시계열 자료를 분석하는 모형에서 오차항의 조건부 분산이 일정하다고 가정해 왔다. 그러나 시계열 자료 중에서 특히 수익률 같은 금융시계열은 급첨 분포(leptokur tic / heavy-tailed) 를 따르고 변동성 군집(volatility clustering) 즉 수익률의 변동성이 언제나 일정한 것이 아니 라 시간에 따라 변화하는 특성을 가지는 것을 잘 알려져 있다.
이에 대해 Engle(1982)의 자기회귀 조건부 이분산(ARCH) 모형과 Bollerslev(1986)의 일반 화된 자기회귀 조건부 이분산(GARCH)모형이 널리 사용되고 있다. 그러나 이 모형들이 변동 성을 파악하는데 좋은 뉴스와 나쁜 뉴스를 구별 못해 변동성의 비대칭성을 반응하지 못하는 한계를 가지고 있다. 따라서 이들 GARCH계열 모형을 확장해서 이러한 단점을 보완하였다.
대표적으로 Nelson(1991)은 지수 자기회귀 조건부 이분산(Exponential GARCH)모형을 제시 하였다. 또한 Glosten, Jagannathan and Rukle(1993)의 GJR-GARCH모형도 널리 사용하고 있 다. 이중에서 기존의 비대칭적 변동성 모형을 검정하는 대부분 실증연구에 따르면 GJR- GARCH모형이 비대칭 변동성을 잘 반영하여 가장 높은 적합성이 지니는 것을 알 수 있다.
GJR-GARCH(1,1)모형의 형식은 간략하게 다음과 같다 소개한다.
··· (1)
··· (2)2) RAN QINGYING. 2013. “중국과 아시아 국가(지역)주식시장 간의 동조화 현상 분석: 동태적 조건부 상관관계 모형을 이용하여”, 이화여자대학교 대학원 석사학위 청구논문 내용을 일부 발취하였음.
··· (3)
··· (4)모형에서 조건부분산은 과거의 오차항 제곱과 과거의 분산에 의해 결정된다. 는 지시 함수로써 식(4)와 같이 지난기의 예측오차가 음의 값을 가지면 1의 값을 가지고 그렇지 않으 면 0의 값을 갖는다. 따라서 좋은 뉴스( )과 나쁜 뉴스( )가 발생하는지에 따라 조건부분산에 전혀 다르게 영향을 미친다. 즉 좋은 뉴스가 발생하면 변동성에 의 영 향을 주고 나쁜 뉴스가 발생하게 되면 변동성에 의 영향을 주게 된다. 이에 따라서는 예측하지 못하는 양( )의 충격과 음( )의 충격이 비대칭 변동성의 추정계수
를 통해서 판단할 수 있다. 만약 음의 충격이 양의 충격보다 변동성에 더 큰 영향을 미친다 면, > 가 되어 는 0보다 크게 된다. 즉 추정 값이 양(+)으로 나오면 레버리지효과가 있다는 비대칭적 변동성이 존재하는 것을 알 수 있으며 추정 값이 음(-)으로 나오면 역의 레 버리지효과가 나타남을 알 수 있다.
하지만 위와 같은 일변량 모형을 사용하면, 단일시계열 자료를 이용해서 여러 금융시장의 변동성을 동시에 고려할 수 없다. 이에 대해 Bollerslev, Engle and Wooldrige(1988)은 단변 량 GARCH 모형을 확장한 다변량 GARCH(Multivariate GARCH) 모형을 제기하였다. 대표적 인 다변량 모형은 VECH 모형, diagnoal VECH 모형, BEKK 모형 등 들 수 있는데 본 논문 에서 Engle(2002)이 제기한 동태적 조건부 상관관계 모형(Dynamic Conditional Correlation Multivariate GARCH)을 사용하였다.
DCC-MGARCH모형이 모수의 수를 크게 줄이면서 동태적 조건부 공분산을 추정하여 시계 열의 변동성과 상관관계를 고찰할 수 있는 적절한 방법이며 다음과 같이 정의 한다.
