상단 PDF 2009년 6월 고1 모의고사_ 수학 문제

張景中，曹培生(民的)，從數學教育到教育數學，台jt :九章出版社.[r]

其次，謝謝嘉儀、順華、江俊、信太及俊誼學長在研究上或是日常生活上對 我的照顧；還要謝謝秉勳、凱迪、明君、春慧四位同學在我的課業及生活上的幫 忙;平常在研究領域上的討論及切磋，讓我的基本觀念能夠更加的紮實。也謝謝 是瑜、鎮宇、國哲、鼎國、燦傑、登政等學弟的支持與幫忙。最後還要特別謝謝 大學同學士豪、奐箴、訓緯、建興、傑天、慶陽、善凡、詠峻、俊穎、士昌等人 對我在類比電路設計領域的幫助。有了各位的陪伴，才能讓我在這兩年半的日子 裡有這麼快樂且充實的研究生活。

本文所探討的是卡特蘭等式以及開票一路領先的問題，並將其結果推廣到高 維度的卡特蘭數。假設有甲、乙兩位候選人，其得票數分別為 m 及 n 票，且 m≧ n，我們若將開票過程建立在直角座標上，起點由(0,0)開始，將甲得一票記作向 量(1,0)，乙得一票記作向量(0,1)，則由甲候選人一路領先的開票方法數，即為 直線 y = x 以下的路徑總數。

除此之外，研究者認為另一個比較有趣的特性是三個魔方陣 ABDE、BCFG、ACHI， 它們的魔術數隱藏著一種關係為 505 2  303 2  404 2 ，恰好是勾股定理的關係式。 綜觀魯米斯所收錄的這五個畢達哥拉斯魔方陣，直角三角形斜邊上的魔方陣 數字和會等於兩股上魔方陣內數字和的總和，但這樣的關係要和勾股定理相提並 論似乎有點牽強，研究者認為只能將魔方陣內的數字和視為是該所屬的正方形面 積，如此即可解讀為斜邊上正方形的面積等於兩股上正方形的面積和。另外，研 究者在網路上也搜尋到一個相當特別的畢達哥拉斯魔方陣，如圖 3.4.21，直角三 角形三邊上所建置的魔方陣，其數字和恰好滿足勾股定理的關係式，即 870 2  522 2  696 2 。其實像這樣的畢達哥拉斯魔方陣還有很多，而且也不斷地在延續建 構中。魔方陣是一個相當有趣的數學問題，也可稱作是數學遊戲，倘若能巧妙的 將它融入課堂中教學，相信是可以激發學生對於數學問題的思考與興趣的。

第一章 緒論 第一節 研究背景與動機 關於勾股定理的證明方法多達約 400 種，堪稱所有定理之冠，可見此定理 的重要性與普及性，勾股定理也是目前課綱編制中，中學生在幾何學習上一個 重要的開端，但很可惜的是，即便教科書中有透過圖形的割補來做為勾股定理 的證明，但大多的教學甚至教材最後仍將此定理的重點訴諸於代數式子的操 弄，也就是「直角三角形，兩股平方和等於斜邊平方」 ，主要原因是因為考試領 導教學，學生習慣去記結果而不重視過程，如此一來便減損了這個定理背後的 幾何意義，忽略了定理本身固有樸拙的「美術勞作」風格，讓學生實際體驗教 材上的內容，這樣才能學得輕鬆、記的深刻，體會數學的另一面。

似動運動的發現已經有一百六十年的歷史，Plateau 在 1833 年製造了第一個動景盤 （stroboscope），轉的快，圖案會形成連續的變化，轉的慢只看到圖案的轉動。而學術上 的研究，從最早期的 Exner（1875）將左右的閃電圖片交替播放形成似動運動，到 1912 年之後，才有學者對似動運動現象作系統性的深入研究，Max Wertheimer 發表了一篇關於 似動運動的文章，並且用完形心理學的方式來解釋此現象，並且探索了似動運動的最適條 件，如圖 2-7，在合理的短距離中（約 5°~10°視角） ，將兩個圓點交替呈現，當 ISI（interstimulus interval，刺激間隔）小於 30 ms 時，會被認為兩圓點同時存在，當介於 30~60 ms 時，會 看到間隔之間部分的運動，當 60~200 m 時，會看到兩個點之間有平滑的運動，當 200~300 ms 時，會看到兩個不同的點在閃爍（Goldtein, 2002） 。

