j1-2 sin h cos hl-j1+2 sin h cos hl
=1sin@ h-2 sin h cos h3+cos@ h3-1sin@ h+2 sin h cos h3+cos@ h3
=1{sin h-cos h}@3-1{sin h+cos h}@3
=|sin h-cos h|-|sin h+cos h|
=-sin h+cos h-{sin h+cos h} {? 0<sin h<cos h}
=-2 sin h {1+sin h}{1-sin h}
= 2 1-tan h={2-j3}{1+tan h}
{3-j3} tan h=-1+j3 sin h-cos h>0
/ sin h-cos h=j31k
2p<h<2p이면 sin h<0, cos h>0이므로 sin h-cos h<0
/ sin h-cos h=-j15k
즉, 1
sin h cos h=2이므로 sin h cos h=1 2
/ {sin h+cos h}@ =sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h =1+2\1
2=2 이때 p<h<3
2p이면 sin h<0, cos h<0이므로 sin h+cos h<0 / sin h+cos h=-j2
/ sin# h+cos# h ={sin h+cos h}{sin@ h-sin h cos h+cos@ h}
=-j2\[1- 12 ]=-j2 2
058
답 ②log 2 sin h+log 2 cos h=-1에서 log 2 sin h cos h=log 2 1
2 / sin h cos h=1 2 / {sin h+cos h}@ =sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h
=1+2\1 2=2
이때 h가 제1사분면의 각이면 sin h>0, cos h>0이므로 sin h+cos h>0 / sin h+cos h=j2
log 2 {sin h+cos h}=log 2 x-1 2 에서 log 2 {sin h+cos h}=log 2 x-log 2 j2 / log 2 j2=log 2 xj2
따라서 x
j2=j2이므로 x=2
059
답 ①이차방정식 3x@-x+k=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 sin h+cos h=1
3 yy ㉠
sin h cos h=k
3 yy ㉡
㉠의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=1 9 1+2 sin h cos h=1
9 / sin h cos h=-4 9 따라서 ㉡에서 k
3=-4 9 이므로 k=-4
3
060
답 -1이차방정식 2x@-2x+k=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 {sin h+cos h}+{sin h-cos h}=1 yy ㉠
{sin h+cos h}{sin h-cos h}=k
2 yy ㉡
㉠에서 2 sin h=1 / sin h=1 2
㉡의 좌변을 간단히 하면
{sin h+cos h}{sin h-cos h} =sin@ h-cos@ h
=sin@ h-{1-sin@ h}
=2 sin@ h-1
즉, 2 sin@ h-1=k
2 이므로 sin h=1
2 을 대입하면 1
2-1=k
2 / k=-1
061
답 -j15k이차방정식 9x@+kx+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 sin@ h cos@ h=1
9 yy ㉠
이때 p<h<3
2p이면 sin h<0, cos h<0이므로 ㉠에서 sin h cos h=1
3
{sin h+cos h}@=1+2 sin h cos h=1+2\1 3=5
3 이므로 sin h+cos h=-j15k
3 {? sin h<0, cos h<0}
/ 1 sin h + 1
cos h =sin h+cos h sin h cos h
= -j15k 3 1 3
=-j15k
062
답 3x@+8x+3=0이차방정식 4x@-2x+k=0의 두 근이 sin h, cos h이므로 근과 계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=1
2 yy ㉠
sin h cos h=k
4 yy ㉡
㉠의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=1 4 1+2 sin h cos h=1
4 / sin h cos h=-3 8 즉, ㉡에서 k
4=-3
8 이므로 k=-3 2 이때 tan h와 1
tan h 의 합과 곱을 구하면 tan h+ 1
tan h =sin h cos h+cos h
sin h=sin@ h+cos@ h sin h cos h = 1
sin h cos h=-8 3 tan h\ 1
tan h=1 따라서 tan h, 1
tan h 을 두 근으로 하고 x@의 계수가 -2k=3인 이 차방정식은
3[x@+ 83x+1]=0 / 3x@+8x+3=0
063
답 ②① -1300!=360!\{-4}+140!
