제 22 회 한 국 수 학 올 림 피 아 드 - 2 차 시 험 중 등 부 - 2008년 8월 16일 오전
1. 삼각형 의 변 위에 두 점 와 변 위에 두 점 와 , 변 위에 두 점 와 가 있다. 네 점 가 한 원 위에 있고, 등식
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
이 성립한다. 직선 와 가 점 에서 만나고, 직선 와 가 점 에서 만나고, 직선
와 가 점 에서 만날 때, 세 점 이 한 직선 위에 있음을 보여라.
2. 실수 에 대하여, 일 때,
의 최소값을 구하여라.
3. 임의의 양의 정수 에 대하여, 방정식 을 만족하고 의 배수가 아닌 정수 가 존재함을 증명하여라.
4. 모든 양의 정수의 집합을 ℕ이라 하자. 집합 ℕ의 세 부분집합 가 다음의 조건들을 모 두 만족하면 를 ℕ의 ‘분할’이라 한다:
(ⅰ) ≠ ∅; (ⅱ) ∩ ∩ ∩ ∅; (ⅲ) ∪∪ ℕ 아래의 세 조건을 모두 만족하는 ℕ의 분할 가 존재하지 않음을 보여라.
(1) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊, (2) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊, (3) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊.
* 제한시간 2시간 30분 ; 문항당 7점 *
제 22 회 한 국 수 학 올 림 피 아 드 - 2 차 시 험 중 등 부 - 2008년 8월 16일 오후
5. 원 에 내접하는 오각형 가 있다. 점 에서의 원 의 접선이 직선 와 평행하다.
원 위의 점 가 직선 에 대하여 점 의 반대편에 있고, 두 조건
⋅⋅ ⋅⋅ ∠ ∠
를 모두 만족한다. 점 에서의 원 의 접선과 점 에서의 원 의 접선, 그리고 직선 가 모 두 한 점에서 만남을 보여라.
6. 양의 정수 n의 서로 다른 모든 양의 약수를 ‥‥이라 할 때, 양의 정수 s에 대하여
… 으로 정의하자. 예를 들어, 이고
이다. 모든 양의 정수 n에 대해
이 8의 배수임을 보여라.
7. 다음 조건을 만족하는 두 함수 →의 쌍을 모두 구하여라.
임의의 실수 ≠ 에 대하여
⋅단, 은 모든 실수의 집합이다.
8. 회원이 12명인 어떤 동아리에서 다음 두 조건을 모두 만족하도록 소모임들을 만들었다.
(조건 1) 각 소모임의 구성원은 3명 또는 4명이다.
(조건 2) 회원 12명 중 임의로 선택한 2명에 대하여, 이들을 모두 포함하는 소모임은 정확히 하 나이다. 이 때, 각각의 회원이 가입한 소모임의 개수는 모두 같음을 보여라.
* 제한시간 2시간 30분 ; 문항당 7점 *
X
C
B
N D A
Y E F Z
L
M
1. 삼각형 의 변 위에 두 점 와 변 위에 두 점 와 , 변 위에 두 점 와 가 있다. 네 점 가 한 원 위에 있고, 등식
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
이 성립한다. 직선 와 가 점 에서 만나고, 직선 와 가 점 에서 만나고, 직선
와 가 점 에서 만날 때, 세 점 이 한 직선 위에 있음을 보여라.
메넬라우스정리 & 역정리
문제의 조건대로 그림을 그려보자.
∆에서 직선 , 에 대해 메넬라 우스 정리를 각각 적용하면 아래와 같다
⋯①
⋯②
⋯③
①,②,③ 세 식을 곱하면
⋯④ 문제의 가정에서
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
이므로
④식은
이 되고,
네 점 가 한 원위에 있으므로 ⋅ ⋅이므로
이 된다.
메넬라우스 역정리에 의해 은 일직선이 됨을 알 수 있다.
아래 풀이는 CMS 경시팀(대치/목동)의 풀이로서 대한수학회의 공식풀이와 다를 수 있습니다.
2. 실수 에 대하여, 일 때,
의 최소값을 구하여라.
기하부등식
라 하면, 위 그림에서, 이다.∆ ∆에서 ≧ 양변을 로 나누면,
≧
≧
(단, 인 경우 등호 성립)
∴
3. 임의의 양의 정수 에 대하여, 방정식 을 만족하고 의 배수가 아닌 정수 가 존재함을 증명하여라.
점화식과 귀납법
일 때, 이므로 .
일 때, 이므로 . 의 예가 있다. 이제 등식
을 이용하여 일반화하자.
