P
159
ㄱ. A, B 두 고등학교 학생들의 성적의 평균이 같고, A고등학교 학생들의 성적의 표준편차가 B고등학 교보다 크므로 A고등학교에 성적이 우수한 학생 들이 더 많이 있다. (참)
ㄴ. A, B 두 고등학교 학생들의 성적의 평균은 같다.
(거짓) ㄷ. B고등학교 학생들의 성적의 표준편차가 C고등학
교보다 더 작다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ
161
정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는
N Y
확률변수 X의 정규분포곡선은 오른쪽 그림과 같이 직선 x=m 에 대하여 대칭이고, 조건 ㈎에서 P(X¾64)=P(XÉ56)이므로 m= 64+562 =60, 즉 E(X)=60
160
이차방정식 xÛ`+Zx+1=0이 서로 다른 두 실근을 가 지므로 판별식을 D라 하면
D=ZÛ`-4>0 ∴ Z<-2 또는 Z>2 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(Z<-2 또는 Z>2) =P(|Z|>2)
=1-P(|Z|É2)
=1-2_0.4772
=0.0456 답
0.0456
162
확률변수 X는 정규분포 N(5, 3Û`)을 따르므로 ZX= X-53 로 놓으면 ZX는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따른다.
∴ P(X¾k)=P{ZX¾ k-53 }
또, 확률변수 Y는 정규분포 N(16, 4Û`)을 따르므로 ZY= Y-164 으로 놓으면 ZY는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(YÉ-k)=P{ZYÉ -k-164 }
=P{ZY¾- -k-164 }
즉, P{ZX¾ k-53 }=P{ZY¾- -k-164 }이므로 k-53 =--k-16
4 , 4k-20=3k+48
∴ k=68 답
68
0.5-P{0ÉZÉ k-24865 }=0.2
∴ P{0ÉZÉ k-24865 }=0.3 이때 P(0ÉZÉ0.84)=0.3이므로
k-248
65 =0.84 ∴ k=302.6 따라서 합격자의 최저 점수는 302.6점이다.
답
302.6점
조건 ㈏에 의하여
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=3616-3600=16
∴ r='16=4
∴ P(XÉ68) =P(XÉ60+2_4)
=P(XÉm+2r)
=P(XÉm)+P(mÉXÉm+2r)
=0.5+0.4772=0.9772 답 ④
163
학생들의 국어, 영어, 수학 성적을 각각 확률변수 XÁ, Xª, X£이라 하면 XÁ, Xª, X£은 각각 정규분포 N(50, 13Û`), N(64, 17Û`), N(62, 14Û`)을 따르므로 ZÁ=XÁ-50
13 , Zª=Xª-64
17 , Z£=X£-62 14
로 놓으면 확률변수 ZÁ, Zª, Z£은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
A의 국어, 영어, 수학 성적을 표준화하면 국어: ZÁ= 65-5013 =;1!3%;
영어: Zª= 82-6417 =;1!7*;
164
고객의 집에서 시장까지의 거리를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(1740, 500Û`)을 따르므로
Z= X-1740500 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규 분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X¾2000)=P{Z¾ 2000-1740500 }
=P(Z¾0.52)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.52)
=0.5-0.2=0.3 P(X<2000) =1-P(X¾2000)
=1-0.3=0.7
집에서 시장까지의 거리가 2000`m 미만인 사건을 A, 자가용을 이용하여 시장에 오는 사건을 B라 하면 P(A;B) =P(A)P(B|A)
=0.7_0.05=0.035 P(A` ;B) =P(A` )P(B|A` )
=0.3_0.15=0.045
∴ P(B) =P(A;B)+P(A`
'
B)=0.035+0.045=0.08 따라서 구하는 확률은
P(A|B)=P(A;B)
P(B) = 0.0350.08 =;1¦6; 답 ②
165
확률변수 X가 이항분포 B(100, p)를 따르므로
E(X)=100p yy`㉠
100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포를 따른다.
