+40_x+50_y+60_3+70_1
10 =52
280+40x+50y
10 =52
28+4x+5y=52
∴ 4x+5y=24 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=4
따라서 40점을 받은 학생은 1명이다. 1명
320
④ 편차의 제곱의 평균을 분산이라 한다. ④
321
① 2회 때의 편차를 x점이라 하면 편차의 총합은 0이므로 1+x+0+4+(-3)=0 ∴ x=-2
따라서 2회 때의 편차는 -2점이다.
② (분산) = 12+(-2)2+02+42+(-3)2
5
=;;£5¼;;=6
③ (표준편차)='6(점)
④ 평균은 알 수 없다.
⑤ 4회 때의 점수가 가장 높다.
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
322
(평균) = (a+3)+a+(a-7)+(a+4)4
= 4a4 =a ❶
(분산) = (a+3-a)2+(a-a)2+(a-7-a)2+(a+4-a)2
4
= 9+0+49+164
=;;¦4¢;;=18.5 ❷
∴ (표준편차)='¶18.5 ❸
'¶18.5
단계 채점 기준 배점
❶ 평균 구하기 50`%
❷ 분산 구하기 40`%
❸ 표준편차 구하기 10`%
323
x1+x2+x3+y+x10=10이므로 (평균)=x1+x2+x3+y+x10
10 =;1!0);=1 x12+x22+x32+y+x102=160이므로 (분산)
=(x1-1)2+(x2-1)2+(x3-1)2+y+(x10-1)2 10
=x12+x22+x32+y+x102-2(x1+x2+x3+y+x10)+10 10
= 160-2_10+1010 =15 15
324
세 수 x, y, z의 평균이 1이므로 x+y+z
3 =1
∴ x+y+z=3 yy ㉠
표준편차가 2이면 분산은 22=4이므로 (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2
3 =4
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=12
∴ x2+y2+z2-2(x+y+z)=9 위의 식에 ㉠을 대입하면 x2+y2+z2-2_3=9
∴ x2+y2+z2=15
따라서 세 수 x2, y2, z2의 평균은 x2+y2+z2
3 =;;Á3°;;=5 5
325
주어진 자료를 도수분포표로 나타 내면 오른쪽과 같으므로 최빈값은 가장 많이 나타나는 2회이다.
(평균)
= 0_2+1_5+2_7+3_3+4_320
=;2$0);=2(회)
따라서 각 계급의 편차는 각각 -2, -1, 0, 1, 2회이므로
(분산) =(-2)2_2+(-1)2_5+02_7+12_3+22_3
20
=;2@0*;=1.4 ④
안타 수(회) 도수(경기)
0 2
1 5
2 7
3 3
4 3
합계 20
326
학생 수가 20명이므로 x+5+5+4+2+y=20
∴ x+y=4 yy ㉠ 편차의 총합은 0이므로
(-2)_x+(-1)_5+0_5+1_4+2_2+3_y=0
∴ -2x+3y=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=1
(분산)=(-2)2_3+(-1)2_5+02_5+12_4+22_2+32_1 20
=;2#0*;=1.9
∴ (표준편차)='¶1.9(회) '¶1.9 회
327
주어진 자료의 계급값을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급(점) 계급값(점) 도수(명)
50`이상~ 60`미만 55 x
60 ~ 70 65 1
70 ~ 80 75 3
80 ~ 90 85 3
90 ~100 95 2
평균이 79점이므로
55_x+65_1+75_3+85_3+95_2
x+1+3+3+2 =79
55x+735 x+9 =79 55x+735=79x+711
24x=24 ∴ x=1 ❶
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(점) 편차(점) (편차)2 도수(명)
55 -24 576 1
65 -14 196 1
75 -4 16 3
85 6 36 3
95 16 256 2
합계 10
∴ (분산) = 576_1+196_1+16_3+36_3+256_210
=;:!1$0$:);
=144 ❷
144
단계 채점 기준 배점
❶ x의 값 구하기 50`%
❷ 분산 구하기 50`%
328
전체 학생이 20명이므로 3시간 이상 5시간 미만인 계급의 도수 는
20-(1+7+2)=10(명)
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
계급(시간) 계급값(시간) 도수(명)
1`이상~3`미만 2 1
3 ~5 4 10
5 ~7 6 7
7 ~9 8 2
합계 20
(평균) = 2_1+4_10+6_7+8_220
=;;Á2¼0¼;;=5(시간)
각 계급값의 편차와 (편차)2을 표로 나타내면 다음과 같다.
계급값(시간) 편차(시간) (편차)2 도수(명)
2 -3 9 1
4 -1 1 10
6 1 1 7
8 3 9 2
합계 20
(분산) = 9_1+1_10+1_7+9_220
=;2$0$;=2.2
∴ (표준편차)='¶2.2(시간) '¶2.2 시간
329
4명 모두 점수의 분포가 3점을 기준으로 좌우 대칭이므로 평균 은 모두 3점이다.
또 이들 중 화살의 개수가 평균 주위에 가장 밀집되어 있는 선 수는 B이므로 B의 표준편차가 가장 작다.
즉, B의 점수가 가장 고르다고 할 수 있다.
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
다른 풀이 A의 평균은
1_2+2_2+3_2+4_2+5_2
10 =3(점)
A의 분산은
(-2)2_2+(-1)2_2+02_2+12_2+22_2
10 =2
B의 평균은
1_1+2_2+3_4+4_2+5_1
10 =3(점)
B의 분산은
(-2)2_1+(-1)2_2+02_4+12_2+22_1
10 =1.2
C의 평균은
1_1+2_3+3_2+4_3+5_1
10 =3(점)
330
160 170 180 0
생의 국어 성적은 100점이다. 100점
333
;2¤0;_100=30(%) ③ 80
;2¢0;_100=20(%) ❷