Analysis of Explanations of Quantum Mechanics in Physics Textbooks According to the 2015 Revised Curriculum

http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.68.869

Analysis of Explanations of Quantum Mechanics in Physics Textbooks According to the 2015 Revised Curriculum

Hunkoog Jho

Department of General Education, Dankook University, Cheonan 31116, Korea (Received 17 July 2018 : revised 24 July 2018 : accepted 24 July 2018)

This study aims to analyze the explanations of quantum mechanics in physics textbooks according to the 2015 revised curriculum and to give the pedagogical implications of the results of the analysis.

The contents in the textbooks are analyzed according to five standards: wave-particle duality, indeterminacy, wave function and statistical interpretation, quantum state, and non-locality. As for the wave-particle duality, the dual nature of light and matter is highlighted while the exclusive but complementary nature is omitted. Regarding indeterminacy, textbooks focus on the interaction between objects and experiment behaviors but not on innately indeterminate nature of physical entities. In terms of wave function and statistical interpretation, Born’s rule and Schrödinger’s equation are rarely discussed. In the quantum state, textbooks concentrate on Bohr’s atomic model, but do not address the relation to the electron cloud model. Based on the results of this study, we suggest some pedagogical ways for teaching quantum mechanics.

PACS numbers: 01.40.Fk, 03.65.-w

Keywords: Quantum mechanics, Textbook, Curriculum, Physics education

2015 개정 교육과정 고등학교 물리 교과서에서 나타나는 양자역학에 관한 설명 분석

조헌국

단국대학교 교양학부, 천안 31116, 대한민국

(2018년 7월 17일 받음, 2018년 7월 24일 수정본 받음, 2018년 7월 24일 게재 확정)

본 연구는 2015 개정 교육과정에 따른 물리학 교과서의 양자역학에 대한 설명을 분석하고, 이를 토대로 교육적 시사점을 제시하였다. 입자-파동 이중성, 비결정론적 특징, 파동 함수의 확률 해석, 양자화 조건, 비국소성을 중심으로 5종의 물리학 교과서를 분석한 결과, 입자-파동 이중성에서는 빛과 물질의 입자 또는 파동적 성질에 대해 설명하지만 상호배타적이고 통합적인 상보성의 원리의 관점에 대한 설명은 빠져 있었다. 비결정론적 특성에서는 하이젠베르크 (Heisenberg) 가 의도하는 측정 대상과 행위 간의 상호작용을 중심으로 설명하면서도, 존재론적 의미에서의 불확정성에 대해서는 다루지 않았다. 파동 함수의 확률 해석에 대해서는 확률 밀도 함수나 슈뢰딩거 (Schrödinger) 파동 함수의 의미에 대해 거의 다루지 않았고, 양자화 조건에 대해서는 보어 (Bohr) 의 수소 원자 모형을 중심으로 다루나, 전자 구름 모형과 연결해서 설명하지는 않고 있음을 알 수 있다. 이에 본 연구에서는 양자역학 이해를 위한 개선 방안에 대해 논의하였다.

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PACS numbers: 01.40.Fk, 03.65.-w

Keywords: 양자역학, 교과서, 교육과정, 물리교육

I. 서 론

20세기에 등장한 양자역학은 17세기 과학혁명 이후 오랫 동안 자리 잡고 있었던 고전역학의 한계를 극복했을 뿐만 아니라 오늘날 반도체, 신소재, 기계, 전기 등 다양한 분야의 발전과 문명과 생활의 혁신을 가져왔다 [1–4]. 상대성이론 역시 고전역학이 가지고 있던 절대 공간 개념이나 시간, 질량 등의 독립적인 물리 개념들의 통합을 가져왔지만 결정론적 세계관을 따르는 한계를 가지고 있다. 하지만 양자역학은 고전역학이 가지고 있던 인과론적이고 결정론적 세계관을 확률론적이고, 비결정론적인 세계관으로 대체함으로써 측 정 가능한 물리량을 중심으로 한 논리 경험주의의 관점을 따르고 있다 [5,6]. 쿤의 패러다임 전환의 관점에서 살펴볼 때, 새로운 가치와 기준, 해석 등을 제시했다는 점에서 상대 성이론보다는 양자역학을 20세기 과학혁명으로 해석하기도 한다 [1,5,7].

양자역학이 가지는 현대 물리학에서의 위상과 여러 분 야에 대한 파급효과의 중요성으로 인해 고등학교 교육과정 에도 관련 내용이 소개되고 있다. 2009 개정 교육과정의

<물리학II> 에서 미시세계와 양자 현상 단원에서 빛과 물 질의 이중성과 불확정성의 원리, 슈뢰딩거 (Schrödinger) 방정식과 보어 (Bohr) 의 원자 모형 등을 다루었으며, 2015 개정 교육과정의 <물리학II> 에서는 광전효과와 전자 회절 실험을 근거로 한 빛과 물질의 이중성, 수소 원자 모형을 통한 불확정성의 원리를 학습하도록 제시하고 있다 [8,9].

특히 양자역학은 얽힘으로 인해 발생하는 독특한 해석이나 문제의 접근 등이 많은 학생들의 호기심과 흥미를 불러일 으키기도 한다 [10,11].

한편, 양자역학의 학습에 대한 중요성과 관심에도 불구 하고, 학생들은 양자역학의 학습에 대해 어려움을 느끼고 있다. 특히, 양자역학은 원자 이하의 미시세계에서의 현 상을 다루기 때문에 비가시적, 비결정론적, 확률론적인 특 징과 반직관적 특성으로 인해 어려워한다 [12]. 또한 양자 역학은 파동함수의 미분, 주 양자수와 궤도 양자수, 자기 양자수 등으로 구성된 행렬 연산, 각종 물리량에 대한 연산 자 등을 다루는 수학적 능력과 형식적 특성 (mathematical formalism) 을 알아야 하기 때문에 개념 이해와 함께 수학적 능력을 요구하기 때문에 쉽게 흥미를 잃을 수 있다 [10–12].

