A Study on Finding Solutions of Jisuguimundo with Magic Number 87, 93, and 99 using Alternating Method

Journal for History of Mathematics

Vol. 30 No. 2 (Apr. 2017), 71–86

A Study on Finding Solutions of Jisuguimundo with Magic Number 87, 93, and 99

using Alternating Method

마법수가

87, 93, 99

Park Kyo Sik

When looking for solutions of Jisuguimundo with magic number 88〜92 and 94〜98, alternating method is applied to each possible partitions of each magic number.

But this method does not apply in case of finding solutions of Jisuguimundo with magic number 87, 93, and 99. In this study, it is shown that solutions of Jisug- uimundo with magic number 87, 93, and 99 can be found by applying alternating method to two partitions. These two partitions are derived partitions obtained by each partitions of magic number 87, 93, and 99. If every number from 1 to 30 which satisfy every unit path of Jisuguimundo can be found in all components of these two derived partitions, that arrangement is just a solution of Jisuguimundo. The method suggested in this study is more developed one than the method which is applied to just one partition.

Keywords: alternating method, Jisuguimundo;

,

. MSC: 01A07, 01A25, 01A35

1

최석정 ( ^崔錫鼎 , 1646–1715) 은 ^≪ 구수략 ( ^九數略 ) ^≫ 에서 지수귀문도 ( ^{地數龜文圖} ) 를 제시 하였다 [2]. 오랫동안 잊혀 있던 지수귀문도가 관심을 받게 된 것은 비교적 최근의 일이다.

논의를 위해 최석정이 제시한 것을 지수귀문도의 해라고 부르기로 하자 [3]. 지수귀문도 로부터 다음의 네 문제를 생각할 수 있다. ^① 최석정의 해 이외에 어떤 해가 있는가? ^② 마법수의 최솟값과 최댓값은 각각 무엇인가? ^③ 얼마나 많은 해가 있는가? ^④ 해를 구하는 알고리즘이 있는가? 그리고 이 네 문제 이외에, 일반화된 지수귀문도에 대해서도 이와 같은

② 〜 ④ 의 질문을 할 수 있다.

Park Kyo Sik: Dept. of Math. Edu., Gyeongin National Univ. of Edu. E-mail: [email protected]

Received on Jan. 2, 2017, revised on Mar. 29, 2017, accepted on Apr. 10, 2017.

72 A Study on Finding Solutions of Jisuguimundo

문제 ① 과 관련해서는 1989년에 마법수가 77〜108인 해가 제시되었다 [3]. 2012년에는 인터넷에 마법수가 77〜109인 또 다른 해가 풍부하게 제시되었다 [4]. 문제 ^② 와 관련해 서는 2014년에 마법수의 최솟값은 77, 최댓값은 109라는 것이 증명되었다 [5]. 이것이 논문으로 출판된 최초의 것이다. 그러나 이와 다른 형태의 증명이 2012년에 인터넷에 이미 공개된 바 있다 [4]. 그리고 후자의 증명이 전자의 증명보다 정교하다. 이에 앞서 1989 년에는 마법수의 가능한 범위가 76〜110라는 것이 증명되었지만, 이때 최솟값과 최댓값을 특정하지는 않았다 [3]. 그런데 M 이 마법수이면 186 −M 도 마법수이므로 [5, 8], 77이 최 솟값이면 109가 최댓값이라는 것은 분명하다. 문제 ^③ 과 관련해서는 추정만 있을 뿐 [3, 5], 아직 그 답이 알려져 있지 않다. 문제 ^④ 와 관련해서는 마법수가 77〜109인 해를 구하는 완전 알고리즘은 아직 알려져 있지 않다. 다만 부분적으로 마법수가 88〜92 및 94〜98인 해를 구하는 불완전 알고리즘 [6] 과 마법수가 77〜109인 해를 구하는 불완전 알고리즘이 알려져 있다 [4]. 한편, 일반화된 n × n 지수귀문도가 설정되어는 있지만 [9, 1, 5, 7], 그에 대한 질문 ② 〜 ④ 의 답은 거의 이루어지고 있지 않다. 다만, 특정한 마법수에 대해서는 항상 해를 구할 수 있다는 것이 알려져 있다 [7].

최석정 은 구수략 에서 지수귀문도 를 제시하였

(崔錫鼎, 1646-1715) ≪ (九數略)≫ (地數龜文圖)

다([3]). 오랫동안 잊혀 있던 지수귀문도가 관심을 받게 된 것은 비교적 최근의 일이다 논의. 를 위해 최석정이 제시한 것을 지수귀문도의 해라고 부르기로 하자([4]). 지수귀문도로부터 다음의 네 문제를 생각할 수 있다. ① 최석정의 해 이외에 어떤 해가 있는가? ② 마법수의 최솟값과 최댓값은 각각 무엇인가? ③ 얼마나 많은 해가 있는가? ④ 해를 구하는 알고리즘 이 있는가? 그리고 이 네 문제 이외에 일반화된 지수귀문도에 대해서도 이와 같은 , ② ④~ 의 질문을 할 수 있다.

