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최상위 수학 - Tistory

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(1)

정답과 풀이 최상위 수학

1

1

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(2)

자연수의 성질

1

수와 연산

19 13 32 103 3 50가지

0 624 10 송이, 종군, 길동 7

151 234 4

6 (42, 36), (126, 12) 6, 12 168 42

18그루 6명, 9명, 18 420 60 88 4

147 1681 4 714 72 502

8 42 54, 108, 270, 540 34 10

7~14쪽

주제별 실력다지기

STEP

(1)

3의 배수판별법(9도 같은 원리임)

세 자리의 수를 abc라고 하면 abc=100a+10b+c이므로 100a+10b+c =99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c)

=3(33a+3b)+(a+b+c)

따라서 a+b+c3의 배수이면 abc3의 배수이다. 또한 100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=9(11a+b)+(a+b+c) 같은 원리로 a+b+c9의 배수이면 abc9의 배수이다.

(2)

4의 배수판별법 네 자리의 수를 abcd라고 하면 abcd=1000a+100b+10c+d이므로

1000a+100b+10c+d=4(250a+25b)+10c+d

따라서 10c+d0 또는 4의 배수이면 abcd4의 배수이다.

(3)

11의 배수판별법

다섯 자리의 수를 abcde라고 하면

abcde=10000a+1000b+100c+10d+e이므로 10000a+1000b+100c+10d+e

=(9999a+1001b+99c+11d)+(a+c+e)-(b+d)

=11(909a+91b+9c+d)+(a+c+e)-(b+d)

따라서 (a+c+e)-(b+d)0 또는 11의 배수이면 abcde11 의 배수이다.

즉, 어떤 수에서 홀수 번째의 각 자리의 숫자의 합에서 짝수 번째의 각 자리의 숫자의 합을 빼서 그 결과가 0 또는 11의 배수이면 그 수 11의 배수이다.

배수판별법의 원리 확인하기 최상위

NOTE

01

소인수분해를 활용하여 약수의 총합 구하기 최상위

NOTE

02

aa×bb으로 소인수분해될 때, (약수의 총합)

=(1+a+aÛ`+aÜ`+y+aa)×(1+b+bÛ`+bÜ`+y+bb)

× aâ` aÚ` aÛ` aa bâ` aâ`bâ` aÚ`bâ` aÛ`bâ` aabâ`

bÚ` aâ`bÚ` aÚ`bÚ` aÛ`bÚ` aabÚ`

bÛ` aâ`bÛ` aÚ`bÛ` aÛ`bÛ` aabÛ`

bb aâ`bb aÚ`bb aÛ`bb aabb

a0b0+a1b0+a2b0++aab0= (a0+a1+a2++aa)b0 a0b1+a1b1+a2b1++aab1= (a0+a1+a2++aa)b1 a0b2+a1b2+a2b2++aab2= (a0+a1+a2++aa)b2

a0bb+a1bb+a2bb++aabb= (a0+a1+a2++aa)bb

(a0+a1+a2++aa)b0+(a0+a1+a2++aa)b1+

+(a0+a1+a2++aa)bb =(1+a+a2+a3++aa)×(1+b+b2+b3++bb)

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(3)

문제 풀이

현정이의 나이를 x, 몫을 Q라 하면

51=x_Q+13`(단, x>13)이므로 51-13=x_Q 38=x_Q에서 x=1, 2, 19, 38

이때 언니 은정이의 나이가 22세이므로 x<22 따라서 13<x<22이므로 현정이의 나이는 19세이다.

A =B_23+59

=B_23+23_2+13

=23_(B+2)+13

따라서 A23으로 나눌 때의 나머지는 13이다.

(n의배수)+(n의배수)=(n의배수) 두 자연수 x, y에 대하여

2x + 2y = 2(x+y)

a=7_4+r`(단, 0<r<7) r의 약수의 개수가 3개이므로 r=4

a=7_4+4=32

어떤 수를 x라 하면

x=12_8+r`(단, 0Ér<12)96Éx<108 이때 x10으로 나누면 나머지가 3인 수이므로 103이다.

3A+2B =3(5m+3)+2(5n+2)

=15m+9+10n+4

=5(3m+2n+2)+3

=5l+3`(단, l=3m+2n+2) 따라서 C5로 나눌 때의 나머지는 3이다.

3  24의 배수가 되려면 끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수이어야 하므로 십의 자리에 올 수 있는 숫자 는 1, 3, 5, 7, 9이다.

백의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 모두 가능하 므로 구하는 모든 경우는

10_5=50(가지)

95  49의 배수가 되려면 각 자리의 숫자의 합이 9 의 배수이어야 하므로 9+5++4=18+9의 배수 이다.

∴ =0, 9

또, 95  44의 배수이려면 끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수이어야 하므로 =0, 2, 4, 6, 8

따라서 =0이다.

2의 배수 2의 배수 2의 배수

0, 2, 4의 카드를 사용하여 만들 수 있는 세 자리의 수 중 가장 작은 4의 배수는 204, 가장 큰 3의 배수는 420 이다.

204+420=624

Ú 각 자리의 숫자의 합이 3인 경우:120, 102, 210, 201

Û 각 자리의 숫자의 합이 6인 경우:123, 132, 213, 231, 312, 321

따라서 구하는 3의 배수는 10개이다.

(홀수 번째 자리의 숫자의 합)=4+9=13, (짝수 번째 자리의 숫자의 합)=7+5=12이므로 두 수의 차는 13-12=1이다.

따라서 745911의 배수가 아니다.

(홀수 번째 자리의 숫자의 합)=3+2+4=9, (짝수 번째 자리의 숫자의 합)=0+7=7이므로 두 수의 차는 9-7=2이다.

따라서 3027411의 배수가 아니다.

(홀수 번째 자리의 숫자의 합)=2+4+6=12, (짝수 번째 자리의 숫자의 합)=1+3+5=9이므로 두 수의 차는 12-9=3이다.

따라서 12345611의 배수가 아니다.

(홀수 번째 자리의 숫자의 합)=1+4+6=11, (짝수 번째 자리의 숫자의 합)=0이므로 두 수의 차는 1이다.

따라서 10406011의 배수이다.

(홀수 번째 자리의 숫자의 합)=1+5+0+8=14, (짝수 번째 자리의 숫자의 합)=3+0+7=10이므로 두 수의 차는 14-10=4이다.

따라서 135007811의 배수가 아니다.

희영:42=2_3_7로 소인수분해된다. (거짓) 민선:2는 짝수인 소수이다. (거짓)

영욱:25=5Û`이므로 소인수는 5이다. (거짓)

252=2Û`_3Û`_7이므로 2Û`_3Û`_7Öx=(자연수)Û`이 되게 하는 가장 작은 자연수 x7이다.

