본 연구에서는 수학적 모델링을 주제로 한 2007년부터 2017년까지 국내 5종의 학회지에 게재된 총 24편의 논문을 바탕으로 수학적 모델링의 의미와 수학적 모델 링의 과정, 수학적 모델의 의미와 유형 그리고 수학적 모델링의 문제의 특징에 관 해 중점적으로 다루어보면서, 동시에 황혜정(2007)의 수학적 모델링 의미와 과정 에 관한 연구 결과를 참고하여 비교해보았다.
먼저, 수학적 모델링의 의미를 살펴본 결과, 수학적 모델링은 실세계를 이해하고 자 실세계 현상을 수학적으로 표현하고 해결하는 것이라고 볼 수 있다.
Cavey&Champion(2016)은 실세계 현상을 표현하고자 수학을 활용하는 과정으로 수학적 모델링이라 제시하였으며, Galbraith, et. al.(2010)은 실제적 현상 및 수학 외 타 분야에서 문제를 해결하는 과정을 수학적 모델링이라고 하였다. Schmidt B.(2011)에 따르면 수학적 모델링은 일반적으로 현실적이고 열린 문제를 수학을 사용하여 해결하는 것을 말한다. 이러한 수학적 모델링의 의미는 황혜정(2007)의 연구 결과와 비교한 바와 같이, 2007년 전의 대다수의 논문들이 수학적 모델링의 의미에 관해 형식화하지 않고, 수학적 모델링 과정을 설명하면서 수학적 모델링의 의미를 소개한 점에 비해, 2007년 이후의 다수의 논문에서는 수학적 모델링의 의 미를 보다 구체화하여 표현하며 수학적 모델링의 의미와 수학적 모델링의 과정을 구분하여 제시하였다는 점에서 진일보한 것으로 생각된다. 또한, 수학적 모델링의 의미를 밝히는데 사용된 대다수의 참고문헌의 작성 시점이 오래된 것은 수학적 모 델링의 의미에 관해 일치된 견해가 없다는 판단 하에 국내에서 가장 많이 통용되 는 유명한 참고문헌을 소개한 연유로 볼 수 있다.
더불어, 수학적 모델링 과정은 실세계 상황을 탐구하여 가설을 설정하고, 수학적 구조를 갖춘 수학적 모델로 변형한 후, 문제를 해결해서 수학적 결과를 얻어, 다시 실세계 상황으로 되돌아가 결과를 적용하는 것이라 말할 수 있다. 수학적 모델링 과정을 설명하는 최근 연구로써, Pollak, H. O.(2012)은 수학적 모델링 과정을 실 제 상황의 측면을 수학적 용어 및 구조로 변환하여 수학적 모델을 얻고 이를 해결
하여 다시 실제의 상황으로 되돌아가는 과정이라 제시하였다. Bliss, et. al.(2014) 에서 수학적 모델링 과정은 문제 상황을 정의하고 가정을 설정하며 변수를 결정하 여 해결책을 얻은 후 결과를 분석하고 모델을 평가해서 결론을 공유하는 반복적 과정이다. 이처럼, 수학적 모델링 과정이 크게 4단계에서 6단계로 구성된 것을 알 수 있는데, 이는 앞서 정리한 수학적 모델링 과정의 네 단계를 보다 세분화한 것으 로 맥락적 측면에서 동일한 내용이라 판단된다. 또, 수학적 모델링 과정을 정의하 는데 인용된 오래된 문헌들과 황혜정(2007)의 수학적 모델링 과정에 관한 연구 결 과 그리고 최근 연구의 수학적 모델링 과정을 비교해보면, 수학적 모델링 과정을 표현하는 단어만이 변화했음을 알 수 있다.
수학적 모델의 의미는 실세계 상황을 수학적인 개념 및 방법으로 표현한 것이라 할 수 있다. 수학적 모델의 의미 또한 이전의 수학적 모델링의 의미와 수학적 모델 링의 과정처럼 오래된 참고문헌을 활용한 까닭은 일반적으로 수학적 모델링의 의 미를 제시하기에 앞서 수학적 모델의 의미를 포함하여 설명하는 경우가 많기에 수 학적 모델링의 의미와 수학적 모델의 의미에 관한 참고문헌의 시기들이 유사한 것 이라 짐작된다.