문제 과 관련해서는 년에 마법수가 인 해가 제시되었다 년에는 인

① 1989 77~108 ([4]). 2012

터넷에 마법수가 77~109인 또 다른 해가 풍부하게 제시되었다([9]). 문제 ②와 관련해서는 년에 마법수의 최솟값은 최댓값은 라는 것이 증명되었다 이것이 논문으로

2014 77, 109 ([5]).

출판된 최초의 것이다 그러나 이와 다른 형태의 증명이 . 2012년에 인터넷에 이미 공개된 바 있다([9]). 그리고 후자의 증명이 전자의 증명보다 정교하다 이에 앞서 . 1989년에는 마법수의 가능한 범위가 76~110라는 것이 증명되었다([4]). 그런데 !이 마법수이면 186-!도 마법 수이므로([5], [8]), 77이 최솟값이면 109가 최댓값이라는 것은 분명하다 문제 . ③과 관련 해서는 추정만 있을 뿐([4], [5]), 아직 그 답이 알려져 있지 않다 문제 . ④와 관련해서는 마법수가 77~109인 해를 구하는 완전 알고리즘은 아직 알려져 있지 않다 다만 부분적으. 로 마법수가 88~92 및 94~98인 해를 구하는 불완전 알고리즘([6])과 마법수가 77~109인 해를 구하는 불완전 알고리즘이 알려져 있다([9]). 한편 일반화된 ,

"

"

그림

[ 1] !=#+$+#

그림

[ 2] 91=31+29+31

본 논문은 문제 와 관련한 것이다 마법수가 인 경우에 지수귀문도의 해를

④ . 88~92, 94~98

구할 수 있는 방법으로 그림 [ 1]과 같은 교호법(交互法)이 있다([6]). 교호법은 마법수를

! 그 분할을 , #+$+#(#≠$ 즉) , !=#+$+#(#≠$ 이라고 할 때) , 1부터 30까지의 수를 그림 [ 과 같이 서로 다른 두 수의 합이 교대로

1] , #와 $가 되도록 배열하는 방법이다 예를 들어 .

최석정 은 구수략 에서 지수귀문도 를 제시하였

(崔錫鼎, 1646-1715) ≪ (九數略)≫ (地數龜文圖)

다([3]). 오랫동안 잊혀 있던 지수귀문도가 관심을 받게 된 것은 비교적 최근의 일이다 논의. 를 위해 최석정이 제시한 것을 지수귀문도의 해라고 부르기로 하자([4]). 지수귀문도로부터 다음의 네 문제를 생각할 수 있다. ① 최석정의 해 이외에 어떤 해가 있는가? ② 마법수의 최솟값과 최댓값은 각각 무엇인가? ③ 얼마나 많은 해가 있는가? ④ 해를 구하는 알고리즘 이 있는가? 그리고 이 네 문제 이외에 일반화된 지수귀문도에 대해서도 이와 같은 , ② ④~ 의 질문을 할 수 있다.

문제 과 관련해서는 년에 마법수가 인 해가 제시되었다 년에는 인

① 1989 77~108 ([4]). 2012

터넷에 마법수가 77~109인 또 다른 해가 풍부하게 제시되었다([9]). 문제 ②와 관련해서는 년에 마법수의 최솟값은 최댓값은 라는 것이 증명되었다 이것이 논문으로

2014 77, 109 ([5]).

출판된 최초의 것이다 그러나 이와 다른 형태의 증명이 . 2012년에 인터넷에 이미 공개된 바 있다([9]). 그리고 후자의 증명이 전자의 증명보다 정교하다 이에 앞서 . 1989년에는 마법수의 가능한 범위가 76~110라는 것이 증명되었다([4]). 그런데 !이 마법수이면 186-!도 마법 수이므로([5], [8]), 77이 최솟값이면 109가 최댓값이라는 것은 분명하다 문제 . ③과 관련 해서는 추정만 있을 뿐([4], [5]), 아직 그 답이 알려져 있지 않다 문제 . ④와 관련해서는 마법수가 77~109인 해를 구하는 완전 알고리즘은 아직 알려져 있지 않다 다만 부분적으. 로 마법수가 88~92 및 94~98인 해를 구하는 불완전 알고리즘([6])과 마법수가 77~109인 해를 구하는 불완전 알고리즘이 알려져 있다([9]). 한편 일반화된 ,

"

"

그림

[ 1] !=#+$+#

그림

[ 2] 91=31+29+31

본 논문은 문제 와 관련한 것이다 마법수가 인 경우에 지수귀문도의 해를

④ . 88~92, 94~98

구할 수 있는 방법으로 그림 [ 1]과 같은 교호법(交互法)이 있다([6]). 교호법은 마법수를

! 그 분할을 , #+$+#(#≠$ 즉) , !=#+$+#(#≠$ 이라고 할 때) , 1부터 30까지의 수를 그림 [ 과 같이 서로 다른 두 수의 합이 교대로

1] , #와 $가 되도록 배열하는 방법이다 예를 들어 .