학생들은 이전까지 학습했던 것과는 전혀 다른 존재론적인 관점을 받아들이고 이해해야 하므로, 이러한 철학적 개념 이해로 인한 어려움을 호소하고 있다 [13,14].

∗E-mail: [email protected]

여러 선행 연구들은 양자역학을 구성하는 여러 개념이나 원리에 대해 학생들의 어려움을 진단하기 위해 도구를 개발 하고 측정하고자 하였다 [15–18]. 고등학생들에게도 자주 사용되는 QPCS (quantum physics conceptual survey) 는 양자역학의 주요 개념으로 광전효과, 입자-파동 이중성, 드브로이의 물질파, 이중 슬릿에 의한 간섭 실험, 불확정 성의 원리 등 5가지 범주로 구분하고 있으며, 대학생들을 대상으로 한 다른 도구들은 슈뢰딩거의 파동 방정식과 터 널링 효과, 파동 함수의 확률 밀도 해석을 포함하기도 한다 [15–17]. 각 영역별로 경험하는 학생들의 어려움을 살펴보 면 학생들은 대체로 입자-파동 이중성과 불확정성의 원리, 터널링 효과에 대해 어려워한다 [18–20]. 이는 관련된 교재 진술에서도 비슷한 문제점이 발견되는데, “빛이나 전자가 파동이면서 입자이다.” 로 진술하면서 이중성이 가지는 통 합성과 상호 배타성을 올바로 설명하지 않고 있다 [21]. 불 확정성의 원리의 경우, 측정 과정에서 겪는 경험적 오차를 혼동하거나, 측정 자체에 관한 문제로만 한정해 서로 다른 물리량이 독립적으로 측정 불가능하다는 점을 인지하지 못 하고 있다 [22–24]. 불확정성의 원리를 측정 행위가 대상에 미치는 영향으로만 제한하여 생각하고, 왜 운동량과 시간이 얽혀 있는지, 두 관측 가능한 물리량의 곱의 최솟값이 왜 로 표현되는지 인지하지 못하고 있다. 입자-파동 이중성에 대해서도 교재마다 서술 방식이 다르며, 입자나 파동 중 하 나의 속성에 대해서만 설명함으로써 상보성의 원리에 대해 올바로 설명하지 않고 있는 점도 지적되고 있다 [25]. 이 외 에도 학생들은 입자가 발견될 확률을 고전적으로 해석하여 힘이 최대가 될 때 최대가 되거나, 확률이 퍼텐셜 에너지에 만 의존한다고 생각하는 경향을 보이기도 한다 [26]. 특히, 양자역학에 대한 학습자의 어려움과 학습 방법에 대해서는 피츠버그 대학교의 마쉬맨 (Marshman), 싱 (Singh) 등을 중심으로 활발하게 연구되고 있으나, 국내에서는 양자역학 에 대한 교수�학습과 관련된 연구가 부족한 실정이다. 특히, 양자역학은 교재의 내용 제시 순서에 대해서도 문제가 제 기되고 있지만 대체로 교재를 따라 수업하고 있으며, 수업 조교조차 문제 풀이를 어려워하고 있다 [27]. 이에 본 연구 는 최근 새롭게 편성된 2015 개정 교육과정에 따라 서술된 고등학교 물리학 교과서의 설명을 분석함으로써 예상되는 어려움이나 문제점을 분석하여, 학생들의 물리학습 지도를 위한 교육적 시사점을 제공하고자 한다.

II. 연구 방법

본 연구는 고등학생들의 양자역학과 관련된 학습에 대한 어려움과 교육적 시사점을 제공하기 위해 2015 개정 교육 과정에 따른 5종의 <물리학II> 교과서를 분석 대상으로 선정하였다. 2015 개정 교육과정에 따르면 일반�진로 선택 교과인 <물리학II>를 힘과 운동, 전기와 자기, 열과 에너지, 파동, 현대 물리의 5개 영역으로 구분하며 핵심 개념으로 빛과 물질의 이중성과 미시 세계의 운동을 제시하고 있다 [9]. 이에 시판되고 있는 고등학교 <물리학II> 교과서 5 종의 현대 물리 단원을 분석 대상으로 선정하였다.

교과서에 제시된 양자역학에 대한 설명의 분석은 양자 역학을 중심적으로 다루고 있는 대학 물리 교재의 내용을 토대로 입자-파동 이중성, 비결정성, 파동 함수의 확률 해 석, 양자화, 비국소성의 5가지 특성으로 범주화할 수 있다 [28–31]. 입자-파동 이중성은 빛과 물질이 각각 입자적 특성 및 파동적 특성을 모두 가지며, 보어의 상보성의 원리에 의해 이 두 속성은 상호 배타적이어서 두 속성 중 하나의 속성만으로는 다른 현상들을 설명할 수 없고, 실험 맥락과 환경에 따라 하나의 속성만 나타나지만 두 속성 모두를 이해해야 종합적으로 현상을 이해할 수 있다는 특징을 담 고 있다. 비결정론적 특성은 측정에 의한 교란과 하이젠 베르크 (Heisenberg) 의 불확정성의 원리를 포함하다. 보 어의 상보성의 원리는 입자와 파동적 성질을 본질적으로 구분할 수 없다는 비결정성을 함께 포함한다 [32,33]. 파동 함수의 확률 해석은 주로 슈뢰딩거의 파동 함수와 보른의 확률 해석, 파동 함수의 중첩과 파탄을 포함하며, 양자화는 보어가 제안한 정상 상태와 진동수의 양자 가설 (quantum hypothesis) 외에도 불연속적인 에너지 준위간의 즉각적 인 (instantaneous) 이동을 의미하는 양자 도약 (quantum jump) 등을 함께 다룬다. 비국소성은 서로 다른 입자와의 상호작용에 의한 얽힘을 포함하나, 얽힘을 위한 충분 조건은 아니어서 포함하는 관계로 해석하는 것은 한계가 있다.

