단순-단순 지지조건의 보 파형가정함수

___{  }⋅ _{  }^{  }



^{⋅  } (4-53)

_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수값

(4-53)식에서 구한 파형함수의 운동 방정식에 직교 관계식을 이용하여 2차 및 3차 모드 이상의 파형함수를 구할 수 있다.     에 만족하는 값으로



_{ }^{ ⋅⋅ } (4-54) 여기서, I, j는 진동차수이고, _는 Kronecker delta이다.

단순-고정 지지조건의 2차 모드 파형함수는

_ __⋅  _⋅_ (4-55) (4-55)식 양변에 _을 곱하여 적분하면,



_{ }^{ ⋅⋅ }



_{ }^{ ⋅  ⋅  } (4-56)

_ 



_{ }^{ ⋅}



_{ }^{ ⋅⋅}

(4-57)

(4-55)식 양변을 제곱하고 직교관계식을 이용 _ 계수를 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{ ⋅  ⋅⋅}



_{ }^{ ⋅}

(4-58)

_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수 값

(4-57),(4-58)식을 (4-55)식에 대입하면 2차 모드 가정파형함수를 구현 할 수 있다.

단순-단순 지지조건의 3차모드 파형함수는,

_ __⋅  _⋅_ _⋅_ (4-59)

양변에 _를 곱하여 적분하면,



_{ }^{ ⋅⋅ }



_{ }^{ ⋅  ⋅ ⋅⋅  } (4-60) 직교관계식에 의해



_{ }^{ ⋅⋅⋅ 이므로}

_ 



_{ }^{ ⋅}



_{ }^{ ⋅⋅}

(4-61)

(4-59)식 양변에 _을 곱하여 적분하면,



_{ }^{ ⋅⋅ }



_{ }^{ ⋅⋅  ⋅⋅ ⋅  } (4-62) 직교관계식에 의해



_{ }^{ ⋅⋅⋅ 이므로}

_ 



_{ }^{ ⋅}



_{ }^{ ⋅⋅⋅}

(4-63)

(4-59)식 양변을 제곱하여 직교관계식을 이용 _ 계수를 구할 수 있다.

_^_{ }



_{ }^{ ⋅  ⋅ ⋅⋅}



_{ }^{ ⋅}

(4-64)

_ : 정규화식의 크기를 만족시키는 상수

4차 이상 모드함수는 (4-59)식 일반화 함수를 이용하여 모드에 필요한 계수 와 다항식을 구할 수 있다.

제 2 절 단일 판넬 구조의 파형가정함수

4장에서 보 구조물의 파형함수에 대해 언급하였다. Fig.7의 그림에서 X축과 Y 축 모두 고정-고정 지지조건  을 갖고 수식 전개의 편리성을 위하여 무차원 (  

 )화 하면 식(4-65)와 (4-66)으로 정의할 수 있다.

 _{  }



^{ ⋅ } (4-65)

  



  



_⋅_ (4-66)

_{ }_ 는 보 구조물 파형함수의 일반좌표계이다.

두식의 선형 조합으로 식 (4-67)로 판넬 구조물의 파형함수를 정의 할 수 있다.

   _{  }



^ _{  }



^{ ⋅⋅}⋅ (4-67)

_ 는 판넬 구조물 파형함수의 일반좌표계이다.

판넬 구조물의 지지조건에 따라 보 파형함수의 조합으로 판 파형함수를 구현할 수 있다. 예를 들어 X축 : 고정-단순지지, Y축 : 고정-고정지지 조건이면,

 



  



_⋅_{ } (4-68)

 



  



_⋅ (4-69)

   



  





  



_⋅_⋅_⋅ (4-70)

식(4-70)은 판넬 구조의 양 변의 지지조건이 고정-단순, 고정-고정조건에서 판 넬 파형 함수를 정의하였다.

또, X축 : 고정-단순지지, Y축 : 고정-단순지지조건 일 경우,

 



  



_⋅_{ } (4-71)

  



  



_⋅_ (4-72)

   _{  }



^ _{  }



^{ ⋅⋅}⋅ (4-73)

식(4-73)은 판넬 구조의 양 변의 지지조건이 고정-단순, 고정-단순조건에서 판 넬 파형 함수를 정의하였다.

다른 지지조건의 조합의 경우도 파형함수들의 조합으로 이루어짐으로 위에서 정 의한 함수의 순서 차이만 있을 뿐 유사한 형태의 파형함수로 정의가 가능함으로 더 이상 다른 지지조건에 대한 정의는 생략하였다.

