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Chapter 1. Introduction to Differential Equations
1.1. Definitions and Terminology
A Definition
함수
y ( ) x
의 도함수(道函數, derivative)dy dx /
는 새로운 함수 '( ) x
이다.예)
y e
0.1x2는 구간(interval) ,
에서 미분가능(differentiable) dy dx / 0.2 xe
0.1x2마지막
e
0.1x2 를y
로 바꿔 넣으면dy 0.2 dx xy
위의 식의 구축 과정을 알 수 없는 상태에서
y
가 어떤 함수인지 알아낼 수 있는가? Classification by Type
(1) 상미분 방정식 (ordinary differential equation, ODE): 방정식이 하나의 독립 변수에 대한 하나 혹은 그 이상의 함수들의 상미분만을 포함하고 있는 경우
(2) 편미분 방정식 (partial differential equation, PDE): 방정식이 두 개 이상의 독립 변수에 대한 하 나 혹은 그 이상의 함수들의 편미분만을 포함하고 있는 경우
[Example 1]
2
6
x,
212 0, 3 2
dy d y dy dx dy
y e y x y
dx dx dx dt dt
(ODE의 종속 변수는 2개 이상 가능)2 2 2 2
2 2
0,
2 2,
u u u u u u v
x y x t t y y
: PDE Notation
- Leibniz:
dy dx d y dx / ,
2/
2,...
복잡하지만 종속, 독립변수를 명확히 알 수 있다.- Prime:
y y ', '', ''',... y
4계 이상은 y(n)과 같이 표기한다.- Newton’s dot:
d s dt
2/
2 32 s 32
주로 시간에 대한 미분을 표현할 때 사용한다.Definition 1.1.1 Differential Equation
하나 혹은 그 이상의 독립 변수들에 대한 하나 혹은 그 이상의 종속 변수들의 도함수를 포함 하는 방정식을 미분 방정식 (DE)라고 한다.
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- Subscript:
u
xx u
tt 2 u
t 편미분을 표현할 때 자주 사용된다. Classification by Order
미분방정식의 계수(order): 해당 방정식에서 가장 높은 도함수의 계수
[Example 2]
2 3
2
5 4
xd y dy
y e
dx dx
(2계 미방)4 2
4 2
2 u u 0
x t
(4계 미방) 1계 미방은 때때로 차분형(differential form)으로 씌여진다
M x y dx ( , ) N x y dy ( , ) 0
e.g.
y x dx 4 xdy 0 4 xy ' y x
종속변수가 1개인 n계 상미방의 일반형(general form):
F x y y , , ',..., y
( )n 0 (4)
(이 때
F
는n 2
개 변수의 실함수) , , ',..., ( 1)
n
n n
d y f x y y y dx
: 위 미방의 정규형(normal form) (5) ,
dy f x y
dx
: 1계 정규형d y
22 , , '
f x y y
dx
: 2계 정규형[Example 4]
(a)
4
4
dy dy x y
x y x
dx dx x
: normal form Classification by Linearity
n계 상미방 (4)는
F
가y y , ', ..., y
( )n 에 대해 선형이면 변수y
에 대해 선형(linear)이라고 한다.즉 식 (4)가
1
1 1 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
n n
n n n n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx
의 형태이거나 혹은1
1 1 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx
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선형 상미방 (6)의 좌변은 다음의 두 가지 특징적인 성질을 가진다.
○1 종속 변수
y
와 그의 모든 도함수y y ', '',..., y
( )n 들은 1차이다.○2
y y y , ', '', ..., y
( )n 의 계수들인a a
0,
1,..., a
n 들은 기껏해야 독립변수 x에만 의존한다.만일 주어진 미분방정식이 선형이 아닌 경우, 즉
○1
y y y , ', '', ..., y
( )n 의 계수a a
0,
1,..., a
n 들에 종속변수y
혹은 그 도함수들이 포함되거나,○2 미방에
y y y , ', '', ..., y
( )n 들의 power가 나타나거나 (e.g. y '
2),○3 종속변수와 그 도함수들의 비선형 함수가 포함되는 경우 (e.g.
sin , y e
y') 비선형(nonlinear) 상미방이다.
[Example 5]
(b) 비선형 상미방의 예
1 y ' 2 y e
x, d y
22s in 0, d y
44 20
y dx y y
dx
Solution
F x , ( ), '( ),..., x x
( )n( ) x 0
(구간I
내의 모든 x에 대해서 만족) Interval of Definition
상미방의 해는 반드시 구간과 같이 생각하여야 한다. 구간
I
는 정의구간(interval of definition), 존재구간(interval of existence), 유효구간(interval of validity), 혹은 해영역(domain of the solution) 등의 다양한 이름으로 불리운다.(a, b): 개구간 (open interval) [a, b]: 폐구간(closed interval) (a, ): 무한구간(infinite interval) Definition 1.1.2 Solution of an ODE
구간
I
에서 정의되고,I
에서 연속인 적어도 n개의 도함수들을 가지는(= n번 미분 가능한) 임의의 함수 ( ) x
가 주어진 n계 상미방에 대입되었을 때 그 식을 항등식으로 만들면 ( ) x
를 그 구간에서 미방의 해(solution)라 한다.- 4 - [Example 6]
(a) 1/2
1
4; 16
dy xy y x
dx
y는 미방의 좌우변에 대입하면 모든 실수 x에 대해 만족시키는 해위 미방은
x
에서 상수함수y 0
을 해로 가지는데, 구간I
에서 항등적으로 0인 해를 자명해(自明解, trivial solution)라 한다. Solution Curve
상미방의 해
의 그래프를 해곡선(solution curve)이라 한다.해의 정의에 따르면
는 미분가능한 함수이므로 정의구간I
에서 연속이다. 따라서함수
의 그래프와 미방의해
의 그래프와는 다를 수 있다.[Example 7]
y 1
x
(그림 1.1.1 참고)
○1 함수:
x 0
에서 불연속, 미분 불가능.○2 미방
xy ' y 0
의 해: 미방을 만족시키면서 구간I
에서 미분가능해야 함 가장 크게 잡으 면 (-, 0) 혹은 (0, )를 구간I
로 잡을 수 있음. Explicit and Implicit Solutions
양함수해(explicit solution): 종속변수가 오로지 독립변수와 상수로만 표현 가능한 미방의 해 e.g.
