보로노이 셀을 이용한 2 차원 비등방성 폼 구조 모델링 및 탄소성 압축변형 해석
Modeling of the Elasto-plastic Deformation Behavior of Two-Dimensional Anisotropic Foam under Compressive Loads using Voronoi Cells
한원희1, 최병호2,, 김일현1, 이정무3 Won-Hee Han1, Byoung-Ho Choi2,, Ilhyun Kim1, and Jeong-Moo Lee3
1 고려대학교 대학원 (Graduate School, Korea Univ.) 2고려대학교 기계공학부 (School of Mechanical Engineering, Korea Univ.)
3 LG화학 테크센터 (Tech Center, LG Chem.)
Corresponding author: [email protected], Tel: 02-3290-3378 Manuscript received: 2011.12.19 / Revised: 2012.3.15 / Accepted: 2012.4.27
Foam structure is usually hard to model due to the complexity of the geometry of cells. So, many simplified models to represent complicated foam structures have been proposed, but most of them are not actually describe the random feature of the cell structure well. So, in this study, two dimensional isotropic and anisotropic closed cell structures of the foam were modeled using the concept of Voronoi cells. The elasto-plastic deformation behavior under compressive loads was investigated by finitie element analysis, and the results were compared with ideal honeycomb structure. In addition, the effect of anisotropy of Voronoi cell structures of the foam on Young’s modulus and yield stress under compressive loads was studied.
Key Words: Foam (발포제), Voronoi Cell (보로노이 셀), Honeybomb Structure (벌집구조), Anisotropy (비등방성),Finite Element Analysis (유한요소해석)
기호설명
Rk = kth Voronoi cell
Pj = Position of cell location (j=1,2,3,…,n) X = Control volume
x = Arbitrary position in the control volume L0 = Initial height of the foam
ΔL = Variation of hight under compression loads n = number of cell layers
h0 = Initial height of the unit cell [ε] = Strain of the foam
[ε]micro = Strain of unit cell σy = Yield stress
εy = Yield strain ρf = Density of foam
ρ0 = Density of cell wall material E = Young’s modulus
1. 서론
대표적인 다공성 구조인 폼(foam)은 매우 낮은 밀도와 독특한 기능적 특성 때문에 오랜 기간 상 당한 관심을 받고 있다. 특히 폼 구조는 에너지, 소리, 화염 등을 흡수하므로 일반적인 고체 형태 의 구조물에 비하여 활용할 수 있는 응용분야가 많이 넓어지고 있다. 폼의 특유한 구조적 특성을
고찰 하기 위해서는 토폴로지(Topology, 열려있는 셀, 닫힌 셀), 상대밀도, 셀 크기, 셀 모양 등을 고 려하여야 한다. 이를 통하여 효율적인 생산 프로 세스 개선 및 폼의 요구 물성 만족을 위하여 구조 공정에 대한 여러 연구가 진행되고 있다.1-5
특히, 외력을 받아 폼으로 흡수된 에너지는 탄 성역을 벗어나는 경우 폼 구조를 다양한 형태로 변형시키게 된다. 따라서, 외부에서 주어진 에너지 가 어떻게 폼 구조의 변형을 통하여 소모되는 지 에 대한 연구는 실용적으로 상당히 중요함을 알 수 있다. 폼의 대변형 양상은 크게 나누어 세가지 로 구분할 수 있다.6 (1) 탄성변형, (2) 취성변형, (3) 탄소성 변형. 탄성변형의 경우에는 하중을 가한 후 제하하는 경우, 히스테리시스 루프형성을 통하 여 에너지의 손실이 발생하기는 하지만 실질적으 로 폼에 영구변형은 매우 제한 되는 형태를 의미 한다. 그리고 취성변형은 일정하중이상에서 셀구 조가 취성파괴되어 회복이 불가능한 경우를 의미 한다. 또한, 재료의 영구변형이 셀구조의 영구변형 으로 발생하지만, 셀구조의 파손이 발생하지 않는 경우를 탄소성 변형이라고 설명할 수 있다. 특히, Fig. 1에 나타낸 대표적 닫힘 셀(closed cell) 구조를 갖는 알루미늄 폼과 같은 경우 7에는 대표적인 탄 소성 변형 양상을 보이며, 이러한 탄소성 변형양 상에 대한 모델링을 위한 여러 해석 방법 3,8-13 이 제안되어 왔다.
