수정 Plantema 식을 이용한 원형튜브의 국부좌굴하중 예측
안광현* · 김진성 · 박충희 · 허 훈
한국과학기술원 기계항공시스템학부
Prediction of Local Buckling Load in Circular Tube Using Modified Plantema Equation
Kwanghyun Ahn *·Jin Sung Kim·Chunghee Park·Hoon Huh
School of Mechanical, Aerospace & System Engineering, KAIST, 335 Gwahangno, Yuseong-gu, Daejeon 305-701, Korea
Abstract : A crushing tube is the most widely used energy absorber in the crushing system. For the reliable design of the crushing tube, the accurate local buckling load of the tube should be predicted since the crushing tube uses the local buckling of a tube wall for crushing energy absorption. On the other hand, the local buckling should be prevented in some device which needs the stability. Therefore, the prediction of the accurate local buckling is important to use or prevent the local buckling. The Plantema equation is the most widely used equation for prediction of the inelastic local buckling load of a thin-walled cylindrical tube. In accordance with the finite analysis result, however, the local buckling load from the Plantema equation cannot predict the accurate local buckling load since it is from the perfectly plastic assumption. In this paper, a prediction method of the local buckling load is suggested by modifying the Plantema equation. By using the modified Plantema equation, the local buckling load of the thin-walled cylindrical tube can be predicted using the material properties of the tube material without finite element analysis. The results from modified Plantema equation show good agreement with the numerical and experimental results.
Key words : Local buckling(국부좌굴), Modified Plantema equation(수정 Plantema식), Collapse(압궤), Crushing energy absorption(충돌에너지 흡수), Finite element analysis(유한요소해석)
.1. 서 론
자동차의 충돌사고 시 승객 안전 및 주요부재의 보호를 위해서는 충돌 시 발생하는 충돌에너지를 흡수하기 위한 장치가 필요하다. 충돌에너지 흡수 를 위한 부재로는 여러 형태의 시스템이 사용되고 있으나 그 중 가장 많은 비중을 차지하는 것이 압
* 안광현, E-mail: [email protected]
궤형 에너지 흡수부재이다. 압궤형 에너지 흡수부 재는 충돌에너지를 부재의 국부좌굴(local buckling)에 의해 발생하는 압궤를 통해 흡수하는 장치로서 충 돌안전 설계 시 정확한 에너지 흡수성능을 예측하 기 위해서는 좌굴하중을 정확히 예측하는 것이 필 요하다.
압궤형 튜브의 좌굴모드는 비탄성 국부좌굴모드 로서 이와 같은 모드의 좌굴하중을 예측하기 위해
서는 Plantema식이 가장 보편적으로 사용되어 왔
다.1) 하지만 유한요소해석 결과 Plantema식을 이용
하여 예측한 좌굴하중은 실제 하중과 큰 차이를 보이며 따라서 보다 정확한 국부좌굴하중의 예측 기법이 필요하다. 본 연구에서는 유한요소해석을 이용하여 보다 정확한 좌굴하중을 예측할 수 있는
수정 Plantema식을 제안하고 이를 실험결과와 비교
하였다. 수정된 Plantema식은 유한요소해석 없이 재료상수를 이용하여 원형튜브의 좌굴하중을 예측 이 가능하게 하며 이는 보다 효율적인 충돌안전 설계를 가능하게 한다. 수정된 Plantema식은 이 밖 에도 국부좌굴의 방지가 필요한 장치의 안정성
(stability)을 위한 설계에도 유용하게 적용될 수 있
을 것으로 생각된다.
2. Plantema식을 이용한 국부좌굴하중 예측
좌굴거동은 크게 기둥좌굴(column buckling)과 국 부좌굴(local buckling)의 두 가지로 분류할 수 있으 며 각각에 대해 다시 탄성 좌굴과 비탄성 좌굴로 분류하여 총 4가지로 분류할 수 있다.1) Fig. 1은 기 둥좌굴 및 국부좌굴의 변형형상을 도시한 그림이 다. 기둥좌굴의 경우 기둥의 반경에 대한 전체 길 이의 비, 즉 세장비에 관계되며 국부좌굴의 경우 주로 반경에 비해 두께가 얇은 구조물에서 발생하 는 현상으로 반경에 대한 두께의 비에 관계된다.