본 연구에서는 Table 1 과 같이 5 개의 범주와 하위 11 개 영역에 따라 교과서에 제시된 설명과 실험, 활동 등이 어디에 해당하는지 분석하고, 각 범주에 제시된 교과서의 설명에 대한 문제점이나 개선방안이 무엇인지 논의하였다.

III. 연구 결과

<물리학II> 의 5종의 교과서에 실린 양자역학과 관련된 서술에 제시된 실험이나 용어를 분석한 결과 Table 2 와 같다. 5가지 범주 중 비국소성은 교육과정에서 다루고 있지 않아 나타나지 않았으며, 5가지 범주 중 가장 많은 빈도

Table 1. The main features of quantum mechanics intro- duced in undergraduate textbooks [34].

Categories Elements

Wave-particle Complementarity principle duality Duality of light

Duality of matter (De Broglie’s wave) Indeterminacy Disturbance

Uncertainty (Heisenberg) Wave function Superposition of wave function

and Probability density

statistical (Born’s statistical interpretation) interpretation Collapse of wave function Quantum state Quantum hypothesis

Quantum jump Nonlocality Entanglement

를 차지하는 것은 입자-파동 이중성으로, 주로 광전효과를 중심으로 이를 설명하고 있었다. 한편, 파동 함수의 중첩, 확률 함수의 붕괴, 양자 도약 등의 주제들은 교과서에 전혀 소개되지 않았다. 5종의 교과서에서 모두 소개한 실험이나 내용으로는 아인슈타인의 광전효과 및 광양자설, 데이비슨- 거머의 회절 실험과 톰슨의 전자 회절 실험, 하이젠베르크 의 현미경에 대한 사고 실험 (전자의 위치 및 운동량 측정), 전자 구름 모형, 보어의 양자 가설이었다. 이와 같은 실험이 공통적으로 나타나는 것은 2015 개정 교육과정에서 광전 효과나 전자 회절 실험, 수소 원자의 궤도 등을 다루도록 아래와 같이 명시하고 있기 때문이다 [9].

[12물리II03-06] 광전 효과 실험을 근거로 빛의 입자성을 설명할 수 있다.

[12물리II03-07] 입자의 파동성을 물질파 이론 과 전자 회절 실험을 근거로 설명할 수 있다.

[12물리II03-08] 수소 원자 내에서 전자의 궤도 를 고전 역학으로 설명할 수 없음을 불확정성 원리를 사용하여 설명할 수 있다.

1. 입자-파동 이중성

2015 개정 교육과정에 따르면 빛과 물질의 특성을 서로 구분하여 제시하고 있다. 입자-파동 이중성은 보어의 상보 성의 원리의 관점에서 이해할 필요가 있다. 보어의 상보 성의 원리는 크게 두 가지가 있는데, 하나는 빛과 물질의 입자-파동 이중성에 대한 상호배타적, 상호보완적 특성이며 다른 하나는 불확정성 원리에 따른 공액 변수 (conjugate

Table 2. The analysis of physics textbooks regarding the quantum mechanics.

Categories/Elements Contents Textbook

A B C D E

Wave-particle duality - Complementarity principle Bohr’s complementarity principle √

Photoelectric phenomenon by Hertz √

- Duality of light Photoelectric effect √ √ √ √ √

Concept of photon by Einstein √ √ √ √ √

Compton scattering √

Matter wave by De Broglie √ √ √ √

Davisson-Germer experiment √ √ √ √ √

- Duality of matter Electron diffraction by Thomson √ √ √ √ √

Double-slit experiment √ √ √

Bragg diffraction experiment √

Indeterminacy - Indeterminacy due to the complementarity

Heisenberg’s microscope √ √ √ √ √

Heisenberg’s uncertainty principle √ √ √ √ √

- Uncertainty Principle Single slit diffraction experiment √ √ √

Double slit interference experiment √

Wave packet √

Wave function

Schrödinger’s equation √ √

Born’s statistical interpretation √ √

- Statistical interpretation Electron cloud model √ √ √ √ √

Electron orbital √

Tunneling effect √

- Collapse of wave function Schrödinger’s cat √ - Superposition of wave function

Quantum state

Bohr’s model of hydrogen √ √ √ √ √

Quantum hypothesis Bohr’s hypothesis √ √ √ √ √

Rutherford model √ √ √ √

Quantum jump

variables) 사이의 상보성에 관한 것이다 [6,33,34]. 빛과 물 질은 입자와 파동적 성질을 모두 가지면서도 서로 배타적이 어서 하나의 성질만으로는 모든 현상을 설명할 수 없고, 두 가지의 성질을 통합적으로 고려해야 한다. 본 연구에서는 상보성의 원리에 따라 빛과 물질을 각각 두 가지의 성질을 가진 것으로 묘사하는지, 그리고 상호배타적이고 통합적 특성을 설명하는지 3가지 요소로 구분해 분석하였다.

연구 결과, 빛의 이중성에 관해서는 5종의 교과서 모두 광전효과와 아인슈타인의 광양자설을 제시하면서 빛의 입 자성을 강조하고 있다. 광전효과 실험에서 특정 진동수 이하의 빛을 쪼이게 되면 광전류가 흐르지 않기 때문에 불연속적인 에너지를 갖는 광양자 (E = hν = hc/λ) 를

제시하고 있다. 그러나 빛의 입자성만으로는 광전효과를 설명할 수 없다. 왜냐하면 광양자 1개의 에너지를 정의하는 과정에서 이미 파동으로서의 빛의 속성 (ν, λ) 를 고려하고 있기 때문이다. 따라서 파동으로서의 빛과 입자로서의 빛을 모두 고려해야 하며, 이에 일부 교과서에서는 단순히 입자가 아니라 파속을 포함한 형태로 표현하고 있다 (Fig. 1 참조).