Fig. 1 Cross section of Aluminum foam with closed cells (Shinko wire company)6
하지만 많은 경우 셀의 형상을 너무 단순화하 여 해석한 연구가 많으므로, 실제 재료의 거동을 모사하는데 많은 문제를 안고 있다. 따라서, 모델 링을 위한 폼 구조에 대한 보다 현실적인 고려가
필요하다. 또한 폼의 경우 셀의 형상이 비등방 형 태로 가공이 되는 경우가 매우 많으나, 이에 대한 적절한 모델링 및 해석적 연구는 찾아보기 어렵다.
따라서, 이러한 문제점을 보완하고자 본 연구 에서는 수학적인 보로노이 (Voronoi) 셀의 개념을 이용하여 2 차원 닫힘 셀 구조를 갖는 비등방성 폼의 구조를 모델링하였고, 정적 압축하중하의 대 변형거동에 대하여 탄소성 FEM 모델링 및 해석을 수행하였다. 2 차원 보로노이 셀의 이상적인 형태 인 벌집구조(Honeycomb) 모델과 보로노이 셀 구조 모델의 변형거동해석을 통하여 항복응력 (Yield Stress) 과 탄성계수 (E, Young's modulus)의 변화를 비교 및 고찰 하였다. 또한 폼 변형거동의 비등방 성 특성을 알아보기 위하여 두 가지 셀 형상비를 갖는 보로노이 셀 구조 구조에 대하여 하중-변위 관계에 대한 해석을 수행하였다.
2. 해석형상 및 모델링 2.1 해석형상
본 연구에서는 2 차원 구조를 갖는 벌집구조 (Honeycomb structure), 등방성 보로노이셀 구조 (Isotropic Voronoi cell structure) 및 이방성 보로노이 셀구조(Anisotropic Voronoi cell structure)의 형상을 사용하였다. 벌집구조는 육각형의 형상이 반복적 으로 나열된 구조로 Papka and Kryiakides14 및 Taylor 등15은 이러한 벌집구조의 기하학적 형태가 영향을 미치는 압축하중하의 변형거동을 실험 및 해석적으로 연구하였다. 하지만 이러한 벌집구조 는 일반적으로 폼을 가공할 때 사용되는 발포제 (blowing agents)를 이용한 발포공정으로는 구현하 기 어렵다. 특히, 일반적인 폼 구조는 다이를 통하 여 발포 가공되므로 셀의 형상이 항상 벌집구조 또는 원형의 구조를 가질 수 없으므로, 많은 경우 제조된 폼은 일정방향으로 초기 변형된 셀 구조를 갖는 비등방성 폼이 된다.
폼 구조가 랜덤한 셀 구조를 갖고 비등방성을 띄게 되면, 이러한 구조를 모사할 모델을 만들기 매우 어렵다. 따라서, 이러한 형상을 보다 효율적 이면서 물리적으로 의미가 있도록 모사하기 위하 여 수학적 개념인 보로노이 셀을 사용하였다. 보 로노이 셀은 분자구조의 수학적인 연산뿐만 아니 라 기하학적 구조를 설명할 수 있도록 하여 폼 구 조와 같은 랜덤한 형상을 갖는 구조를 모사하는데 매우 효율적이다. 보로노이 구조를 얻기 위하여
본 연구에서는 유한한 셀의 위치를 랜덤하게 }
,
{P1 P2Pn 으로 정의할 수 있다. 이러한 각각의 셀의 경계지점은 두 셀의 위치를 이은 선의 중점 에 수선으로 정의할 수 있으며, 이러한 방법을 이 용하면 보로노이 정점은 관련된 각각의 셀의 위치 들에 대한 등거리 지점으로 결정할 수 있다. 이 때 보로노이 셀 (R )는 다음과 같이 정의할 수 있k 다.16
} )
, ( ) , ( :
{xinX d xP d xP forall j k
Rk= k ≤ j ≠ (1)
이 때, X 는 고려하고 있는 검사체적(control volume)을 의미하며, x 는 임의의 점 그리고
Pk
x
d ,( )는 거리함수를 나타낸다.
