06
순열410
만의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 같은 다섯 자리 자연수 는 1 1, 2 2, 3 3 꼴의 3가지이다.
1 1 꼴의 자연수들을 크기가 작은 순서대로 수형도로 나타 내면 다음과 같다.
2 1
2
1 3 1
3 2 1
1 2 1
3
1 3 1
2 3 1
따라서 1 1 꼴의 자연수들은 6가지이므로 2 2, 3 3 꼴의 자연수들도 각각 6가지이다.
∴ (전체 경우의 수)=3¥6=18 정답_ 18
411
조건 ㈎, ㈏, ㈐에 의해 첫째, 셋째, 다섯째 자리를 채우는 것을 수 형도로 나타내면 다음과 같다.
첫째 자리 셋째 자리 다섯째 자리
c d
e
a d e
e d
d a
e c
e a
d
c a
d e
e a
c a
e d
d a
따라서 첫째, 셋째, 다섯째 자리를 채우는 방법이
4+4+3+3=14(가지)이고, 남은 둘째, 넷째 자리를 남은 두 개 의 문자로 채우는 방법은 각각 2가지씩 있다.
∴ (구하는 문자열의 개수)=14¥2=28 정답_ ②
412
A, B, C, D, E의 우산을 각각 a, b, c, d, e라고 하자.
A는 B의 우산을 가지고 나오고 B, C, D, E는 모두 다른 사람 의 우산을 가지고 나오는 경우를 나열하면 다음과 같다.
(A, B, C, D, E)={(b, a, d, e, c), (b, a, e, c, d), (b, c, a, e, d), (b, c, d, e, a), (b, c, e, a, d), (b, d, a, e, c), (b, d, e, a, c), (b, d, e, c, a), (b, e, a, c, d), (b, e, d, a, c), (b, e, d, c, a)}
따라서 구하는 경우의 수는 11이다. 정답_ ④
415
⑴ 1부터 100까지의 자연수 중에서 2의 배수는 50개, 3의 배수 는 33개, 6의 배수는 16개이므로 구하는 경우의 수는
50+33-16=67
⑵ 6=2¥3이므로 6과 서로소인 수는 2의 배수도 아니고, 3의 배 수도 아닌 수이다.
그런데 2의 배수 또는 3의 배수인 수가 67개이므로 구하는 경 우의 수는
100-67=33 정답_ ⑴ 67 ⑵ 33
413
주어진 육면체의 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 B로 움직인 후 꼭짓점 E에 도착하는 경우를 나열하면 다음과 같다.
A-B-C-D-E, A-B-C-E, A-B-D-C-E, A-B-D-E, A-B-E
같은 방법으로 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 C 또는 D로 움직 인 후 꼭짓점 E에 도착하는 경우도 각각 5가지씩이다.
따라서 구하는 방법의 수는 5¥3=15 정답_ ①
414
주사위의 두 눈의 수를 a, b라고 하자.
⑴ ⁄ a+b=4일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)로 3가지
¤a+b=8일 때, 순서쌍 (a, b)는
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)로 5가지
‹a+b=12일 때, 순서쌍 (a, b)는 (6, 6)으로 1가지
⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 3+5+1=9
⑵ 전체 경우의 수는 6¥6=36 두 눈의 수가 서로 같은 경우는
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지 따라서 구하는 경우의 수는 36-6=30 정답_ ⑴ 9 ⑵ 30
416
세 주사위 A, B, C를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 각각 a, b, c라고 할 때, 세 수 a, b, c 중 짝수가 하나라도 있으면 abc는 짝수 이고, 세 수 a, b, c가 모두 홀수인 경우에만 abc는 홀수이다.
∴ (구하는 경우의 수)=(전체 경우의 수)
∴ (구하는 경우의 수)=-(세 수 a, b, c의 곱이 홀수인 경우의 수)
∴ (구하는 경우의 수)=6¥6¥6-3¥3¥3
∴ (구하는 경우의 수)=216-27=189 정답_ 189
418
500원, 1000원짜리 공책을 각각 x, y권 산다고 하면 500x+1000y…3000 ∴ x+2y…6
⁄y=1일 때, x…4이므로 x=1, 2, 3, 4로 4가지
¤y=2일 때, x…2이므로 x=1, 2로 2가지
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 4+2=6 정답_ ③
419
⑴ 3개의 문자 a, b, c의 각각에 3개의 문자 x, y, z가 곱해지므 로 구하는 항의 개수는 3¥3=9
⑵ 2개의 문자 a, b의 각각에 3개의 문자 c, d, e가 곱해지고, 그 각각에 4개의 문자 f, g, h, i가 곱해지므로 구하는 항의 개수는 2¥3¥4=24 정답_ ⑴ 9 ⑵ 24
420
(a+b+c)(p+q+r)를 전개하면 3¥3=9(개)의 항이 나온다.