∼ ··· (5)
··· (6) ··· (7)
∼ ··· (8)여기서 는 자산수익률 벡터, 는 수익률의 기대치로 각각 × 의 크기를 갖으며,
은 t-1기까지의 정보 집합을 뜻한다. 다음으로 는 조건부 공분산행렬(Conditional
covariance matrix)이며, 는 조건부 분산의 대각행렬로서 × 크기이고, 는 × 크기 의 시간 가변적 조건부 상관계수행렬(time varying correlation matrix)이다. 다음으로 t기의 개별 자산에 대한 조건부 분산인 는 단변량(univariate) GARCH(1,1)모형을 통해 계산이 가능하며, 표준화된 잔차(standardized residuals)인 는 × 크기의 대각행렬이다. 마지막 으로 는 차 항등행렬(identity matrix)이며, 모형에서의 는 계열의 수를 나타낸다.
DCC-GARCH 모형에서 상관계수의 동태적 특성을 다음과 같은 방법을 통해 정의한다.
··· (9)
′ ··· (10)
′ ··· (11)
··· (12)여기서 는 양정부호행렬(symmetric positive definite matrix)로 × 의 크기이 며,
′
는 비조건 분산행렬(unconditional variance matrix)로 × 의 크기를 갖 는다. 다음으로 는 잔차 들 간의 비조건부 상관관계(unconditional correlation)를 나타내 고, 와 는 비음수인 스칼라 파라미터(non-negative scala parameters)로서 양정부호와 안정 성을 위해 의 조건을 만족한다. 여기서 는 평균회귀속도(mean reversion speed)로 충격효과의 소멸까지의 소요되는 시간을 뜻하며, 는 상관관계의 지 속성을 의미한다. 두 파라미터 와 는 과거 표준화된 충격과 동태적 조건부 상관계수가 현 재의 동태적 조건부 상관계에 미치는 영향을 보여주기 위한 파라미터이다.의 정규분포의 가정에 의해 DCC-MGARCH모형의 대수우도함수는 다음과 같이 정의된다.
′
′
′
′ ′ ′
··· (13)
위의 대수우도함수 식(13)는 변동성 요소 와 상관관계 요소로 나눌 수 있다.
··· (14)
t시기일 때 변동성요소는
′
··· (15)로 구성되며, 개별 GARCH 추정치들의 합이다. 다음으로 상관관계 요소는
≡
′ ′
········································· (16)로 구성된다. DCC-MGARCH 모형은 대수우도함수의 분해를 이용하여 2단계로 추정된다. 1 단계로 대수우도함수의 변동성 요소 식(15)를 극대화하는 해를 구한다.
··················································································· (17)다음으로 식(17)으로 추정한 를 식(18)에 대입하여 이를 최대화하는 상관관계요소의 파 라미터를 추정한다.
····················································································· (18)본 연구에서는 좋은 뉴스와 나쁜 뉴스 중 어느 정보가 주식시장에 더 민감하게 반응하는 지를 살펴보기 위해 비대칭 변동성과 동태적인 상관관계를 동시 고려할 수 있는 Asymmetric DCC -MGARCH 모형을 사용하였다. 각 주식시장의 1차 자기회귀 이동평균 ARMA(1,1) 모형 을 고려해서 평균방정식이 다음과 같이 설정하였다.4)
4) 시계열 모형에 있어서 q차까지 과거시점의 확률변수가 현재시점의 확률변수에 직접 영향을 주는 경 우 자기회귀과정 AR(p)과정이라고 한다. 반면에 확률변수가 확률변수들의 과거 q차까지의 평균만으
··· (19)
··· (20)
··· (21)
여기서 는 t시점의 KOSPI, SSEC, S&P500 수익률을 나타나며 는 오차항을 의미한다.
아래 조건부 분산방정식 GARCH(1,1)모형에서, 는 t시점의 KOSPI, SSEC, S&
P500의 조건분 분산을 가리키며 따라서 는 세 나라의 비대칭 변동성의 계수로써 유의한 양(+)의 값을 나타나며 나쁜 뉴스가 좋은 뉴스보다 더 높은 변동성을 유발하여 비대 칭 변동성이 존재하는 것을 알 수 있다. 는 KOSPI, SSEC, S&P500 수익률의 조건부공분산을 의미한다.
··· (22)
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··· (26)