28=2Û`_7a를 곱하여 제곱수가 되게 하려면 a=7_kÛ``(k는 자연수)의 형태이어야 한다.

약수의 개수가 2개인 수는 소수이므로 구하는 두 자리 의 자연수 중 소수는 13, 23, 31, 41, 43이다.

따라서 총합은 13+23+31+41+43=151

1. 자연수의 성질 3

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(4)

147=3_7Û`이므로

약수의 개수는 a=(1+1)_(2+1)=6, 약수의 총합은 b=(1+3)_(1+7+7Û`)=228

a+b=6+228=234

두 자연수 a, b가 서로소인 경우는 두 수의 최대공약 수가 1일 때이므로 공약수도 1뿐이다.

따라서 공약수의 개수는 1개이므로 <a, b>=1

② [반례] a=2, b=4일 때,

G(a, b)=2, G(a+3, b+3)=1이므로 G(a+3, b+3)+G(a, b)+3

72, 56, 36의 공약수는 72, 56, 36의 최대공약수의 약 수이다.

따라서 72=2Ü`_3Û`, 56=2Ü`_7, 36=2Û`_3Û`에서 최대공약 수는 2Û`=4이므로 구름이의 나이는 4세이다.

C(12)12의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 12 중의 하나이 고, C(18)18의 약수인 1, 2, 3, 6, 9, 18 중의 하나이 다.

따라서 C(12)이면서 C(18)인 수는 1, 2, 3, 6이므로 1218의 최대공약수인 6의 약수이다.

k=6

최대공약수가 6이므로

a=6_m, b=6_n`(단, m, n은 서로소)

이 중 작은 자연수 b4의 배수이므로 b=2_3_2_n' 즉, a_b=1512이므로

(2_3_m)_(2_3_2_n')=1512mn'=21 a>b이므로 가능한 (m, n')

(7, 3), (21, 1)

따라서 구하는 순서쌍은 (42, 36), (126, 12)이다.

어떤 수로 50을 나누면 2가 남으므로 어떤 수는 50-2=48의 약수이다.

또, 89를 나누면 5가 남으므로 어떤 수는 89-5=84의 약 수이다.

따라서 구하는 수는 4884의 공약수 1, 2, 3, 4, 6, 12 중 나머지 5보다 큰 수이므로 6, 12이다.

x200-4=196100-2=98의 공약수 1, 2, 7, 14, 49, 98 중 나머지 4보다 큰 수이므로 7, 14, 49, 98이다.

따라서 x의 값의 합은 7+14+49+98=168

가능한 한 큰 정육면체 모양의 나 2``54 36 72 3``27 18 36 3`` 9 6 12 3 2 4 무토막의 한 모서리의 길이는 54, 36,

72의 최대공약수이므로 a=18 정육면체 모양의 나무토막의 개수는

(54Ö18)_(36Ö18)_(72Ö18)=3_2_4=24()

b=24

a+b=18+24=42

같은 간격으로 나무를 심을 때, 나무의 개수가 최소가 되도록 하려면 나무 사이의 간격은 최대가 되어야 하므로 4860의 최대공약수인 12`m마다 나무를 심으면 된다.

따라서 농장의 둘레의 길이가 216`m이므로 필요한 나무의 수는 216Ö12=18(그루)

사과는 3개 모자라고, 배는 22``90 54 72 3``45 27 36 3``15 9 12 5 3 4 남고, 감은 5개 남으므로 사과 90개,

54개, 감 72개가 있으면 똑같이 나 누어 줄 수 있다.

따라서 가능한 학생 수는 90, 54, 72의 공약수, 즉 18의 약 수 중 5보다 큰 수이므로 6명, 9명, 18명이다.

12, 14, 20의 공배수는 최소공배수의 배수이고 12, 14, 20의 최소공배수는 420이므로 420의 배수 중 500에 가 장 가까운 수는 420이다.

세 자연수를 각각 A, B, C, 최대공약수를 G라 하면 A=2Û`_G, B=5_G, C=2_3_G

이때 A, B, C의 최소공배수는 2Û`_3_5_G=240G=4

따라서 세 자연수는 16, 20, 24이므로 세 자연수의 합은 16+20+24=60

x-4=21a=14b이므로 (x-4)2114의 공배수 이다. 또, 공배수는 최소공배수의 배수이므로

(x-4)2114의 최소공배수인 42의 배수이다.

따라서 x-4=42, 84, 126, y에서 x=46, 88, 130, y이 므로 구하는 가장 큰 두 자리의 자연수 x88이다.

x=21a+4xa21배보다 4만큼 큰 수이므로 x보다 4만큼 작은 수는 a21배가 된다. ⇨ x-4=21a 같은 방법으로

x=14b+4xb14배보다 4만큼 큰 수이므로 x보다 4만큼 작은 수는 b14배가 된다. ⇨ x-4=14b

두 자리의 자연수 중에서 4로 나누어도, 5로 나누어도 나머지가 1인 자연수는 45의 최소공배수인 20으로 나누 어 나머지가 1이 되는 수이다.

따라서 21, 41, 61, 81로 모두 4개이다.

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(5)

1420의 어느 것으로 나누어도 나머지가 7인 수는 1420의 공배수보다 7만큼 큰 수이다.

1420의 최소공배수가 140이므로 공배수는 140, 280, 420, y이다.

따라서 구하는 가장 작은 세 자리의 자연수는 140+7=147

다른풀이

1420의 어느 것으로 나누어도 나머지가 7이므로 어떤 수를 x라 하면 x-71420의 공배수이다. 1420의 최소공배수가 140이므로 x-7140, 280, 420, y 따라서 x147, 287, 427, y이므로 가장 작은 세 자리의 자연수는 147이다.

3, 4, 5, 6, 7로 각각 나누면 나머지가 모두 1이 되는 자연수 N3, 4, 5, 6, 7의 공배수보다 1만큼 큰 수이다.

3, 4, 5, 6, 7의 공배수는 420의 배수이고, 420의 배수 중 1500에 가장 가까운 수는 1680이므로 이 수보다 1만큼 큰 수는 1681이다.

다른풀이

자연수 N3, 4, 5, 6, 7로 각각 나누면 모두 1이 남으므 로 N-13, 4, 5, 6, 7의 공배수이다. 3, 4, 5, 6, 7의 최 소공배수는 420이므로 N-1420, 840, 1260, 1680, y 따라서 N421, 841, 1261, 1681, y이므로 1500에 가장 가까운 수는 1681이다.