또한, 수학적 모델의 유형 중에 식이 가장 많이 활용된 것은 주어진 수학적 모델 링 상황을 수학적으로 표현하고자 할 때, 식을 활용하는 것이 보다 익숙하고 문제 를 해결하는데 편리하다는 점이 그 이유이지 않을까 사료된다. 대다수의 논문에서 도 많은 비중으로 식을 사용하였고 식과 더불어서 나머지 유형인 그림, 그래프, 표, 수직선을 이용하였으며, 일부의 논문만이 그림을 단독으로 활용하였는데 이러한 모 습은 주어진 문제 상황의 특성에 따라 그림만을 활용하였으리라 보인다.
한편, 수학적 모델링 문제의 특징은 수학적 모델링의 의미와 과정, 수학적 모델 에 비해 더 다양하게 설명되고 있는데, 이는 수학적 모델링에 관한 이해가 연구자 마다 각기 조금씩 달라서 바람직하다 여겨지는 수학적 모델링의 특징에 따라 수학 적 모델링 문제의 특징이 달라진 것으로 판단된다. 본고에서는 수학적 모델링 문제 의 특징으로 학습자에게 흥미와 도전감을 불러일으키면서 ‘현실세계와 연계’된 상 황을 지니고, 수학적 선행 지식에 기반을 둔 ‘수학적 모델을 형성’하며, ‘다양하게
문제를 해결’할 수 있어야 하는 것으로 보았다.
이상으로 수학적 모델링에 관한 결론을 정리하였으며, 나날로 커지는 수학적 모 델링에 관한 관심과 중요성으로 수학적 모델링의 연구는 지속될 것이므로 향후 다 음과 같은 사항을 반영하길 바라는 마음으로 제언하고자 한다.
첫째, 수학적 모델링의 실제지향적 측면을 위해 보다 다양한 영역과 폭 넓은 연 구 대상에 관한 연구가 활성화 되어야 할 것이다. 앞에 언급하였던 수학적 모델링 문제를 다루면서, 20편의 논문 저자별 수학적 모델링 문제에 관한 특징 및 정보들 을 살펴보면, 수학적 모델링 문제는 문자와 식 영역과 함수 영역의 내용으로 주로 구성되어 있다. 물론, 수학적 모델링이 실세계 상황을 표현하며 분석하고 예측하려 는 목적으로 수학을 사용하는 과정이라는 점에서 식이나 그래프를 바탕으로 도출 한 수학적 결과를 실세계 상황에 해석하는 것에 ‘문자와 식’ 영역과 ‘함수’ 영역의 문제를 많이 사용하는 것은 자연스러운 일이다. 그렇지만, 학생들이 학교수학을 통 해 지금껏 얻은 선행 지식을 활용해서 다양한 영역의 수학적 모델링 문제를 해결 하게 된다면 그 과정에서 학생들의 인지적 사고가 고차원적으로 더욱 활발하게 향 상될 것이라 여겨진다. 더불어 수학적 모델링의 연구를 수행하는 과정에서 지금보 다 폭 넓은 학년을 선정하고 학생들의 학업 성취 수준을 고려하는 것은 물론 다양 한 영역으로 구성된 내용을 포함하여 수학적 모델링 연구가 지속적으로 다뤄질 수 있도록 주의를 기울여야 할 것이다.
둘째, 적절한 수학적 모델링 문제가 개발되어 수학적 모델링을 지금보다 효과적으 로 활용할 수 있어야 할 것이다. 수학적 모델링에 관해 지금껏 많은 양의 이론적 논 의가 이루어지고 있으면서도, 양질의 수학적 모델링 문제에 관한 연구들은 적게 수 행되어 왔다는 것을 알 수 있었다. 이러한 판단은 본고의 필자가 수학적 모델링 문 제의 특징을 살펴보는 과정에서, 국내의 많은 선행 연구의 저자들이 생각하는 수학 적 모델링 문제의 특징에 관한 명확한 견해가 잘 드러나지 않아 수학적 모델링 문제 의 특징을 한 마디로 정리하는 것에 대한 한계점으로 드러났다. 또한 필자가 연구를 수행하면서 발견한 일부의 선행 연구에서 수학적 모델링의 문제로써 전형적인 교과 서의 문장제가 확인되었는데, 대부분의 교과서 문제는 학생들에게 제한된 모델링 기
회를 주며 주어진 모델만을 사용하도록 구성되었으므로(Meyer, 2015), 수학적 모델 링의 문제로써 적절하다고 보기에는 무리가 따른다. 따라서 향후에는 수학적 모델링 의 의미와 과정을 고려하면서 이에 적합한 수학적 모델링 문제에 관한 논의와 연구 가 활발하게 진행되어야 할 것으로 사료된다.