기둥전체가 축 방향 하중에 대해 횡 방향으로 변 형하는 기둥좌굴과는 달리 국부좌굴은 벽면에서의 주름 등의 현상으로 나타나게 되며 압궤형 에너지 흡수부재의 좌굴모드는 이러한 국부좌굴 모드에 해당함을 알 수 있다. 또한 압궤형 에너지 흡수부 재의 응력레벨은 소성역에 존재하므로 4가지 좌굴 모드 중 비탄성 국부좌굴 모드에 해당한다.
2.1 Plantema식
식 (1)은 비탄성 국부좌굴하중을 예측하기 위하여 가장 보편적으로 사용되는 Plantema식으로 원형튜브 의 형상(반경, 두께) 및 튜브의 재료(탄성계수, 항 복응력)에 따라 좌굴응력이 결정된다.
1.0
0.75 0.031 0.33
cr y
cr y
cr y
σ σ
σ σ α
σ σ α
=
= +
=
for 8for 2.5 8 for 2.5
α α α
≥
≤ ≤
≤
(1)
1
y
E α D t
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜⎜⎝ ⎟⎜⎟⎝⎠ ⎟⎠
(2)
이 때 α 는 식 (2)와 같이 표현되는 무 차원 수로 자동차에 사용되는 크기의 철강재료 튜브의 경우 주로 α >8의 영역에 있다. 따라서 압궤형 튜브의 좌굴하중은 다음과 같은 간단한 형태로 표현된다.
cr 2 y
P = π σRt (3)
식 (3)은 튜브의 축 방향 응력이 항복응력에 도달하 였을 때 비탄성 국부좌굴이 발생한다는 의미를 가 지고 있으며 실제로 박막원형튜브와 관련된 많은 문헌에서 튜브의 국부좌굴 하중을 식 (3)과 같이 단 순화하여 사용하고 있다.
2.2 Plantema식의 한계
Plantema식을 이용하여 예측한 좌굴하중을 검증
하기 위하여 다양한 반경 및 두께의 튜브에 대해 유한요소해석을 수행하여 좌굴하중을 확인하고 그
결과를 Plantema식에 의한 좌굴하중과 비교하였다.
유한요소 해석은 내연적 상용 유한요소 코드인
ABAQUS/Standard를 이용하여 수행하였으며 단순화
를 위하여 축 대칭조건을 사용하였다. Fig. 2는해석 을 위한유한요소모델 및 경계조건을 나타낸다.
(a) (b)
Fig. 1 Buckling mode: (a) column buckling; (b) local buckling Fig. 2 Finite element model and boundary conditions
Fig. 3은 다양한 튜브 반경 및 두께에 대한 좌굴 하중을 유한요소해석 및 Plantema식을 사용하여 예 측한 결과를 비교한 그림이다. 튜브의 재료로는 TWIP(TWinning Induced Plasticity)강을 사용하였으며
Fig. 4는 TWIP 강의 응력—변형률 선도를 도시한 것
이다. Fig. 3에서 확인할 수 있듯이 Plantema식에 의 해 예측되는 좌굴하중은 튜브의 반경 및 두께가 변화함에 따라 유한요소해석에 의한 좌굴하중과 큰 오차를 보이며 재료를 강소성으로 가정한 유한 요소해석 결과와 정확히 일치하고 있다. 이는 식
(3)의 Plantema식이 항복응력만을 포함하고 있어 변
형률 경화 효과를 고려하지 못하기 때문으로
Plantema식의 오차는 강소성 가정에 의한 것임을
알 수 있다. 따라서 보다 정확한 좌굴하중 얻기 위 해서는 Plantema식에 재료의 변형률 경화 효과를 추가하여야 한다.
