<Magnetic Field Lines>
<Faradays’ Law>
제 9 장
Time-Varying Fields and Maxwell’s Equations
앞서 8장까지의 내용에서는 시간에 대한 변화가 없는 electrostatic 경우와 magnetostatic 경우의 문제들을다루었다.가령,균일한전류가흐른다는가정에서계산한Magnetostatic경우에는초기에 전류가흐르지않던상황에서일정한값의전류가흐르게되기까지의시간에따른변화는고려되지 않았다. 5장에서배운Continuity equation을고려해볼때
∂ρ
∂t +∇ ·J= 0
시간에 대한변화를 다루는 첫 항이 0인 경우 ∇ ·J = 0 이고,따라서 특정공간을 흐르는 전류가 보존되는 상황이 된다. 이 식은 ∇ ·B = 0인 식과 유사하고 따라서 Magnetic circuit에저 전류와 자속을대응되는개념으로다루었다는 것도쉽게이해할 수있다.
그러나 이번 장부터는시간에 대해서 변화가 있는경우의 자기장 문제를 다루고자 한다.이러 한 경우에는 두가지 중요한 새로운 개념이 도입되는데, 그 것은 시간에 대해 변화하는 자기장이 전기장을 유도하며 또한 시간에 대해 변화하는 전기장이 자기장을 유도한다는 사실이다. 전자의
사실은 1831년 Faraday의실험으로부터증명되었으며,후자의 것은앞서 알려진전자기의현상과
연속방정식을 결합하여 Maxwell이 이론적인 분석을 통해 알게 된 사실이다. 따라서 전자기학의 모든이론을정리한네가지방정식이그의 이름을통해세상에 알려졌다.
9.1 Faraday’s Law
1820년에덴마크의물리학자이자화학자인Oersted(외르스테드)가전류가흐르는도선이 자기장을
발생시킨다는 것을발견한후에Faraday는역으로 자기장이전류를 발생시킬 수도 있을것이라는 믿음을 갖고 연구를 시작하였다. 그 당시에는 Field라는 개념이 아직 정립되지 않았던 시기이므 로 Faraday의 연구는 자성 (magnetism)을통해서 전류를 생성시키고자 하는 것이었다. 1831년에
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제9 장. TIME-VARYING FIELDS AND MAXWELL’S EQUATIONS 120 비로소 그는 시간에 대해서 변화하는 magnetic flux(자속)가전류가흐르도록 작용하는물리량인 유도기전력 (electromotive force, emf)을 유도한다는 사실을 발견하였다. 이값의 이름에는force 가붙었지만그단위는V 이며,이는mmf의단위가A·t인것에대응된다.
emf =−dΦ
dt [V] (9.1)
이식을Faraday의법칙이라한다.이때emf가형성되는경로는자기장이지나는면을둘러싼closed path로고려한다.계산된magnetic flux는 이closed path가 둘러싸고 있는 면적에대해magnetic flux density (B)를적분한값이다.경우에따라서는이closed path가capacitor를포함(즉,도선이 끊어진 경우)할 수도 있고 따라서 일부 영역에서는 아래 그림의 점선과 같이 가상의 도선을고려 한다. Magnetic flux가시간에 따라 변하기 위해서는 고정된closed path에 대해 자기장이 시간에 대해서변화하거나,혹은시간에대해변화가없는자기장에대해서path가변화하거나,혹은양자 가 모두 변하는 경우가 가능하다. 식 (9.1)에서 언급된 마이너스 (−)부호는 유도기전력의 방향은 magnetic flux의변화를방해하는방향으로전류를생성시킨다는 것을 의미하며,이법칙을Lenz’s law (렌츠의법칙)라고한다.
그림9.1:균일한자기장이시간에따라감소하는경우의emf의생성사례. Capacitor내에서는실제 전하의움직임에의한전류가아닌displacement current가흐른다.
