근사 고유치를 이용한 이상유동 충격파관 문제 해석

(1)

염금수

^†

· 장근식

^*

Two-Phase Shock Tube Problems Solved by Approximate Eigenvalues

Geum-Su Yeom and Keun-Shik Chang

Key Words : Two-Phase Flow(이상유동), Shock Tube(충격파관), HLL Scheme(HLL 스킴) Abstract

We investigate two-phase shock tube problems using the two-component two-phase flow formulations. In these problems, discontinuities are initially introduced in the properties of two-phase flow by a diaphragm located at the middle of the shock tube. Since the governing equations are of non-conservative form and the system eigenvalues are complex, numerical method is unstable. To tackle with the numerical instability, we introduce the interfacial pressure term in the momentum equations and employ HLL Riemann solvers that make use of the eigenvalues from an approximate Jacobian matrix. The present approach produced wave structures that agree well with the experiment and earlier computational results.

기호설명

a 음속

p 공통압력

pi 계면압력

ui 계면속도

δ 계면압력모델의 감쇠계수

γ 비열비

λ 고유치

1. 서 론

이상유동 현상은 비바람, 눈보라, 황사 등과 같 이 주변에서 널리 볼 수 있으며 공학적으로도 펌 프와 스크류의 캐비테이션 현상, 원자력발전소의 열수력 시스템 등 그 응용 범위가 매우 넓다.

이상유동의 지배방정식은 크게 이유체(two-fluid)

모델과 혼합(mixture) 모델로 나눌 수 있는데 [1],

본 연구에서는 기체와 액체의 이유체 모델을 다룬 다. 이유체 모델은 혼합모델에 비해 지배방정식의 개수가 2 배이지만 그 응용범위가 훨씬 광범위하 며 더 자세한 결과를 보여준다. 하지만 방정식이 보존형태로 표현되지 않으며, 그 자체로는 쌍곡형 이 아니다. 따라서 복소수의 고유치로 인하여 초

기치 문제에 대해 ill-posed 된다. 또한 소스항에

대한 실험적인 구성방정식이 더 많이 필요하다.

Toumi[2]는 기존의 이유체 이상유동 상용 코드

들의 과도한 수치점성을 제거하기 위해서 풍향차 분법(upwind scheme)의 한 종류인 Roe 방법을 이유 체 모델에 적용하였다. 하지만 이유체 모델에 대 해 수학적으로 정확한 리만 해법이 존재하지 않다 는 것이 알려졌으며, 또한 해석적인 고유치와 고 유벡터를 구하는데 많은 어려움이 있었다.

충격파관(shock tube)은 주로 기체의 충격파 특성

을 연구 하기 위해 사용되는 실험설비이다. 이것 은 초기 조건이 서로 다른 유체가 격막에 의해서 좌우로 분리되어 있다가 어느 순간 격막이 제거되 면서 여러 파동이 발생하여 전파되어 나가게 하는 장치이다. 몇몇의 연구자들[2,3,4,13]은 단상유동에 서 주로 사용되는 이러한 개념을 이상유동에서의 파동 전파특성을 연구하기 위해서 도입하여왔다.

본 연구에서는 이유체 모델의 수치적인 해법의

† KAIST 대학원 항공우주공학전공 박사과정

E-mail : [email protected]

TEL : (042)869-3751 FAX : (042)869-3710 ^* KAIST 대학원 항공우주공학전공 교수

(2)

어려움을 개선한 새로운 수치기법[5]을 이용하여 이상유동의 충격파관 문제를 해석하였다.

2. 지배방정식

2.1 이유체 이상유동 지배방정식

일차원에서 6-방정식 이유체 이상유동의 지배방 정식은 다음과 같이 표현된다.

Mass:

( _k _k) ( _k _ku_k) _k 1,_k

t α ρ x α ρ ψ

∂ ∂

+ = Γ =

∂ ∂

Momentum:

2

2,

( ) ( )

( )

i k

k k k k k k k k

i i W

k k k k g k

u u p p

t x x

u u F F B

α ρ α ρ α α

ψ

∂

∂ ∂

+ + −

∂ ∂ ∂

= Γ − − − + =

Energy:

*

3,

( ) ( )

i i k

k k k k k k k k k k

i W i

k k k k k k g k k k

E u E u p p u

t x x

h F u F u B u Q

α ρ α ρ α α

ψ

∂

∂ ∂

+ + −

∂ ∂ ∂

= Γ + + + + =

여기서 α ρ, , , , , u E p h 는 각각 기공률, 밀도, 속도, 총에너지, 압력, 엔탈피를 나타낸다. 그리고 하첨자 k(=l g, )는 k-상 (액체 또는 기체)를 가리 킨다. 또한 소스항은 질량전달항 Γ , 계면마찰항 Fi, 벽면마찰항 F^W, Body force B, 열전달항 Qⁱ, Phasic enthalpy h^*으로 구성되어 있다.