Fig. 5 Compressive stress distribution through the thickness direction when buckling occur
(a)
(b)
Fig. 6 Buckling load from the Plantema equation with averaged compressive stress and the FE analysis w.r.t.:
(a) tube wall thickness; (b) tube radius
3. 수정 Plantema식
3.1 변형률 경화를 고려한 수정 Plantema식
Plantema식에 변형률 경화효과를 추가하기 위해서
는 Plantema식의 항복응력 항을 변형률 경화효과를
포함하고 있는 응력 형태의 항으로 대체하여야 한
다. Fig. 5는 좌굴이 발생하는 순간, 즉 튜브의 하중
이 첫 번째 최대하중에 도달하는 순간의 튜브 고정 단의 두께 방향으로의 압축응력의 분포를 3 가지 튜브두께에 대하여 도시한 결과이다. 유한요소해석 을 위한 재료데이터는 변형률 경화를 포함하고 있
으므로 Fig. 5의 응력은 재료의 변형률 경화효과를
포함하고 있다고 할 수 있다. 따라서 Fig. 5의 두께
방향으로의 압축응력의 평균 값을 Plantema식의 항 복응력 항 대신 대입하여 그 결과를 확인하였으며
Fig. 6에 결과를 도시하였다.
(a)
(b)
Fig. 3 Buckling load from the Plantema equation and the FE analysis w.r.t.: (a) tube wall thickness; (b) tube radius
(a) (b)
Fig. 4 Stress—strain curve of TWIP steel: (a) engineering; (b) true
Fig. 6에서 Plantema식의 항복응력 항 대신 튜브 고정단에서의 압축응력의 평균 값을 대입할 경우 보다 정확한 좌굴하중을 예측함을 확인할수 있다. 따라서 튜브의 형상 및 재료에 따른 튜브 고정단 의 평균압축 응력을 예측할 수 있다면 이 결과를
Plantema식의 항복응력 항에 대입하여 정확한 좌굴
하중을 예측할 수 있다. 즉 식 (4)와 같은 수정된
형태의 Plantema식을 통하여 변형률 경화효과를 추
가한 보다 정확한 좌굴하중을 예측할 수 있다. 식 (4)의 σcr을 좌굴이 발생하는 시점에서의 튜브 고정 단의 평균압축응력으로 정의한다.
cr 2 cr
P = π σRt (4)
좌굴하중 예측을 위한 이전의 연구2)-3)에서는 식 (4)
의 σcr을 예측하기 위하여 좌굴이 발생하는 시점의 평균 변형률을 예측하고 이를 이용하여 평균 압축 응력을 구하였다. 이는 식 (5)에 나타나 있으며 이 경우 재료마다 식 (5)의 k값이 다르게 나타나 좌굴 하중 예측을 위해서는 반드시 각 재료에 대한 k값 을 유한요소해석을 통하여 구해야 한다는 단점이 있다. 식 (5)의 A, B, n은 각각 Ludwik모델 계수를 의미한다.
2
2
n cr
P Rt A B k t
π ⎡⎢ ⎧⎪ ⎛ ⎞r ⎫⎪ ⎤⎥
= ⎢⎣ + ⎨⎪⎩ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎬⎪⎭ ⎥⎦
(5)
따라서 본 3장의 나머지 절에서는 이전의 연구에 서와 같이 좌굴이 발생하는 시점에서의 평균 변형 률을 예측하지 않고 σcr을 직접 예측하는 방법에 대해 제안한다.
3.2 Ludwik 모델을 이용한 좌굴하중 예측 다양한 재료의 튜브 형상에 따른 σcr의 경향을
확인하기 위하여 Ludwik모델계수A, B, n을 변화시
키며 유한요소해석을 수행하였다. 영향인자연구를 위한 기준 재료로는 TRIP60를 사용하였으며
TRIP60에 해당하는 Ludwik모델 계수는 A=453.35
MPa, B=942.51 MPa, n=0.568로 나타난다. 또한 이전 의 연구4)에 의하면 튜브의 국부좌굴응력, σcr은 튜
브의 두께에 대한 반경의 비(t/r)에 관계되며 튜브
의 두께 및 반경 각각의 영향을 받지 않는다. 즉 t=2 mm, r=20mm인 튜브와 t=3 mm, r=30m인 튜브의 경우 두 형상의 두께와 반경은 각각 다르지만 모
Fig. 7 Buckling stress of various tube shape and material (I)
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 8 Verification of modified Plantema equation with various material: (a) TRIP60; (b) TRIP80; (c) SPCUD; (d) Al7039
두 t/r=0.1로 동일하므로 두 튜브의 σcr은 동일하게
나타난다. 따라서 다양한 t/r의 튜브 형상에 대해 TRIP60의 Ludwik 모델 계수를 기준으로 A, B, n을 변화시키며 유한요소해석을 수행하여 σcr의 경향을 확인하였다. 이 때 A, B, n의 범위는 각각 353.35≤A≤553.35, 742.51≤B≤1142.51, 0.468≤n≤0.668이 며 튜브 형상의 범위는 0.04≤t/r≤0.08이다. Fig. 7은 각 형상 및 재료 상수에 대한 σcr의 값을 나타내고 있 다. Fig. 7에서σcr은식 (6)과 같은경향으로나타나고 있음을 확인할 수 있다.