또, (a+b)(s+t)를 전개하면 2¥2=4(개)의 항이 나온다.
이때, 동류항이 없으므로 다항식
(a+b+c)(p+q+r)-(a+b)(s+t)를 전개할 때 나타나는
항의 개수는 9+4=13이다. 정답_ ⑤
421
1184를 소인수분해하면 1184=2fi ¥37
2fi 의 양의 약수는 1, 2, 2¤ , y, 2fi 으로 1+5=6(개) 37의 양의 약수는 1, 37로 1+1=2(개)
따라서 1184의 양의 약수의 개수는
6¥2=12 정답_ ②
417
100원, 200원, 500원짜리 우표를 각각 x, y, z장 산다고 하면 100x+200y+500z=1500 ∴ x+2y+5z=15
⁄z=1일 때, x+2y=10이므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 4), (4, 3), (6, 2), (8, 1)로 4가지
¤z=2일 때, x+2y=5이므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (3, 1)로 2가지
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 4+2=6 정답_ ③
422
540=2¤ ¥3‹ ¥5이므로 540의 양의 약수의 개수는 (2+1)(3+1)(1+1)=24
이 중 2의 배수가 아닌 약수의 개수는 3‹ _5의 약수의 개수와 같 으므로 (3+1)(1+1)=8
따라서 구하는 2의 배수의 개수는 24-8=16 정답_ ③
423
420과 480의 최대공약수는 60이므로 420과 480의 공약수 중 양 수의 개수는 60의 양의 약수의 개수와 같다.
60=2¤ ¥3¥5이므로 60의 양의 약수의 개수는
(2+1)(1+1)(1+1)=12 정답_ ②
424
500원짜리 동전 1개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개로 2가지 100원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개, 2개로 3가지
50원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개로 4가지
이때, (0개, 0개, 0개)인 경우는 지불하지 않은 것과 같으므로 지 불할 수 있는 방법의 수는 2¥3¥4-1=23 정답_ ③
425
5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액과 10000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 10000원짜리 지 폐 1장을 5000원짜리 지폐 2장으로 바꾸어서 생각하면 지불할 수 있는 금액의 수는 1000원짜리 지폐 2장과 5000원짜리 지폐 5 장으로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 1000원, 2000원으로 3가지
5000원짜리 지폐 5장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 5000원, 10000원, y, 25000원으로 6가지
이때, 0원을 지불하는 것은 지불하지 않은 것과 같으므로 구하는
금액의 수는 3¥6-1=17 정답_ ①
426
⁄ 지불할 수 있는 방법의 수
10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개로 4가지
50원짜리 동전 4개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개, 4개로 5가지
100원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개로 3가지
이때, 모두 0개를 지불하는 것은 지불하지 않은 것과 같으므로
지불할 수 있는 방법의 수는 4¥5¥3-1=59
¤ 지불할 수 있는 금액의 수
50원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 100원짜리 동전 1개로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 100원짜리 동전 2개를 50원짜리 동전 4개로 바꾸어서 생각하면 지불할 수 있는 금액 의 수는 10원짜리 동전 3개와 50원짜리 동전 8개로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 10원, 20원, 30원으로 4가지 50원짜리 동전 8개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 50원, 100원, y, 400원으로 9가지
이때, 0원을 지불하는 것은 지불하지 않은 것과 같으므로 구하 는 금액의 수는 4¥9-1=35
⁄, ¤에서 m=59, n=35이므로 m+n=94 정답_ ③
427
⑴ A에서 B로 가는 방법이 2가지, B에서 C로 가는 방법이 3가 지, C에서 D로 가는 방법이 4가지이므로 구하는 방법의 수는 2¥3¥4=24
⑵ A에서 D로 가려면 B를 통과하거나 C를 통과해야 한다.