제 5 장 부분모드 합성법

연결구조물의 고유진동수 계산에 부분모드 합성법[7]을 사용하는데 일반적 인 부분에 대한 설명을 하고 본 연구에서 사용된 고유진동수 계산 방법에 대 해 설명하였다. 일반적인 부분모드 합성법은 두 구조물의 파형함수를 일반 다항식을 사용하여 정의하고 연결지점에서 4가지 구속조건을 부여함으로써 구속조건을 수립하는 방법이다. 이렇게 수립한 구속방정식을 M,K 비감쇠 운 동방정식에 대입함으로써 고유진동수를 얻을 수 있다.

Fig.3 ‘ㄱ’자 형태의 구조물에서 수평부재와 수직부재 각각의 파형함수를

_와 _라 하고, 연결지점에서의 각각의 횡 방향 변위함수를 _,

_라 정의하면, 연결지점의 구속조건은 아래와 같이 적용된다.

Fig.5 연결 보 구조의 횡방향 변위

_ _   (5-1)

_   (5-2)

′_ ′_   (5-3)

″_ ″_   (5-4)

하지만, 본 연구에서는 횡방향 변위에 대한 부분은 Fig.5 FEA 결과에서 살펴 본 바에 의하면 연결지점에서의 횡방향 변위는 부재 수직변위에 비해 변화량 이 거의 ‘0’에 가까운 결과를 갖는다는 점을 확인하여 본 논문에서 고유진동

수를 구하기 위한 구속 방정식에서는 제외하였다. 또한, 4장에서 자세하게 기본 파형가정함수에 대해 설명하겠지만 변위 구속에 대한 부분을 파형함수 를 정의하는 과정에서 사용함으로써 부분모드합성법의 구속 방정식에서는 제 외시키고 경사각과 모멘트에 의한 구속조건만으로 고유진동수를 계산하는 방 법이라 할 수 있다.

제 6 장 고정 및 단순지지 파형함수를 이용한 ‘ㄱ’

자 연결 구조물의 고유진동수 계산

제 1 절 ‘ㄱ’자 연결 보 구조물의 고유진동수 계산

1. 파형함수를 이용한 고유진동수 계산

실제 구조물의 경우 단순 보나 판넬로 이루어진 경우는 드물고 많은 경우 연결 구조물로 되어있다. 연결구조물의 고유진동수 계산을 위해서는 연결 부위에 대 한 구속조건의 적절한 보정 그리고 자유도계 증가로 인한 계산 성능의 저하를 가 져오게 된다.

따라서, 복잡한 연결 구조물의 해석을 위해 전체 구조물의 연결부에서 연속 조건 을 만족시키는 부분모드 합성법(Thomson,1993)[7]을 이용하고자 한다.

Fig.6 연결 보의 형상

Fig.6 과 같은 'ㄱ' 자 연결 구조의 수평 부재를 _ , 수직 부재를 _ 라하 고 두 연결 구조물의 파형함수는 아래와 같이 고정과 단순 두 지지 조건의 조합 된 함수로 정의한다.

_ 



  



__{ }  __{ } (6-1)

_ 



  



__  __ (6-2)

여기서, _{ }_{ } __ 는 일반 좌표계이다.

이 두식은 다음과 같은 경사각과 모멘트에 대한 연속조건을 만족시켜야 한다.

[Slope Continuity]

_

′_

 _

′_

(6-3)

_

 ′__{ }   ′__{ }  _

 ′__   ′__ (6-4)

_{ }

 ′_

′_

⋅_{ }   ′_

′_

⋅_{ }   ′_

′_

⋅_   ′_

′_{  }

⋅_{  } (6-5) [Moment Continuity]

_^

″_

 _^

″_

(6-6)

_^

 ″__{ }   ″__{ }  _^

″__   ″__ (6-7)

_ 

^

 ″_

″_

⋅_ ″_

″_

⋅_ ″_

″_

⋅_  ″_

″_{ }

⋅_{ } (6-8) 위 식에서 보는 바와 같이 경사각에 대한 연속조건은 단순지지 조건을 만족시키 는 q 자유도계만 관여하고, 고정지지 조건은 p자유도계만 관여함을 알 수 있다.

이런 관계를 matrix로 표현하면 확실히 알 수 있다.

또한, 부분모드 합성법을 이용함으로써 연결지점에서 2m+2n 개의 좌표계를 2m+2n-2개로 축약시켰다.

연결부위의 경사각과 모멘트 연속조건에 의해 생성된 (6-9)식을 다음에 언급할 (6-24)식에 대입함으로써 일반화 좌표계만큼의 고유진동수를 얻을 수 있다.

(6-9)

2. 고유진동수 계산을 위한 에너지 산식

일반적으로 파형가정함수를 이용한 고전적 근사해법에 의한 진동 해석을 위해 서는 해석 대상계의 탄성에너지 및 운동에너지 산식이 필요하다. 파형 가정함수 는 Euler보 함수나 전단변형 효과를 고려한 Timoshenko 보 함수를 일반적으로 이용하고 있다.