n cr
A B t σ ∝ + ⎜ ⎟⎛ ⎞r
⎝ ⎠ (6)
이 때 비례상수는 약 0.82로 나타나며 이를 식 (4)에 대입하면 Plantema식은 최종적으로 식 (7)과 같이 수 정된다.
2 0.82
n cr
P Rt A B t
π ⎡ ⎛ ⎞r ⎤
= × ⎢⎢⎣ + ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥⎥⎦
(7)
Fig. 8은 식 (7)을 이용하여 여러 가지 재료의 튜브 에 대한 좌굴하중을 예측한 결과와 유한요소해석
결과를 비교한 것으로 수정된 Plantema식은 다양한
재료의 여러 가지 형상에 대한 튜브의 좌굴하중을
기존의 Plantema식에 비해 정확히 예측하고 있음을
확인할 수 있다. 또한 Fig. 8(d)를 통해 수정
Plantema식 (7)은 철강 재료뿐 아니라 알루미늄 재
료 튜브의 좌굴하중도 잘 예측하고 있음을 알 수 있다.
3.3 Swift 모델을 이용한 좌굴하중 예측
Fig. 9는 앞 절에서와 똑 같은 과정으로 유한요소
해석을 이용하여 재료의 Swift모델 계수와 튜브 형
상을 변화시키며 σcr을 확인한 결과이다. Swift모델 은 σ=K(ε0+ ε)n과 같이 표현되며 Fig. 9는 K, ε0,n이 각각 950≤K≤1750, 0.0555≤ε0≤0.0955, 0.28≤n≤0.48이며
튜브 형상의 범위는 0.04≤t/r≤0.08인 경우에 대한 결
과이다. Fig. 9에서 σcr은 식 (8)과 같은 경향으로 나 타나고 있음을 확인할 수 있다.
0 n cr
K t
σ ∝ ⎡⎢⎣⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠r +ε ⎤⎥⎦
(8)
이 때 비례상수는 약 0.82로 나타나며 이를 식 (4) 에 대입하면 Plantema식은 최종적으로 식 (9)와 같 이 수정된다.
2 0.82 0
n cr
P Rt K t
π ⎡ ⎧⎛ ⎞r ε ⎫ ⎤
= × ⎢⎢⎣ ⎨⎩⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎬⎭ ⎥⎥⎦
(9)
Swift 모델을 이용한 수정 Plantema식 (9)를 이용하
여 Ludwik 모델 계수뿐만 아니라 Swift 모델과 튜
브 형상만으로도 튜브의 좌굴하중을 예측할 수 있 다.
Fig. 9 Buckling stress of various tube shape and material (II)
Ludwik 모델을 이용한 수정 Plantema식 (7)과
Swift 모델을 이용한 수정 Plantema식 (9)를 비교해 보면 좌굴 시 평균응력, σcr은 각 재료모델의 변형률
항을 t/r로 대체하고 0.82를 곱한 값과 같음을 확인
할 수 있다. 이러한 유사성을 통하여 다른 종류의 재료 모델을 사용하더라도 비슷한 방법으로 좌굴하 중을 예측할 수 있을 것으로 예상된다.
3.4 정적 좌굴실험을 이용한 제안식 검증 원형 튜브의 정적 좌굴하중을 확인하기 위하여 Photo 1에 도시된 UTM(Universal Testing Machine)기를 사용하여 일반구조용 탄소강 강관인 STK290의 좌굴 실험을 수행하였다.5) 시편을 지그에 장착하고 하부 다이의 속도를 3mm/min으로 설정하여 압축하중을 부과하였다. 또한 STK290의 재료 물성을 확인하기 위하여 인장실험을 수행하였으며 실험을 통해 얻어 진 STK290의 Ludwik 모델 계수를 식 (7)의 Ludwik 모델을 이용한 수정 Plantema식에 적용하여 좌굴하 중을 예측하고 이를 좌굴실험 결과와 비교하였다.