Figure 1. M = p + q + p Figure 2. 91 = 31 + 29 + 31

본 논문은 문제 ④ 와 관련한 것이다. 마법수가 88〜92, 94〜98인 경우에 지수귀문도의

해를 구할 수 있는 방법으로 Figure 1과 같은 교호법 ( ^交互法 ) 이 있다 [6]. 교호법은 마법

수를 M , 그 분할을 p + q + p (p ̸= q) 즉, M = p + q + p (p ̸= q)라고 할 때, 1부터 30

까지의 수를 Figure 1과 같이, 서로 다른 두 수의 합이 교대로 p 와 q 가 되도록 배열하는

방법이다. 예를 들어 Figure 2는 교호법으로 구한 91 = 31 + 29 + 31 인 지수귀문도의

해이다 [6]. 이렇게 1부터 30까지의 수를 배열할 수 있으면, 그 배열은 마법수가 M 인 지

수귀문도의 해가 된다. 그러나 이 방법으로는 마법수가 87, 93, 99인 지수귀문도의 해를

구할 수 없다. 본 논문에서는 두 개의 분할에 교호법을 각각 적용하여 마법수가 87, 93, 99

Park Kyo Sik 73

인 지수귀문도의 해를 구하는 것에 초점을 맞춘다. 그런데 마법수가 99인 지수귀문도의 해는 마법수가 87인 지수귀문도의 여해이므로

, 본 논문에서는 마법수가 87, 93인 경우만 생각하는 것으로 충분하다.

M = p + q + p (p ̸= q)에서 25 ≤ p ≤ 37, 20 ≤ q ≤ 42이고 p와 q 는 동시에 31보다 크지 않아야 하며, 동시에 31보다 작지 않아야 한다. 즉, p > q 인 A형 분할에서 q 의 최댓값은 31 이고, p < q 인 B형 분할에서 q 의 최솟값은 31이므로, 각 마법수에 따른 가능한 분할은 Table 1과 같다. 교호법을 사용할 때, M = p + q + p (p ̸= q)라고 하면 Figure 1에서 길이가 2인 p → p 단위경로 2개, 길이가 3인 p → q 단위경로(이것은 길이가 3인 q → p 단위경로이기도 하다) 2개, 길이가 4인 p → q → p 단위경로 3개, 길이가 4인 q → p → q 단위경로 2개를 찾을 수 있다. 같은 유형의 단위경로끼리는, 길이에 관계없이, 배열된 p, q 의 반복 형태가 동일하여 연결할 수 있다 [6].

그림 는 교호법으로 구한 인 지수귀문도의 해이다 이렇게 부터

[ 2] 91=31+29+31 ([6]). 1

까지의 수를 배열할 수 있으면 그 배열은 마법수가

30 , !인 지수귀문도의 해가 된다 그러.

나 이 방법으로는 마법수가 87, 93, 99인 지수귀문도의 해를 구할 수 없다 본 논문에서는 . 두 개의 분할에 교호법을 각각 적용하여 마법수가 87, 93, 99인 지수귀문도의 해를 구하는 것에 초점을 맞춘다 그런데 마법수가 . 99인 지수귀문도의 해는 마법수가 87인 지수귀문도 의 여해이므로¹⁾, 본 논문에서는 마법수가 87, 93인 경우만 생각하는 것으로 충분하다. !=#+$+#(#≠$ 에서 ) 25≤# 37, 20≤ ≤ $≤42이고 #와 $는 동시에 31보다 크지 않아야 하 며 동시에 , 31보다 작지 않아야 한다 즉. , #>$인 형 분할에서 A $의 최댓값은 31이고, #<$

인 형 분할에서 B $의 최솟값은 31이므로 각 마법수에 따른 가능한 분할은 표 , < 1>과 같다. 교호법을 사용할 때, != #+$+#(#≠ $ 라고 하면 그림 ) [ 1]에서 길이가 인 2 #→# 단위경로 2 개 길이가 인 , 3 #→$ 단위경로 이것은 길이가 인 ( 3 $→# 단위경로이기도 하다) 2개 길이가 ,

인

4 #→ $→# 단위경로 개 길이가 인 3 , 4 $→#→$ 단위경로 개를 찾을 수 있다 같은 유형2 . 의 단위경로끼리는 길이에 관계없이 배열된 #, $의 반복 형태가 동일하여 연결할 수 있다 ([6]).²⁾

마법수 가능한 분할과 성분

87 25+37+25(#5$ 6 ), 26+35+26(#7$개 3 , $6 $, #3$), 27+33+27($10$개 2 , # 10#), 28+31+28($개 20$, $ 10$)

31+25+31(#10 # 3 ), 32+23+32(#8#, #7$, #6#개 2 , #3$ ), 33+21+33(#6#개 2 , #4#개 2 , #5$ 개 개

2 )

93 26+41+26(#4# 5 , $4$개 2 , $2$ ), 27+39+27(#5$개 4 , #6#, #4#), 28+37+28(# 7$개 3 , #6#, #개 3$)