② -590!=360!\{-2}+130!
③ 500!=360!\1+140!
④ 1220!=360!\3+140!
⑤ 1940!=360!\5+140!
따라서 a의 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
05 삼각함수
5
064
답 ①h가 제4사분면의 각이므로
360!\n+270!<h<360!\n+360! {n은 정수}
/ 120!\n+90!<h
3<120!\n+120!
! n=3k {k는 정수}일 때 360!\k+90!<h
3<360!\k+120!
따라서 h
3 는 제2사분면의 각이다.
@ n=3k+1 {k는 정수}일 때 360!\k+210!<h
3<360!\k+240!
따라서 h
3 는 제3사분면의 각이다.
# n=3k+2 {k는 정수}일 때 360!\k+330!<h
3<360!\k+360!
따라서 h
3 는 제4사분면의 각이다.
!, @, #에서 각 h
3 를 나타내는 동경이 존재할 수 없는 사분면 은 제1사분면이다.
065
답 67600!=600\ p 180=10
3p이므로 a=3, b=10
또 3
10 p= 310 p\ 180!p =54!이므로 c=54
/ a+b+c=3+10+54=67
066
답 79pp
9 와 각 h의 크기를 각각 3배하면 p 3 , 3h p
3 를 나타내는 동경과 각 3h를 나타내는 동경이 일치하므로 3h-p
3=2np {n은 정수}
3h=2np+p
3 / h=2
3np+ p9 yy ㉠ 0<h<p에서 0<2
3np+ p9<p / -1
6<n<4 3
이때 n은 정수이므로 n=0 또는 n=1 이를 ㉠에 대입하면 h=p
9 또는 h= 79p 그런데 h=p
9 이므로 h= 79p
067
답 2p각 4h를 나타내는 동경과 각 8h를 나타내는 동경이 y축에 대하여 대칭이므로
4h+8h={2n+1}p {n은 정수}
12h={2n+1}p / h=2n+1
12 p yy ㉠
0<h<2p에서 0<2n+1
12 p<2p / -1
2<n<23 2 이때 n은 정수이므로 n=0, 1, 2, y, 11
따라서 각 h는 n=11일 때 최댓값, n=0일 때 최솟값을 가지므로 n=11을 ㉠에 대입하면 h=23
12p n=0을 ㉠에 대입하면 h=p
12
따라서 각 h의 크기의 최댓값과 최솟값의 합은 23
12p+ p 12=2p
068
답 ④호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 S=1
2rl에서 12p=1
2\r\4p / r=6 l=rh에서 4p=6h / h=2
3p / rp
h =6p 2 3p=9
069
답 504`m@CAOB=h, OXAZ=r`m라 하면 부채꼴 OAB에서 40=rh yy ㉠ 부채꼴 OCD에서 16={r-18}h 16=rh-18h, 16=40-18h 18h=24 / h=4
3 이를 ㉠에 대입하면 40=4
3r / r=30
따라서 도형 ABDC의 넓이는 1
2\30\40-1
2\{30-18}\16=504{m@}
070
답 ②부채꼴의 반지름의 길이를 r`m라 하면 둘레의 길이가 200`m이므 로 호의 길이는 {200-2r}`m이다.
부채꼴의 넓이를 S`m@라 하면 S =1
2r{200-2r}=-r@+100r
=-{r-50}@+2500 {0<r<100}
따라서 r=50일 때 S의 최댓값은 2500`m@이다.
071
답 ③오른쪽 그림에서 OPZ=1{-3}@+4@3=5이 므로 삼각함수의 정의에 의하여
cos h=-3
5 , tan h=-4 3 / 15{cos h-tan h}
=15-- 35-[- 43 ]==11
y
-3 O
-5 5
-5 5 P
x 4
h
072
답 25 sin h>0, cos h<0, tan h<0/ |cos h-sin h+tan h|-1tan@ h3-sin h 1+cos h=3{1-cos h}
4 cos h=2 / cos h=1 sin h+cos h>0
/ sin h+cos h=3j5