세 톱니바퀴들이 동시에 처음으로 다시 맞물릴 때까 지 돌아간 톱니의 총 수는 24, 30, 20의 최소공배수인 120 개이어야 한다.

120Ö30=4이므로 세 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리려면 톱니바퀴 B는 4번 회전해야 한다.

일요일은 7일마다, 장날은 5일마다 돌아오므로 57 의 최소공배수인 35의 배수마다 일요일인 동시에 장날이다.

따라서 구하는 날짜는 69일에서 35일 후인 714일이다.

A는 9초 동안 켜져 있다가 3초 동안 꺼지므로 켜진 후 다시 켜지려면 12초 걸리고, B는 12초 동안 켜져 있다 가 6초 동안 꺼지므로 켜진 후 다시 켜지려면 18초 걸리고, C는 18초 동안 켜져 있다가 6초 동안 꺼지므로 켜진 후 다 시 켜지려면 24초 걸린다.

따라서 동시에 켜진 세 개의 신호등은 12, 18, 24의 최소공 배수인 72초 후 처음으로 다시 동시에 켜진다.

3으로 나누면 1이 남고, 4로 나누면 2가 남고, 6으로 나누면 4가 남는 수는 3, 4, 6으로 나누면 모두 2가 부족한 수이므로 3, 4, 6의 공배수보다 2만큼 작은 수이다.

3, 4, 6의 공배수는 12의 배수이고, 500에 가까운 12의 배 수는 492504이다.

이 수보다 2만큼 작은 수는 490502이므로 500에 가장 가까운 수는 502이다.

다른풀이

3, 4, 6으로 나누면 모두 2가 부족하므로 구하는 수를 x라 하면 x+23, 4, 6의 공배수이다. 3, 4, 6의 최소공배수 가 12이므로 x+212, 24, 36, y, 492, 504, y 따라서 x10, 22, 34, y, 490, 502, y이므로 500에 가 장 가까운 수는 502이다.

서로 다른 세 수로 나누었을 때 나머지가 같은 경우는 (세 수의 공배수)+(나머지)를 이용하여 구할 수 있다.

하지만 나머지가 다른 경우는 역으로 그 수로 나누었을 때 얼마가 부족한 지를 생각하면 부족한 수가 같게 되어 문제를 해결할 수 있다.

두 수 3_a_7Û`, b_5_7_11의 최대공약수는 3_5_7이고 최소공배수는 3_5_7Û`_11이므로 a=5, b=3

a+b=8

(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 28_A=14_84A=42

540=18_2_5_3이므로 18``36 N 90 2 n 5 n=3일 때, N=18_3=54

n=3_2일 때, N=18_3_2=108 n=3_5일 때, N=18_3_5=270 n=3_2_5일 때, N=18_3_2_5=540

다른풀이

36, 90을 각각 소인수분해하면 36=2Û`_3Û`, 90=2_3Û`_5

이때 36, N, 90의 최대공약수가 18=2_3Û`, 최소공배수가 540=2Û`_3Ü`_5이므로 N=2_3Û`_a의 꼴이고

a=3_(10의 약수)이다.

a=3일 때, N=2_3Ü`=54 a=3_2일 때, N=2Û`_3Ü`=108 a=3_5일 때, N=2_3Ü`_5=270 a=3_2_5일 때, N=2Û`_3Ü`_5=540 따라서 N54, 108, 270, 540이다.

1. 자연수의 성질 5

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(6)

6 몫:(3_B)+2, 나머지:4 5 3 71묶음

43 6 16, 25, 36, 64 3 m=2 또는 m=18

21 a=35, b=25 :¢3¼: 6 3 12명, 3

42일 후 4 103 A=50, B=80 48 오전 1136

84

15~19쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

85=(8+5=137로 나눈 나머지)=6이므로 (85)½5=6½5=(6_5=307로 나눈 나머지)=2

42=(4+2=67로 나눈 나머지)=6

표현 단계 AÖ15=By14

변형 단계 A=(15_B)+14 A=5_(3_B)+5_2+4

풀이 단계 A=5_{(3_B)+2}+4 AÖ5={(3_B)+2}y4

확인 단계 몫:(3_B)+2, 나머지:4

서술형

1 a 7 +5 b 2 6 9 9

a+b=9 yy`

4b39의 배수이므로 각 자리의 숫자의 합

4+b+3=7+b9의 배수이다. ∴ b=2 yy`

㉠, ㉡에서 a=7a-b=7-2=5

B가 짝수이면 2의 배수, 홀수이면 2의 배수가 아니므 로 2가 항상 약수인 것은 아니다.

한편, ABABAB의 각 자리의 숫자의 합이 3A+3B=3(A+B)이므로 3의 배수이다.

따라서 구하는 가장 작은 소수는 3이다.

A, B의 최대공약수가 2이므로

A=2_a, B=2_b`(단, a, b는 서로소, a<b)라 하면 최소공배수는 2_a_b=144a_b=72

A, B가 두 자리의 자연수이므로 a=8, b=9이다.

따라서 A=16, B=18이므로 A+B=16+18=34

;1£6;, ;2»8;에 곱하여 그 곱이 자연수가 되는 분수 중 가

장 작은 분수는 (16, 28의 최소공배수)

(3, 9의 최대공약수) = 1123

따라서 a=112=2Ý`_7이므로 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10()

구하는 분수를 ;[};라고 할 때,

;aB;_;[};가 자연수가 되기 위해서는 xb의 약수, ya의 배수이어야 하고,

;cD;_;[};가 자연수가 되기 위해서는 xd의 약수, yc의 배수이어야 한다.

따라서 xbd의 공약수, yac의 공배수이어야 하고, 이때 분수

;[};의 크기가 최소가 되려면 분모 x는 가능한 큰 수, 분자 y는 가능한 작은 수가 되어야 한다. 그러므로 xbd의 공약수 중 가장 큰 최대공약수 이고, yac의 공배수 중 가장 작은 최소공배수이어야 한다.

즉, 구하는 분수는 ;[};=(a, c의 최소공배수) (b, d의 최대공약수)이다.

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(7)

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1 (단, 2ÉxÉ499) 이라 하면 세 수의 합은 3x이다.

3x21의 배수가 되려면 x7의 배수이어야 한다.

따라서 2에서 499까지의 자연수 중 7의 배수는 71개이므로 세 수의 합이 21의 배수가 되는 것은 71묶음이다.

표현 단계 14와 서로소인 수는 2의 배수도 7의 배수도 아닌 수이다.