각각의 ≥ 에 대하여 조건을 만족하는 의 정수해를 이라 하자. 그러면
×
이다. 따라서 조건을 만족하는 정수해 에 대하여 이고
이 성립한다. 그러면
,
. 이다. 이제 에 관한 귀납법으로 모든 ≥ 에 대하여
≡ ≡ ≡ ≡
이 성립함을 증명하자.
일 때: 이고 이므로 성립한다.
≥ 일 때 성립한다고 하자. 그러면
≡ × × ≡ ,
≡ × × ≡ ,
≡ × × ≡ ,
≡ × × ≡ .
이므로 일 때도 성립한다.
따라서 모든 ≥ 에 대하여 ≢, ≢ 이다.
그러므로 모든 ≥ 에 대하여 조건을 만족하는 정수해 가 존재한다.
4. 모든 양의 정수의 집합을 ℕ이라 하자. 집합 ℕ의 세 부분집합 가 다음의 조건들을 모 두 만족하면 를 ℕ의 ‘분할’이라 한다:
(ⅰ) ≠ ∅; (ⅱ) ∩ ∩ ∩ ∅; (ⅲ) ∪∪ ℕ 아래의 세 조건을 모두 만족하는 ℕ의 분할 가 존재하지 않음을 보여라.
(1) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊, (2) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊, (3) 모든 ∊ ∊ 에 대하여, ∊.
귀류법
조건을 만족하는 분할 가 존재한다고 하자.
일반성을 잃지 않고 ∊이고, ∊ℕ ∉라 하자.
그러면 ∊ 또는 ∊이다.
z일반성을 잃지 않고 ∊라고 하자.
먼저 ≥ 인 경우를 생각하자.
⋯ ⊂ 이고 ∊이므로 조건(1)에 의해
⋯ 는 모두 의 원소이다. 즉, ⋯ ⊂ 이다.
한편, ∊이고 ∊이므로 조건(3)에 의해
∊ 이다. 그러면 ∊이고 ∊이므로 모순.
따라서 또는 이다.
① 인 경우: ∊이고 ∊이므로 조건(1)에 의해 ∊이다.
이 어떤 집합의 원소이냐를 기준으로 나누어 생각하자.
∊일 때:
∊이고 ∊이므로 조건(1)에 의해 ∊.
∊이고 ∊이므로 조건(3)에 의해 ∊.
이므로 모순.
∊일 때: ∊이고 ∊이므로 조건(1)에 의해 ∊이다.
∊이고 ∊이므로 조건(2)에 의해 ∊.
∊이고 ∊이므로 조건(3)에 의해 ∊.
이므로 모순.
∊일 때:
∊이고 ∊이므로 조건(2)에 의해 ∊.
∊이고 ∊이므로 조건(3)에 의해 ∊.
이므로 모순.
② 인 경우: 의 정의로부터 ⊂ 이다.
∊이고 ∊이므로 조건(1)에 의해 ∊.
∊이고 ∊이므로 조건(3)에 의해 ∊.
이므로 모순.
5. 원 에 내접하는 오각형 가 있다. 점 에서의 원 의 접선이 직선 와 평행하다.
원 위의 점 가 직선 에 대하여 점 의 반대편에 있고, 두 조건
⋅⋅ ⋅⋅ ∠ ∠
를 모두 만족한다. 점 에서의 원 의 접선과 점 에서의 원 의 접선, 그리고 직선 가 모 두 한 점에서 만남을 보여라.
삼각형의 닮음을 이용한 동일법
원 의 에서 그은 접선과 에서 그은 접선의 교점을 라 하고
가 원 와 만나는 점을 ′(≠ 이라 하자.
이므로 ∠ ∠
접현각의 성질에 의해 ∠ ∠
∴ ⇒ ∠′ ∠′
또한 원주각의 성질에 의해
∠ ∠′ ∠ ∠′여서,
∠′ ∠′ ⇒
즉, 임을 알 수 있다.
한편 ∠ ∠′(내대각),
∠ ∠′(접현각) ∠′ 여서
∆ ∼∆′이 되고,
같은 방법으로 ∆ ∼∆′임을 알 수 있다.
∴
′
′ ⇒ ′
′ ⋅
⋅
문제의 가정과 비교하면 ′
′
원 에서 가 에서 로 움직일 때,
의 값은 감소하므로, ′이다.
따라서 점 에서의 원 의 접선과 점 에서의 원 의 접선, 그리고 직선 가 모두 한 점에 서 만남을 알 수 있다.
P
B
C F'
D E A
F
6. 양의 정수 n의 서로 다른 모든 양의 약수를 ‥‥이라 할 때, 양의 정수 s에 대하여
… 으로 정의하자. 예를 들어, 이고
이다. 모든 양의 정수 n에 대해
이 8의 배수임을 보여라.
