문 를 면

(1)

식 식

1

식

2

식

(2)

문 를 면

탐사 이 지구를 나 우주 공 으로 나아가기 위 해서 어 도의 력으로 발사해야 하는지 또는

에 상자를 대 개 지 실을 수 있는지 등을 필요가 있을 , 일 부등식을 이용하여 해결할 수 있습니다.

또 술관의 관 객 수와 입장 을 면 성인과 소 관 객 수를 구할 수 있는 것 일상생활에서 가지 을 동시에 만 시키는 을 으 할 , 지수가 2개인 방 식을 이용 하면 게 해결할 수 있습니다.

이와 이 부등식과 방 식은 실생활 문제나 자 현상의 문제를 해결하는 데 필요한 도구입 니다.

이 단원에서는

일차부등식과 연립일차방정식에 대하여 알아보고, 이를 이용하여 여 가지 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

중학수학2학년-교과서(056~095)2단원-OK4.indd 57 18. 7. 24. 오후 2:46

(3)

방정식의 이

다음 일차방정식을 시오.

x+1=2x-3 0.2x+0.4=1.6

2

1 일차부등식

식

과수 가에서는 수 한 과일을 하기 위해 상 화 분류를 합니다. 과일이 공 생 다면 크기 로 은 원

양의 용기에 과일을 통과하는 방법으로 분류할 수 있 지 요 하지만 과일이 전한 공 양인 경우는 으 로 대부분

게에 따라 분류하는데, 이 과일 기를 이용합니다.

예를 들어 의 경우는 통 250 g 만, 250 g 이상 300 g 만, 300 g 이상의 가지로 분류한다고 합니다. 가장 사용하는 기는 용수 의 원리를 이용하 는 것입니다. 용수 이 치고 있는 시에 은 가 울수록 그 의

이가 아지는데, 이 원리를 이용해서 부 할 수 있다고 합니다.

시에 은 의 게를 x g이라고 하면, 를 하는 기 을 x<250, 25 x 3 x 3

과 이 부등호를 사용한 식으로 나 수 있습니다. (출처 국립 산과학원, 2018⁾

이 단원에서는 일 부등식의 이 방법과 실생활에서 나 나는 여러 가지 일 부 등식 문제를 해결하는 방법을 아 니다.

1

준비 학습

^{부등호의 사용}_{다음을 부등호}_<_,_>_, _, 를 사용하여 나타내시오.

a는 5 다 작다. a는 5 다 작 나 다.

a는 5 다 크다. a는 5 다 크 나 다.

1

(4)

1. 일차부등식 59 위의 생각 기에서 도로 교통 표지 이 의 하는 것을 각각 식으로

x 5 , y 과 이 나 수 있다.

이와 이 부등호 <, >, , 를 사용하여 수 또는 식의 대소 관 를 나 것을 이라고 한다.

부등호 은 ‘>^또는=^’ 을 뜻한다.

의

•부등식과 그 해의 의미를 알고, 부등식의 성질을 이해한다.

른 그 은 각각 소 리를 하고 량의 고 도를 제한하기 위한 도로 교통 표 지 이다.

x~~m^, ^의 y~~

, 의 지 의 의 부 하 보자.

과 ?

다음을 부등식으로 나타내시오.

a에서 5를 은 a의 2배 다 크다.

한 에 8 원인 b 의 과 배 25 원을 합한 금 이 2 원 다 적다.

1

7>6, x<2, 4x-3 5, x 2x 은 부등식이다.

중학수학2학년-교과서(056~095)2단원-OK4.indd 59 18. 7. 20. 오 9:30

(5)

위의 함 하기에서 부등식 2x-1<4는 x=1, x=2일 이 되고, x=3, x=4일 는 이 을 수 있다.

이와 이 지수 x를 함한 부등식이 이 되게 하는 x의 을 그 부등식의 해 라 하고, 부등식의 해를 구하는 것을 ‘부등식을 다’고 한다.

예를 들어 x의 이 1, 2, 3, 4일 , 부등식 2x-1<4의 해는 1, 2이다.

x의 이 1, 2, 3, 4일 , 부등식 2x-1<4가 이 되게 하는 x의 을 아 고 한다.

1

변의 과 우변의 의 대소를 교하여 다 표를 성해 자.

x^의 ^의 ^{대 교} ^의 2x-1<4^{의 거}

1 2\1-1=1 < 4

2 4

3 4

4 4

2 1

에서 부등식이 이 되게 하는 x의 을 해 자.

▶ 부등식에서 부등호 의 쪽에 있는 부분 을 좌변, 오른쪽에 있 는 부분을 우변이라 하고, 좌변과 우변을 통 어 양변이라고 한다.