그러나 빛이 입자와 파동의 성질을 모두 가지기는 하지만, 이는 하나의 실험에서는 하나의 측면만 발견이 되기 때문에 자칫 입자성과 파동성을 동시에 관찰할 수 있다고 오해할 수 있으므로 주의가 필요하다.

광전효과의 여러 실험 중 하나로 빛의 세기에 따라 광 전류와 광전압의 관계를 제시하고 있는데, 5종의 교과서

Fig. 1. (Color online) Explanation of photoelectric effect in physics textbook A, B, and C.

모두 정지 전압으로부터 최대 광전류에 이르기까지 그래 프의 기울기의 변화량이 커졌다가 다시 줄어드는 곡선으 로 표현하고 있다 (Fig. 2 참조). 전자가 페르미온이므로 디랙-페르미 분포를 고려하면 에너지 E 를 갖는 입자의 확 률 f (E) = 1

1 + exp((E− Ef)/kT )이고 (Ef: 페르미 에 너지), 광전자의 최대 운동 에너지를 고려하면 광전류의 세기 I(V ) = Imax

1 + exp((V − Vc)/V₀)이 되어 교과서에 소 개되는 것과 유사한 그래프를 얻을 수 있다 (V0 = kT /e, Vc= δ + ϕ− (h/e)ν) [35]. 일반 물리학 수준에서 광전자에 가해지는 전기력에 의해 음극판에 닿을 때의 속력을 중심 으로 구할 경우, I = I0

√

1± eV

hν− ϕ이 되는데, 이는 광전 압이 클 경우에만 만족하는 한계가 있다 [36–38]. 따라서 만약 고등학교 물리 교과서에 실험으로 제시하고자 한다면 광전압이나 광전류가 민감하게 변화할 수 있으므로 주의를 기울일 필요가 있다.

빛의 이중성을 위해 제시한 그림을 살펴보면 광전효과 실험 장면을 제시할 때는 빛을 파동으로 설명하면서도, 광 양자설을 설명하는 과정에서는 단순한 입자로 표현하거나, 입자가 아닌 파속 (wave packet) 의 형태로 제시하고 있다 (Fig. 1 참조). 물질의 이중성에 대해서는 드 브로이의 물질파에 대한 공식 (λ = h

p = h

mv) 으로 제시하며, 빛의 이중성에 착안하여 물질의 이중성을 제안하게 되었다고 간단히 서술하고 있으나, 위의 공식이 어떻게 유도되었는 지 그 과정을 설명하지 않고 있다. 드 브로이의 물질파는 빛의 이중성으로부터 유추된 것으로, 아인슈타인의 광양자 가설 (E = hν) 과 광자의 운동에너지 (E = pc) 와 고전적 파동 속력 (λ = T c, T : 주기) 을 대입해 구하면 λ = h

p이고 v ≪ c 이면 λ = h

mv를 얻게 된다. 물질파를 개념적인 설명이 아닌, 식을 통해 설명하고자 한다면 부록 등을 통해 식의 전개 과정을 소개할 필요가 있다. 물질의 이중성에 대한 근거로는 5종의 교과서가 모두 톰슨의 전자선 회절 실험과 데이비슨-거머의 실험을 제시하였다. 톰슨의 실험

Fig. 2. (Color online) Relation between photocurrent and photovoltage in photoelectric effect.

결과, X선과 전자선을 조사하였을 때, 유사한 형태의 회절 무늬가 관측되었고, 데이비슨과 거머 역시 가속시킨 전자선 을 쪼였을 때의 결과가 X선일 때와 유사하다는 점을 통해 이중성을 근거로 제시하고 있다. 그러나 실제 톰슨의 실험 결과를 살펴보면 그는 드 브로이의 이론에 전제해 실험을 계획하였으며, 그 오차는 약 5%에 이르고, 그 그림도 고등 학생들의 수준에서 명확히 이해할 수 있을 만큼 뚜렷하게 나타나지도 않았다 [39]. 대체로 교과서에서는 톰슨 이후 새롭게 실험된 결과를 제시하고 있다. 데이비슨-거머 실 험의 경우, 니켈 금속에 수직으로 전자를 입사하는 실험과 니켈 큐브의 한쪽 꼭지를 깎아 세 면이 만나게 함으로써 입사각을 조절했을 때 반사되는 전자빔의 세기가 최대가 되는 실험을 수행하였다 [40,41]. 교과서에 제시된 실험은

Fig. 3. (Color online) Example of Heisenberg’s micro- scope in physics textbooks.

1927년에 수행된 것으로 전자에 해당하며, 1928년에 수행 한 실험에서는 브래그 및 라우에의 이론을 기초했음에도 불구하고, nλ = 2d cos θ 를 만족하지 않았으며, 다만 파장의 길이에 대해서는 드 브로이의 예측과 잘 맞음을 설명하고 있다. 교과서 D 에서는 브래그 산란을 이중성의 근거로 제시하고 있는데, 이는 데이비슨-거머의 실험과 맞지 않기 때문에 서로 내용이 상충하는 측면이 있어 주의 깊게 서 술해야 한다. 한 가지 흥미로운 점은 물질파를 이해하기 위해 실물을 활용한 사례가 있었다. 교과서 B에서는 검은 색지를 바닥에 놓고 우드 록으로 만든 2중 슬릿을 위에 놓은 뒤 설탕 가루를 뿌렸을 때 검은 색지에 나타나는 모습을 관찰하도록 하였다. 이를 통해 입자이면서도 어떻게 간섭과 같은 파동적 특성이 나타나는지를 유추하고자 하였다. 이는 광자의 위치를 검출하게 되면 개별 광자의 위치는 규칙성이 없지만 횟수가 늘어날수록 고전적인 결과와 가까워지는 결과를 보이는 것과 유사한 활동을 수행하고자 한 것으로 보인다 [42]. 다만, 이 경우에도 입자와 파동의 성질이 동시 에 나타나지 않는다는 점을 주의해 지도할 필요가 있다.

