Final Exam Solution 1.

(1)

Final Exam Solution 1.

R1

r C

A

B

(a) 계산의 편의를 위해 R₁와 r 두 벡터와 점 A,B,C를 위 그림과 같이 잡는다.

( , , )

P x y z 를 spherical coordinate index ( , , )Rθ φ 를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

ˆ ˆ ˆ

sin cos sin sin cos

R=R θ φx+R θ φy+R θz Vector magnetic potential ⁰

' 1

'

4 ^C

I dl

A R

μ

= π

∫

임을 이용하여 구한다. Rectangular Loop의 네 변에 대해 각각 A를 구하고 이를 모두 더한다.

① OA에 대한 A

(

² ²

)

¹²

1 2

R = R + −r R ri 으로 쓸 수 있는데, 여기서의 r =xxˆ이므로 R ri =Rxsin cosθ φ가 된다.

따라서,

( )

2

1 1 2

2 2 2

1 2 2

2

1 1 1 1 1

1 (approximation: 1)

2 1 2

1 sin cos 1

1 1 sin cos

R r r

R R R R R

R r R r r R r

R R

Rx x

R R R R

θ φ θ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + − = ⎡⎢ +⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎤⎥ ≈ ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

i i

로 정리할 수 있고, dl'=xdxˆ 이므로 A는

2

0 0 0

0 2

1 1 sin cos ˆ sin cos ˆ

4 4 8

I a x Ia Ia

A xdx x

R R R R

μ θ φ μ μ θ φ

π π π

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ =⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

② AB에 대한 A

AB에서는 r =axˆ+yyˆ이므로 R ri =Rasin cosθ φ+Rysin sinθ φ이고 dl'= ydyˆ . 따라서,

(2)

2

0 0 0 0

2 2

0

1 1 sin cos sin sin ˆ sin cos sin sin ˆ

4 4 4 8

I b a y Ib Iab Ib

A ydy y

R R R R R R

μ θ φ θ φ μ μ θ φ μ θ φ

π π π π

⎛ ⎞

= ⎜ + + ⎟ =⎜ + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

③ BC에 대한 A ˆ ˆ

r =xx+by이므로 R ri =Rxsin cosθ φ+Rbsin sinθ φ이고 dl'= −xdxˆ . 따라서,

0 2

0 0 0 0

2 2

1 1 sin cos sin sin ˆ sin cos sin sin ˆ

4 ^a 4 8 4

I x b Ia Ia Iab

A xdx x

R R R R R R

μ θ φ θ φ μ μ θ φ μ θ φ

π π π π

⎛ ⎞

=

∫

⎜⎝ + + ⎟⎠ = −⎜⎝ − + ⎟⎠

④ CO에 대한 A

r =yyˆ이므로 R ri =Rysin sinθ φ이고 dl'= −ydyˆ . 따라서,

0 2

0 0 0

2

1 1 sin sin ˆ sin sin ˆ

4 ^b 4 8

I y Ib Ib

A ydy y

R R R R

μ θ φ μ μ θ φ

π π π

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ = −⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

최종적으로 ①~④를 모두 더해보면

( )

0

2 sin sin ˆ cos ˆ

4

A Iab x y

R

μ θ φ φ

= π − +

여기서 m=ISzˆ=Iabzˆ, Rˆ=sin cosθ φxˆ+sin sinθ φyˆ+cosθzˆ로 두면,

( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0 0 sin sin ˆ sin cos ˆ

sin cos sin sin cos

x y z

m R Iab Iab θ φx θ φy

θ φ θ φ θ

× = = − +

이므로, A를 다음과 같은 form으로 쓸 수 있다.

0 2

ˆ 4 A m R

R μ

π

= × (b)

( )

0

2 sin sin ˆ cos ˆ

4

A Iab x y

R

μ θ φ φ

= π − + 의 식은 φˆ= −sinφxˆ+cosφyˆ임을 이용하여,

0

2 sin ˆ

4 A Iab

R

μ θφ

= π

로 쓸 수 있다. B= ∇×A이므로 spherical coordinate에서의 curl을 적용하면

( ) ( ) ⁽ ⁾

1 1 1 1

sin sin sin

R R

A A A

A R A RA RA

R R R R R

φ θ θ θ φ φ θ

θ θ φ θ φ θ

⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂ ⎤

∇× = ⎢⎣∂ − ∂ ⎥⎦+ ⎢⎣ ∂ −∂ ⎥⎦+ ⎢⎣∂ − ∂ ⎥⎦

에서 A_φ와 연관된 항만 남기면

( ) ( )

1 1

sin sin

A R A RA

R ^φ θ θ R R ^φ

θ θ

∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∇ × = ⎢⎣∂ ⎥⎦+ ⎢⎣−∂ ⎥⎦ 이고, 위의 A를 넣어 정리하면,

( ) ( )

0 0

3 ˆ2 cos ˆsin 3 ˆ2 cos ˆsin (where )

4 4

Iab m

B R R m IS Iab

R R

μ θ θ θ μ θ θ θ

π π

= + = + = =

(3)

2.