2x-1<4 양변 좌변 우변

다 을 통하여 부등식이 이 되는 경우를 아 자.

x의 값이 -1, 0, 1, 2일 때, 부등식 2x- x를 시오.

이 부등식 2x- x에서

x=-1일 , 2\(-1)-1<-1이 로 x=0일 , 2\0-1<0이 로 x=1일 , 2\1-1=1이 로 x=2일 , 2\2-1>2이 로 따라서 주어 부등식의 해는 1, 2이다.

1, 2

1

제

x^{의 값이}1,2, 3,4, 5^{일 때}, 다음 부등식을 시오.

x+3>6 6-2x x

2

(6)

1. 일차부등식 61

?

2<4 4<6

<4

<6

a

+2 a⁺²

2<4 0<2

<4

<2

a

-2 a^-2

부등식의 양변에 은 수를 더하 나 양변에서 은 수를 , 부등호의 방 이 어 게 되는지 아 자.

부등식 2<4의 양변에 2를 더하 나 양변에서 2를 면 다 과 다.

2+2<4+2 2-2<4-2

+2

1 2 3 4 6 7

1 2 3 4 6

5

5 7

+2 -2 -2

-1 0 1 2 3 4 5

일 적으로 부등식의 양변에 은 수를 더하 나 양변에서 은 수를 도 부등 호의 방 은 바 지 는다.

+2<4+2 -2<4-2

a>b^{일 때, 다음} 안에 알맞은 부등호를 으시오.

a+4 b+4 a+(-5) b+(-5)

a-6 b-6 a-(-3) b-(-3)

3

▶ 해리 (Harriot^,T^., 1560 1621)

영국의 수학자로, 부등호

<^와>^{를 처음 사용 다} 고 한다.

부등식 2<4와 교하여 부등호의 방 이 바 는 경우를 아 고 한다.

에 어 의 에 수를

더하 .

2+2`` ``4+2, 2+(-2)`` ``4+(-2) 2-2`` ``4-2, 2-(-2)`` ``4-(-2) 2\2`` ``4\2, 2\(-2)`` ``4\(-2) 2/2`` ``4/2, 2/(-2)`` ``4/(-2)

의 안에 알맞은 부등호를 고, 부등호의 방 이 바 우를 말해 보자.

(7)

부등식의 양 에 은 수를 하거나 양 을 은 수로 나 는 경

부등식 2<4의 양변에 -2를 하 나 양변을 -2로 나 면 다 과 다.

2\(-2)>4\(-2) 2/(-2)>4/(-2)

-8 -6 -4 -2 0 2 4

\{-2} \{-2} ÷{-2} ÷{-2}

-2 -1 0 1 2 3 4

일 적으로 부등식의 양변에 은 수를 하 나 양변을 은 수로 나 면 부등호의 방 이 바 다.

2<4 -4>-8

<4

>-8

a

\(-2) a^\(-2)

2<4 -1>-2

<4

>-2

a

/(-2) a^/(-2)

\(-2)>4\(-2) /(-2)>4/(-2) a>b^{일 때}^{, 다음} 안에 알맞은 부등호를 으시오.

a\6 b\6 a\/ b\/

a÷3 b÷3 a// b//

4

이제 부등식의 양변에 0이 아 은 수를 하 나 양변을 0이 아 은 수로 나 , 부등호의 방 이 어 게 되는지 아 자.

부등식의 양 에 은 양수를 하거나 양 을 은 양수로 나 는 경 부등식 2<4의 양변에 2를 하 나 양변을 2로 나 면 다 과 다.

2\2<4\2 2/2<4/2

2 3 4 5 6 7 8

\2

0 1 2 3 4 5 6

÷2

일 적으로 부등식의 양변에 은 양수를 하 나 양변을 은 양수로 나 어도 부등호의 방 은 바 지 는다.

2<4 4<8

<4

<8

a

\2 a^\2

2<4 1<2

<4

<2

a

/2 a^/2

\2<4\2 /2<4/2

(8)

1. 일차부등식 63 a>b^{일 때}^{, 다음} 안에 알맞은 부등호를 으시오.

a\(-2) b\(-2) a\(-/) \(-/) a/(-5) b/(-5) a/(-3/) b/(-3/)

5

a ^{일 때, 다음} 안에 알맞은 부등호를 으시오.

8a-2` `8b-2 -/ -/

6

a 일 때, 다음 안에 알맞은 부등호를 으시오. -5a+3 -5b+3

이 부등식 a 의 양변에 은 수를 하면 부등호의 방 이 바 로 -5a -5

위의 부등식의 양변에 은 수를 더해도 부등호의 방 은 바 지 으 로 -5a 3 -5 3

2

제

이상을 리하면 다 과 다.