변형 단계 (100 이하의 자연수의 개수)-(2의 배수의 개수) -(7의 배수의 개수)+(14의 배수의 개수)

풀이 단계 (100 이하의 자연수의 개수)=100

(2의 배수의 개수)=50, (7의 배수의 개수)=14 (14의 배수의 개수)=7이므로 구하는 수는 100-50-14+7=43

확인 단계 따라서 100 이하의 자연수 중 14와 서로소인 수는 모두 43개이다.

표현 단계 <36>36의 약수의 개수

<x>x의 약수의 개수

변형 단계 36=2Û`_3Û`이므로

<36>=(2+1)_(2+1)=9

<36>_<x>=36에서 9_<x>=36<x>=4

풀이 단계 x는 약수의 개수가 4개인 자연수이므로 소인수분 해하였을 때, aÜ`의 꼴 또는 a_b의 꼴(a, b는 서로 다른 소수)이다.

확인 단계 따라서 자연수 x의 최솟값은 2_3=6이다.

약수의 개수가 홀수 개인 수는 완전제곱수이므로 구하 는 두 자리의 자연수 중 완전제곱수는 16, 25, 36, 64이다.

완전제곱수란?

어떤 정수(보통은 자연수)를 제곱하여 만들 수 있는 1, 2Û`, 3Û`, 4Û`, y과 같 은 수이다.

Ú  안의 소인수가 2일 때, =2Ý`=16 Û  안의 소인수가 2가 아닐 때,

=ab`(a2가 아닌 소수)이라 하면 2Ü`_=2Ü`_ab의 약수의 개수는 8개이므로 4_(b+1)=8b=1

즉, =aÚ`의 꼴이므로 가장 작은 자연수가 되기 위하여

 안에 알맞은 수는 3이다.

Ú, Û에서 =3

서술형

서술형

소인수분해를활용하여약수의개수구하기

am×bn(단, a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로 소인수분해될 때, (약수의 개수)=(m+1)×(n+1)

약수 (m+1)

× 1 a aÛ` am

1 1 a aÛ` am

b b a×b aÛ`×b am×b

bÛ` bÛ` aÚ`×bÛ` aÛ`×bÛ` am×bÛ`

bn bn aÚ`×bn aÛ`×bn am×bn bn의 약수

am의 약수

(n+1)

24_a=2Ü`_3_a이므로 a=2_3=6, bÛ`=2Ý`_3Û`이 므로 b=2Û`_3=12

a+b=6+12=18 이때 a+b

m =18

m =2_3Û`

m 이 제곱수가 되려면

m2_kÛ``(k는 자연수)의 꼴이고 18의 약수이어야 한다.

m=2 또는 m=18

표현 단계 곱하는 최소의 자연수를 x, 나누는 최소의 자연수 를 y라 하면

54_x=aÛ` yy`

54Öy=bÛ` yy`

변형 단계 54=2_3Ü`

풀이 단계(2_3Ü`)_x=aÛ`에서

(2_3Ü`)_(2_3)=(2_3Û`)Û`=18Û`

a=18

(2_3Ü`)Öy=bÛ`에서

(2_3Ü`)Ö(2_3)=3Û`b=3

확인 단계a+b=18+3=21

최대공약수를 G라 하면 a`:`b=7`:`5이므로 a=7G, b=5G

최소공배수는 7_5_G=35G이므로 G+35G=180, 36G=180G=5

a=7G=7_5=35, b=5G=5_5=25

표현 단계 (어떤 수)_1;8&;=(어떤 수)_:Á8°:=(자연수) (어떤 수)Ö;1°2;=(어떤 수)_:Á5ª:=(자연수)

서술형

서술형

1. 자연수의 성질 7

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(8)

변형 단계 (어떤 수)_:Á8°:=(자연수)에서 (어떤 수)= (8의 배수)

(15의 약수) (어떤 수)_:Á5ª:=(자연수)에서 (어떤 수)= (5의 배수)

(12의 약수)

풀이 단계 어떤 수의 최솟값을 ;bA;라 하면 A58의 최소 공배수이고 B1215의 최대공약수이다.

;bA;=:¢3¼:

확인 단계 따라서 어떤 수가 될 수 있는 가장 작은 수는 :¢3¼:

이다.

x=aG, y=bG`(단, a, b는 서로소)라 하면 최소공배수는 abG=45

3x-2y=3aG-2bG=(3a-2b)G=27이므로 G4527의 공약수이다.

Ú G=9 또는 G=1이면 만족하는 순서쌍이 없다.

Û G=3이면 ab=15, 3a-2b=9a=5, b=3

x=aG=5_3=15, y=bG=3_3=9

x-y=15-9=6

다른풀이

두 자연수 x, y의 최소공배수가 45이므로 x, y45의 약 수이다.

즉, 가능한 x, y1, 3, 5, 9, 15, 45

이때 3x-2y=27에서 2y=3x-27, 즉 2y=3(x-9)이므 로 y3의 배수이다.

y=3일 때, x=11 y=9일 때, x=15 y=15일 때, x=19 y=45일 때, x=39

따라서 x, y가 모두 45의 약수인 경우 x=9, y=15x-y=6

3, 4, 5, 6으로 나누어 나머지가 항상 2인 수는 3, 4, 5, 6의 공배수보다 2만큼 큰 수이다.

3, 4, 5, 6의 최소공배수가 60이므로 3, 4, 5, 6의 공배수 중 가장 작은 세 자리 수는 120이고 이 수보다 2만큼 큰 수 는 122이다.

따라서 1227로 나눈 나머지는 3이다.

표현 단계 학생 수를 x명, 한 학생이 받게 될 빵은 a개, 귤은 b개, 음료수는 c개라고 하자.

서술형

변형 단계 (19+5)Öx=aax=24 (53+7)Öx=bbx=60 (42-6)Öx=ccx=36

풀이 단계 x =(24, 60, 36의 공약수)

=(24, 60, 36의 최대공약수의 약수)

=(12의 약수)

이때 x를 만족하는 수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다.

그런데 음료수가 6개 남으려면 학생 수는 적어도 6보다는 커야 하므로 x=12()

따라서 c=(42-6)Öx=36Ö12=3()

확인 단계 학생 수:12명, 한 학생이 받게 될 음료수의 개 수:3

3일마다 봉사활동을 하는 사람과 6일마다 봉사활동을 하는 사람이 월요일에 함께 봉사활동을 한 후 다시 월요일 에 함께 봉사활동을 하려면 3, 6, 7의 공배수의 날이 지나 야 한다.

따라서 3, 6, 7의 최소공배수인 42일 후 월요일에 처음으로 다시 함께 봉사활동을 한다.

a=4m, b=4n`(단, m, n은 서로소인 자연수)라고 하면 ab=16mn이고 576=16_2Û`_3Û`

따라서 mn=2Û`_3Û`=36이고 m, n은 서로소이므로 가능 한 순서쌍 (m, n)(1, 36), (4, 9), (9, 4), (36, 1)이 되어 (a, b)(4, 144), (16, 36), (36, 16), (144, 4)4개이다.