29+35+29(#10 #, #10#, $ 10$), 30+33+30(#20#, $ 10$), 32+29+32(#20#, q10$), 33+27+33(#

10# 2 , $10$ ) 개

34+25+34(#7$ 3 , #6#, #3$), 35+23+35(# 6#, #5$개 4 , #4# ), 36+21+36(#4#개 5 , $4$개 2 , $개 2$)

99 29+41+29(#6# 2 , #4#개 2 , #5$개 2개), 30+39+30(# 8#, #7$, #6# 2 , #3$), 31+37+31(# 10# 개 개

3 )

34+31+34($20$, $10$), 35+29+35(#10#, $10$ 2 ), 36+27+36(# 7$개 3 , $ 6$, #3$), 개 37+25+37(#5$ 6 )개

표

< 1> 마법수 87, 93, 99의 가능한 분할과 각 분할의 성분

표 에서 각 분할의 성분에는 이 단위경로를 연결하여 만들 수 없는 것이 있다 예를

< 1> .

들어 87=25+37+25의 성분은 다음과 같이 길이가 인 5 #→ $ 경로 즉, #5$ 6개이다. [그림 에서 성분

1] #5$가 놓일 수 있는 곳은 최대 개뿐이다 따라서 이 경우에는 교호법을 이용2 . 하여 지수귀문도의 해를 구할 수 없다.

(1→24)→(13→12)→25, (2→23)→(14→11)→26, (3→22)→(15→10)→27, (4→21)→(16→9)→28, (5→20)→(17→8)→29, (6→19)→(18→7)→30

마찬가지 방법으로 표 < 1>의 모든 분할의 경우에 교호법을 이용하여 지수귀문도의 해를 구 할 수 없다.

1) [8] 에서는 여해 ( 餘解 ) 라 하고 있고 , [5] 에서는 쌍대 ( 雙對 ) 라 하고 있다 . 2) 교호법을 사용하는 자세한 과정은 [6] 과 [7] 에 제시되어 있다 .

Table 1. Possible partitions of magic number 87, 89, 93 and components of each partition;

마법수

87, 93, 99

Table 1에서 각 분할의 성분에는 이 단위경로를 연결하여 만들 수 없는 것이 있다. 예를 들어 87 = 25 + 37 + 25 의 성분은 다음과 같이 길이가 5인 p → q 경로 즉, p5q 6개이다. Figure 1에서 성분 5가 놓일 수 있는 곳은 최대 2개뿐이다. 따라서 이 경우에는 교호법을 이용하여 지수귀문도의 해를 구할 수 없다.

(1 ^→ 24) ^→ (13 ^→ 12) ^→ 25, (2 ^→ 23) ^→ (14 ^→ 11) ^→ 26, (3 ^→ 22) ^→ (15 ^→ 10) ^→ 27, (4 ^→ 21) ^→ (16 ^→ 9) ^→ 28, (5 ^→ 20) ^→ (17 ^→ 8) ^→ 29, (6 ^→ 19) ^→ (18 ^→ 7) ^→ 30

마찬가지 방법으로 Table 1의 모든 분할의 경우에 교호법을 이용하여 지수귀문도의 해를 구할 수 없다.

1) [8] 에서는 여해 (

) 라 하고 있고, [5] 에서는 쌍대 (

) 라 하고 있다.

2) 교호법을 사용하는 자세한 과정은 [6] 과 [7] 에 제시되어 있다.

2

M = 3α , M = p + q + p 라고 할 때 α, p, q 를 각각 Figure 3과 같이 배열해 보자. Figure 3에서 M

= α + q + α , M

= α + q + α 라고 하자 . 이 두 분할을 M = 3α 와 M = p + q + p 의 파생분할이라고 부르기로 한다. 두 수의 합이 Figure 3과 같이 α, p, q 가 되도록 1부터 30 까지의 수를 모두 배열할 수 있으면, 그것은 마법수 M 인 지수귀문도의 해가 된다. 이때 α ̸= p, α ̸= q, p ̸= q 이어야 하고, α = 29 또는 α = 31이다.

파생분할 2.

!=3%, !=#+$+#라고 할 때 %, #, $를 각각 그림 [ 2]와 같이 배열해 보자. [그림 2]에

서 !_&=%+#+%, !_'=%+$+%라고 하자 이 두 분할을 . !=3%와 !=#+$+#의 파생분할이라

고 부르기로 한다 두 수의 합이 그림 . [ 3]과 같이 %, #, $가 되도록 부터 1 30까지의 수를 모두 배열할 수 있으면 그것은 마법수 , !인 지수귀문도의 해가 된다 이때 . %≠ #, %≠ $, #≠

$이어야 하고, %=29 또는 %=31이다.