Fig. 2 에는 이러한 모델링 기법을 이용하여 모 사한본 연구에 사용한 세가지 형태, 즉, 벌집구조, 등방성 보로노이셀 및 이방성 보로노이 셀의 2 차 원 폼 구조를 나타내었다. 압축 해석시 형상비가 큰 쪽으로 하중을 가한 경우를 Type A, 형상비가 작은 쪽으로 하중을 가한 경우를 Type B 로 정의하 였다.
(a) (b) (c)
Fig. 2 Structure of foams used in this study: (a) honeycomb structures, (b) isotropic Voronoi cell structures, (c) anisotropic Voronoi cell structures
2.2 탄소성 유한요소해석
본 연구는 다양한 폼 구조 중 닫힘 셀의 형태 를 나타내는 2 차원 폼 구조에 한정하여 연구를 진행하였다. 본 연구의 모델링의 개념은 재료의 변경이 발생하여도 보로노이 셀의 적용을 통하여 범용적으로 사용할 수 있으나, 실질적인 폼재료의 물성평가를 위하여 알루미늄재료를 이용한 경우에 대하여 평가하였다. 본 연구에 사용한 알루미늄 폼의 셀 벽(cell wall)의 재료 물성 17 은 Table 1 에 정리하여 나타내었다. 그리고 탄소성 해석을 위한 셀 벽의 진응력-진변형률 선도는 Kim 등 3이 load- indentation 방법 18으로 구한 실험결과 (Fig. 3) 중 Al-Si-Ca폼의 값을 이용하였다.
Table 1 Material properties of Aluminum foam cell walls Physical property Value
Young’s modulus (MPa) 70000 Poisson’s ratio 0.33 Yield stress (MPa) 86.3 Density (kg/mm3) 2.70x10-6
본 연구에서 탄소성 유한요소해석은 상용 프로 그램인 ABAQUS/CAE 6.9 를 사용하였다 본 연구에 서 사용한 엘리먼트 타입은 Shell S4R 사용하였으 며, 해석에 사용한 엘리먼트 수 및 노드의 수는 모델에 따라 각각 벌집구조는 5000 개와 5148 개, 등방성 보로노이 셀 구조는 7500 개와 7392 개, 이 방성 보로노이 셀 구조는 4940 개와 4683 개를 사 용하였다. 보로노이 셀의 경우에는 상용 프로그램 인 MATLAB 과 CATIA 를 이용하여 각 셀의 위치 데이터 및 셀 벽 형상의 계산을 실시하였고, 이를 모델링 프로그램으로 불러 탄소성 유한요소해석을 실시하였다.
Fig. 3 Constitutive relations for Aluminum cell walls3
3. 해석결과
3.1 압축하중하의 폼 구조간 변형양상비교 압축하중을 받는 폼은 각 셀 벽이 국부적으로 변형을 하면 그 국부적 변형량이 모여 전체의 거 동에 영향을 주게 된다. 이론적으로 벌집구조의 경우에는 전체적으로 셀의 구조 및 셀을 구성하는 벽의 형상이 전체적으로 동일하므로 압축하중이 주어지는 경우 그 변형이 재료의 전 범위에 걸쳐 동일하게 발생하게 된다. 따라서 Fig. 4 에 나타낸 것처럼 벌집구조를 갖는 폼의 경우에 전체적인 거 동은 균일한 압축변형거동을 나타낸다.