표현 단계 사탕 한 봉지에 들어 있는 사탕의 수를 x개라 하면

변형 단계 xÖ3=ay1, x=3a+1에서 x+2=3(a+1) xÖ5=by3, x=5b+3에서 x+2=5(b+1) xÖ7=cy5, x=7c+5에서 x+2=7(c+1)이므 로

풀이 단계 x+2 =(3, 5, 7의 공배수)

=(3, 5, 7의 최소공배수의 배수)

=(105의 배수) x+2=105, 210, 315, y 그런데 x200 미만이므로 x+2=105, x=103()

확인 단계 따라서 사탕 한 봉지에 들어 있는 사탕의 수는 103 개이다.

A=10a, B=10b`(단, a, b는 서로소, a<b)라 하면 A+B=10a+10b=10(a+b)=130이므로

a+b=13 yy`

서술형

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(9)

6 14 10 300 4 8

14 10 300

74로 나누면 나머지가 23, 37로 나누면 나머지가 23, 2로 나누면 나머지가 1

최고 실력 완성하기

STEP

20~21쪽

문제 풀이

240=2Ý`_3_5이므로

N(240)=(4+1)_(1+1)_(1+1)=20

N(N(240))=N(20)

20=2Û`_5이므로 N(20)=(2+1)_(1+1)=6

N(N(240))=6

3으로 나누면 2가 남고, 5로 나누면 4가 남는 자연수 는 3, 5로 나누면 1이 부족한 수이다.

즉, 35의 공배수보다 1만큼 작은 수이다.

35의 공배수는 15, 30, 45, y이므로 구하는 자연수는 14, 29, 44, y이고, 이 수들을 15로 나누면 모두 나머지가 14이다.

n(2C150)2<xÉ150x 중에서 34의 배수, 즉 12의 배수이면서 5의 배수가 아닌 자연수의 개수이므로 n(2C150) =(12의 배수의 개수)-(60의 배수의 개수)

=12-2=10

2Ü`_3Û`_5_a=2Û`_3_5Ü`_b이고, cÛ`3601500 의 공배수이므로 2Ü`_3Û`_5Ü`의 배수이면서 소인수의 지수 가 모두 짝수인 수이다.

따라서 가장 작은 cÛ`2Ý`_3Û`_5Ý`이다.

c=2Û`_3_5Û`=300

15a7b27의 배수이려면 9의 배수이어야 하므로 각 자리의 숫자의 합

1+5+a+7+b=a+b+139의 배수이다.

이때 a+bÉ8이므로 a+b=5

따라서 (a, b)(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)이고, 이 중에서 (1, 4), (4, 1)일 때

15a7b27의 배수이다.

a_b=4 A_B=10a_10b=100ab=4000이므로

ab=40 yy`

㉠, ㉡에서 a=5, b=8A=50, B=80

두 자연수 A, B에 대하여 최대공약수가 G이면 두 수를 A=aG, B=bG`(단, a, b는 서로소)로 놓고 문제를 해결한다.

68의 공배수는 68의 최소공배수의 배수이므로 24의 배수이다.

따라서 m의 배수는 항상 24의 배수 중에서 찾을 수 있어야 하므로 가능한 m의 값은 24, 48, 72, y이고, 이 중에서 두 번째로 작은 수는 48이다.

KTX의 출발 시각은 6`:`00, 6`:`16, 6`:`32, 6`:`48, y SRT의 출발 시각은

6`:`30, 6`:`48, 7`:`06, 7`:`24, y

따라서 오전 648분에 처음으로 같이 출발한다.

이후 16분마다 출발하는 KTX와 18분마다 출발하는 SRT 가 다시 동시에 출발하려면 1618의 공배수만큼의 시간 이 필요하다.

1618의 최소공배수는 144이므로 두 열차가 다시 동시에 출발하는 시각은

(오전 648)+(144)=(오전 912), (오전 912)+(144)=(오전 1136)

학생 수는 42, 70, 56의 최대공약 7``42 70 56 2`` 6 10 8 3 5 4 수이어야 한다.

따라서 x=14()이고, 이때 학생 한 명이 받을 초콜릿, 초코칩 쿠기, 막대사탕은 각각 y=42Ö14=3(), z=70Ö14=5(), w=56Ö14=4()

x=14, y+z+w=12

따라서 y+z+w의 최소공배수, 즉 1412의 최소공배수 는 84이다.

1. 자연수의 성질 9

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(10)

AB의 최대공약수는 24, BC2``24 16 2``12 8 2`` 6 4 3 2 최대공약수는 16일 때, A, B, C의 최대공

약수는 2416의 최대공약수 8이다.

A=7a, B=7b`(단, a, b는 서로소, a>b)라 하면 A_B=7a_7b=735ab=15

A, B는 두 자리의 자연수이므로

a=5, b=3이다. 2``56 14 7``28 7 4 1

A=35, B=21

A+B=35+21=56, A-B=35-21=14 따라서 5614의 최대공약수를 구하면 14이다.

두 자연수의 최대공약수와 두 수의 곱이 주어지면, 다음 식을 이용 하자. 두 수 A, B의 최대공약수를 G라 하면 서로소인 두 자연수 a, b 대하여 A=aG, B=bG

68의 최대공약수는 2이고, 이때 6=3_2, 8=4_2 2``6 8

`3 4 나타내는 것과 같아!

가능한 <x>와 ≪x≫의 값은 오 <x>x

0 3

1 2

2 1

3 0

른쪽 표와 같으므로

Ú <x>=0, ≪x=3일 때,

x=2â`_3Ü`_k(k2, 3의 배수가 아닌 자연수)에서

x100 이하의 자연수이므로 k=1x=27 Û <x>=1, ≪x=2일 때,

x=2Ú`_3Û`_k(k2, 3의 배수가 아닌 자연수)에서 x100 이하의 자연수이므로 k=1, 5

x=18, 90

Ü <x>=2, ≪x=1일 때,

x=2Û`_3Ú`_k(k2, 3의 배수가 아닌 자연수)에서 x100 이하의 자연수이므로 k=1, 5, 7x=12, 60, 84

Ý <x>=3, ≪x=0일 때,

x=2Ü`_3â`_k(k2, 3의 배수가 아닌 자연수)에서 x100 이하의 자연수이므로 k=1, 5, 7, 11x=8, 40, 56, 88

따라서 구하는 x8, 12, 18, 27, 40, 56, 60, 84, 88, 9010개이다.