그림

[ 3] !⁼³%, !⁼#+$+#

그림 에서 길이가 인

[ 3] 2 %→% 단위경로 개 길이가 인 2 , 3 %→# 단위경로 이것은 길이가 ( 인

3 #→% 단위경로이기도 하다) 2개 길이가 인 , 4 %→#→% 단위경로 개 길이가 인 2 , 4 %→$

→% 단위경로 개를 찾을 수 있다 여기서도 같은 유형의 단위경로끼리는 서로 연결할 수 3 . 있다 길이가 인 . 2 %→% 경로는 %→#→% 경로와 %→$→% 경로의 어느 것과도 연결될 수 있 다 이제 부터 . 1 30까지의 수가 이 모든 경로에서 오직 한 번씩만 사용되도록 배열할 수 있 으면 그 배열이 바로 마법수 , !인 지수귀문도의 해가 된다.

두 파생분할의 모든 성분은 각각 유일하게 결정된다 마법수가 인 경우에는 각 파생분

. 87

할의 성분에서 수 29와 30을 제외한 부터 1 28까지의 수에서 합이 29가 되는 두 수의 쌍 14 개가 나타난다 마법수가 . 93인 경우에는 각 파생분할의 성분에서 부터 1 30까지의 수에서 합 이 31이 되는 두 수의 쌍 15개가 나타난다 두 파생분할의 모든 성분에서 그림 . [ 3]의 모든 단위경로를 만족하도록 부터 1 30까지의 수를 찾는 것이 가능한지를 확인하는 것이 남는다. 두 개의 파생분할을 이용하여 지수귀문도의 해를 구하기 위해서는 각 파생분할의 특정한 성 분을 선택하거나 또는 특정한 성분의 일부를 선택하게 된다 이렇게 성분 일부를 사용할 때. , 그것을 마디라고 부르기로 한다 두 개의 파생분할에서 마디를 선택할 때. , [그림 3]의 단위 경로의 길이를 고려하여 마디의 길이를 정해야 할 뿐만 아니라 마디에 있는 수가 겹쳐지지 않도록 정해야 한다. [그림 3]에서 찾을 수 있는 가능한 경로는 표 < 2>와 같다 이제 그림 . [ 의 모든 단위경로를 만족하는 마디 즉 표 의 가능한 길이를 갖는 마디를 두 파생분

3] , < 2>

할의 모든 성분에서 찾아내면 된다.

Figure 3. M = 3α, M = p + q + p

Figure 3에서 길이가 2인 α → α 단위경로 2개, 길이가 3인 α → p 단위경로(이것은 길이가 3인 p → α 단위경로이기도 하다) 2개, 길이가 4인 α → p → α 단위경로 2개, 길이가 4인 α → q → α 단위경로 3개를 찾을 수 있다. 여기서도 같은 유형의 단위경로끼리는 서로 연결할 수 있다. 길이가 2인 α → α 경로는 α → p → α 경로와 α → q → α 경로의 어느 것과도 연결될 수 있다. 이제 1부터 30까지의 수가 이 모든 경로에서 오직 한 번씩만 사용되도록 배열할 수 있으면, 그 배열이 바로 마법수 M 인 지수귀문도의 해가 된다.

두 파생분할의 모든 성분은 각각 유일하게 결정된다. 마법수가 87인 경우에는 각 파생분

할의 성분에서 수 29와 30을 제외한 1부터 28까지의 수에서 합이 29가 되는 두 수의 쌍 14

개가 나타난다. 마법수가 93인 경우에는 각 파생분할의 성분에서 1부터 30까지의 수에서

합이 31이 되는 두 수의 쌍 15개가 나타난다. 두 파생분할의 모든 성분에서 Figure 3의 모든

단위경로를 만족하도록 1부터 30까지의 수를 찾는 것이 가능한지를 확인하는 것이 남는다. 두

개의 파생분할을 이용하여 지수귀문도의 해를 구하기 위해서는 각 파생분할의 특정한 성분을

선택하거나 또는 특정한 성분의 일부를 선택하게 된다. 이렇게 성분 일부를 사용할 때, 그것을

마디라고 부르기로 한다. 두 개의 파생분할에서 마디를 선택할 때, Figure 3의 단위경로의

길이를 고려하여 마디의 길이를 정해야 할 뿐만 아니라 마디에 있는 수가 겹쳐지지 않도록

정해야 한다. Figure 3에서 찾을 수 있는 가능한 경로는 Table 2와 같다. 이제 Figure 3의

Park Kyo Sik 75

모든 단위경로를 만족하는 마디 즉, Table 2의 가능한 길이를 갖는 마디를 두 파생분할의 모든 성분에서 찾아내면 된다.

가능한 경로 %→% %→# %→#→% %→$→% #→#

가능한 길이 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 표

< 2> 가능한 경로와 그 길이

분할

!_&=%+#+%의 임의의 성분에서

(

*

*

(

(

(

*

(

*

(

*

(

*

)

(

*

(

*

(

*

(

(

*

=(

(

*

*

(

(

*

*

(

(

*

=%-#+%-#+%=3%-2#=$

즉, (식 II-2)는 분할 !_'=%+$+%의 성분에서 존재하는 마디이다.