참고문헌
강옥기. “수학적 모델링의 정교화 과정 연구”. 『수학교육학연구』,
20(1)
, 73-84, 2010.강향임. “수학적 모델링 과정에서 접선 개념의 재구성을 통한 미분계수의 재발명과 수학적 개념 변화”. 『학교수학』,
14(4)
, 409-429, 2012.교육부. 『수학과 교육과정(교육부 고시 제 2015-74호 별책20)』, 세종: 교육부, 2015.
김민경·민선희·강선미. “초등교사들의 수학적 모델링에 대한 인식 조사 연구”. 『한 국학교수학회논문집』,
12(4)
, 411-431, 2009.김민경·홍지연·김은경. “수학적 모델링 사례 분석을 통한 초등 수학에서의 지도 방안 연구”. 『수학교육』,
48(4)
, 365-385, 2009.김민경·홍지연·김혜원. “수학적 모델링 적용을 위한 문제상황 개발 및 적용”. 『수 학교육』,
49(3)
, 313-328, 2010.김창수. “수학적 모델링문제 해결에서의 의미에 관한 연구”. 『한국학교수학회논문 집』,
16(3)
, 561-582, 2013.김혜영·김래영. “루브릭(RUBRIC) 쓰기에 나타난 수학적 모델링 연구”. 『수학교육 논문집』,
30(3)
, 263-280, 2016.박슬히·신재홍·이수진. “중학생의 수학적 모델링 정교화 과정에 관한 사례 연구”.
『한국학교수학회논문집』,
17(4)
, 657-677, 2014.박진형. “수학적 모델링 활동에 의한 창의적 사고 촉진 사례 연구”. 『수학교육학 연구』,
27(1)
, 69-88, 2017.박진형·이경화. “수학적 모델링 과정에서 수학화의 기호학적 분석”. 『수학교육학 연구』,
23(2)
, 95-116, 2013.박진형·이경화. “모델링 활동을 통한 메타수준 학습에 대한 연구”. 『학교수학』,
16(3)
, 409-444, 2014.서지희·윤종국·이광호. “중학교 3학년 수학 영재 학생들을 위한 수학적 모델링 교
수·학습 자료의 개발 및 적용: 쓰나미를 소재로”. 『학교수학』,
15(4)
, 785-799, 2013.손홍찬·류희찬. “수학적 모델링에서 스프레드시트 환경이 수학적 모델의 정교화 과 정에 미치는 역할”. 『학교수학』,
9(4)
, 467-486, 2007.신경희·김연지. “절댓값 기호를 포함한 일차함수와 그래프의 개념발달에 관한 수학 적 모델링 사례연구”. 『수학교육』,
50(2)
, 165-184, 2011.신은주·권오남. “탐구지향 수학적 모델링에 관한 연구”. 『수학교육학연구』,
11(1)
, 157-177, 2001.신현성·이명화. “실세계 상황에서 수학적 모델링 과제설정 효과”. 『한국학교수학 회논문집』,
14(4)
, 423-442, 2011.신현성·최희선. “수학적 모델링의 과제공간에서 과제복잡성의 평가척도(rating scheme)설정 – 예비수학교사를 대상으로”. 『한국학교수학회논문집』,
19(4)
, 357-371, 2016.안종수. “함수 단원의 수학적 모델링 자료를 활용한 수업이 학생들의 학습능력 향 상에 미치는 영향”. 『한국학교수학회논문집』,
15(4)
, 747-770, 2012.유홍규·윤종국. “영재교육을 위한 수학적 모델링 프로그램의 개발 및 적용 :보로노 이 다이어그램과 들로네 삼각분할을 중심으로”. 『수학교육 논문집』,
31(3)
, 257-277, 2017.이상구·고래영·이재화. “신종 인플루엔자의 수학적 모델링”. 『수학교육 논문집』,
24(4)
, 877-889, 2010.이지영·김민경. “초등학생의 수학적 모델링 적용과정에서 나타나는 의사소통에 관 한 연구: 5학년 수와 연산을 중심으로”. 『수학교육』,
55(1)
, 41-71, 2016.정승요·박만구. “수학과 교육과정의 변화에 따른 초등학교 3, 4학년 교과서의 수학 적 모델링 관련 제시 방법 분석”. 『한국학교수학회논문집』,
19(1)
, 103-122, 2016.최경아. “수학 교과 역량 관점에서의 수학적 모델링에 관한 선행 연구 탐색”. 『한