魯米斯的《勾股定理》涵蓋所有經典的證明，其中包括一些只有天才如惠更斯 ( Huygens )、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz )才知道的證明。美國第 20 任總統 加菲爾德(J.A. Garfield)在西元 1876 年擔任國會議員時，也發現了一個證明方法。 他利用直角三角形畫出一個梯形，並巧妙地利用梯形面積等於三個直角三角形的面 積和，推導出勾股定理的關係式。而在西元 1938 年，就讀於印第安納州南本德中 央中學的一名女學生康地( Ann Condit )也提供了一個複雜的證明。魯米斯誇獎她 說： 「這個十六歲的女生，是第一個在證明中使用從給定直角三角形的斜邊中點出 發作圖的輔助線和三角形，她做了印度、希臘，甚至是現代的偉大數學家未曾做到 的事。」

12 這種最低需求論（minimalism）可由 Raymond Aron 的話做個精簡地概要：「在何種條件 下，人們會不僅僅是避免毀滅而是追求相對安居共存（live together relatively well）在這 個星球上？」 （轉引自 Hurrell﹐2003：25） ，秩序被理解成是在諸國間的無政府狀態下公 認的「共存的最低需求」 ，尤其這些國際政治理論學者所處的冷戰環境是一個全面戰爭 隨時會一觸即發的核子武器年代，他們所考慮的首要問題自然會是「國家和其他團體要 如何才能對彼此造成最小傷害，使人類這個物種得以生存」 （ibid.：26）。多元主義者們 之所以抱持如此觀點，一方面是一種對於權力政治所抱持的悲觀態度使然；另一方面是 透露對國際共識和共同價值是否存在的一種深度懷疑論。然而隨著冷戰結束，我們可以 看到國際社會逐漸不再只是看重秩序此一價值，正義的概念也被導入國際社會的議程之 中。Hurrell 提出了五個理據來說明此種「擴張的國際社會規範性之願景」 （the expanded normative ambition of international society）：首先，隨著物質發展和對於利益的理解有所 轉變，經濟、環境生態等價值的重要性也日益攀升，國際社會不能只是謹守最低需求論 的秩序理解，人們對於國際合作的需求是劇烈地成長，況且戰爭的成本亦逐漸變高，冷 戰時期對於全面戰爭的擔憂在今日則輕微許多；再者，為了因應上述要求，如果國家想 要有效處理經濟、環境保育、人權、難民危機、毒品或者恐怖主義等問題，那麼就必須 進行跨國合作，而其範圍甚至得涵蓋到國內層面（如國內經濟和社會） ，從此點來看國 際政治的參與者就不再只是侷限於 Jackson 所關注的政治家（statepeople）而已；第三點 則是體現在國內社會所展現的態度與想法上。無論是民主政體或專制政體，政府都得在 一定程度上滿足人民的需求，而今日社會的人們對於國際整合、國際合作……等舉措之 態度也有所提高；第四，Hurrell 認為「國際社會的規範需要不僅僅是以實用或物質利益 的方式被表述，也應包含了共同道德目標（common moral purposes）」這種概念是逐漸 增長的。在某些案例中可以看到正義的概念形塑了國家的對外政策，且全球化和相互依 存度的提高使國際社會的一體感更具有現實性；最後則是權力在國際關係中扮演的角色。

一、研究準備階段 一般學生於國中二年級數學第四冊第三章三角形的全等性質與應用 及三角形邊角關係中，只有將基本性質記下並未做過完整的論證，評量 習作都是填空式方式來協助學生學習幾何論證，月考試卷也極少出現完 整論證式試題，所以多數的學生到第五冊時，無法完整的寫出有效的幾 何論證。研究者蒐集整理學生錯誤題型、迷思的概念及無法理解性質觀 念關聯性，閱讀相關文獻及資料分析整理後，發現學生常將待證之結論 拿來當已知條件，且有許多的學生無法從圖形中將要證明的兩個全等或 相似三角形找出，對於論證時所用的性質是根據之前學習的先備觀念去 做猜測，看到有角有邊就開始猜測是 AAS、ASA、SAS 全等，只要看到 直角就是 RHS 全等，對於這些圖形間真正的關聯性並不明瞭，研究者針 對以上的問題確認研究領域，教學教材以第五冊第三章第一節幾何證明 為主要的教學範圍，設計一個以電子白板為教學輔助工具的教材。

誌 謝 感恩我的指導教授陳界山老師，這兩年來不遺餘力的指導 我，一步一步的帶領我走進這個在大學時期不曾接觸的領域， 在撰寫論文的過程中也學會了幾個應用軟體，對於之後在中學 任教，相信會有莫大的幫助，感恩兩位口試委員柯春旭老師與 張毓麟老師，在百忙中撥出時間幫我口試，並在過程中給予我 許多細節上的叮嚀，感恩師大如來實證社的同學們，在我忙碌 於碩士論文時，時時給予我鼓勵與支持，以及當我論文遇到問 題時幫助我的研究所同學們，真的非常感恩大家兩年來的照 顧，彥迪感恩合十。