B at a distance r from an infinitely long line carrying a current I :

2 B I

r φ μ

= π

•

×

A A'

B B'

C C '

For a unit length, the flux due to I in line A that links with the second line pair B-B' is

' 0 AC 0

A AB

lnAC

2 2 AB

I dr I

r

μ μ

π π

Φ =

∫

=

For a unit length, the flux due to I in line A' that links with the second line pair B-B' is

' 0 A'C' 0

A' A'B'

lnA'C'

2 2 A'B'

I dr I

r

μ μ

π π

Φ =

∫

=

Total flux linkage per unit length,

2 2

' ' ' 0 0

12 A A' 2

(AC)(A'C')

ln ln

2 (AB)(A'B') 2

I I D d

D

μ μ

π π

Λ = Φ + Φ = = +

Therefore,

' 2

' 12 0

12 ln(1 2)

2 M d

I D

μ π

= Λ = +

(4)

3.

The motional emf in a conductor moving in a magnetic field is

( ) _c

e=

∫

c u B dl× ⋅

Therefore,

0 0

0.1( 1000 0.2 ) 0.1 200 20 e=

∫

− y× z dl x⋅ =

∫

− dl = V

4.

(a) the magnetic force acting on the proton

( ) ⁽ ⁾

( )

19 6

19 6 12 12

ˆ ˆ ˆ

(1.6 10 ) 10 (3 4 ) 1.75

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1.6 10 10 1.75 (3 4 ) 1.12 10 [N] or 1.1 10 [N]

z z

z z r r

F qu B a a a

a a a a a

φ φ

−

− − −

= × = × × × − × ×

= × × × − × = − × − ×

(b) the direction of rotation

proton의 속도에서 B field에 수직한 방향의 성분은 −aˆ_φ이므로, z-축에서 바라보았을 때, 시계 방향으로 회전한다.

(c) the radius of the orbit 원심력은 m ²

F u

= R 이므로

( ) ⁽ ⁾

27 2

2 6 3 2

12

27 6 2 3 2

12

1.7 10

4 10 24.727 10 m 2.5 10 m or 24.7 mm 1.1 10

1.7 10

or 4 10 24.286 10 m 2.4 10 m or 24.3mm 1.12 10

n

R mu F

− − −

−

− − −

−

= = × × = × ≈ ×

×

= × × = × ≈ ×

×

(d) the time period for one complete revolution

3

8 8

6 3

8 8

6

2 2 24.286 10

3.8 10 s(1.2 10 s) or 38.1 ns(12.1 ns) 4 10

2 24.727 10

or 3.9 10 s(1.2 10 s) or 38.8 ns(12.4 ns) 4 10

n

T R u

π π π π

π π π

− − −

× ×

= = ≈ × ×

×

× ×

= ≈ × ×

×

(e) the frequency

7 8

1 1

2.6 10 Hz(26.3MHz) 3.8 10

1 8.3 83.3

or 10 Hz MHz

1.2 10 f T

π π π

−

= = ≈ ×

×

⎛ ⎞

= × ≈ × ⎜⎝ ⎟⎠

(5)

(f) the pitch of the helix

6 8 2

3 10 3.8 10 11.4 10 m 11.4cm or 3 10 3.9 10 11.7 10 m 11.7cm

d up T ⁻ ⁻

− −

= × = × × × = × =

= × × × = × =

위의 적힌 결과 외에도 앞선 과정에서 구했던 round-off 값을 사용하여 이 후 과정을 실수 없이 계산하였거나, 각 문항마다 결과값을 도출한 후 round-off 한 경우에도 정답처리.

5.

(a)

×

9 9

8

V(z,t) = 10 W(10 t - 5z) ω 10

velocity v = = = 2 10 (m / s)

k 5

(b)

× ⁹

V(z,t) = 10 W(10 t - 5z) 이 식에 각 시간을 대입한 후 z에 대해서 그림을 sketch하면 위와 같다.

6.

Boundary condition에 대한 기본적인 내용을 적거나, Boundary condition 수식을 4개 이상 적었으면 10점

내용이 전혀 없는 경우, 앞뒤가 맞지 않는 경우, 수식이 2개 밖에 없는 경우는 그 상황에 맞게 감 점을 하였습니다.

- -200 -2001 5

- 01 5

- +200 2001 5

- +1000 10001 5

10

Final Exam Solution 1.