앞서 언급한대로 입자-파동 이중성에 관한 상보성의 원리 를 설명한 교과서는 5종 중 교과서 A에서만 입자-파동 이중 성 영역이 아니라, 불확정성의 원리의 읽기 자료로 전자가 동시에 입자와 파동적 성질을 보이지 않는다고 제시하고 있다. 실제로 입자-파동 이중성이 불확정성의 원리와 슈뢰 딩거의 파동 함수 방정식, 확률 밀도 해석 등으로 연결되기 때문에 상보적 특성을 이해하는 것이 매우 중요하다. 그러 나 교과서에서는 빛에 대해서는 입자적 성질만을, 물질에 대해서는 파동적 성질만을 강조함으로써 어떻게 서로 다른 두 가지 성질을 이해해야 하는지 명확하게 제시하지 않고 있다.

2. 비결정론적 특성

양자역학이 가지는 비결정론적 특성은 고전역학에 비해 차이를 보이는 큰 특징 중 하나이다. 비결정론적 특성의

대표적인 예로 제시되는 것이 하이젠베르크의 불확정성의 원리이다. 하이젠베르크는 Fig. 3과 같이 측정 장치의 정밀 성과 상관없이 사고 실험을 통해 측정 행위가 측정 대상에 영향을 미칠 수 있으므로 서로 다른 물리량을 동시에 측정할 수 없으며, 그 오차에 한계가 있음을 주장하였다 [6,43]. 한 편, 보어의 경우에는 상보성의 원리 중 하나로, 본질적으로 서로 다른 두 물리량이 서로 연결되어 있으며 이를 서로 분리해서 다루는 것이 불가능함을 주장하고 있다. 이에 본 연구에서는 하이젠베르크와 보어의 두 가지 관점으로 구분하여 교과서의 내용을 분석하였다.

분석 결과, 보어의 상보성의 관점에 따른 비결정성에 대해 언급한 사례는 하나도 없었으며, 하이젠베르크의 불확정 성의 원리에 관하여는 5종의 교과서 모두 하이젠베르크가 전자의 위치를 측정하는 사고 실험인 현미경 문제를 다루고 있었다. 교과서 C에 제시된 그림을 기준으로 살펴보면 전자 의 위치를 정확히 파악하기 위해서는 파장이 짧은 빛을 써야 하는데, 이 경우 전자의 운동량의 불확실도가 커지고, 반대 로 할 경우에는 위치에 대한 불확실도가 커진다고 설명하고 있다. 불확정성의 원리에 관한 식의 표현을 살펴보면 두 가지로 나타나는데, ∆x·∆p ≥ h와 ∆x·∆p ≥ ℏ/2이다. 두 식의 차이점은 최솟값의 크기인데, 1927년 하이젠베르크의 연구를 살펴보면 드 브로이의 물질파와 컴프턴 효과를 고려 하여 pq∼ h, Et ∼ h로 쓰고 있으며, 케나르(Kennard)가 오늘날 정의하는 위치와 운동량에 대한 표준편차의 의미로 정리해, σx· σp≥ ℏ/2로 증명하였다 [44,45]. 교과서에서는

∆x, ∆p, 그리고 h 또는ℏ/2가 무엇을 의미하는지 설명하지 않고 있어 학생들이 이에 대해 혼란을 일으킬 우려가 있다.

불확정성의 의미를 표현하는 방법으로 교과서 E 에서는 파동 함수에서 파속으로 그 위치의 불확정량을 설명하고자 하는데, 보어의 상보적인 관점에서 파동에 내재하는 비결정 적 특징을 보여주는데 유용할지 모르나, 고등학생들의 경우 파동에 대한 위치나 속도 등에 대해 충분히 학습하지 않기 때문에 이를 다루는 것은 어려움이 있어 보인다.

한편, 고전역학적 관점에서 관찰 가능한 실험을 통해 불 확정성의 원리를 설명하고자 하는 시도도 있었다. 교과서 A 에서는 물결파가 단일 슬릿을 통과할 때, 슬릿의 폭에 따라 회절의 정도가 달라진다는 점을 통해 불확정성의 원리를 설명하고자 하였다. 이러한 방법은 학생들의 수준을 고려할 때, 실제 관찰할 수 있는 세계의 현상을 통해 양자역학의 현상들을 미루어 짐작할 수 있도록 하는 긍정적 효과가 있 다고 여겨진다. 다만, 물결파와 같이 실물을 활용할 때는 비유나 모형의 한계를 분명히 설명하고 인식하도록 하는 것이 매우 중요하다.

3. 파동 함수의 확률 해석

앞선 입자-파동 이중성과 비결정론적 특성 및 불확정성의 원리가 모두 내포하는 것은 입자도 파동 함수로 표현할 수 있다는 것이며, 파동 함수의 절댓값의 제곱을 확률 밀도로 정의하면서 인과론적 설명이 아닌 확률론적 관점에서 물리 적 현상을 설명하기 시작했다는 것이 양자역학의 가장 큰 특징 중 하나이다. 특히, 이러한 해석은 보른의 확률 해석을 통해 그 기틀이 다져졌으며, 고전역학적 관점에서의 파동 함수를 통한 설명은 슈뢰딩거에 의해 이뤄졌다 [46,47].