國立政治大學應用數學系 碩士學位論文 指導教授：李陽明 博士.[r]

一、視覺傳播在於使用圖文影音等多種媒材傳達理念，也就是說一個故事。 Bo Bergstrom主張有三個說故事的技巧：戲劇性說故事技巧、非戲劇性說 故事技巧、互動性說故事技巧。請各舉一個例證，說明三種說故事技巧的 差異。（30分）

國立政治大學應用數學系 碩士學位論文 指導教授：李陽明 博士.[r]

⾎，無論是平常上課、準備論⽂以及最後的論⽂修改，因為有⽼師的耐⼼指 導，才能有這篇論⽂的誕⽣。 接著要感謝的是我最愛的家⼈，讀研究所的這三年來總是讓他們操煩， ⽽且上研究所後與家⼈相處的時間減少許多，但他們仍給於我精神上的關 懷，並給我很多⽀持與協助。

幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」 的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要 在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條 件」到「要說明的結論」之間的關係，而所添 加的圖形稱為輔助線。

第三部分【註與心得】 ： 此部分又分成四項：來源、心得、評量、補充。 在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名的數學家所證明， 或是出自某本書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去收集資 料來閱讀； 「心得」為研究者本人整理完此證明，或者是研究者先行讓學生閱讀 後的心得，作個簡單的比較或評論，供給讀者參考； 「評量」則是評論此證明適 合哪個教學階段所能理解的，或是是否適合教學，以及是否具有欣賞及美學，這 些評分皆是研究者整理完此證明，主觀的評價證明內容，雖然如此在這個部分的 用意是希望閱讀者可以利用這部分的評價，來快速判斷此證明是否符合他所需要 的； 「補充」裡會針對該證明簡單介紹作者生平故事，或是在證明中有利用到學 生較不熟悉或未學過的定理，皆會放在補充裡，協助學生對此證明的理解，藉由 一些小故事也希望引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。

就初中三角比這一課題，筆者希望藉本文與教育界同工分享一個教學 上的嘗試。三角比是中學數學課程不可或缺的一部份。是次教學嘗試著眼 於如何幫助學生牢記三個三角比的定義（cos ＝ 斜邊

幾何證明分段作業的學習效率分析研究 左台益 * 呂鳳琳 ** 摘 要 本研究引進認知負荷理論並以「平行線截比例線段」的證明為例，探討專家 和生手理解幾何證明與認知負荷感受的關係，並進一步分析其學習效率。依據數學 結構與Duval（1998）的幾何推理訊息組織三層次之構念進行切割分段，形成分段 與未分段兩種學習版本。根據49位專家和66位生手在不同學習版本的理解表現與認 知負荷感受，以Paas與van Merriënboer（1993）所提出的學習效率公式分析專家和 生手在不同學習版本下的學習效率。研究結果顯示：一、專家的理解表現與認知負 荷感受無關，但生手的理解表現與閱讀意願及信心指數呈正相關；二、信心指數可 做為學生理解幾何證明的一個參考指標；三、降低作業複雜度能提升專家在各理解 層次的學習效率與生手在局部層次的學習效率。

摘要 在這個資料數位化且大量普及的年代，資訊的傳遞越來越快速及便利。許多商業、學 術、軍事、政府等機構的重要資料可能便是透過將資料數位化的方式在點與點之間傳送、 溝通。但是在享受科技所帶來的便利性時，人們也必須考慮到資訊在傳遞、交流的過程中 所衍生出的相關問題，例如資料是否被攔截、修改。因為資料無論是透過影片、影像或音 訊等形式傳遞，都有可能遭到竄改。而如何確認在傳輸的過程中資訊是否被第三方惡意竄 改、破壞，便是一個值得使用者們探討、研究並努力解決的議題。

誌 謝 首先感謝我的指導老師曾文貴教授，傳授我許多關於密碼理論的 知識，讓我對這個領域有更深一層的認識，並了解所謂的安全並非口 說無憑，而是需要提供一套完整的正規證明。另外，我要感謝口試委 員，中研院呂及人教授、交大謝續平教授與交大蔡錫鈞教授，在論文 上給我許多建議與指導，讓我的論文更加完善。除此之外，我也要感 謝實驗室的孝盈學姊、思維、毅睿、韶瑩和學弟們對我的幫忙。特別 感謝畢業學長成康以及助理天心的協助，還有新竹的成大幫陪我度過 第三個兩年。