따라서 분할

!_&=%+#+%의 임의의 성분에서 몇 개의 마디를 택하고 그 길이의 합이 -이

라고 하자 그러면 . 분할 !_'=%+$+%의 성분에서 이 마디에 속하지 않는 수들로 구성된 그, 리고 길이의 합이 30--인 몇 개의 마디를 택할 수 있다.

마법수가 인 지수귀문도의 해 3. 87

!=87이라고 하면 %=29이다. 87의 가능한 분할과 그것의 파생분할은 표 < 3>과 같다 이. 때 파생분할 !_&=29+#+29에서 29와 # 그리고 파생분할 , !_'=29+$+29에서 29와 $가 동 시에 31보다 작은 경우가 있다는 것에 주의해야 한다. (물론 #와 $의 어느 하나가 31보다 작다면 다른 하나는 31이상이다.) 그 경우는 어느 쪽이든 부터 1 30까지의 수를 사용하는 것이 아니라, 1부터 28까지의 수를 사용하는 것이다.

형 분할과 파생분할

A B형 분할과 파생분할

(1) 87=31+25+31 !_&: 89=29+31+29, !_':

83=29+25+29 (4) 87=25+37+25 !_&: 83=29+25+29, !_': 95=29+37+29 (2) 87=32+23+32 !_&: 90=29+32+29, !_':

81=29+23+29 (5) 87=26+35+26 !_&: 84=29+26+29, !_': 93=29+35+29 (3) 87=33+21+33 !_&: 91=29+33+29, !_':

79=29+21+29 (6) 87=27+33+27 !_&: 85=29+27+29, !_': 91=29+33+29 (7) 87=28+31+28 !_&: 86=29+28+29, !_':

89=29+31+29 표

< 3> 87의 가능한 분할과 그것의 파생분할

형 분할 의 파생분할

B (4)~(7) !_'=29+$+29 ($=31, 33, 35, 37)의 성분에서 29 또는 을 포함하는 성분은

30 $→% 성분의 시작이나 끝 또는 , $→$ 성분의 시작이나 끝에 위치하 고 있다 그런데 표 . < 2>의 가능한 경로에서 $로 시작하거나 $로 끝나는 경로가 존재하지

Table 2. Possible paths and their length;

분할 M

= α + p + α 의 임의의 성분에서 a

+ b

= α, b

+ a

= p 를 만족하는 마디 (a

→ b

) → (a

→ b

) → · · · → (a

→ b

) → · · · → (a

→ b

) (식 II-1) 가 항상 존재한다. 이 마디에서 임의의 i 에 대해

(b

→ a

) → (b

→ a

) → (b

→ a

) → · · · (식 II-2) 를 만들 수 있다. 그러면

a

+ b

= (a

+ b

) − (b

+ a

) + (a

+ b

) − (b

+ a

) + (a

+ b

)

=α − p + α − p + α = 3α − 2p = q

즉, (식 II-2) 는 분할 M

= α + q + α 의 성분에서 존재하는 마디이다 .

따라서 분할 M

= α + p + α 의 임의의 성분에서 몇 개의 마디를 택하고 그 길이의 합을 l 이라고 하자. 그러면 분할 M

= α + q + α 의 성분에서 이 마디에 속하지 않는 수들로 구성된 , 그리고 길이의 합이 30 − l 인 몇 개의 마디를 택할 수 있다.

3

87

M = 87 이라고 하면 α = 29 이다 . 87의 가능한 분할과 그것의 파생분할은 Table 3과 같다.

이때 파생분할 M

= 29 + p + 29 에서 29와 p, 그리고 파생분할 M

= 29 + q + 29 에서 29 와 q 가 동시에 31보다 작은 경우가 있다는 것에 주의해야 한다. (물론 p 와 q 의 어느 하나가 31 보다 작다면 다른 하나는 31이상이다.) 그 경우는 어느 쪽이든 1부터 30까지의 수를 사용하는 것이 아니라, 1부터 28까지의 수를 사용하는 것이다.

Table 3. Possible partitions of 87 and its derived partitions; 87

B형 분할 (4)〜(7) 의 파생분할 M

= 29 + q + 29 (q = 31, 33, 35, 37) 의 성분에서 29 또는

30을 포함하는 성분은 q → α 성분의 시작이나 끝, 또는 q → q 성분의 시작이나 끝에 위치하고

있다. 그런데 Table 2의 가능한 경로에서 q 로 시작하거나 q 로 끝나는 경로가 존재하지 않으 므로 파생분할 M

= 29 + q + 29 (q = 31, 33, 35, 37) 로부터 이용할 수 있는 마디를 찾아낼 수 없다. 따라서 마법수가 87인 지수귀문도의 해를 구하기 위해 B형 분할을 이용할 수 없다.

따라서 마법수가 87인 지수귀문도의 해를 구하기 위해 이용할 수 있는 분할은 Table 3에서 A 형 분할 세 가지뿐이다. 이 세 분할의 파생분할을 이용하여 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다. 이때 ( ) 안의 두 수의 합이 α 즉, 29가 되게 한다.