Timoshenko 보 함수를 이용한 진동해석 방법에 대해서는 김 등⁽²⁾이나 정 등⁽³⁾에 의해 수식화 되었다. 따라서, 본 연구에서는 연결구조에 대한 진동해석 정식화 방법에 대한 유용성을 확인하기 위해 Euler 보 함수 성질을 갖는 다항식을 파형 가정함수로 정의하였다.

Euler 보함수 성질을 이용한 파형가정함수는 1절에서 정의하였다.

- 고정-고정 지지조건의 파형가정함수 ()

  







_⋅_ (6-10)

_는 일반화 좌표, 직교 관계를 고려한 운동에너지는 다음과 같다.

  







^  (6-11)

  











_⋅_







_⋅_⋅ (6-12)

   , 일반화 질량은

_ ⋅







_⋅_⋅ (6-13)

무차원 길이 좌표   

  를 사용하면,

_ ⋅



_{ }^{ ⋅⋅ }_^ (6-14)

_ 

⋅



 



_⋅_⋅ (6-15)

탄성에너지는

  

⋅⋅







′′^⋅ (6-16)

  











_⋅_⋅







′′_⋅′′_⋅ (6-17)

일반화 강성은,

_{ }⋅



_^{′′⋅′′}⋅ (6-18)

_{ }⋅



_{ }^{ }_^{⋅′′⋅ }_^{⋅′′⋅ }_^⋅ (6-19)

_{ }^

⋅



_{ }^{ ′′⋅′′}⋅ (6-20)

여기서, 는 보의 질량밀도, A는 보강재의 단면적, L은 보강재의 길이이며 EI는 보강재의 굽힘 강성을 나타낸다.

위의 수식을 보존계에 대한 Lagrange 운동 방정식에 대입함으로써 Beam에 대 한 M, K 비감쇠 운동 방정식을 얻을 수 있다.







^





^{  }  (6-21)



_{ }

^



  (6-22) matrix (6-9)을 (6-22)식에 적용하면 아래 수식으로 표현 가능하다.



_{ }

^



  (6-23)



^′_{ }

^



^′  (6-24) Fig.2에서 _과 _사이에 연성은 없으므로 질량 및 강성 행렬은 아래와 같은 형태를 갖는다.

_ : _ 질량 _ : _ 질량

_ : _ 강성 _ : _ 강성

Fig.2 연결구조물 전체 질량 행렬과 강성 행렬은 아래처럼 표현할 수 있다

(6-25)

(6-26)

(6-27)

(6-28)

위에서 나열한 행렬 값들을 식(6-24)에 대입함으로써 비감쇠 운동방정식으로부 터 연결형 보 구조물의 고유진동수를 얻을 수 있으며 다음 절에서 에너지 산식을 이용한 고유진동수 계산 과정에 대해 설명하였다.

3. 연결 보 구조물의 고유진동수 계산

본 연구에서는 연결구조물의 대한 진동해석 정식화 방법에 대한 유용성 검증을 위해 먼저 Euler 보함수 성질을 갖는 다항식을 파형함수로 정의하여 고유진동수 를 계산하였으며 Fig.2 'ㄱ'자 연결 beam 구조물 중 _ 부재의 길이 변화에 따른 계산 결과와 유한요소법 해석 결과를 양단 경계 조건별 모드 영향계수

_^ 와 비교 / 검토 하였다.

모드 영향계수는 다음과 같이 정의하였다.

· Clamp - Clamp 조건

  ⋅







_⋅_⋅ = 

⋅



 



_⋅_⋅ (6-29)

  ⋅







_^″⋅_^″⋅ = ^

⋅



_{ }^{ ″⋅″}⋅ (6-30)

  

^





^^

 ⋅



^

^{ }

^{   ″⋅⋅″⋅⋅} (6-31) 식(6-31) 우변항에서 상수를 제외한 파형함수 적분값을 모드별 영향계수로 정 의 하고 고정-고정지지 조건에서의 1차 모드 영향 계수는 식(6-32)와 같다.

_^{ }



^

^{ }

^{   ″⋅⋅″⋅⋅} (6-32)

· Clamp-Hinged 조건

  ⋅







_⋅_⋅ = 

⋅



_{ }^{ ⋅}⋅ (6-33)

  ⋅







_^″⋅_^″⋅ = ^

⋅



 



_^″⋅_^″⋅ (6-34)

  

^ 



^^

 ⋅



^

^{ }

^{   ″⋅⋅″⋅⋅} (6-35) 고정-단순지지 조건에서의 1차 모드 영향 계수는 식(3-36)와 같다.

_^{ }



^

^{ }

^{   ″⋅⋅″⋅⋅} (6-36) 위 계산방법의 유용성을 검증하기 위한 모델은 Fig.2에서 언급한 ‘ㄱ’자 연결형 beam 구조이다. 이 구조의 Property는 아래와 같다.