A가 1바퀴 도는 데 ;1Á5; 분, 즉 4초가 걸리고, B가 1바 퀴 도는 데 ;1Á0; 분, 즉 6초가 걸리고, C가 1바퀴 도는 데

;2Á0; 분, 즉 3초가 걸린다.

그러므로 점 P에서 동시에 출발한 후 처음으로 점 P를 동 시에 통과하는 데 4, 6, 3의 최소공배수인 12초가 걸린다.

따라서 점 P를 1시간`, 즉 3600초 동안 동시에 통과하는 횟 수는 3600Ö12=300()

네 수 A, B, C, D를 동일한 자연수 G로 나누었을 때 모두 같은 나머지 r가 나온다고 하면

A=Ga+r, B=Gb+r, C=Gc+r, D=Gd+r와 같이 나타낼 수 있다.

이때 A-B=G(a-b), A-C=G(a-c), y,

C-D=G(c-d)이므로 GA-B, A-C, y, C-D 의 공약수이다.

네 수 2613, 2243, 1503, 985에 대하여 2613-2243, 2613-1503, 2613-985, 2243-1503, 2243-985, 1503-985는 순서대로 370, 1110, 1628, 740, 1258, 518 이고, 이들의 최대공약수가 74이므로 이들의 공약수는 1, 2, 37, 74이다.

따라서 네 수 2613, 2243, 1503, 98574로 나누면 나머 지가 23, 37로 나누면 나머지가 23, 2로 나누면 나머지가 1 로 같다. 하지만 1로 나누면 나머지가 0이므로 조건을 만족 하지 않는다.

네 수 A, B, C, D를 같은 자연수 G로 나누었을 때의 나머지가 r 같으면 A=Ga+r, B=Gb+r, C=Gc+r, D=Gd+r로 나타낼 수 있 A-B=G(a-b), A-C=G(a-c), y, C=D=G(c-d)이므로 네 수 중 두 수씩 짝지어 뺀 차는 G로 나누어떨어진다.

즉, GA-B, A-C, y, C-D의 공약수가 된다.

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(11)

정수와 유리수

2

송이, 종군, 낙천 B ①, ③ A=3, B=-3 -2, 14 4a

-5 ②, ③, ④ 최대인 수는 :Á4Á:, 최소인 수는 -;5&; 20 ;1°2;

①, ⑤ 6 a<c<b

-a-1

23~27쪽

주제별 실력다지기

STEP

|a|는 수직선 위에서 원점과 a를 나타내는 점까지의 거리를 나타내 는 수학기호이다.

a>0이면 오른쪽 그림과 같이 점 a

B

]B]

원점의 오른쪽에 위치하며 a가 양수

이므로 원점과 점 a까지의 거리는 a가 된다. 즉, |a|=a

a=0이면 원점과 점 a가 일치하므로 그 사이의 거리는 0이다.

즉, |a|=0

a<0이면 오른쪽 그림과 같이 점 a

B

]B]

원점의 왼쪽에 위치한다. 그런데 거

리는 항상 0 또는 양수이어야 하므로 a가 음수일 때는 앞에 ‘-’를 붙여 양수의 값으로 만들어 주어야 한다.

a가 음수이므로 원점과 점 a까지의 거리는 -a이다.

즉, |a|=-a

a=-2일 때, -|-2|=-(-2) 따라서 a>0일 때 |a|=a

a=0일 때 |a|=0 a<0일 때 |a|=-a 인데

Ú a=0일 때 |a|=a라고 해도 되므로 a¾0일 때 |a|=a, a<0일 때 |a|=-a Û a=0일 때 |a|=-a라고 해도 되므로

a>0일 때 |a|=a, aÉ0일 때 |a|=-a

하지만 수학적 관습으로는 Ú을 사용하고 Û는 거의 사용하지 않는 다.

절댓값은 항상 0 또는 양수 최상위

NOTE

03

절댓값의 범위 확인하기 최상위

NOTE

04

b>0일 때, |a|<b는 원점에서 점 a까지의 거리가 b보다 작다 는 뜻이므로 구하는 점 a는 아래의 그림과 같이 원점의 좌우로 거리가 b만큼 떨어진 두 점 -bb 사이의 점들이다.

C C B의 범위

즉, -b<a<b이다.

b>0일 때, |a|>b는 원점에서 점 a까지의 거리가 b보다 크다 는 뜻이므로 구하는 점 a는 아래의 그림과 같이 원점의 좌우로 거리가 b만큼 떨어진 두 점 -bb의 양쪽 밖의 점들이다.

C C

B의 범위 B의 범위

즉, a<-b 또는 a>b이다.

2. 정수와 유리수 11

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(12)

문제 풀이

낙천:정수와 정수가 아닌 유리수를 합친 것이 유리 수이므로 정수는 항상 유리수가 된다. ()

실수의 연속성 ⇨ 실수로 수직선 위의 모든 점을 채울 수 있다.

0은 양수도 음수도 아니다. () -5는 유리수이다. ()

모든 정수는 유리수이다. ()

따라서 옳은 말이 쓰여진 길로 갈 때 도착하는 곳은 B이다.

① 절댓값이 3인 정수는 +3-3이 있다.

③ 가장 작은 정수는 알 수 없다.

절댓값이 같으면 원점

# "

으로부터의 거리가 같고 AB보다 6만큼 큰 수이므로 A=;2!;_6=3, B=-3

Ú A=8일 때, 다음 그림에서 B=-2

Û A=-8일 때, 다음 그림에서 B=14

Ú, Û에서 B가 될 수 있는 값은 -2, 14이다.

-|a|-2|a|+(-|-a|)

=-(-a)-2(-a)-(-a)

=a+2a+a=4a

|-7|=7, |-3|=3이므로 (-7)(-3)=-7이 고, |-5|=5이므로 (-5)(-7)=-5

(-5){(-7)(-3)} =(-5)(-7)=-5

② 절댓값이 가장 작은 수는 0이다.

;2!;보다 작은 수는 -5, 0.04, -;3@;, 04개이다.

④ 음수 -5, -;3@; 중 가장 큰 수는 -;3@;이다.

(가)에 해당하는 수는 정수가 아닌 유리수이므로 보기 중 적당한 것은 +;5!;, -;5&;, ;3*;, :Á4Á:, -;7@;이고, 이 중 최 대인 수는 :Á4Á:, 최소인 수는 -;5&;이다.

-1714 , -16 14 , -15

14 , -13 14 , -12

14 , -11 14 , -10

14 , -914 , -8

14 , -7 14 , -6

14 , -5 14 , -4

14 , -3 14 , -2

14 , -1 14 ,

;1Á4;, ;1ª4;, ;1£4;, ;1¢4;20개이다.