(1) 분할 87=31+25+31의 파생분할 (M

) 89=29+31+29, 파생분할 (M

) 83=29+25+29의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다.

파생분할 (M

) 89=29+31+29: 길이 30인 p → p성분 1개

30 ^→ (1 ^→ 28) ^→ (3 ^→ 26) ^→ (5 ^→ 24) ^→ (7 ^→ 22) ^→ (9 ^→ 20) ^→ (11 ^→ 18) ^→ (13 ^→ 16) ^→ (15 ^→ 14) ^→ (17 ^→ 12) ^→ (19 ^→ 10) ^→ (21 ^→ 8) ^→ (23 ^→ 6) ^→ (25 ^→ 4) ^→ (27 ^→ 2) ^→ 29 파생분할 (M

) 83=29+25+29: 길이 14인 α → q → α 성분 2개

A: (28 ^→ 1) ^→ (24 ^→ 5) ^→ (20 ^→ 9) ^→ (16 ^→ 13) ^→ (12 ^→ 17) ^→ (8 ^→ 21) ^→ (4 ^→ 25) B: (27 ^→ 2) ^→ (23 ^→ 6) ^→ (19 ^→ 10) ^→ (15 ^→ 14) ^→ (11 ^→ 18) ^→ (7 ^→ 22) ^→ (3 ^→ 26)

1부터 30까지의 수가 한 번씩 모두 사용되고 Figure 3의 단위경로를 만족하도록, 파생분할 (M

) 89=29+31+29의 성분에서 다음 ^① , ^② 와 같이 길이가 7인 p → α 마디 2개를 선택하고, 파생분할 (M

) 83=29+25+29의 성분 A와 B에서 각각 다음 ^③ , ^④ 와 같이 길이가 8인 α → α 마디를 선택한다. 이것은 마디를 선택하는 한 가지 경우를 나타낸 것이다.

30→(1→28)→(3→26)→(5→24) · · · ^① (23→6)→(25→4)→(27→2)→29 · · · ^② (20 →9)→(16→13)→(12→17)→(8→21) · · · ^③ (19 →10)→(15→14)→(11→18)→(7→22) · · · ^④

① 〜 ④ 를 각각 Figure 4의 경로 1〜경로 4에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다. 경로를 구성하는 방법은 유일하지 않고, 각 경로에 따라 외형상 다른 해를 구할 수 있다. 그러나 그 모든 해는 본질적으로 동형이라고 할 수 있다 [6].

앞의 예와 다른 마디를 선택하는 것도 가능하다. 예를 들어 다음과 같이 마디를 선택할 수 있다. 이제 ^① 〜 ⑥ 을 각각 Figure 5의 경로 1〜경로 6에 따라 배열하면 역시 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할 (M

) 89=29+31+29: 길이 30인 p → p 성분 1개

3) 이하의 논의 (III, IV 포함해서) 에서는 여러 가지 가능한 마디와 경로 중에서 각각 한 가지만을 제시하기로 한다.

또, 선택한 마디를 고딕체로 표현하기로 한다.

Park Kyo Sik 77

① [30 ^→ (1 ^→ 28)] ^→ (3 ^→ 26) ^→ (5 ^→ 24) ^→ (7 ^→ 22) ^→ (9 ^→ 20) ^→ (11 ^→ 18) ^→ (13 ^→ 16)

→ (15 ^→ 14) ^→② [(17 ^→ 12) ^→ (19 ^→ 10) ^→ (21 ^→ 8) ^→ (23 ^→ 6)] ^→ (25 ^→ 4) ^→③ [(27 ^→ 2)

→ 29]

파생분할 (M

) 83=29+25+29: 길이 14인 α → q → α 성분 2개

A: (28 ^→ 1) ^→④ [(24 → 5) → (20 → 9) → (16 → 13)] → (12 ^→ 17) ^→ (8 ^→ 21) ^→⑤ [(4 → 25)]

B: (27 ^→ 2) ^→ (23 ^→ 6) ^→ (19 ^→ 10) ^→⑥ [(15 → 14) → (11 → 18) → (7 → 22) → (3 → 26)]

A: (28→ →④[(24 5)1) → →(20→9)→(16→13)]→(12→17)→(8→21)→⑤[(4 25)]→ B: (27→ →2) (23→6)→(19→10)→⑥[(15→14)→(11→18)→(7→22)→(3→26)]

그림

[ 4] M=87 (31+29+31, 29+25+29) 1 [그림 5] M=87 (31+29+31, 29+25+29) 2

분할 의 파생분할

(2) 87=32+23+32 (!_&) 90=29+32+29, 파생분할(!_') 81=29+23+29 의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다 마디 . ① ⑤~ 를 각각 그림 [ 6]의 경로 1~경로 5 에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할(!_&) 90=29+32+29: 길이 20인 #→# 성분 개 길이 1 , 10인 %→#→% 성 분 개 1

A: ①[30→(2→27)→(5→24)→(8→21)]→(11→18)→(14→15)→(17→12)