이때 P(X¾25)=0.5이므로
E(X)=25 yy`㉡
166
192명의 고객 중 C 회사의 제품을 선택할 고객의 수를 확률변수 X라 하면 한 명의 고객이 C 회사의 제품을 선택할 확률은 ;1ª0°0;=;4!;이므로 X는 이항분포 B{192, ;4!;}을 따른다.
∴ E(X)=192_;4!;=48 V(X)=192_;4!;_;4#;=36
이때 192는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 으로 정규분포 N(48, 6Û`)을 따른다.
따라서 Z= X-486 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X¾42)=P{Z¾ 42-486 }=P(Z¾-1)
=P(Z¾0)+P(-1ÉZÉ0)
=P(Z¾0)+P(0ÉZÉ1)
=0.5+0.3413=0.8413 답 ⑤
167
주어진 식은 한 번의 시행에서 일어날 확률이 ;5!;인 사 건이 100번의 시행 중 22번 이상 일어날 확률이다.
한 번의 시행에서 어떤 사건이 일어날 확률이 ;5!;일 때, 100번의 독립시행에서 이 사건이 일어나는 횟수를 확 률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{100, ;5!;}을 따르 므로
E(X)=100_;5!;=20 V(X)=100_;5!;_;5$;=16
이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 으로 정규분포 N(20, 4Û`)을 따른다.
수학: Z£= 75-6214 =;1!4#;
이고 ZÁ, Zª, Z£ 중 그 값이 클수록 다른 학생에 비해 성적이 좋은 편이다.
따라서 ZÁ>Zª>Z£이므로 상대적으로 가장 성적이
좋은 과목은 국어이다. 답 국어
㉠, ㉡에서 100p=25 ∴ p=;4!;
따라서 V(X)=100_;4!;_;4#;=:¦4°:이므로
V(2X)=2Û` V(X)=4_:¦4°:=75 답
75
연습문제 실력
U P
168
한 개의 주사위를 450번 던질 때, 1 또는 2의 눈이 나 오는 횟수를 확률변수 X라 하면 주사위를 1번 던져 1 또는 2의 눈이 나올 확률은 ;6@;=;3!;이므로 X는 이항 분포 B{450, ;3!;}을 따른다.
∴ E(X)=450_;3!;=150 V(X)=450_;3!;_;3@;=100
이때 450은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적 으로 정규분포 N(150, 10Û`)을 따른다.
따라서 Z= X-15010 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준 정규분포 N(0, 1)을 따른다.
즉, P(130ÉXÉc)=0.8185에서 P{ 130-15010 ÉZÉ c-15010 }=0.8185 P{-2ÉZÉ c-15010 }=0.8185
P(-2ÉZÉ0)+P{0ÉZÉ c-15010 }=0.8185 P(0ÉZÉ2)+P{0ÉZÉ c-15010 }=0.8185 0.4772+P{0ÉZÉ c-15010 }=0.8185
∴ P{0ÉZÉ c-15010 }=0.3413 이때 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로
c-150
10 =1 ∴ c=160 답
160
169
1600번의 시행 중 10점을 얻는 횟수를 확률변수 X, 2점을 잃는 횟수를 확률변수 Y라 하면
X+Y=1600 yy`㉠
점수가 832점인 경우는
10X-2Y=832 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X=336, Y=1264
즉, 게임을 1600번 독립적으로 시행한 후의 점수가 832점 이상이려면 X¾336이어야 한다.
이때 X는 이항분포 B{1600, ;5!;}을 따르므로 E(X)=1600_;5!;=320
V(X)=1600_;5!;_;5$;=256
이때 1600은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사 적으로 정규분포 N(320, 16Û`)을 따른다.
따라서 Z= X-32016 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준 정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X¾336) =P{Z¾ 336-32016 }=P(Z¾1)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-0.3413=0.1587 답
0.1587
따라서 Z= X-204 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ (주어진 식)
=P(X=22)+P(X=23)+`y`+P(X=100) =P(X¾22)
=P{Z¾ 22-204 } =P(Z¾0.5)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5)
=0.5-0.1915=0.3085 답
0.3085
170
주머니에서 임의로 1장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적힌 숫자를 확률변수 X라 하면 X의 확률분포는 다음 표 와 같다.
