현재 사용되는 많은 측정 장치의 스펙트로그램(Spectrogram)은 푸리에 변환을 이용하 여 주기성을 파악하고 있다. 하지만 이 방법은 단주기 비주기성을 파악하기에는 그리 유용하지 못하다.
그러므로 단주기 비 주기성을 좀 더 정확히 파악하기 위해서는 푸리에 변환 대신 단 시간 푸리에 변환을 이용해야 한다. 단시간 푸리에 변환이란 주어진 신호를 좁은 영역 의 단편으로 나눈 후 푸리에 변환을 이용하여 각 단편 내에 존재하는 주파수를 확인하 는 신호처리 방식으로 시간에 따른 스펙트럼 변화를 알 수 있어 시변 신호(time-varying signal) 연구에 가장 널리 사용되는 방식이다.[94]
강력한 분석 도구인 단시간 푸리에 변환은 측정 장치에서 검출된 디지털 신호를 작 은 단편(Segment)으로 나누기 위해 원도우(Window) 함수를 사용해야 하는데 원도우에 따른 신호의 변형이 발생하므로 원도우 선택에 주의가 요구된다. 식(2.12)에서 먼저 선 택한 중심이 t 인 원도우 함수 x(t)을 디지털 신호의 첫 부분에 위치시킨 후 디지털 신 호와 곱한다.
(2.12)
for ≠
for
그러면 t주변의 신호는 강조되고 t에서 멀리 떨어진 신호는 감추어진다.
그런 후 푸리에 변환을 한다. 그러면 원도우를 통과한 디지털 신호는 시간 t주위의 신호를 강조하기 때문에 푸리에 변환은 t 주위의 주파수 분산을 반영하게 된다. 그런 다음 원도우 함수를 원도우 크기의 1/2 만큼 이동시킨 후 다시 디지털 신호와 원도우 함수를 곱하고 푸리에 변환을 수행한다. 원도우 함수가 디지털 신호의 끝에 이를 때까 지 이 절차를 반복한다.
단시간 푸리에 변환은 위의 절차에 따라 진행되며 실제 불연속적인 신호를 계산하기 위해서는 다음 식과 같이 정의 되는 불연속 단시간 푸리에 변환(Discrete Short-Time Fourier Transform)을 식(2.13)처럼 따르게 된다.
(2.13)
≤ ≤
≤ ≤
max
이때 X[n,k]는 샘플수가 n개이고 주파수가 k개인 신호 x[n]의 시간 주파수 분포이다.
신호의 주파수가 시간에 따라 어떻게 변하는지 시각적으로 보여주기 위해서는 신호 의 첫 번째 단편(segment)를 푸리에 변환 한 후 행렬의 첫 번째 행(column)에 놓고 두 번째 단편(segment)의 푸리에 변환 결과를 두 번째 행(column)에 위치시키는 절차를 신 호의 끝까지 반복하여 2차원 행렬을 구성한다. 그런 후 가로축을 주파수 항으로 세로 축을 시간항으로 설정하고 각점에서의 진폭(Amplitude)를 주파수 강도로 표현한다.
단시간 푸리에 변환의 시간주파수 분해능(time frequency resolution)은 어느 정도 제한 된다. 왜냐하면 원도우가 일정한 크기를 갖고 있다면 신호의 일부분만 갖게 되므로 시 간 해상도는 높아지나 주파수 해상도는 낮아지기 때문이다.
반면 원도우가 무한히 크면 전체 신호를 갖게 되므로 주파수 해상도는 높아지나 시 간에 대한 정보는 알 수 없게 된다. 즉 시간 해상도가 높아지면 주파수 해상도는 낮아 지고 시간 해상도가 낮아지면 주파수 해상도가 높아지게 되므로 실제 적용에서는 시간 과 주파수에 대한 정보를 모두 알 수 있도록 원도우의 크기를 조절해야 한다.
스펙트로그램은 소리나, 파동을 시각화하여 파악하기 위한 도구로 웨이브폼
(Waveform)과 스펙트럼의 특징이 조합되어 있다. 파형에서는 시간축의 변화에 따른 진 폭축의 변화를 볼 수 있다. 스펙트럼에서는 주파수 축의 변화에 따른 진폭축의 변화를 볼 수 있으며, 스펙트로그램에서는 시간축과 주파수 축의 변화에 따른 진폭의 차이를 농도 표시 색상으로 차이를 나타낸다.
스펙트로그램은 시간영역에서 STFT(short time Fourier transform)을 통해 신호의 주파 수(Fs) 변환을 보여준다. 신호의 sampling 주파수에 의해서 스펙트로그램의 주파수 영역 은 Fs/2로 제한이 된다. 주파수 대역에서의 신호는 강도에 따라서 색깔 변화 차이로 표 시한다. 일반적으로 분석하는 신호는 시간에 따라 그 질도 변하고, 그 크기도 변화하는
매우 복잡한 것이다. 다시 말해 신호는 시간에 따라 그 구성 성분의 종류와 양이 변화 한다.
스펙트로그램은 시간의 개념 없이 신호의 파형을 구성하고 있는 내용물의 질과 양을 보여주는 스펙트럼과 달리 시간의 축을 덧붙여 주파수와 진폭의 시간에 따른 변화를 보여주는 삼차원 적인 그림이라 할 수 있다.
따라서 스펙트럼은 x 와 y 의 두 축으로 구성되어 있는 반면, 스펙트로그램은 x, y, z의 세 축을 가지고 있다. 따라서 스펙트로그램은 x 축을 시간, y 축을 주파수, z 축을 진폭(강도)로 표시한다.