1 부등식의 양변에 은 수를 더하 나 양변에서 은 수를 도 부등호의 방 은 바 지 는다.

a<b이면 a+c<b+c, a-c<b-c

2 부등식의 양변에 은 양수를 하 나 양변을 은 양수로 나 어도 부등호 의 방 은 바 지 는다.

a<b, c>0이면 ac<bc, / /

3 부등식의 양변에 은 수를 하 나 양변을 은 수로 나 면 부등호의 방 이 바 다.

a<b, c<0이면 ac>bc, / /

▶ 부등호 <^를 ^로,>

를 로 바 어도 부등식 의 성질은 성립한다.

(9)

알콩 달콩 수학

8개의 금화 중에 가 금화 1개가 있다. 금화와 가 금화는 양과 크기가 아 으로 구 이 되지만 가 금화의 게가 금화의 게 다 금 가 다고 한다. 양 울을 만 사용하여 가 금화를 을 수 있을

부등식의 원리를 이용하면 양 울을 만 사용하여 다 과 이 가 금화를 을 수 있다.

예를 들어 8개의 금화를 각각 A, B, C, D, E, F, G, H라고 하자.

양쪽에 금화를 3개 더니 양 저 이 형을 이 우

1 위의 방법으로 가 금화를 찾는 과정을 부등식을 이용하여 해 보자.

2 12개의 금화 중에서 다른 것보다 가 가 금화가 1개 있을 때, 양 저 을 3번 사용하 여 가 금화를 찾는 방법을 말해 보자.

추론

양쪽에 금화를 3개 더니 어 한쪽이 가 우

가 금화 H가 가 이다.

나 지 2개의 금화를 린다.

양 저 이 형을 이 면 리지 않은 금화 F가 가 이다.

가 금화 D가 가 이다.

가 쪽에서 2개의 금화를 린다.

(10)

알콩 달콩 수학

위의 다가서기에서 지호가 더 가 도 상자의 개수 를 x라고 하자.

1. 더 가져 도 의 전체 개수를 x를 사용한 식으로 나타내 보자.

2. 도 의 전체 개수가 23 이상이어야 함을 이용하여 부등식을 세 보자.

?

위의 생각 기에서 도 의 전체 개수가 23 이상이어야 하 로 부등식으로 나 면

6x 23

이다. 이 부등식 6x 23은 양변에서 23을 서 6x-23 23-23, 즉 6x-23

으로 나 수 있다. 이것은 부등식 6x 23에서 우변의 23을 6x 23 6x-23^a^이항 부호를 바 어 변으로 것과 다.

이와 이 방 식에서와 가지로 부등식에서도 한 변에 있는 을 다른 변으로 이 할 수 있다.

부등식에서 우변의 을 변으로 이 하여 리할

(일 식)<0, (일 식)>0, (일 식) , (일 식) 중에서 어 하나의 이 되는 부등식을 이라고 한다.

•일차부등식을 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

(11)

위의 함 하기에서와 이 일 부등식을 는 일 은 변으로, 상수 은 우변으로 각각 이 한 부등식의 성질을 이용한다.

이 부등식의 해는

x<(수), x>(수), x (수), x (수) 중에서 어 하나의 로 나 다.

이를 면 일 부등식 2x+1>-x+7의 해는 x>2

이고, 이것을 수직 위에 나 면 른 그 과 다. 0 1 2 3 4

다음 중에서 일차부등식을 모두 찾으시오.

3-x>2 2x-5<7+2x

2(x ) x x(x ) -3x

1

부등식 x+4<-2x에서 우변의 -2x를 변으로 이 하여 리하면 3x+4<0이 로, 부등식 x+4<-2x는 일 부등식이다.

부등식 2x+3>2x에서 우변의 2x를 변으로 이 하면 3>0이 로, 부등 식 2x+3>2x는 일 부등식이 아니다.

?

다 을 통하여 일 부등식을 는 방법을 아 자.

▶ 해가 x 2^{인 우에는} 다음 그림과 같이 2^{인 점} 을 수직 위에 ‘ ’으로 나 타 다.

0 1 2 3 4

른 은 이 과 부등식의 성질을 이용하

2x+1>-x+7 ……~

2x+x>7-1

3x>6 ……~

x>2 여 일 부등식 2x+1>-x+7을 는

과 이다.

1

^{에서 이 한 을} ^{해 자.}

2

에서 이용한 부등식의 성질을 해 자.