→②[(20→9)→(23→6)→(26→3)→29]

B: (1→28)→(4→25)→(7→22)→(10→19)→(13→16)

파생분할(!_') 81=29+23+29: 길이 10인 %→$→% 성분 개 길이 인 2 , 8 %→$→%

성분 개 1

C: ③[(28→1)→(22→7)→(16→13)→(10→19)→(4→25)]

D: (27→2)→(21→8)→④[(15→14)]→(9→20)→(3→26) E: (24→5)→⑤[(18→11)→(12→17)]→(6→23)

분할 의 파생분할

(3) 87=33+21+33 (!_&) 91=29+33+29, 파생분할(!_') 79=29+21+29 의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다 마디 . ① ⑥~ 을 각각 그림 [ 7]의 경로 1~경로 6 에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할(!_&) 91=29+33+29: 길이 15인 #→% 성분 개2

A: ①[30→(3→26)→(7→22)→(11→18)]→(15→14)→(19→10)→(23→6) (27 2)

→ →

B: ②[29→ →(4 25)→(8→21)→(12→17)]→(16→13)→(20→9)→(24→5) A: (28→ →④[(24 5)1) → →(20→9)→(16→13)]→(12→17)→ →(8 21)→⑤[(4 25)]→ B: (27→ →2) (23→6)→(19→10)→⑥[(15→14)→(11→18)→(7→22)→(3→26)]

그림

[ 4] M=87 (31+29+31, 29+25+29) 1 [그림 5] M=87 (31+29+31, 29+25+29) 2

분할 의 파생분할

(2) 87=32+23+32 (!_&) 90=29+32+29, 파생분할(!_') 81=29+23+29 의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다 마디 . ① ⑤~ 를 각각 그림 [ 6]의 경로 1~경로 5 에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할(!_&) 90=29+32+29: 길이 20인 #→# 성분 개 길이 1 , 10인 %→#→% 성 분 개 1

A: ①[30→(2→27)→(5→24)→(8→21)]→(11→18)→(14→15)→(17→12)

→②[(20→9)→(23→6)→(26→3)→29]

B: (1→28)→(4→25)→(7→22)→(10→19)→(13→16)

파생분할(!_') 81=29+23+29: 길이 10인 %→$→% 성분 개 길이 인 2 , 8 %→$→%

성분 개 1

C: ③[(28→1)→(22→7)→(16→13)→(10→19)→(4→25)]

D: (27→2)→(21→8)→④[(15→14)]→(9→20)→(3→26) E: (24→5)→⑤[(18→11)→(12→17)]→(6→23)

분할 의 파생분할

(3) 87=33+21+33 (!_&) 91=29+33+29, 파생분할(!_') 79=29+21+29 의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다 마디 . ① ⑥~ 을 각각 그림 [ 7]의 경로 1~경로 6 에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할(!_&) 91=29+33+29: 길이 15인 #→% 성분 개2

A: ①[30→(3→26)→(7→22)→(11→18)]→(15→14)→(19→10)→(23→6) (27 2)

→ →

B: ②[29→ →(4 25)→(8→21)→(12→17)]→(16→13)→(20→9)→(24→5)

Figure 4. M = 87 (31 + 29 + 31, 29 + 25 + 29) Figure 5. M = 87 (31 + 29 + 31, 29 + 25 + 29)

arrangement 1 arrangement 2

(2) 분할 87=32+23+32의 파생분할 (M

) 90=29+32+29, 파생분할 (M

) 81=29+23+29의 성분을 모두 찾으면 각각 다음과 같다. 마디 ^① 〜 ⑤ 를 각각 Figure 6의 경로 1〜경로 5에 따라 배열하면 마법수 87인 지수귀문도의 해를 구할 수 있다.

파생분할 (M

) 90=29+32+29: 길이 20인 p → p 성분 1개, 길이 10인 α → p → α성분 1 개

A: ^① [30 ^→ (2 ^→ 27) ^→ (5 ^→ 24) ^→ (8 ^→ 21)] ^→ (11 ^→ 18) ^→ (14 ^→ 15) ^→ (17 ^→ 12) ^→② [(20 ^→ 9)

→ (23 ^→ 6) ^→ (26 ^→ 3) ^→ 29]

B: (1 ^→ 28) ^→ (4 ^→ 25) ^→ (7 ^→ 22) ^→ (10 ^→ 19) ^→ (13 ^→ 16)

파생분할 (M

) 81=29+23+29: 길이 10인 α → q → α 성분 2개, 길이 8인 α → q → α 성분 1개

C: ^③ [(28 → 1) → (22 → 7) → (16 → 13) → (10 → 19) → (4 → 25)]

D: (27 ^→ 2) ^→ (21 ^→ 8) ^→④ [(15 ^→ 14)] ^→ (9 ^→ 20) ^→ (3 ^→ 26)

E: (24 ^→ 5) ^→⑤ [(18 ^→ 11) ^→ (12 ^→ 17)] ^→ (6 ^→ 23)