5종의 교과서가 모두 공통적으로 제시한 설명은 원자 내 전자 분포를 설명하는 전자 구름 모형 (electron cloud model) 이다. 역사적 관점에서 살펴보면 러더퍼드에 의해 태양계의 형태를 띤 원자 모형을 제안한 이후, 보어가 전자 의 붕괴 현상을 막기 위해 양자화 가설을 도입하였고, 이후 하이젠베르크와 파울리 (Pauli) 등에 의해 전자의 위치의 불확실성 등 보어의 원자 모형이 가진 문제점들을 지적하고 보완하면서 오늘날 잘 알려진 전자 구름 모형이 제시되었 다. 특히, 슈뢰딩거는 보어가 제안한 양자역학의 허점을 공격하기 위해 고전적인 파동 함수로서 문제를 해결할 수 있다는 관점에서 제시하였으나, 보어, 하이젠베르크, 보른 등은 파동 역학을 활용해 확률론적 설명에 적용하였다. 교 과서에서는 전자 구름 모형을 슈뢰딩거가 제안한 것으로 제시하고 있지만, 실제로 그렇지 않으며, 확률 밀도 함수 를 통한 해석은 보른이 제안한 것으로 서술에 대해 주의 할 필요가 있다. 고전역학과 비교해 인식론적 관점에서 가장 큰 차이를 보이는 것이 인과론적 세계관과 확률론적 세계관임에도 불구하고, 모든 교과서에서 이러한 차이점에 대해 명확히 설명하지 않고 있으며 보른의 확률 함수 해석 역시 B, C를 제외한 나머지 교과서에서는 이를 언급하고 있지 않았다. 교과서 A에서 제시한 터널링 효과 (tunneling effect) 도 입자-파동 이중성을 이해함과 동시에 전자가 벽 안쪽과 벽 속, 벽 바깥쪽에 있을 모든 확률을 고려할 수 있다는 점을 알아야 이해할 수 있다 [29]. 대학교 양자역학 교재 중 일부는 흥미로운 작품을 통해 고전역학으로 설명할 수 없는 이러한 현상을 제시하고 있다. 예를 들면 Fig. 4에 제시된 것처럼 마그리트 (Magritte) 가 그린 <만유인력>

이라는 작품을 소개하고, 벽 안으로 팔을 집어넣은 남자의 모습을 통해 터널링 효과를 비유적으로 설명한다 [28]. 이 러한 측면에서 본다면 미시 세계를 다루어 비가시적이고, 반직관적인 양자역학의 특성을 잘 이해할 수 있도록 적절한 실물이나 일상생활 등의 예시를 활용한 수업이 <물리학II>

교과 지도에서 적절히 활용되는 것이 매우 중요해 보인다.

특히 양자역학에서 확률론적 해석에 대해 잘 이해할 수 있도록 가르치는 것이 중요하다. 만약 확률론적 해석에 대한

Fig. 4. (Color online) Universal gravitation (1943) by Magritte, in Griffiths’ physics textbook [28].

이해가 올바르다면 슈뢰딩거의 고양이 역설도 보어의 상보 성의 원리에 따라 본질적으로 입자와 파동의 성질에 대해 구분하거나 분리하여 생각할 수 없고, 여러 상태를 나타내는 확률의 합이 1이 된다는 점을 알 수 있다. 반면, 결정론적 세계관의 입장에서 어떤 입자 또는 파동 중 하나로 정해져 있고 그 답을 맞히기 위한 노력으로 접근하기 시작하면 EPR 역설과 같이 양자역학의 그 특징을 올바로 전달할 수 없게 된다 [2]. 그러나 고등학교 교과서에서는 슈뢰딩거의 고양이와 터널링 효과는 교과서 A에서만 다루고 있으며, 해당 내용도 단원 마지막 부분의 부록으로 짧게 소개된 데다 적절한 해설이 없어서 어떻게 양자역학적 관점에서 이러한 사실들을 이해할 수 있는지 이해하기 어렵다. 게다가 파동 함수의 중첩은 5종의 교과서 모두 다루지 않고 있었다.

4. 양자화 조건

양자역학을 나타내는 말로 쓰이는 양자 (quantum) 라는 단어는 플랑크가 흑체 복사 실험에서 나타나는 문제를 해결 하기 위해 수학적 외삽을 통해 작용 양자 (action of quanta) 를 도입하면서부터 등장하였다 [48,49]. 양자에 대한 물리적, 인식론적 개념을 정립한 것은 보어의 양자 가설 (quantum hypothesis) 로, 당시 러더퍼드가 가진 원자 모형의 한계를 극복하고 불연속적인 독특한 물질의 세계에 대한 관점을 제시하였다 [2,3,6,32,33]. 당시 보어는 원자핵을 주위로 회전하는 전자의 모형이 전자기파 방출로 인해 전자가 원자

Fig. 5. (Color online) Probability density function of electron in an atom of hydrogen with (1, 0, 0).

핵과 충돌해 붕괴하는 한계를 극복하고자, 특정 궤도에서 는 전자기파를 방출하지 않으며, 서로 다른 궤도를 이동할 때 전자기파를 흡수하거나 방출하게 된다고 가정하였다.

이를 정리해 진동수 가설과 정상 상태 가설로 구분하기도 하며, 이러한 조건을 충족하도록 수소 원자 모형을 제안한 것을 보어의 원자 모형으로 부르기도 한다. 그리고 궤도 간 이동은 즉시 일어나기 때문에 (instantaneous) 궤도와 궤도 사이에 발견되지 않는다고 하였다. 이를 일컬어 양자 도약 (quantum jump) 이라고 한다. 이러한 특성들을 토대로 교과서에 제시된 양자화의 조건과 그 의미를 분석하였다.

5종의 교과서는 대체로 보어가 등장하게 된 배경으로 러더퍼드 모형의 한계를 지적하고 보어의 양자 가설과 원자 모형에 대해 개략적으로 소개하고 있다. 이후, 전자 구름 모형을 소개하고는 있지만 보어의 원자 모형으로부터 전자 구름 모형으로 넘어가는 과정을 단순히 하이젠베르크의 불확정성의 원리로부터 정확한 궤도를 파악할 수 없게 되어 도입된 것으로 설명하고 있다. 그러나 실제로는 좀머펠트 (Sommerfeld) 가 주양자수 외에 자기 양자수, 궤도 양자수 등을 제안하면서 양자역학이 완성되어 가는 과정에서 나타 났다. 또한 불확정성의 원리에서 ∆x, ∆p 가 관측 가능한 물리량의 표준편차임을 알아야 실제 전자 구름 모형에서도 보어가 제안한 궤도의 근처에서 발견될 확률이 높은지 등을 이해할 수 있다. 고전역학과 양자역학의 큰 차이점 중 하나 는 연속적인 세계에서 불연속적인 세계로의 전환이며, 양자 화된 상태가 나타나게 된 이유와 그 의미를 명확히 이해할 수 있도록 가르치는 것이 매우 중요하다. 게다가 파동 함수 를 통한 확률 밀도 함수의 의미를 올바로 파악해야 Fig. 5 와 같이 제시된 교과서의 그림의 의미를 제대로 이해할 수 있다. 한편, 흥미로운 점은 현에서 나타나는 정상파를 통해 양자 가설에서 나타나는 정상 상태 가설을 설명하려고 한 다는 것이다. 교과서 A에서는 양쪽 끝이 고정된 현에서의 정상파 조건 2l = nλ (l: 현의 길이) 을 통해 2πr = nλ 를 대응하고 있으며, 교과서 C에서는 종이에 파장을 그린