⁄A ⁄ B ⁄ D로 가는 방법의 수는 3¥2=6
¤A ⁄ C ⁄ D로 가는 방법의 수는 2¥4=8
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
6+8=14 정답_ ⑴ 24 ⑵ 14
428
A⁄ P ⁄ B로 가는 방법의 수는 4¥2=8 A⁄ Q ⁄ B로 가는 방법의 수는 2¥3=6
⁄ 주리는 A⁄ P ⁄ B, 충헌이는 A ⁄ Q ⁄ B로 가는 방법의 수는 8¥6=48
¤ 주리는 A⁄ Q ⁄ B, 충헌이는 A ⁄ P ⁄ B로 가는 방법의 수는 6¥8=48
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 48+48=96 정답_ ③
429
A에서 C를 왕복하는데 B를 꼭 한 번만 지나는 방법은 A⁄ B ⁄ C ⁄ A, A ⁄ C ⁄ B ⁄ A
⁄A⁄ B ⁄ C ⁄ A로 가는 방법의 수는 5¥3¥2=30
¤A⁄ C ⁄ B ⁄ A로 가는 방법의 수는 2¥3¥5=30
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 30+30=60 정답_ ④
431
A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
⁄A, C를 같은 색으로 칠할 때,
C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색과 같은 색이므로 1가지, D에 칠할 수 있는 색은 A(C)에 칠한 색을 제외한 3가지이므 로 방법의 수는 4¥3¥1¥3=36
¤A, C를 다른 색으로 칠할 때,
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지, D 에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지이므로 방법의 수는 4¥3¥2¥2=48
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 36+48=84 정답_ ②
432
O에 칠할 수 있는 색은 5가지, A에 칠할 수 있는 색은 O에 칠한 색을 제외한 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 O, A에 칠한 색을 제외한 3가지
⁄A, C를 같은 색으로 칠할 때,
C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색과 같은 색이므로 1가지, D에 칠할 수 있는 색은 O, A(C)에 칠한 색을 제외한 3가지 이므로 방법의 수는 5¥4¥3¥1¥3=180
¤A, C를 다른 색으로 칠할 때,
C에 칠할 수 있는 색은 O, A, B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 O, A, C에 칠한 색을 제외한 2가지 이므로 방법의 수는 5¥4¥3¥2¥2=240
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 180+240=420 정답_ ③
430
(①을 칠하는 경우의 수)=4
②에는 ①에 칠한 색을 제외한 색 중에서 골라 칠하게 되므로 (②를 칠하는 경우의 수)=3
세 구역 ③, ④, ⑤는 어떤 순서로 칠해도 상관없다.
(④를 칠하는 경우의 수)=3 (③을 칠하는 경우의 수)=2 (⑤를 칠하는 경우의 수)=2
∴ (구하는 모든 경우의 수)=4¥3¥3¥2¥2=144 정답_ ②
② ①
③
④
⑤
433
⑴ ∞P£=5¥4¥3=60 ⑵ §Pº=1
⑶ £P£=3¥2¥1=6 ⑷ 4!=4¥3¥2¥1=24
정답_ ⑴ 60 ⑵ 1 ⑶ 6 ⑷ 24
434
(좌변)=«P™+«P¡=n(n-1)+n=n¤ -n+n=n¤
(우변)=64이므로 n¤ =64
∴ n=8 (∵ n은 자연수) 정답_ ②
435
«P¢ : «≠¡P£=10 : 3에서 3_«P¢=10_«≠¡P£
3n(n-1)(n-2)(n-3)=10(n+1)n(n-1) næ4이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
3(n-2)(n-3)=10(n+1)
3n¤ -25n+8=0, (3n-1)(n-8)=0
∴ n=8 (∵ n은 자연수) 정답_ ③
436
«–¡P®+r¥«–¡P®–¡
= +r¥
= +r¥
= +r¥
=
= = n! =«P® 정답_ ④
11123(n-r)!
(n-1)!
1111125(n-r)!
{(n-r)+r}(n-1)!
1111111112(n-r)!
(n-1)!
11123(n-r)!
( )(n-1)!
1111111225(n-r)!
(n-1)!
11123(n-r)!
(n-r)(n-1)!
1111111232 (n-r)(n-1-r)!
(n-1)!
11123(n-r)!
(n-1)!
1111123(n-1-r)!