만약에closed path가solenoid나toroid에감긴도선처럼N회감긴경우를고려한다면,도선이 감지하는flux의양이N배로증가하게되고앞장에서배운flux linkage의개념을 이용하면
emf =−NdΦ
dt (9.2)
이다.이때emf는앞서배운바와같이
emf = I
C
E·dl (9.3)
제9 장. TIME-VARYING FIELDS AND MAXWELL’S EQUATIONS 121 이며,그단위는전위의 단위인 volt [V]가된다.이식을통합해서나타내면다음과 같다.
emf = I
E·dl=−d dt
Z
S
B·dS (9.4)
이때자기장이 시간,공간의함수 B(r, t)이므로우변의 시간에대한 미분은적분기호내부에서는 편미분으로바뀌게된다.또한, Stokes’ theorem에의해서closed path에서의전기장의 적분은curl 을취한값의면적분과 같으므로좌변은전기장의curl 연산을면적분한값으로바뀐다.따라서,
Z
S
(∇ ×E)·dS=− Z
S
∂B
∂t ·dS 이고이식이 임의의면적S에대해서 성립하는조건은
∇ ×E=−∂B
∂t (9.5)
이다.이식은Maxwell의네가지방정식중에electrostatic 경우의식이었던
∇ ×E= 0
를대신하여시간에대한변화가있는electromagnetic경우에쓰이는식이다.식(9.4)와같은emf 의 발생은 자기장이 시간에 대해서 변화하는 경우 뿐만이 아니라, 교재의 그림 9.1과 같이 시간에
대한변화가없는steady자기장에대해서전류가흐를수있는path자체가늘어나는경우에도성
립한다.그러나교재의그림9.2에서처럼path내부에또다른path를 만들고스위치를통해전류가
흐를수있는면적을늘려주는경우에는결국전체적분한값에는변화가없기때문에유도기전력이 발생하지않는다.
제9 장. TIME-VARYING FIELDS AND MAXWELL’S EQUATIONS 122
9.2 Displacement Current
앞 절에서는 Faraday의 실험 결과로부터 시간에 대한 변화가 있는 자기장에 대한 새로운 방정식
이 유도되는것을다루었다.이번에는앞서배웠던Continuity equation과 Ampere 법칙의결합이 시간에 대한 변화가 있는 경우에 대해서는문제점을 발생시킨다는 논리적인 전개를 통해, 시간에 대해변화하는전기장이 자기장에 어떤영향을미치는 지에 대해서알아보고자 한다.어떤주어진 공간을통과해나가는전류밀도의면적분값은내부에존재하는전하밀도의시간에대한변화량을 공간적분한값과 같다는 조건으로부터다음의 연속방정식(Continuity equation)이 유도된다(5장 참조).
∇ ·J=−∂ρ
∂t (9.6)
그러나Ampere의법칙에의한다음식에
∇ ×H=J
divergence를취하면,좌면은vector identity에의해 항상0가되므로,
∇ ·(∇ ×H) =∇ ·J= 0
이다.즉, (9.6)식과달리시간에대한변화량을포함하지않게된다.이를해결하기위해Maxwell 은Coulomb의법칙에서유도된∇ ·D=ρ 을(9.6)에에 대입하고
∇ ·
J+∂D
∂t
= 0
인경우괄호안의값이특정벡터의curl로계산된다는 것에착안하여다음식을 유도하였다.
∇ ×H=J+∂D
∂t (9.7)
이때우변에 새로인가된 항은 시간에 따라 변화하는displacement flux density (D)에의한전류 성분이며,이를displacement current라고한다.
Jd= ∂D
∂t (9.8)
이값을5장에서배운다른전류밀도의식과비교해보면,평균속도v를지니는 전하밀도ρ인하전 입자의집합적인흐름에의해생성되는전류밀도는
J=ρv
이고, 이 값을 convection current density라고 한다. 이를 이용하면 Chap. 5에서 보인 바와 같이 도체내에서충돌이 있는하전입자의흐름으로부터conduction current density를유도할수있다.
J=σcE