뒤, λ, 2λ, 3λ, ... 가 될 때 반지름이 점차 커지는 모습을 만들어 봄으로써 수소 원자 모형을 직접 눈으로 확인할 수 있도록 하고 있다. 고등학생들의 경우, 실제 수소 원자의 스펙트럼을 관찰하거나 온도에 따른 물체의 복사파의 파장 등을 관찰할 수 없으므로 실물을 통해 직접 알려주는 것이 하나의 좋은 방법이 될 수 있을 것이다.

한편, 교과서에서는 보어의 양자 가설에 대해 대체로 모두 잘 제시하고 있지만, 수소 원자 모형에서 전자가 궤도 사이 를 이동하는 도중에 왜 발견되지 않는가에 대해 추론할만한 설명이나 근거를 제시한 경우는 없었다. 시간에 구속되지 않는 이러한 특성들은 본 연구에서는 분석의 틀로 포함하 지는 않았지만 비국소성 (non-locality) 과도 연계되며, 특히 파울리의 배타 원리에 따라 서로 다른 스핀을 가진 전자들의 얽힘 (entanglement) 등에 대한 문제와도 연계되므로 고전 역학과 비교해 이해할 수 있도록 설명이 필요해 보인다.

IV. 결론 및 제언

본 연구는 2015 개정 교육과정에서 양자역학의 어떠한 개념이나 내용을 다루고 있으며, 해당되는 내용이나 실험, 활동 등이 가진 문제점이 무엇인지 분석하고자 하였다. 이에 본 연구는 입자-파동 이중성, 비결정론적 특성, 파동 함수 의 확률 해석, 양자화 조건, 비국소성의 양자역학의 5가지 범주를 토대로 고등학교 <물리학II> 의 5종의 교과서의 설명을 분석하였다. 그 결과, 입자-파동 이중성에서는 입자 와 파동적 성질이 모두 나타날 수 있음은 설명하고 있지만, 서로 배타적임과 동시에 하나의 상태로 존재한다는 상보 성의 원리에 대해서는 거의 제시하지 않고 있었다. 또한 일부 실험이나 활동들은 두 성질 모두를 이해해야 함에도 불구하고, 하나의 측면만으로 해석하는 경향이 있었다. 비 결정론적 특성에서는 주로 하이젠베르크가 제시하는 측정 대상과 행위 간의 상호작용을 중심으로 설명하고 있었으며, 본질적인 물리적 실재 간의 상보성의 원리에 대해서는 진 술하지 않았다. 또한 불확정성의 원리를 나타내는 식에서 각 기호의 의미와 양자역학이 가지는 비결정론적 특성에 대해서 충분히 다루지 않음을 알 수 있었다. 파동 함수 및 확률 해석에 대해서는 현대적 의미의 전자 구름 모형을 제시하면서도 확률 밀도 함수나 슈뢰딩거의 파동 함수가 무엇을 뜻하는지 충분히 설명하지 않았다. 또한 양자역학의 확률론적 해석을 이해할 수 있는 적절한 실험이나 활동도 부족하였다. 양자화 조건의 측면에서는 주로 보어의 수소 원자 모형을 중심으로 그 과정이나 배경에 대해 함께 설명을 제공하였으나, 수소 원자 모형에서 전자 구름 모형에 이르는 과정에 대해서는 관계를 설명하지 않았다.

양자역학이 현대 물리학에서 차지하는 의미와 영향 등을 고려할 때, 2015 개정 교육과정에서 상대성이론과 함께 양자역학의 여러 개념들을 학생들에게 학습할 기회를 제공 하는 것은 매우 흥미로운 일이다. 그러나 본 연구 결과에서 나타난 것처럼 실제 과학사의 사례나 물리학적으로 상충되 는 내용들이 있어 학생들이 혼란을 일으킬 우려가 있다. 게 다가 양자역학이 가지는 의미보다는 이를 구성하는 원리나 법칙의 결과를 단편적으로 제시하고 있어서, 이해보다는 암기에 그칠 우려가 있다. 특히, 양자역학은 반직관적이고 고도의 수학적 능력을 요구하기 때문에 <물리학II> 에서의 학습 내용과 이해가 대학에서의 물리 학습에 영향을 미칠 수 있기 때문에 보다 주의 깊게 다룰 필요가 있다.

앞서 제시한 연구 결과에서의 문제점을 극복하기 위해 여러 가지 교육적 방안에 대해 고민해 볼 필요가 있다. 첫째, 양자역학의 보다 쉬운 이해를 위해서는 실물이나 익숙한 소재를 활용한 비유 등을 활용하는 것을 고려해 볼 수 있다.

물질의 이중성을 이해하기 위해 설탕 가루를 우드 록으로 만든 슬릿 위에 뿌려 보거나, 현의 진동을 통해 나타나는 정 상파를 통해 보어의 양자 가설에 대해 탐색해 보고, 파장의 정수배에 따라 원을 만들어 반지름의 크기를 비교하는 활동 들은 양자역학을 접하지 않았던 학생들에게 가시적인 모형 을 제공하고, 새로운 개념 학습을 위한 비계를 제공한다는 점에서 유용해 보인다. 양자역학과 관련된 선행 연구에서도 언급한 것처럼 직접 눈으로 관찰할 수 있는 시뮬레이션이나 비유를 활용한 수업이 보다 개념 이해에 도움이 된다 [47,50].