-;7(;=-;1!4*;이고 ;1¢4;<;3!;<;1°4;임을 이용한다.

;3!;=;1¢2;, ;2!;=;1¤2;이므로 구하는 기약분수를 x라고 하

;1¢2;<xÉ;1¤2;

이때 분모가 12인 기약분수는 ;1°2;이다.

+0.1>-9

|-11|<|+:ª2£:|

|-1|>0

|x|<;2%; 를 풀면 -;2%;<x<;2%;이고, 이 중에서 정수는 -2, -1, 0, 1, 2이므로 구하는 값은

|-2|+|-1|+|0|+|1|+|2|=2+1+0+1+2=6

|a|=b이면 |a|¾0이므로 b¾0이다.

네 사람의 대화를 부등호를 사용하여 나타내면 송이의 말에서 7<c, 낙천이와 영욱이의 말에서 0<c<b

B D C

길동이의 말에서 |a|=|-3|=3이고, 영욱이의 말에서 a-3보다 크므로 a=3

a<c<b

2<x<4이므로 x=3이라 하면

xÛ`=92x=6xÜ`=271

xÜ`=;2Á7;|x|=3

따라서 가장 큰 수는 ③이다.

0<x<1이므로 x=;2!;이라 하면

;[!;=2|x|=;2!;-x=-;2!;

xÛ`=;4!;1 xÛ`=4

따라서 가장 작은 수는 ③이다.

-;2!;<a<;2!;이므로 a=0이라 하면

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(13)

③, ④ 1 6 b<a<0 a-b<-b< <-a A>0, B>0 8 (-1, -4), (-2, -3)

C(-1) -3 11 18 5 z<x<y

①, ③, ⑤ x

a+b2

28~31쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

① 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 나누어진다.

② 자연수는 모두 정수이고, 정수는 모두 유리수이므로 자 연수는 모두 유리수이다.

⑤ 두 정수 사이에 또 다른 정수가 존재하지 않을 수도 있 다.  01 사이

a>0이면 |a|=|-a|=a이므로

|-a|-|a|=a-a=0

오른쪽 수직선과 같이 3을 나타내는 점에서 거리가 5 인 점에 대응하는 수는 -2

8이므로

x=-2 또는 x=8 yy`㉠

또, |x-7|É3이면 -3Éx-7É3

7-3ÉxÉ7+34ÉxÉ10 yy`㉡

따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 수는 8뿐이므로 x의 개수 는 1개이다.

수직선을 그려 3을 나타내는 점에서 거리가 5인 점에 대응되는 수를 모두 찾는다.

표현 단계 |x|-|y|=1이고, |y|=2이면 |x|=3

변형 단계 |x|=3이면 x=+3 또는 x=-3

|y|=2이면 y=+2 또는 y=-2

서술형

x+y` :`(+3)+(+2)=5 :`(+3)+(-2)=1 :`(-3)+(+2)=-1 :`(-3)+(-2)=-5

풀이 단계 따라서 |x+y|의 값은 15이므로 M=5, m=1

확인 단계M+m=5+1=6

-a>0이므로 |-a|=-a>0

-a>0

-(-a)=a<0

-a>0이므로 (-a)Ü`>0

aÜ`<0이므로 -aÜ`>0

a<0, b<0이므로 a, b C B 모두 수직선에서 0을 기준으로 왼쪽에 있다.

또한, |a|<|b|이므로 ba보다 0에서 멀리 떨어져 있다.

b<a<0

a=-4, b=2라고 하면

BC B C C B BC

-a=4, -b=-2, a+b

2 =-1, a-b=-6

|a|=0, a+1=1, -a-1=-1, 1 1+a =1 따라서 가장 작은 수는 -a-1이다.

0<a<;2!;이므로 a=;3!;이라 하면

1 a+2 = 1

;3&;=;7#;;a!;=31

3a =;1!;=1

-;a!;=-31 aÛ`= 1

;9!;=9 따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.

2. 정수와 유리수 13

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(14)

따라서 대소 관계는 a-b<-b< a+b2 <-a

표현 단계 Ú AB>0이면 A>0, B>0 또는 A<0, B<0 Û |A|=2|B|이면 |A|>|B|

Ü A-B>0이면 A>B

변형 단계 |A|>|B|이면

A>0, B>0일 때, A>B A<0, B<0일 때 A<B

풀이 단계 Ú, Û, Ü을 모두 만족하는 경우는 A>0, B>0 이다.

확인 단계A>0, B>0

-3.7=-4=x, [-2.5=-3=y, [7.1=7=z

|x|+y+|z|=|-4|+(-3)+|7|=4-3+7=8

x, y는 모두 음의 정수이므로 조건 (나) |x|+|y|=5 를 만족하는 순서쌍 (x, y)

(-1, -4), (-2, -3), (-3, -2), (-4, -1) 이고, 이 중 조건 (가) x>y를 만족하는 순서쌍은 (-1, -4), (-2, -3)이다.

표현 단계 Ú ab<0이면 a<0, b>0 또는 a>0, b<0 Û 2|a|=|b|이면 |a|<|b|

Ü a+b=4이면 a+b>0

변형 단계 그러므로 Ú, Û, Ü에 의해서 a<0, b>0이다.

풀이 단계 이때 2|a|=|b|이므로 b=-2a이다.

이를 a+b=4에 대입하면 a-2a=4

a=-4, b=8 ∴ A(-4), B(8) A♥B의 좌표는 (-4)+(+8)

2 =2

(A♥B)♥A의 좌표는 (+2)+(-4)

2 =-1

확인 단계 따라서 점 C의 좌표는 C(-1)이다.

정수 x에 대하여 2<|x|É7이면 |x|=3, 4, 5, 6, 7 이므로

x=-7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7 또, 정수 x에 대하여 -7<x<4이므로 x=-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 따라서 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 x-6, -5, -4, -3, 3이므로

두 번째로 큰 수는 -3이다.

서술형

서술형

-;3%;, -;3$;, -;3#;, -;3@;, -;3!;, ;3);, ;3!;, ;3@;, ;3#;, ;3$;, ;3%;

로 총 11개이다.

세 분수의 분자를 12로 같게 하면

;2!8@;< 12n <:Á9ª: ∴ 9<n<28

따라서 자연수 n의 개수는 10, 11, 12, y, 2718개이다.

n이 분모에 있으므로 ;7#;;3$;의 분자를 :Ánª:의 분자인 12와 같은 수 가 되도록 변형한다.