437
⑴ 5명의 학생 중 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는
∞P£=5¥4¥3=60
⑵ 5명의 학생을 한 줄로 세우는 경우의 수는
5!=5¥4¥3¥2¥1=120 정답_ ⑴ 60 ⑵ 120
438
6명을 일렬로 배열한 후 앞의 4명은 첫째 날에, 뒤의 2명은 둘째 날에 순서대로 상담하면 된다.
따라서 구하는 방법의 수는
6!=6¥5¥4¥3¥2¥1=720 정답_ ⑤
439
여학생 3명을 한 사람으로 생각하여 5명을 한 줄로 세우는 경우 의 수는 5!=5¥4¥3¥2¥1=120
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!=3¥2¥1=6 따라서 구하는 경우의 수는 120¥6=720 정답_ ⑤
440
소설책 3권을 한 권, 수필집 2권을 한 권으로 생각하여 5권의 책 을 책꽂이에 나란히 꽂는 경우의 수는 5!
소설책 3권의 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!
수필집 2권의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!
따라서 구하는 경우의 수는 5!_3!_2! 정답_ ①
㈎n-r
㈏n
441
국어참고서 4권을 책꽂이에 나란히 꽂는 경우의 수는 4!=4¥3¥2¥1=24
오른쪽과 같이 국어참고서 사이사이 및 국 국 국 국 양 끝의 5개의 자리 중 3개의 자리에
수학참고서를 꽂는 경우의 수는 ∞P£=5¥4¥3=60
따라서 구하는 경우의 수는 24¥60=1440 정답_ ④
442
초등학생 1명, 중학생 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3!=3¥2¥1=6
오른쪽과 같이 초등학생과 중학생들 사이사이 초 중 중 및 양 끝의 4개의 자리 중 3개의 자리에 고등
학생을 세우는 경우의 수는 ¢P£=4¥3¥2=24
따라서 구하는 경우의 수는 6¥24=144 정답_ ⑤
443
먼저 남학생 12명을 일렬로 세우는 경우의 수는 12!이다.
이때, 남학생을 2명씩 묶어서 그 사이사이와 양 끝에 여학생 2명 을 세우는 경우의 수는 ¶P™=7¥6=42
따라서 구하는 경우의 수는 42_12!
∴ N=42 정답_ ④
444
자음은 T, S, D, Y의 4개이고, 모음은 자 자 자 자 U, E, A의 3개이므로 오른쪽과 같이 자음
4개를 한 줄로 나열하고 그 사이사이에 모음 3개를 넣으면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는 4!_3!=144 정답_ ③
445
남자, 여자의 순서로 교대로 서는 경우의 수는 3!_3!
여자, 남자의 순서로 교대로 서는 경우의 수는 3!_3!
따라서 구하는 경우의 수는 2_3!_3!=72 정답_ ④
446
3명의 남자 중 2명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는
£P™=3¥2=6
남은 5명을 중간 부분에 일렬로 세우는 경우의 수는
447
a와 n을 제외한 6개의 문자 중에서 2개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는
§P™=6¥5=30 정답_ ④
448
q와 t 사이에 3개의 문자를 나열하는 방법의 수는
§P£=6¥5¥4=120
q t를 한 문자로 생각하여 4개의 문자를 한 줄로 나열하는 방법의 수는 4!=4¥3¥2¥1=24
q와 t의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2¥1=2
따라서 구하는 경우의 수는 120¥24¥2=5760 정답_ ④
449
6개의 문자를 한 줄로 나열하는 모든 경우의 수는 6!=6¥5¥4¥3¥2¥1=720
모음은 e, i, o의 3개이므로 양쪽 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수는 £P™_4!=144
따라서 구하는 경우의 수는 720-144=576 정답_ ④
450
5개의 문자를 한 줄로 나열하는 모든 경우의 수는 5!=5¥4¥3¥2¥1=120
s, m, l 중 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수는 s, m, l을 한 줄로 나열하고 그 사이사이에 i, e가 오도록 나열하는 경우의 수 와 같으므로 3!_2!=12
따라서 구하는 경우의 수는 120-12=108 정답_ ②
451
⑴ 5개의 숫자 중에서 3개를 뽑는 순열의 수와 같으므로
∞P£=5¥4¥3=60
⑵ 짝수가 되는 경우는 일의 자리의 숫자가 2 또는 4이다.
⁄ 일의 자리의 숫자가 2인 경우
⁄ 일의 자리의 숫자가 2인 경우