예를 들면 교과서에 제시되지 않았지만 양자역학에서 여러 종류의 상태가 중첩되어 나타나는 현상을 현이나 악기를 통 한 배음으로도 설명할 수 있다. 피아노나 악기를 연주할 때, 한 음을 연주하면 파장의 정수배에 이르는 다양한 음들이 함께 나타나게 된다. 예를 들면 도를 연주하면, 옥타브 위의 도 외에도 미나 솔 음도 적은 진폭이지만 함께 나타나며, 악기를 연주하는 전문가나 작곡가들은 이러한 소리를 들을 수 있다. 뿐만 아니라, 그림이나 예술 작품을 활용해 설명하 는 것도 가능하다. 과학교육에서 이론의존성의 예로 자주 사용하는 오리와 토끼 그림은 비트겐슈타인 (Wittgenstein) 이 언어의 자의적 특성을 나타내기 위해 사용한 것으로, Fig. 4와 같은 그림들을 통해 터널링 효과를 포함한 여러 양자역학의 특성을 설명할 수 있다. 다만, 양자역학의 주요 개념들이 대부분 비가시적이고 미시적 현상들이기 때문에 거시적인 맥락에서의 역학적 현상과 혼동하지 않도록 비유 의 한계를 명시적으로 설명해야 한다.

둘째, 양자역학의 여러 특성들을 이해하기 위해서는 교 과서에 제시되지 않은 다른 실험이나 사고 과정을 소개하 는 것도 고려해 볼 수 있다. 빛의 입자성을 나타내기 위한 실험으로 제시되고 있는 광전효과 실험은 일부 교과서의

그림에서도 제시된 것처럼 파동에 대한 설명 없이는 올바 른 가정을 세울 수 없다. 보어의 상보성의 원리를 올바로 이해할 수 있도록 하기 위해서는 오히려 마흐-젠더 간섭계 (Mach-Zehnder inferometer, MZI) 를 소개하고 이를 통해 설명하는 것도 하나의 방법이 될 수 있다. 마흐-젠더 간섭 계를 통해 단일 광자에 의한 상호작용이나 이중 슬릿 실험 에서의 경로 문제 등을 통해 다양한 문제 제기가 가능하며, 간섭계에 편광판을 추가하게 되면 편광으로 인해 입자적 성질과 파동적 성질이 동시에 나타나지 않지만, 양자 지우개 를 통해 상보성의 원리를 볼 수 있도록 할 수 있다 [51–53].

광전효과에 대해서도 반도체 박막의 빛의 투과도를 활용해 간섭 무늬 등을 관찰하도록 설계할 수 있다 [54]. 이 외에도 양자역학의 여러 특성을 이해하는 데에 쓰이는 실험들이 무엇인지 고안하고 학생들의 수준에서 접근할 수 있도록 보완해서 적용하는 시도가 필요해 보인다.

셋째, 고등학교 교과서에서 다루는 양자역학의 여러 법 칙이나 원리의 결과보다는 보다 인식론적 관점에서의 차이 를 이해하는 데에 초점을 둘 필요가 있다. 한정된 분량에 교육과정에 따라 편성해야 할 내용들이 많기 때문에 충분히 과정에 대한 설명을 제시하는 것이 어렵다. 그렇다 하더라 도 어떠한 원리나 현상을 충분히 이해하고, 추론할 수 있도 록 제시하는 것이 필요하다. 나아가, 단지 어떤 법칙이나 원리의 결과를 제시하기 보다는 고전역학과 비교해 어떠한 점들이 차이가 있는지 학생들이 이해할 수 있도록 제시될 필요가 있다. 특히, 고전역학에서 양자역학으로의 전환은 결정론적, 인과론적 세계관에서 비결정론적, 확률론적 세 계관으로의 전환이라고 부를 수 있다. 이러한 점에서 양자 역학의 철학적 관점을 이해하고, 이를 바탕으로 물리학을 전공할 때, 상위 과정에서 개념적 접근과 수학적 접근을 일치시킬 수 있도록 지도하는 것이 적절해 보인다.

양자역학에 대한 올바른 개념 이해를 위해서는 양자역학 의 주요 개념과 현상을 보다 포괄적으로 접할 수 있도록 가 르쳐야 한다. 현재 교육과정 상에서는 입자-파동 이중성과 불확정성의 원리를 중심으로 다루도록 제시하고 있다. 앞서 제시한 다양한 개념과 특징을 이해하기 위해서는 더 많은 내용이 교과서에 포함되도록 해야 한다. 그러나 양자역학 의 수학적 표현과 고전역학과의 인식론적인 관점의 차이, 반직관적인 사고 과정의 이해 등이 수반되어야 하므로 어떤 개념들을 고등학교 수준에서 가르치도록 해야 하는지 보다 많은 토의를 거쳐 이뤄질 필요가 있다. 다만, 고등학교에서 양자역학을 다룰 때, 학생들이 현상이나 개념을 관찰하거나 경험할 수 있는 활동이 도입되고, 과학사적 사례 분석을 통해 도입 과정에 대해 이해할 수 있도록 좀 더 안내된 과 정이 도입되어야 양자역학에 대한 어려움을 해소하는 데에 도움이 될 것이다. 실제 고등학생들의 수준에서 양자역학

을 어떻게 가르치며, 어떤 내용들을 다룰 수 있을 것인가 판단하기 위해 앞서 제시한 비유를 활용한 수업이나 실험 등을 통해 학생들의 개념 이해가 나아지는지 분석하는 후속 연구가 수행될 필요가 있다.

감사의 글

이 성과는 2017 년도 과학기술정보통신부의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (NRF- 2017R1C1B1007561).

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