Fig. 10은 인장실험에 의하여 얻어진 STK290의
Ludwik 모델을 도시한 것이다.
Photo 1 Universal testing machine (KAIST)
Fig. 10 Ludwik model of STK290
0.000 0.05 0.10 0.15 0.20 100
200 300 400 500
True stress (MPa)
True strain
Ludwik model of STK290
실험에 사용된 튜브는 총 3가지 형상이며 각각 에 대해 3회, 총 9회의 좌굴실험을 수행하였다.
Photo 2는 좌굴 실험에 사용된 STK290 강관의 형
상 및 좌굴 실험 후의 변형형상을 도시한 것이며
Table 1은 각 실험 결과와 수정 Plantema식에 의한
결과를 비교한 것이다. Table 1에서 보듯이 수정
Plantema식은 기존의 Plantema식에 비해 실험결과
를 잘 예측하고 있다. 실험결과와 예측 결과의 오 차는 실험에 사용된 강관에 존재하는 용접선 및
Ludwik모델 근사에서 포함된 오차에 의한 것으로
생각된다. 세 번째 형상에 대한 결과인 실험 #7,8,9
의 결과는 기존의 Plantema식에 의한 결과가 수정
Plantema식에 의한 결과보다 정확한 결과를 예측하
고 있다. Fig. 3에 의하면 기존의 Plantema식은 튜브 의 형상에 따라 좌굴하중을 매우 잘 예측하는 구 간이 있으나 형상이 변화함에 따라 오차가 매우
커지게 된다. 실험 #7,8,9의 튜브형상은 기존의
Plantema식이 결과를 잘 예측하는 구간에 존재하는
것으로 생각되며 전체적인 실험 결과에서 수정
Plantema식은 다양한 튜브형상에서의 좌굴하중을
잘 예측하고 있음을확인할 수 있다.
(a) (b) Photo 2 Specimen for buckling experiment: (a) undeformed
shape; (b) deformed shape
4. 결 론
본 논문에서는 박막 원형튜브의 국부좌굴하중을
예측하기 위하여 기존에 사용되던 Plantema식을 수
정하여 유한요소해석의 필요 없이 재료 및 튜브의 형상에 따라 보다 정확한 좌굴하중을 예측할 수 있
는 수정 Plantema식을 제안하였다. 재료를 강소성으
로 가정한 기존의 Plantema식에 변형률 경화효과를
추가할 수 있는 방안을 제시하였고 이를 통하여
Ludwik모델 및 Swift모델 계수와 튜브의 형상을 이
용하여 좌굴하중을 예측할 수 있다. 제안된 식은 기 존의 식에 비해 보다 정확한 좌굴하중을 여러 가지 재료에 대해 예측할 수 있음이 유한요소해석을 통 하여 검증되었다. 제안식의 정확한 검증을 위해 실 험을 수행하였으며 제안된 식은 기존의 식에 비해 실험 결과를 보다정확히 예측함이 확인되었다.
References
1) Bruce G. Johnston, Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures, Wiley-Interscience, 1976.
2) K. Ahn, J. Kim and H. Huh, Proc. Numisheet 2008, pp.
799~804, ETH Zurich, 2008.
3) K. Ahn, J. S. Kim and H. Huh, AEPA 2008, Submitted for publication.
4) K. Ahn, J. Kim and H. Huh, Proc. KSAE fall conference, Vol. 4, pp. 2251~2256, 2007.
5) C. H. Park, “Upper Bound Analysis of Dynamic Buckling Phenomenon of Circular Tubes Considering Strain Rate Effect”, Master Thesis, KAIST, 2008.
Table 1 Buckling load from experiment and Plantema equation Test# t
(mm) r (mm)
Experiment (kN)
Modified Plantema (kN)
Error (%)
Plantema (kN)
Error (%) 1
1.8 23.4 96.1
90.1
6.3
83.1
13.5
2 96.2 6.4 13.6
3 93.0 3.1 10.6
4
1.8 29.35 128.0
110.4
13.7
104.3
18.5
5 127.6 13.5 18.3
6 130.0 15.1 19.8
7
2.1 37.6 157.1
163.4
4.0
155.9
0.8
8 152.0 7.5 2.5
9 150.4 8.7 3.6
