따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 200 300 500 합계
P(X=x) ;2!; ;4!; ;4!; 1
이때 확률변수 X에 대하여
E(X)=200_;2!;+300_;4!;+500_;4!;=300
0407 Ú X=1인 경우
1회에서 3 이상의 눈이 나오는 경우이므로 P(X=1)=;6$;=;3@;
Û X=2인 경우
1회에는 1의 눈이 나오고 2회에서 2 이상의 눈이 나오는 경우 와 1회에는 2의 눈이 나오고 2회에서 1 이상의 눈이 나오는 경우이므로
P(X=2)=;6!;_;6%;+;6!;_1=;3!6!;
Ü X=3인 경우
1회, 2회에는 모두 1의 눈이 나오고 3회에서 1 이상의 눈이 나오는 경우이므로
P(X=3)=;6!;_;6!;_1=;3Á6;
Ú~Ü에서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 3 합계
P(X=x) ;3@; ;3!6!; ;3Á6; 1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=1_;3@;+2_;3!6!;+3_;3Á6;=;3$6(; 답 ;3$6(;
0404
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_;8!;+1_;4!;+2_;8!;+3_;2!;=2 E(X2)=02_;8!;+12_;4!;+22_;8!;+32_;2!;=;;ª4Á;;
∴ V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=;;ª4Á;;-22=;4%;
확률변수 Y=aX+b에 대하여 E(Y) =E(aX+b)
=aE(X)+b
=2a+b=14 yy ㉠
V(Y) =V(aX+b)
=a2V(X)
=;4%;a2=20
a2=16 ∴ a=4 (∵ a>0) a=4를 ㉠에 대입하면
8+b=14 ∴ b=6
∴ ab=4_6=24 답 24
0408
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률 은 각각
P(X=0)=2C0_4C2 6C2 =;5@;
P(X=1)=2C1_4C1 6C2 =;1¥5;
P(X=2)=2C2_4C0 6C2 =;1Á5;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) ;5@; ;1¥5; ;1Á5; 1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0_;5@;+1_;1¥5;+2_;1Á5;=;3@;
E(X2)=02_;5@;+12_;1¥5;+22_;1Á5;=;5$;
0409
∴ E(aX-5) =aE(X)-5
=;4!;_300-5=70
답 70
단계 채점요소 배점
a의 값 구하기 30 %
E(X) 구하기 40 %
E(aX-5) 구하기 30 %
∴ V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=;5$;-{;3@;}2`=;4!5^;
∴ V(4-3X) =(-3)2V(X)
=9_;4!5^;=;;Á5¤;; 답 ⑤
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고, 그 확률 은 각각
P(X=1)=5C1_2C2
7C3 =;7!;
P(X=2)=5C2_2C1 7C3 =;7$;
P(X=3)=5C3_2C0 7C3 =;7@;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 3 합계
P(X=x) ;7!; ;7$; ;7@; 1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=1_;7!;+2_;7$;+3_;7@;=;;Á7°;;
∴ E(Y)=E(7X-5)
=7E(X)-5
=7_;;Á7°;;-5=10 답 ④
0411
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률 은 각각
P(X=0)=;6%;_;6%;=;3@6%;
P(X=1)=;6!;_;6%;+;6%;_;6!;=;1°8;
P(X=2)=;6!;_;6!;=;3Á6;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) ;3@6%; ;1°8; ;3Á6; 1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0_;3@6%;+1_;1°8;+2_;3Á6;=;3!;
∴ E(6X-1) =6E(X)-1
=6_;3!;-1=1 답 1
0410
확률변수 X는 이항분포 B{5, ;1Á0;}을 따르므로 X의 확 률질량함수는
0412
과녁을 명중시키는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이 항분포 B{4, ;5$;}를 따르므로 X의 확률질량함수는
4C0{;5!;}4 (x=0) P(X=x)=
(M ÒM 9
4Cx{;5$;}x{;5!;}4-x (x=1, 2, 3)
4C4{;5$;}4 (x=4) 따라서 구하는 확률은
P(X¾æ2)=1-{P(X=0)+P(X=1)}
=1-[4C0{;5!;}4`+4C1{;5$;}1`{;5!;}3`]
=1-;6Á2¦5;=;6^2)5*; 답 ;6^2)5*;
0414
어느 레스토랑의 예약 취소율이 10 %이므로 예약을 취 소하지 않고 실제로 레스토랑에 찾아오는 비율은 90 %이다.