Fig.7 연결형 보의 특성치

Mode Coefficient of Euler's Beam According to the Boundary Conditions:

_^

1st order 2nd order 3rd order

Clamp-Clamp 22.4 61.7 121.0

Clamp-Hinged 15.4 50.0 104.0

Length Ratio (L₁ : L₂) 1st order 2nd order 3rd order

1:1

FEA 15.3 22.0 48.9

계산결과 15.4 22.4 50.5

1:0.8

FEA 17.5 29.7 54.0

계산결과 17.6 30.4 56.2

1:0.6 ^FEA 18.5 45.5 59.3

계산결과 18.7 46.8 62.7

1:0.5 ^FEA 18.8 51.4 72.0

계산결과 19.2 52.9 76.9

1:0.4

FEA 19.4 53.5 95.0

계산결과 19.6 55.4 112.3

1:0.2 ^FEA 20.2 55.7 108.3

계산결과 20.7 58.3 133.9

Table 2 고정 및 단순지지 파형함수를 이용한 계산 방법

길이별 결과를 살펴보면, 두 연결 구조물의 길이 비가 1:1일 경우는 고정-단순, 고정-고정 지지 경계조건이 순차적으로 반복되어 나타남을 알 수 있다. 그리고, 길이 비에 차이가 발생할수록 1차 모드의 고유진동수는 고정-단순지지에서 고 정-고정지지 경계조건으로 변화됨을 느낄 수 있으며 길이비가 1:0.6, 1:0.5, 1:0.4의 경우 연결 부위에서의 경계조건 기여도는 고정-고정과 고정-단순지지 조건이 서로 조화되어 작용한다는 것을 계산 결과를 통해 알 수 있다. 결과 중

1:0.5의 길이비를 갖는 구조물의 mode shape을 FEM 결과와 비교하여 Fig.4에 나타내었다.

Fig. 8 FEA 결과와 고정 및 단순 파형함수에 의한 고유 모드형상 비교

또한, L2의 길이가 '0'에 가까워지면 고정-고정지지 경계조건이 beam 진동해석 에 영향을 주고 있음을 알 수 있다.

위 계산 결과에서 확인하였듯이 본 연구에서 사용한 정식화 방법은 저 주파수 영 역에서 FEM결과와 6% 이내의 결과를 보여주고 있다.

제 2 절 ‘ㄱ’자 연결 판넬 구조물의 고유진동수 계산

1. 파형함수 합성법

보의 파형함수 중 고정‐고정 지지조건, 고정‐단순 지지조건 과 단순‐고 정 지지조건을 만족시키는 1차 파형함수의 다항식은 식 (6-37)~(6-39)로 각각 표현 할 수 있다

_ _  ^  ^ ‐1≤η≤1 (6-37)

_ _^ ^ ^    (6-38)

_ _^ ^ ^    (6-39) 계수A1, B1, C1은 보 함수의 직교관계식을 이용하여 구현하였다.



_{ }^{   } (6-40)



_{ }^{   } (6-41)



 



__  _ (6-42)

여기서, I.j는 진동차수이고, _는 Kronecker delta이다.

_ 



^

^

 



^ ^ ^



 



_^⋅

(6-43)

  



^

^

 



^ ^ ^   ^



_{ }^{ ⋅}

(6-44)

  



^

^

 



^ ^ ^   ^



_{ }^{ ⋅}

(6-45)

그리고, 2차 모드 이상의 파형함수는 아래 식으로부터 구현 할 수 있다.

___{  }⋅ _{  }^{  }



^{⋅  } (6-46)

___{  }⋅ 



_{  }^{  ⋅  } (6-47)

___{  }⋅ ^{  }



_{  }^{⋅  } (6-48)

계수

a

ki

, b

ki

, c

ki는 보 함수의 직교관계식과 위 (6-46)~(6-48)식으로 부터 구할 수 있다. Fig.9에서

w

₁

( x , y )

판의 y축의 경우 갑판과 갑판 사이의 구조물로 구속되어 있으므로 파형함수를 고정‐고정지지 조건만으로 가정하고 x축의 경우에는 고정 ‐ 고정(Ψ)과 고정 ‐ 단순(Φ) 파형 함수의 조합으로 표현하였다.

) ,

2

( x y

w

의 경우도 위와 유사한 방법으로 정의하였으나 x축의 파형 함수를 단순

‐ 고정(γ) 파형 함수로 사용하여 정리하였다.

Fig.9 연결구조의 형상모드

( )

å

=

+

= ^m

i

Ai i Ai

i p t q t

x

1

1(h) y (h) ( ) f(h) ()

(6-49)

( ) å

=

= ⁿ

j

Bj

j p t

y

1

1(h) y (h) ( )

(6-50)

문서에서 저작자표시 (페이지 33-84)