Fig. 4 Compressive deformation behavior of a foam with honeycomb structures
반면 셀이 불균일한 형상 및 크기를 갖는 일반 적인 폼의 경우에는 각각의 셀의 기하학적 구조가 서로 다르므로 벌집구조의 균일한 거동과는 다른 전단형태의 파괴가 발생한다. 즉, 하중이 주어지는 경우 가장 약한 부분이 먼저 소성변형을 일으키고 이에 따라 인근 셀에 추가적인 부하를 일으켜 전 체적인 변형거동이 국부 계층 (layer) 단위로 발생 하게 된다. 이러한 현상은 실제 실험결과에서도 쉽게 찾아볼 수 있는데, Kim 등 17은 이러한 현상 이 정적 압축하중 및 피로하중에 대하여 공통적으 로 관찰된다고 보고하였다. Fig. 5 에는 실험적으로 관찰된 Al-Si-Ca 폼의 압축하중하의 전단변형양상 을 나타내었다.
Fig. 6 에는 랜덤하게 분포한 보로노이 셀을 이 용한 모델링을 통하여 얻은 압축변형 거동을 나타 내며, 거시적으로 전단형태 특유의 변형거동을 모 사하고 있음을 알 수 있다. Fig. 6 을 통하여 Fig. 5 에서 관찰한 전단형태의 변형양상이 등방(isotropic) 구조를 갖지만 균일한(homogeneous) 셀 구조를 갖
(a) Quasi-static compression tests
(b) Compression fatigue tests
Fig. 5 Shear-type compressive deformation of an Al-Si- Ca foam under quasi-static compression16
Fig. 6 Compressive deformation behavior of a foam with isotropic Voronoi cell structures
지 않는 재료에 대하여 일반적으로 발생할 수 있 다는 것을 알 수 있다. 이러한 변형거동은 기존 의 모델링 기법을 통하여 설명할 수 없으므로, 보로노이 셀을 이용한 폼 구조의 모델링이 보다 정확한 실제 변형거동을 예측할 수 있음을 알 수 있다.
또한 비등방성 형태로 보로노이 셀을 이용하여 모델링을 한 경우에도 그 변형거동은 등방성 형태 로 보로노이 셀을 이용하여 모델링한 경우 (Fig. 6) 와 전반적으로 유사하게 나타난다. 하지만, 비등방 적인 특성으로 인하여 탄성변형거동은 물론 소성 변형이 발생하는 항복거동이 달라지는 것을 알 수 있다(Fig. 7). 이러한 항복거동 및 탄성계수의 변화 는 3.2 절에서 고찰하였다.
Fig. 7 Compressive deformation behavior of a foam with anisotropic Voronoi cell structures (cell aspect ratio=1:2)
3.2 압축하중하의 폼 구조간 물성변화비교 앞 절에 서술한 바와 같이 압축하중을 받는 폼 은 셀의 형태 변화에 민감하게 변화한다. 특히 벌 집구조를 갖는 폼의 경우에는 전체적인 변형이 상 대적으로 일정한데 반하여, 보로노이 셀로 모델링 한 폼의 경우에는 국부적인 변형이 셀의 위치에 따라 매우 다르게 일어나므로 해석 결과에서도 그 차이가 크게 나타난다. Fig. 8 에서 볼 수 있는 것처
럼 벌집구조를 갖는 폼에 비하여 보로노이 셀을 갖는 폼의 경우 해석 데이터의 변화폭이 더 심함 을 관찰할 수 있다. 또한 Fig. 8 에서 볼 수 있는 것처럼 상대밀도가 증가할수록 응력-변형률 관계 가 점차 고응력부로 상승하고 있음을 관찰할 수 있다.
압축하중을 받는 폼은 셀 벽이 국부적으로 변 형을 하고, 그 국부적 변형량의 합이 결과적으로 전체의 폼의 거동에 영향을 주게 된다. 특히 벌집 구조와 같이 일정한 셀의 크기가 연속적으로 분포 되어 있는 경우에는 일정응력하에서의 폼의 전체 변형률( ][ε )은 다음과 같이 표현할 수 있다.