본 연구에서 기체상과 액체상의 압력은 서로 같 다고 가정한다. 즉, p_g = p_l = p이다. 또한 기공률 은 α_g+α_l =1의 관계를 만족한다.

방정식계를 쌍곡형으로 안정화 시키기 위해,

CATHARE[6] 코드에서 사용한 다음과 같은 계면

압력 모델을 적용한다.

( ) , 2 1

g l g l

i

g l

g l l g

p p α α ρ ρ u u

δ δ

α ρ α ρ

= − − ≥

+

계면속도는 질량중심의 속도를 사용한다.

g g g l l l

i

g g l l

u u

u α ρ α ρ

α ρ α ρ

= +

+

2.2 상태방정식

본 연구에서는 등엔트로피 모델과 압축성 모델 을 모두 다루기 위해서 다음과 같은 두 종류의 상

태방정식을 도입한다.

2.2.1 선형화된 상태방정식

이 상태방정식은 등엔트로피 모델에 적용되며 다음과 같다.

,0

,0 2

k k

k

p p

ρ ρ −a

= +

여기서 각각의 상수는 다음과 같다.

5

,0 ,0

3 5 3

,0 ,0

0, 0, 10 m/s

1000 kg/m , 10 Pa, 10 m/s

g g g

l l l

p a

ρ ρ

= = =

2.2.2 Stiffened-gas 상태방정식

압축성 이유체 모델에 대해, 기체와 액체를 모 두 압축성 유체로 취급하기 위해서 다음과 같은 Stiffened-gas 상태방정식을 도입한다.

( _k 1) _k _k _k ,_k

p= γ − ρ e −γ p_∞

여기서 상수 γ_k, p_k_,_∞는 여러 연구자들마다 조금 씩 다른 값을 사용하고 있는데 우리는 다음과 같 은 값을 이용한다.

,

8 ,

1.4, 0 Pa (air)

2.8, 8.5 10 Pa (water)

g g

l l

p p γ

γ

∞

= =

= = ×

3. 수치기법

3.1 새로운 2-step 기법

일반적으로 이유체 이상유동 모델은 수학적으로 순수한 쌍곡형이 아니다. 따라서 초기치 문제에 대해서 ill-posed 되며 방정식을 수치 적분할 경우 불안정하게 된다. 이를 해결하기 위해서 많은 연 구자들은 방정식에 부가적인 항들을 첨가해서 그 성질을 바꾸려는 시도를 해왔다. 이러한 첨가항들 은 물리적인 의미를 중요시하는 것과 수학적인 성 질을 중요시하는 것 크게 두 가지 부류로 나눌 수 있다. 이러한 첨가항들로 인해서 널리 사용되고 있는 RELAP5, TRAC, CATHARE[6]등과 같은 상용 이상유동 코드들의 수치적인 안정성이 크게 개선 되어왔다.

하지만 기존의 코드들은 수치점성이 매우 큰데,

Toumi 등[2,4,5]은 풍향차분법을 사용하여 이를 효

(3)

과적으로 제거하여왔다. 하지만 이를 적용함에 있 어서 방정식계의 실수 고유치의 해석적인 해를 구 하는 것이 중요한 문제로 새롭게 대두되게 되었다.

이러한 실수 고유치들은 비록 지배방정식의 형 태가 쌍곡형이지만 해석적인 해를 얻기가 매우 어 려우며, 여러 가지 가정을 사용하여 구한 근사 해 의 경우에도 그 식의 길이가 매우 길다 [7]. 또한 이러한 고유치들은 첨가항에 따라 그 형태가 각각 다르기 때문에 일반적인 적용에 상당한 제약이 따 른다.

이러한 문제점을 개선하고자 염금수와 장근식

[5]은 다음과 같은 새로운 2-단계(2-step) 방법을

제안하였다.

Step I: Approximate Jacobian matrix - 계면전달항 pⁱ ^k, p uⁱ ⁱ ^k

x x

α α

∂ ∂

∂ ∂ 를 일시적으로 제거한

상태에서 근사 Jacobian 행렬을 구성한 다음 이로

부터 다음과 같은 실수 고유치를 얻는다.

1 2 3,4

2 ,

5,6 2 2

,

, ,

1 ( 1)

g l g g

g g l l

l l

g g l l l l g g l g l l g

u u u a

u a p

p a a

λ λ λ

α γ γ

λ α γ γ γ α ρ γ α ρ γ

∞

= = = ±

= ± −

− + +

Step II: HLL Riemann solver

- 원래의 방정식으로 돌아가서 대류항들은 HLL (Harten, Lax, and van Leer) 스킴[8]을 적용하고 계면 전달항들은 적절히 차분화한 다음, 방정식계를 유 한체적법을 이용해서 수치적분한다. HLL 스킴의

wave speed 는 앞에서 구한 구한 실수 고유치들을

이용해서 계산한다.