0<;aK;<;bK;<;cK;`(k는 자연수)이면 c<a<b

|x|<:Á5£:이면 -:Á5£:<x<:Á5£:이므로 정수인 x-2, -1, 0, 1, 2

또, 정수 x에 대하여 ;3!;<|x|<:Á3£:이면

|x|=1, 2, 3, 4이므로 x=-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4 따라서 공통이 아닌 정수 x-4, -3, 0, 3, 45개이 다.

조건 (가)에서 |x|=3이므로 x=3 또는 x=-3이고, 조건 (나)에서 x, y는 모두 -3보다 크므로 x=3

조건 (라)에서 z는 절댓값이 가장 작은 정수이므로 z=0 조건 (다)에서 y, zx로부터 같은 거리에 있으므로 y=6

[ Y Z

z<x<y

조건을 만족시키는 서로 다른 세 수 x, y, z를 수직선 위에 나타낸다.

a=-2, b=3이라 하면

①, ② ;bA;=-;3@;-1<;bA;<0

-;bA;=;3@;0<-;bA;<1

-a=2이므로 -a<b

-b=-3이므로 a>-b

a=;2!;, b=-;2!;이라 하면

aÛ`=;4!;이므로 a>aÛ`

-|b|=-;2!;<0

-a=-;2!;이므로 a>-a

a_bÛ`=;2!;_;4!;=;8!;, aÛ`_b=;4!;_{-;2!;}=-;8!;

a_bÛ`>aÛ`_b

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(15)

-a=-;2!;이므로 -a>-1

0<a<1, -1<b<0을 만족하는 적당한 수를 a, b 대신 대입한다.

표현 단계 x=-;2!;이라 하면

변형 단계 xÛ`={-;2!;}Û`=;4!;, |x|=|-;2!;|=;2!;

1 xÜ`= 1

{-;2!;}Ü`= 1 -;8!;=-8

서술형

1 xÛ`= 1

{-;2!;}Û`= 1

;4!;=4, -x=-{-;2!;}=;2!;

-xÛ`=-[{-;2!;}Û`]=-;4!;

풀이 단계 -8<-;4!;<;4!;<;2!;<4이므로 1

xÜ`<-xÛ`<xÛ`<-x=|x|< 1 xÛ`이다.

확인 단계 즉, a= 1xÛ`, b= 1xÜ`에서

;bA;= 1 xÛ`_ 11

xÜ`

= 1xÛ`_xÜ`=x

70 -1 (1, 55), (2, 25), (3, 15), (4, 10), (5, 7) ;b!;, ;a!;, ;d!;, ;c!;

0 a=3, b=-2, c=-8 (1, -1), (2, 0), (0, -2)

a=1, b=-2, c=-6 62번째 수

최고 실력 완성하기

STEP

32~33쪽

문제 풀이

a는 수직선에서 4와의 거리가 11인 음수이므로 a=4-11=-7

|b|=10_|a|=10_|-7|=70

a_b<0이면 ab의 부호가 다르고` a<0이므로 b>0이 다.

b=70

a<0이고 |a|=4이므로 a=-4 a_b_c=-8이고 a=-4이므로 b_c=2

b=1, c=2`(b, cb<c인 양의 정수)

a+b+c=-4+1+2=-1

m(n+5)=60, m<n인 자연수 m, n의 순서쌍은 (1, 55), (2, 25), (3, 15), (4, 10), (5, 7)

a<0, b<0이므로 ;a!;, ;b!;은 모두 음수이고, a<b이므로 ;a!;>;b!;이다.

c>0, d>0이므로 ;c!;, ;d!;은 모두 양수이고, c<d이므로 ;c!;>;d!;이다.

따라서 ;b!;<;a!;<;d!;<;c!;이므로 크기가 작은 순서대로 나열 하면 ;b!;, ;a!;, ;d!;, ;c!;이다.

|a+3|=5에서

a+3=5이면 a=2, a+3=-5이면 a=-8

|2b-1|=3에서

2b-1=3이면 b=2, 2b-1=-3이면 b=-1 따라서 a_b의 최댓값은 M=(-8)_(-1)=8이고, a_b의 최솟값은 m=(-8)_2=-16

2M+m=16-16=0

a_b<0이므로 a, b의 부호가 서로 다르고, a<b이므 로 a<0, b>0

또, |a|>|b|이므로 a=-3, b=2라 하면

(a-b)_(a+b)=-5_(-1)=5>0

조건 (나)에서 |b|=2이면 b=2 또는 b=-2이고, 조건 (다)에서 b<0이므로 b=-2이다.

조건 (라)에서 |a|=|b+5|=3이고, 조건 (다)에서 a>0이므로 a=3이다.

조건 (가)에서 a+b+c=3-2+c=-7이므로 c=-8이다.

2. 정수와 유리수 15

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(16)

a=3, b=-2, c=-8

조건 (), ()를 이용하여 먼저 b의 값을 구한 다음 나머지 조건 을 만족시키는 a, c의 값을 구한다.

a, b는 정수이고, |a|+|b|=2이므로

|a|=1, |b|=1 또는 |a|=2, |b|=0 또는

|a|=0, |b|=2

이때 a>b인 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)(1, -1), (2, 0), (0, -2)

(나) a+b+c=-7, (다) a_b_c=12에서 세 수 a, b, c의 합이 음수이고, 곱이 양수이므로 a, b, c 중 두 수가 음수이다.

(가) |a|<|b|<|c|이므로 |a|_|b|_|c|1_2_6 또 는 1_3_4이다.

그 중 세 수의 합이 -7이 되는 경우는 a=1, b=-2, c=-6일 때 뿐이다.

주어진 수의 배열은 분모, 분자의 합이 2, 3, 4, y인 경우 순으로 배열되었다.

;7%; 는 분모, 분자의 합이 12이므로 분모, 분자의 합이 11인 경우까지의 유리수의 개수를 구하면

1+2+3+4+y+10=55()

;7%; 는 분모, 분자의 합이 12` {:Á1Á:, :Á2¼:, ;3(;, y, ;1Á1;}에 속하고 이 안에서 7번째 수이므로 55+7=62(번째 수)이 다.

괄호로 묶여 있는 수들의 규칙을 먼저 찾아낸다. 괄호로 묶여 있는 수는 분모와 분자의 합이 같은 것으로 묶여 있고 그 합이 2, 3, 4, y의 순 서로 배열되어 있다. 또, 묶여진 괄호 안에서는 분모가 1, 2, 3, y의 순서 로 배열되어 있다.

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참조

관련 문서

*대표적 곡 Wien bleibt Wien(빈은 언제나 빈이리라) James Last, 한국 중학생들 기타 합주 버전 참조... 베니스가 자리한 북동부지방 : 합창음악이 사랑받고, 비 발디가 활동했던