실제로 레스토랑에 찾아오는 건수를 확률변수 X라 하면 X는 이 항분포 B(20, 0.9)를 따르므로 X의 확률질량함수는
0415
확률변수 X는 이항분포 B{36, ;3@;}를 따르므로 E(X)=36_;3@;=24
V(X)=36_;3@;_;3!;=8 r(X)="ÃV(X)='8=2'2
답 E(X)=24, r(X)=2'2
0417
E(X)=10에서 20p=10 ∴ p=;2!;
즉, 확률변수 X는 이항분포 B{20, ;2!;}을 따르므로 V(X)=20_;2!;_;2!;=5
이때 V(X)=E(X2)-{E(X)}2에서 E(X2) =V(X)+{E(X)}2
=5+102=105
∴ E(X2)+V(X)=105+5=110 답 ③ 0416
확률변수 X는 이항분포 B{72, ;6!;}을 따르므로 E(X)=72_;6!;=12
V(X)=72_;6!;_;6%;=10
이때 12와 10을 두 근으로 하고, 최고차항의 계수가 1인 이차방 정식은
x2-(12+10)x+12_10=0
∴ x2-22x+120=0 0419
확률변수 X의 확률질량함수는
10C0{;2!;}10 (x=0) P(X=x)=
(M ÒM 9
10Cx{;2!;}x{;2!;}10-x (x=1, 2, y, 9)
10C10{;2!;}10 (x=10)
∴ P(XÉ2)
=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=10C0{;2!;}10+10C1{;2!;}1{;2!;}9+10C2{;2!;}2{;2!;}8
=;10Á24;+;10!2)4;+;10$2%4;
=;12&8;
따라서 p=128, q=7이므로
p+q=128+7=135 답 135
0413
확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 E(X)=20, V(X)=4Û`=16이므로
E(X)=np=20 yy ㉠
V(X)=np(1-p)=16 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
20(1-p)=16 ∴ p=;5!;
p=;5!;을 ㉠에 대입하면
;5!;n=20 ∴ n=100 답 100 0418
5C0{;1»0;}5` (x=0) P(X=x)=
(M ÒM 9
5Cx{;1Á0;}x{;1»0;}5-x (x=1, 2, 3, 4)
5C5{;1Á0;}5` (x=5)
∴ P(X¾1) =1-P(X=0)
=1-5C0{;1»0;}5`
=1-{;1»0;}5` 답 ④
20C0 0.120 (x=0) P(X=x)=
( { 9
20Cx 0.9x_0.120-x (x=1, 2, y, 19)
20C20 0.920 (x=20)
따라서 테이블이 부족하려면 X>18이어야 하므로 구하는 확률은 P(X>18) =P(X=19)+P(X=20)
=20C19 0.919_0.11+20C20 0.920
=20_0.135_0.1+0.122
=0.392 답 0.392
확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따르므로 X의 확 률질량함수는
nC0(1-p)n (x=0) P(X=x)=
( { 9
nCx px(1-p)n-x (x=1, 2, y, n-1)
nCn pn (x=n) P(X=n-1)=8P(X=n)에서
nCn-1 pn-1(1-p)=8nCn pn
npn-1(1-p)=8pn ∴ n(1-p)=8p yy ㉠ V(X)=;9*;에서 np(1-p)=;9*; yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 p_8p=;9*;
0421
확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 E(X)=2, V(X)=;2#;이므로
E(X)=np=2 yy ㉠
V(X)=np(1-p)=;2#; yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 2(1-p)=;2#; ∴ p=;4!;
p=;4!;을 ㉠에 대입하면
;4!;n=2 ∴ n=8
따라서 확률변수 X는 이항분포 B{8, ;4!;}을 따르므로 X의 확률 질량함수는
8C0{;4#;}8 (x=0) P(X=x)=
(M ÒM 9
8Cx{;4!;}x{;4#;}8-x (x=1, 2, y, 7)
8C8{;4!;}8 (x=8)
∴ P(X=3) P(X=2) =
8C3{;4!;}3{;4#;}5
8C2{;4!;}2{;4#;}6=2_;4!;
;4#; =;3@;
답 ;3@;
단계 채점요소 배점
평균, 분산에 대한 식 세우기 30 %
n, p의 값 구하기 30 %
P(X=3)
P(X=2) 의 값 구하기 40 %
0420
3개의 동전을 동시에 던질 때, 2개는 앞면, 1개는 뒷면이 나올 확률은
3C2{;2!;}2`{;2!;}1`=;8#;
따라서 확률변수 X는 이항분포 B{6, ;8#;}을 따르므로
E(X)=6_;8#;=;4(; 답 ;4(;
0422