3.2 이유체 이상유동 방정식의 유한체적법 압축성 이유체 이상유동 방정식을 유한체적법을 이용해서 차분화 하면 다음과 같다.

( ) ( )

1

1/ 2 1/ 2 ( )

n n n n n n

i i i i i g i

t t

x x α

+

+ −

∆ ∆

= − − − ∆

∆ ∆

U U F F H U

여기서 셀 경계에서의 numerical flux F_i₊_{1/ 2} 는 HLL 리만 해법을 이용하면 다음과 같다.

1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1

1/ 2

1/ 2 1/ 2

( )

i i i i i i i i

i

i i

S S S S

S S

+ − + −

+ + + + + +

+ + −

+ +

− + −

= −

F F U U

F

여기서 F_i는 대류항이다. 또한 비보존항은 다음 과 같이 차분화 된다.

Fig. 1 Schematic diagram of total sonic speed in two- phase mixtures

1/ 2 1/ 2 1

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1 1/ 2

1/ 2 1/ 2

( ) ( )

( )

( ) ( )

i g i i g i

g i

i i

i g i i g i

i i

S S

α α

α

α α

+ −

+ + +

+ −

+ +

+ −

− − −

+ −

− −

∆ = −

−

− −

−

또한 wave speed S^±는 근사 고유치를 이용해서 다음과 같이 계산된다.

1/ 2 3 5 3 1 5 1

1/ 2 4 6 4 1 6 1

max{0, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) } min{0, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }

i i i i i

S S

λ λ λ λ

+

+ + +

−

+ + +

=

4. 이상유동에서의 음속

4.1 근사고유치를 이용한 이상유동에서의 음속

앞에서 근산 Jacobian 행렬로부터 구한 실수 고

유치를 이용해서 이상유동에서의 음속을 해석적으 로 예측할 수가 있다. 액체와 기체의 이상유동을 그림 1에서와 같이 Homogeneous 혼합물로 가정하 면 이상유동에서의 음속은 기공률에 대한 가중치

Table 1 Analytic total sonic speed models: Yeom &

Chang, Nguyen et al., and surface tension model

Model Total sonic speed

Yeom

&

Chang

2 ,

2 2

, 2

,

2 2

,

1 ( 1)

g g l l

g l

t

g g l l

l g g l

a a p

p a a

a

a a p

p a a

α γ γ

α γ γ γ α ρ γ α ρ γ α γ γ

α α

α γ γ γ α ρ γ α ρ γ

∞

− − + +

=

+ −

− + +

Nguyen et al.

2 2

g l

g l l l g g

t

g g l l

a a a a

a

ρ ρ α ρ α ρ α ρ α ρ

= +

+

Surface tension

2

2 2

2

2 2

g g

g l

g l l l g g

t

g g

l g g l

g l l l g g

a a a

a a

a

a a a

a a

ρ α ρ α ρ α α ρ

α ρ α ρ

= +

+ +

(4)

Fig. 2 Comparison of analytic sonic speeds in water- vapor two-phase flows with experimental data.

평균으로 다음과 같이 주어진다.

3 5

1 with 0

( / ) ( / )

t g l

g g l l l g

a u u

a a

λ λ

α α α λ α λ

= = = =

+ +

Nguyen et al.[9]과 이성재, 정문선, 장근식 등

[10,11]도 이유체 모델의 실수 고유치들을 이론적

으로 각각 구하고, 그것으로부터 이상유동에서의 음속을 해석적으로 유도하였다. 표 1 에서는 이상 유동의 음속에 대한 염금수와 장근식[5]의 모델과 기존 연구자들의 모델을 비교하였다.

그림 2 는 이론적으로 구한 이상유동 음속을 Karplus[12]의 실험 결과와 비교한 것을 나타낸다.

Nguyen et al.[9]의 모델과 Surface tension model

[10,11]은 서로 매우 비슷한 결과를 보여주는 반면

에 Yeom and Chang[5]의 모델은 다소 차이가 있다. 하지만 이것들 모두 실험치와 잘 일치한다.

이로부터, 앞에서 근사적으로 구한 고유치들이 물리적으로 매우 의미 있는 결과를 보여주며 이것 은 또한 새로운 2-step 방법의 타당성을 잘 뒷받침 해준다.