[ ] n[ ] [ ]micro [ ]micro
micro
L dy nh L
h L
L ε ε ε
ε =∆ =∫ ⋅ = ⋅ =
0 0
0 0
0 0
(2)
이 때, L0와 L∆ 은 각각 초기 폼의 높이 및 변형량을 나타내며, n 은 셀 layer 의 수, h0는 단 위 셀의 높이, 그리고 [ε]micro는 단위 셀의 변형률 을 나타낸다. 따라서 식 (2)에서 전체변형률은 단 위 셀의 변형률과 같게 됨을 알 수 있다.
Gibson and Ashby1는 폼구조의 항복강도(σ ) 및 y 항복변형률(ε )은 각각 상대밀도의 함수로 다음과 y 같이 나타낼 수 있다고 하였다.
2
~ 0
ρ
σy ρf (3)
1
~ 0
−
ρ
εy ρf (4)
이 때, ρ 는 폼의 밀도이며 f ρ0는 폼 셀 벽의 밀도를 나타낸다. 즉, 폼 구조물의 경우 항복강도 와 항복변형률의 관계식은 식 (3)과 식 (4)를 통하 여 다음과 같이 정리할 수 있다.
본 해석을 통하여 얻은 항복강도는 식 (3)의 관계식과 같은 멱급수 (Power law)의 형태를 갖는 비선형적 증가양상을 갖는 것을 관찰할 수 있으며, 이를 Fig. 9 에 나타내었다. 이 때, 같은 상대밀도에 서 항복강도의 값이 벌집구조를 갖는 재료에 비하 여 보로노이 셀 구조를 갖는 경우 더 높게 평가되 었는데, 이는 셀 구조의 최종적인 항복거동이 일 어나기 위하여 적어도 하나의 layer 에서 모든 셀 들이 항복이 되어야 하는데 크기 및 형상이 랜덤
하게 형성되는 보로노이 셀의 경우 항복거동이 더 넓은 범위에서 발생하기 때문이다. 즉, 랜덤하게 셀이 분포되어 있어 각 셀의 소성변형이 동시에 발생하지 않고 셀의 형상에 따라 서로 다른 순서 로 항복이 발생하기 때문이다. 또한, 폼 구조의 각 국부 계층에서 동시다발적인 항복이 발생하는 벌 집구조와는 달리, Fig. 5 와 같이 압축하중하에서 전 단변형이 발생하는 보로노이 셀의 변형거동과도 관련이 있다고 생각할 수 있다.
또한 Fig. 10 에는 상대밀도에 따른 벌집구조와 보로노이 셀 구조를 갖는 두 재료의 탄성계수의 변화를 나타내었다. 탄성계수의 변화도 항복강도 의 변화와 마찬가지로 멱급수의 형태를 갖고 있음 을 알 수 있다. Papka and Kyriakides14의 벌집 구조 의 압축하중하의 변형에서 알 수 있는 것처럼, 셀 의 형상비(aspect ratio)가 평균적으로는 1 이지만 개 별 셀의 경우 일정하지 않은 등방성 보로노이 셀 의 경우에도 국부적으로 강성이 높아져 전체적인 탄성계수가 증가하고 있는 것으로 생각된다. 또한, 보로노이 셀 구조의 경우 벌집구조에 비하여 약간 높은 값으로 계산되었으나 보로노이 셀의 경우 모 델의 스케일 및 형상에 따라 해석값은 어느 정도 차이가 발생할 수 있다. Gan 등 19은 3 차원 열린 셀 구조를 갖는 등방성 보로노이 셀 구조의 경우 상대탄성계수의 값이 보로노이 셀 구조 모델에 따라 변동계수(Coefficient of variation)가 약 2.9%에 서 8.0%정도가 되는 것을 보고한 바 있다. 따라 서, 본 연구에서 사용한 닫힘 셀 구조의 등방성/
비등방성 보로노이 셀 구조를 갖는 폼의 경우에 도 평균효과로 인하여, 랜덤 보로노이 셀 모델 간의 해석결과의 차이가 매우 크지 않을 것을 예 측할 수 있다.