(12)

1. 일차부등식 67 호가 있는 일 부등식은 분배법 을 이용하여 호를 다 해를 구한다.

일차부등식 2(x+1)<5x-7을 시오.

이 호를 면 2x+2<5x-7 5x와 2를 각각 이 하면 2x-5x<-7-2 양변을 리하면 -3x<-9 양변을 -3으로 나 면 x>3

x>3

2

제

다음 일차부등식을 시오.

3(x-2)<x-4 x-1>2(x-4)

5-(x 3) 2x -(-x 2) 3(x-5)

3

일차부등식 3x- x-3을 고, 그 해를 수직 위에 나타내시오.

이 x와 -1을 각각 이 하면 3x-x -3 양변을 리하면 2x -2 양변을 2로 나 면 x -

이 해를 수직 위에 나 면 른 그 과 다. _{-3 -2 -1} ₀ ₁ 이

1

제

다음 일차부등식을 고, 그 해를 수직 위에 나타내시오.

3x>x+6 x 8 4x-

-1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4

-5x 4 -6 -x-2<2-5x

-1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4

2

(13)

0.5x-1.4<0.3x -/ x-5/2 / x

이 양변에 10을 하면 5x-14<3x 3x와 -14를 각각 이 하면 5x-3x<14 양변을 리하면 2x<14 양변을 2로 나 면 x<7

양변에 6을 하면 -2x- 5 x x와 -15를 각각 이 하면 -2x-x 5 양변을 리하면 -3x 5 양변을 -3으로 나 면 x -5

x<7 x -5

▶ 계수가 소수인 일차부등 식은 양변에 10^{의 거듭제} 곱을 곱하여 계수를 모두 정수로 고쳐서 다.

▶ 계수가 분수인 일차부등 식은 양변에 분모의 최소 공배수를 곱하여 계수를 모두 정수로 고쳐서 다.

3

제

수가 소수 또는 분수인 일 부등식은 양변에 적 한 수를 하여 수를 수로 고쳐서 면 리하다.

0.12x>0.6+0.07x 3x 5x /

2 5/ -/ /2 x- 3/ x

4

1 수가 소수 또는 분수인 경우에는 양변에 적 한 수를 하여 수를 수로 고 다.

2 호가 있으면 호를 다.

3 일 은 변으로, 상수 은 우변으로 각각 이 하여 다 중에서 어 하나 의 로 리한다.

ax<b, ax>b, ax , ax (단, a )

4 양변을 x의 수 a로 나 다. 이 a가 수이면 부등호의 방 이 바 다.

일 부등식의 이 방법을 리하면 다 과 다.

(14)

을 ?

우리 주변에 있는 여러 가지 수량에 관련된 문제 중에는 일 부등식을 이용하여 해결할 수 있는 경우가 있다.

일 부등식을 활용하여 다 문제를 해결해 자.

한 에 500 지 할 수 있는 기가 있 다. 게가 80 인 배 원이 이 기를 고 하나의 게가 30 인 상자를 하 고 할 , 한 에 대 상자 지 할 수 있는지 아

고 한다.

1

^{상자의 개수를}x라 하고, 다 표를 성해 자.

x^{상자의 게}( ) ^의 ^게( ) ^{기 최대 운반} ( )

2

문제의 뜻에 게 부등식을 워 자.

3 2

^에서 부등식을 고, 을 구해 자.

4 3

에서 구한 이 문제의 뜻에 는지 인해 자.

▶ 문제에 주어진 수 량 사이의 관계를 찾 을 때, 표나 그림 등 을 이용하면 리하 다.

위의 함 하기에서 수 있 이, 일 부등식을 활용하여 문제를 해결할 는 다 과 은 단 로 면 리하다.

1 미지수 정하기 문제의 뜻을 이해하고, 구하 는 것을 지수 x로 는다.

2 부등식 기 문제의 뜻에 게 x에 대한 일 부등식을 다.

3 부등식 기 일 부등식을 다.

4 인하기 구한 해가 문제의 뜻에 는지 인한다.

을

(15)

어 음 리 에서는 정 제인 우에는 정 요금 10500원을 내고 한 동안 원 하는 음 을 무제한으로 내려 을 수 있고, 정 제가 아닌 우에는 한 600원에 내려 을 수 있다고 한다. 이 리 에서 한 동안 최소 몇 이상 내려 을 우에 정 제를 이용하는 것이 유리한지 구하시오.

이 1 한 동 는 의 수를 x라고 하면, 제가 아 경우에 는 용은 600x원이다.