X 1 3 5 7 9
합계P(X=x) ;5!; ;5!; ;5!; ;5!; ;5!; 1
∴ E(X)=1_;5!;+3_;5!;+5_;5!;+7_;5!;+9_;5!;
=5
V(X)=1Û`_;5!;+3Û`_;5!;+5Û`_;5!;+7Û`_;5!;
+9Û`_;5!;-5Û`
=8
171
상자에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 X라 하면 X의 확률분포는 다음 표와 같다.
X 1 2 3
합계P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1
∴ E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;=;3&;
V(X)=1Û`_;6!;+2Û`_;3!;+3Û`_;2!;-{;3&;}Û`
=;9%;
이때 표본의 크기가 n이고 표본평균 XÕ의 분산이 ;3°6;
이므로
V(XÕ)=V(X) n =;9%;
n =;3°6;
∴ n=4 답
4
173
모집단이 정규분포 N(75, 4Û`)을 따르고 표본의 크기 가 n이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N{75, { 4'n }Û`}
을 따른다.
이때 Z= XÕ-754 'n
로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규
분포 N(0, 1)을 따르므로 P(73ÉXÕÉ77)¾0.9544에서 P
¦
73-754'n
ÉZÉ 77-754
'n
¥
¾0.9544P{- 'n
2 ÉZÉ'n
2 }¾0.9544 2P{0ÉZÉ 'n
2 }¾0.9544
∴ P{0ÉZÉ 'n
2 }¾0.4772 그런데 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
'n2 ¾2, 'n¾4 ∴ n¾16
따라서 n의 최솟값은 16이다. 답
16
174
표본평균 x®=300, 표본의 크기 n=400이고, n은 충 분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차 50을 이용 한다.
즉, 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 300-1.96_ 50'¶400ÉmÉ300+1.96_ 50'¶400
∴ 295.1ÉmÉ304.9
172
모집단이 정규분포 N(170, 12Û`)을 따르고 표본의 크 기가 16이므로 표본평균 XÕ는 정규분포
N{170, 12Û`16 }, 즉 N(170, 3Û`)을 따른다.
이때 Z= XÕ-1703 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(167ÉXÕÉk)=0.8185에서
P{ 167-1703 ÉZÉ k-1703 }=0.8185 P{-1ÉZÉ k-1703 }=0.8185
P(0ÉZÉ1)+P{0ÉZÉ k-1703 }=0.8185 이때 표본의 크기가 2이므로
E(XÕ)=E(X)=5 V(XÕ)=V(X)
2 =;2*;=4
따라서 E(XÕÛ`) =V(XÕ)+{E(XÕ)}Û`=4+5Û`=29, V(4XÕ+2)=4Û` V(XÕ)=16_4=64이므로 E(XÕÛ`)+V(4XÕ+2)=93 답
93
0.3413+P{0ÉZÉ k-1703 }=0.8185
∴ P{0ÉZÉ k-1703 } =0.8185-0.3413
=0.4772 그런데 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
k-170
3 =2, k-170=6
∴ k=176 답
176
연습문제 실력
U P
175
표본의 크기 1600이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차 16을 이용한다.
따라서 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간 aÉmÉb에 대하여
b-a=2_1.96_ 16'Ä1600=1.568 답
1.568
176
표본의 크기를 n이라 하면
신뢰도 99`%로 추정한 모평균 m의 신뢰구간은 x®-2.58_ 1'nÉmÉx®+2.58_ 1'n
-2.58_ 1
'nÉm-x®É2.58_ 1 'n
|m-x®|É2.58_ 1 'n
모평균 m과 표본평균 x®의 차가 0.43`km/L 이하이어 야 하므로
2.58_ 1'nÉ0.43, 'n¾6
∴ n¾36
따라서 적어도 36대의 자동차를 조사해야 한다.