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
∆L/ L0x100, % Stre
ss, σ M Pa
ρf/ρ0 = Relative Density 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15
(a) Honeycomb structures
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
∆L/ L0x100, % Stre
ss, σ M Pa
ρf/ρ0 = Relative Density 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15
(b) Isotropic Voronoi cell structures
Fig. 8 Comparison of stress-strain relationship between foams with honeycomb and isotropic Voronoi cell structures
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Yie ld S tre ss, σy M Pa
Relative Density, ρf/ρ0 Isotropic Voronoi cell Honeycomb
Fig. 9 Relationship between yield stress and relative density for honeycomb and isotropic Voronoi cell structures
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0
1 2 3 4 5
Isotropic Voronoi cell Honeycomb
Relative Density, ρf/ρ0 You
ng's Mod ulus , E , G Pa
Fig. 10 Relationship between Young’s modulus and relative density for honeycomb and isotropic Voronoi cell structures
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Relative Density, ρf/ρ0
Yield Stress,
σy
MPa
Isotropic Anisotropic_A type Anisotropic_B type
Fig. 11 Relationship between yield stress and relative density for isotropic and anisotropic Voronoi cell structures
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0
1 2 3 4 5
Relative Density, ρf/ρ0
Young's Modulus, E, GPa
Isotropic Anisotropic_A type Anisotropic_B type
Fig. 12 Relationship between Young’s modulus and relative density for isotropic and anisotropic Voronoi cell structures
또한 보로노이 셀이 일정 형상비를 가지고 변 형되어 있는 경우는 등방성 보로노이 셀과 비교하 여 폼에 주어지는 하중방향이 폼의 변형거동에 중 요한 역할을 한다. 이러한 이방성 폼은 특히 고분 자재료를 이용하여 압출을 이용하여 폼을 만드는 경우에 흔히 발생한다. 특히 이러한 이방성 폼은 응용분야에 따라 적절한 방향으로 폼의 셀 방향을 정렬하여 필요한 기계적, 물리적 물성을 최적화 할 수 있어 실용상 매우 중요하다. Fig. 11 과 Fig.
12 에 나타낸 것처럼 셀 형상의 이방성 효과가 커 지면 하중방향에 따른 폼의 탄성계수가 더 큰 차 이를 보이며, 등방성 보로노이 셀 모델의 재료 물 성은 두 변형거동의 중간 정도로 나타남을 알 수 있다.
4. 결론
본 논문에서는 벌집구조 및 보로노이 셀을 이 용하여 2 차원 닫힘 셀 구조를 갖는 비등방성 폼 의 셀구조를 모델링하고 압축하중하의 변형거동에 대하여 탄소성 유한요소해석을 실시하였다. 본 연 구에서 얻어진 결과는 다음과 같다.
(1) 폼의 셀이 불균일한 크기인 일반적인 폼의 경우에는 셀 벽의 기하학적 구조가 서로 다르므로 이러한 균일한 거동과는 다른 전단형태의 파괴가 발생하는데, 이러한 전단형태의 변형거동을 보로 노이 셀을 이용한 셀 구조의 모델링을 통하여 예 측할 수 있다.
(2) 2 차원 보로노이 셀의 이상적인 형태인 벌 집구조 모델과 보로노이 모델의 압축하중의 변형 거동에 대한 탄소성유한요소 해석을 통하여 상대 밀도가 증가함에 따라서 항복응력과 탄성계수가 비선형 적으로 증가함을 보였다. 또한, 보로노이 모델의 탄성 계수는 비등방성 보로노이 모델의 항 복 응력과 탄성 계수 사이에 나타남을 확인하였다.
참고문헌
1. Gibson, L. J. and Ashby, M. F, “Cellular Solids- Structure and Properties, 2nd Edn.,” Cambridge University Press, 1997.
2. Jeon, Y. P. and Kang, C. G., “Effects of Viscosity Control by Induction Heating on Micro Cell in Forming Process of Foamed Aluminum,” J. of KSPE, Vol. 19, No. 6, pp. 136-144, 2002.
3. Kim, A., Tunvir, K., Jeong, G. D., and Cheon, S. S.,
“A Multi-cell FE Model for Compressive Behaviour Analysis of Heterogeneous Al-alloy Foam,”
Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, Vol. 14, No. 6, pp. 933-945, 2006.