정수의 나머지 성질
(1) 이 짝수
우선, ≡ 임을 보이자 가 의 짝수 약수인 경우 ≡ ≡
가 의 홀수 약수인 경우 × ≡ 이다.
따라서 의 각각의 약수에 대해 ≡ 이므로 ≡ 이다.
≡
는 연속하는 짝수이므로 준식은 8의 배수이다.
(2) 이 홀수
≡ ≡ 임을 보이자
은 홀수 약수만 가지므로, 각각의 홀수 약수 에 대해, ≡ ≡ × ≡ 여서 ≡ ≡ 이다.
∴ ≡ ≡
① 이 완전제곱수일 때 ⇒ ∴ 성립 ② 이 완전제곱수가 아니면서, ≡ 일 때 이 4의 배수이므로, 이 짝수임을 보이자.
의 약수 중 하나를 라 하면
도 n의 약수이며, 이 완전제곱수가 아니므로
와 는 다른 값이며, 둘 다 홀수 약수이므로 두 약수의 합은 짝수가 되어, 모든 약수의 합 도 짝수가 된다.
③ 이 완전제곱수가 아니면서, ≡ 일 때 이 2의 배수이므로 이 4의 배수임을 보이자.
n의 약수를
라 하면, 한편
× ≡ 이고,
와 는 ∈ 의 꼴로 나타내어지므로
는 4의 배수이다.
(1), (2)에 의해 은 8의 배수이다.
7. 다음 조건을 만족하는 두 함수 →의 쌍을 모두 구하여라.
임의의 실수 ≠ 에 대하여
⋅단, 은 모든 실수의 집합이다.
함수방정식
문제에 만족하는 함수 가 존재한다고 가정하자.
실수 가 ≥ 이면, 인 실수 가 존재하므로 준식은 아래와 같다.
이 때, 임의의 에 대해 ≥ 인 실수 ≥ 를 잡을 수 있다.
≥ 일 때, ≥ 이므로,
따라서 임의의 ≥ 인 에 대하여 ⋯①
① 에 라 하고, 을 대입하면
① 에 대신
을 대입하면,
이므로
⋯②
①, ②에 의해
∴ ∀
한편,
이므로문제의 조건식에 대신 를 대입하면
⋅ ∀∈이므로 즉 ∴ ∀∈
이 때,
, 여기서
는 모든 실수를 표현하므로
∴ ∀∈
이를 문제의 조건식에 대입해보면 성립한다.
8. 회원이 12명인 어떤 동아리에서 다음 두 조건을 모두 만족하도록 소모임들을 만들었다.
(조건 1) 각 소모임의 구성원은 3명 또는 4명이다.
(조건 2) 회원 12명 중 임의로 선택한 2명에 대하여, 이들을 모두 포함하는 소모임은 정확히 하 나이다. 이 때, 각각의 회원이 가입한 소모임의 개수는 모두 같음을 보여라.
12명의 학생을 ⋯이라 하자.
① 를 포함하는 4명의 소모임수를 라 하고, 3명의 소모임수를 개라 하자.
(조건 2)에 의해, 이고, 이 된다.
모든 에 대해 이면 모든 회원이 5개의 소모임의 참여하므로 성립
이제 일 때, 1을 포함하는 4-소모임에서 1을 뺀 것을 라 하고 3-소모임에서 1을 뺀 것을 라 하자 ⇒
여기서 학생을 로 분할하면, 어떤 모임도 ∼ 와 2명의 학생을 공유하면 안 되므 로 다른 4-모임의 원소는 에서 하나씩 가져올 수 있다.
② 이라 하자.
2, 3을 각각 포함하는 4-소모임이 존재하게 되고, 각각 , 라 하자,
∩≤ 이므로, ∩∩ ∩∩ ∩∩중 적어도 둘은 다른 쌍이다.
그 둘을 라 하자.
일반성을 잃지 않고, 를 포함하는 4-소모임은 하나 더 존재한다. 그것을 라 하자.
∩≤ 이므로, 에는 2가 들어가면 안 되므로 3이 들어가고, 마찬가지로 에는 2가 들어 간다.
즉 을 포함하는 4-소모임은 3개이다.
③ 2를 포함하는 4-소모임을 라 하자. 에서 하나를 뽑고 에서 하나를 뽑 아서 교집합한 9개는 모두 다르다. 왜냐하면 ∩ ∩ 이면, ∈∩가 되므로 모순 이 되기 때문이다.
따라서, 의 총 9개의 원소가 한번씩 나오게 된다.
∪∪∪까지 생각하면 이 9개도 적어도 2개의 4-소모임의 원소를 가져서 모두 3 개의 4-소모임의 원소를 가진다.
모두 3개의 4-소모임의 원소여서 모든 에 대해 이 되고 모두 4개의 소모임에 포함된다.