2 제를 이용하는 것이 리하 면 제가 아 경우에 는 용이 요금 다 더 야 하 로

600x>10500

3 이 부등식을 면 x>17.5

따라서 한 동 소 18 이상 을 경우에 제를 이용하는 것이 리 하다.

4 17 을 는 데 는 용은 600\17=10200(원)이고 18 을 는 데 는 용은 600\18=10800(원)이 로, 한 동 소 18 이상 을 경우에 제를 이용하는 것이 리하다. 즉, 구한 해가 문제의 뜻에 는다.

18

4

제

가연이가 에서 자전거를 타고 때는 시 10 ^{로 리고}, 아 때는 시 6 로 려서 1시간 이내에 으로 아오려고 한다. (단, 때와 때의 거리는 같다.)

의 리를 x 라고 할 , 다 표를 성하시 .

전

거리( ) x

력( h)

시 (^시 ) 1

전체 리는 시 이 1시 이 을 이용하여 부등식을 우시 .

가 이는 에서 대 어 지 지 다 수 있는지 구하시 .

▶(^시간)=^(거리)₍ ₎

6

지후는 친구의 생일 로 4000^{원 리 필통}1^개와700^{원 리} 연필 몇 자 를 사려고 한다. 지후가 가진 이 13000^{원일 때, 연} 필은 최대 몇 자 지 살 수 있는지 구하시오.

5

(16)

다 을 부등식으로 나 시 .

1개에 500원인 어 x개의 가 은 3000원 이상이다.

가로의 길이가 x이고 로의 길이가 16인 직사각형의 의 길이는 50 다 작다.

01

기본 문제

a 일 , 다 에 은 부등호를 으시 .

7a-3 7b-3 -a+4 -b+4

/ / 5-/2 5-/2

03

1

부등식 <, >, , 를 용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나 것

부등식의 해 지수 x를 한 식이 이 되게 하는 x의

의 a<b이면

a+c<b+c, a-c<b-c a<b, c>0이면

ac<bc, / / a<b, c<0이면 ac>bc, / /

2

식에서 우변의 모 을 변으 로 이 하여 정리할 때

(일 식)<0, (일 식)>0, (일 식) , (일 식) 중에서 어 하나의 이 되는 식

의 이

계수가 소수 또는 수 경우에는 양변에 적 한 수를 하여 계수를 모 정수로 고 다.

가 있으면 를 다.

일 은 변으로, 상수 은 우변으로 각각 이 하여 다음 중에서 어 하나의 로 정리한다.

ax<b, ax>b, ax , ax (단, a ) 양변을 x의 계수 a로 나 다. 이때 a가 음수이

면 의 이 다.

다 기 중에서 x=2일 인 부등식을 고르시 .

. x<5 . -x+3>1

. x 3 . 2x x

보기

02

(17)

다 일 부등식을 시 .

x -2x-6 3x-5<5x-3

x -3(x- ) -(x+2)>2(x+5)

04

일 부등식 x 3(x-3)의 해가 일 부등식 5x-a 4x 3의 해와 을 , 수 a의 을 구하시 .

08

다 일 부등식을 시 .

5x 2 3 2x x-15 /

06

일 부등식 x-32 >x+1을 만 시키는 x의 중에서 가장 수를 구하시 .

07

다 은 수와 소 이가 각각 일 부등식 /- /2를 는 과 이다. 된 부분을 고, 이 과 을 바르게 고치시 .

수

/- /2 2x-1<3x -x<1 x>-1

/- /2 2x-6<3x -x<6 x<-6

05

문제

(18)

일 부등식 x+2a<1-(x-a)의 해를 수직 위

-4 -3 -2 -1 0 1

에 나 면 른 그 과 을 , 수 a의 을 구 하시 .

09

일 부등식 2 x 3 x a의 해 중에서 가장 작은 수가 -3일 , 수 a의 을 구하시 ./

11

문제

태 이는 의 시험에서 각각 80 과 72 을 다. 시험에서 소 이상을 아야 의 시험 성적의 이 82 이상이 수 있는지 구하시 .

10

경은이네 은 수기를 로 장만하 고 한다. 수기를 구입하는 경우에는 수기 가 540000원과 18000원의 지 를 고, 수기를 대여 는 경우에는 27000원의 대여 만을 다. 이 수기를 구입하여 소 개 이상 사용하면 대여

는 경우의 용 다 한지 구하 고 한다.

수기를 x개 동 사용한다고 할 , 구입하는 경우와 대여 는 경우에 는 용을 각각 식으로 나 시 .

문제의 뜻에 게 부등식을 워 고, 을 구하시 . 구한 이 문제의 뜻에 는지 인하시 .