4. Hall, R. B. and Hager, J. W., “Performance Limits for Stiffness-Critical Graphitic Foam Structures. Part I:
Comparisons with High-Modulus Foams, Refractory Alloys and Graphite-Epoxy Composites,” Journal of Composite Materials, Vol. 30, No. 17, pp. 1922-1937, 1996.
5. Badiche, X., Forest, S., Guibert, T., Bienvenu, Y., Bartout, J.-D., Ienny, P., Croset, M., and Bernet, H.,
“Mechanical Properties and Non-homogeneous Deformation of Open-cell Nickel Foams: Application
of the Mechanics of Cellular Solids and Porous Materials,” Materials Science and Engineering: A, Vol. 289, No. 1-2, pp. 276-288, 2000.
6. Choi, B.-H., Chudnovsky, A., and Sehanobish, K.,
“Modeling of Failure Mechanisms Using the True Stress-Strain Response of Polymeric Foam Material,”
Proceedia Engineering, Vol. 10, pp. 1609-1614, 2011.
7. Shinko Wire Company, http://www.shinko-wire.co.jp 8. Kirca, M., Gui, A., Ekinci, E., Yardim, F., and Mugan,
A., “Computational Modeling of Micro-cellular Carbon Foams,” Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 44, No. 1-2, pp. 45-52, 2007.
9. Meguid, S. A., Cheon, S. S., and El-Abbasi, N., “FE Modelling of Deformation Localization in Metallic Foams,” Finite Elements in Analysis and Design, Vol.
38, No. 7, pp. 631-643, 2002.
10. De Giorgi, M., Carofalo, A., Dattoma, V., Nobile, R., and Palano, F., “Aluminium Foams Structural Modelling,” Computers and Structures, Vol. 88, No.
1-2, pp. 25-35, 2010.
11. Saint-Michel, F., Chazeau, L., Cavaille, J.-Y., and Chabert, E., “Mechanical Properties of High Density Polyurethane Foams: I. Effect of the Density,”
Composites Science and Technology, Vol. 66, No. 15, pp. 2700-2708, 2006.
12. Shafizadeh, J. E. and Seferis, J. C., “Scaling of Honeycomb Compressive Yield Stresses,”
Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, Vol. 31, No. 7, pp. 681-688, 2000.
13. Han, W. H., Choi, B.-H., and Lee, J. M., “A Study on the Deformation Behavior of Anisotropic Foam under Compression Load using 2-D Voronoi Cell,” Proc. of KSPE Spring Conference, pp. 1189-1190, 2011.
14. Papka, S. D. and Kryiakides, S., “In-plane Compressive Response and Crushing of Honeycomb,” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 42, No. 10, pp. 1499-1532, 1994.
15. Taylor, C. M., Smith, C. W., Miller, W., and Evans, K.
E., “The Effects of Hierarchy on the In-plane Elastic Properties of Honeycombs,” International Journal of Solids and Structures, Vol. 48, No. 9, pp. 1330-1339, 2011.
16. Reem, D., “An Algorithm for Computing Voronoi Diagrams of General Generators in General Normed Spaces,” Proceedings of Sixth International
Symposium on Voronoi Diagrams, pp. 144-152, 2009.
17. Kim, A. and Kim, I., “Effect of Specimen Aspect Ratio on Fatigue Life of Closed Cell Al-Si-Ca Alloy Foam,” Acta Mechanica Solida Sinica, Vol. 21, No. 4, pp. 354-358, 2008.
18. Dao, M., Chollacoop, N., Van Vliet, K. J., Venkatesh, T. A., and Suresh, S., “Computational Modelling of the Forward and Reverse Problems in Instrumented Sharp Indentation,” Acta Materialia, Vol. 49, No. 19, pp. 3899-3918, 2001.
19. Gan, Y. X., Chen, C., and Shen, Y. P., “Three- Dimensional Modeling of the Mechanical Property of Linearly Elastic Open Cell Foams,” International Journal of Solids and Structures, Vol. 42, No. 26, pp.
6628-6642, 2005.