기존연구자들[9,10,11]이 구한 실수 고유치들은

Fig. 3 Schematic of the two-phase shock tube

Fig. 4 Cortes et al.’s two-phase shock tube problem 지배방정식에 여러 가지 가정을 도입하여 이론적 으로 유도한 것으로, 이상유동의 음속을 예측하는 데는 유용하지만 그렇게 사용된 지배방정식을 그 대로 수치계산에 이용하는 데는 많은 문제점이 따 른다. 하지만, 본 방법은 물리적으로 타당한 고유 치를 획득함과 동시에 수치적으로 안정적인 이유 체 방정식의 해를 구하는 방법을 제시함으로써 두 가지 문제점을 한꺼번에 해결하였다.

5. 수치해석 결과

이상유동 충격파관은 그림 3 에서와 같이 중앙 에 격막을 사이에 두고 서로 다른 조건을 가진 유 체가 어느 시점에서 격막을 제거함으로서 충격파, 팽창파, 접촉불연속면 등이 전파되어 나가는 현상 을 모사하기 위한 실험장치이다. 충격파관 실험은 주로 단상유동 연구에서 많이 사용되고 있으나 본 연구에서는 이상유동에서의 파동 전파특성을 조사 하기 위해서 이상유동 충격파관 문제를 수치적으 로 모사하였다.

5.1 Cortes의 이상유동 충격파관 문제

이 문제는 등엔트로피 상태의 공기-물 이상유동 모델에 대해 파동전파 특성을 연구하기 위한 문제 로 Cortes 등[3]이 처음으로 제안 하였다. 격막이

제거 되기 전 왼쪽의 상태는 기공률 0.29, 압력

265 kPa, 공기속도 65 m/s, 물속도 1 m/s 이고 오른

쪽의 상태는 기공률 0.30, 압력 265 kPa, 공기속도

50 m/s, 물속도 1 m/s 이다. 압력과 물의 속도는 좌 우가 모두 같으며 기공률과 공기의 속도만 서로 다르다.

(5)

Fig. 5 Toumi’s two-phase shock tube problem 그림 4는 Evje 와 Flatten[4]의 논문에 나와 있는

매우 조밀한 격자(10000 개)에서 계산한 Roe 스킴

을 이용한 결과와 현재의 방법을 이용한 결과를

비교한 그림이다. Roe 방법의 경우 그래프에 비정

상적인 솟구침(spurious overshot)이 보이지만 새로

운 방법에서는 매우 안정된 모습을 보인다.

5.2 Toumi의 이상유동 충격파관 문제

Toumi[2]에 의해 처음 제시된 이 문제는 충격파, 팽창파, 접촉 불연속면의 모든 파가 발생하며 압 축성 이상유체의 파동 전파 특성을 잘 보여준다.

격막 좌우의 초기 조건은 다음과 같다.

3 3

0.25 0.1

20 MPa 10 MPa

0 0

,

0 0

225.2 kg/m 112.6 kg/m

622 kg/m 612 kg/m

g g

L R

l l

g g

l l

p p

u u

α α

ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= = = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

W W

그림은 Toumi 의 이상유동 충격파관 문제를 격 자 개수를 늘리면서 계산한 결과를 보여주고 있다. 발생하는 wave 는 맨 왼쪽으로부터 강한 팽창파,

약한 충격파, 접촉 불연속면, 약한 충격파, 강한 충격파의 순으로 전파되어 나간다. 기존 연구자들

[2,13]은 중간 영역에서 압력 변화가 매우 적은 두

개의 약한 충격파를 포착하지 못하였는데, 본 연 구에서는 그 존재를 잘 밝혀냈다.

Toumi 와 다른 연구자들에 의하면 왼쪽 끝의 팽

창파와 맨 오른쪽의 충격파는 계면압력의 감쇠계 수 δ 에 거의 변화가 없으나 중간지역의 wave 들 은 그 값에 매우 민감한 것으로 알려져 왔는데, 본 연구에서도 그와 같은 특성을 보여 주었다.

6. 결 론

본 연구에서는 등엔트로피와 압축성 이유체 이 상유동 모델을 이용하여 이상유동의 충격파관 문 제를 수치적으로 모사했다. 이유체 모델의 수치적

인 계산의 어려움을 계선하기 위해 새로운 2-step

방법을 제시하였다. 해석적으로 유도한 이상유동 에서의 음속을 실험치와 비교한 결과 매우 잘 일 치 하였으며 본 방법으로 구한 고유치가 물리적으 로도 매우 타당하다는 것을 뒷바침 해주었다. 현 재의 방법을 이용하여 해석한 이상유동의 충격파 관 문제를 통해 새로운 wave 의 구조를 밝힐 수 있었으며 기존 연구자들 보다 더욱 안정되고 개선 된 결과를 얻을 수 있었다.

참고문헌

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