y xe
x는 미방y '' 2 ' y y 0
의 양함수해다.자명해
y 0
도 양함수해다.- 5 -
어떤 미방은 풀이법이 항상 양함수 해를 주지 않는다 (특히 비선형 미방의 경우)
어떤 조건에서
G x y ( , ) 0
의 관계식이 미분가능한 함수
를 정의하는지는 다루지 않음.[Example 8]
2 2
25
x y
는 구간 5 x 5
에서 다음 미방의 음함수해이다. (식의 좌우변을 x로 미분)dy x
dx y
(8)양함수해는
y 25 x
2이다.각 음함수해, 양함수해의 그래프는 위 그림 1.1.2 (a)~(c)를 참조.
x
2 y
2 c 0
형태의 임의의 관계식은 형식적으로는 위 미방 (8)을 만족하나, 실수 체계에서 는 c에 제한이 생긴다 x
2 y
2 25 0
는 음함수 해가 아님. Families of Solutions
미방의 한 해
는 때때로 그 방정식의 적분(integral)이라고 하며, 그 그래프는 적분곡선(integral curve)이라 한다.일반적으로 적분시 적분상수 c를 얻는 것과 같이 1계 미방
F x y y ( , , ') 0
을 풀 때는 보통 하나 의 임의의 상수 혹은 패러미터 c가 포함된 해를 얻는다. 이와 같이G x y c ( , , ) 0
형태의 해의 집합을 1패러미터 해의 족(one-parameter family of solutions)이라 부른다.Definition 1.1.3 Implicit Solution of an ODE
만일 구간
I
에서 관계식G x y ( , ) 0
과 주어진 어떤 상미방 (4)를 모두 만족시키는 적어도 하나의 함수
가 존재하면, 이 관계식G x y ( , ) 0
를 구간I
에서의 상미방 (4)의 음함수해 (implicit solution)라 한다.- 6 -
n 계 미방
F x y y , , ',..., y
( )n 0 의 해 G x y c c ( , , ,
1 2,..., c
n) 0
은 n-패러미터 해의 족(n-
parameter family of solutions)이라 한다 일반적으로 하나의 미방은 각 패러미터의 선택에 따른
무한개의 해를 가진다.
특(수)해 (特(殊)解, particular solution): 임의의 패러미터(arbitrary parameter)가 없는 미방의 해 e.g.
y cx x cos x
는 ,
에서 미방xy ' y x
2sin x
의 양함수해이다.cos
y x x
는c 0
에 해당하는 특해이다 (그림 1.1.3 참조).[Example 10] A Piecewise-Defined Solution
y cx
4는 구간 ,
에서 미방xy ' 4 y 0
의 1패러미터 해의 족이다.다음과 같이 부분적으로 정의되는(piecewise-defined) 미분가능한 함수 (그림 1.1.4 참조)
4 4
, 0 , 0
x x
y x x
는 위 미방의 특해이지만 해의 족에 단일 c값을 할당하여 얻을 수는 없다. Singular Solution
때때로 미방은 해의 족이 아닌 해를 가질 수도 있다. 즉 패러미터 c에 어떤 값을 할당해도 얻을 수 없는 해를 가지는 경우가 있다. 이러한 해를 특이해(特異解, singular solution)라 한다.
e.g. 미방
dy
1/ 2dx xy
은 ,
에서 해로서1
4y 16 x
(예제 6(a))와 자명해y 0
을 가진다.2.2절에서 학습할 풀이법으로
2
1
2y 4 x c
의 1패러미터 해의 족을 얻을 수 있으나 c에 어떤 값을 할당해서 자명해를 얻을 수 없다. 따라서 이 경우 자명해는 특이해이다. 특이해가 왜 발생했을까? 이 경우 주어진 미방은 비선형임에 유의!
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Systems of Differential Equations
연립 상미분방정식 (system of ordinary differential equation): 단일 독립변수의 두 개 혹은 그 이상 의 미지함수(unknown functions)의 도함수(미분)를 포함하는 두 개 혹은 그 이상의 방정식들
e.g.
x y ,
가 종속변수들이고t
가 독립변수인 경우 , ,
dx f t x y
dt
dy , ,
g t x y dt
해는 보통 두 개의 미분가능한 함수로 표현된다. 즉
x
1( ), t y
2( ) t
이다.Remarks
* 차분형으로 씌여진 미방은 종속변수가 명확하게 지정되지 않을 수도 있기 때문에 선형인지 아닌지가 명확하지 않을 수 있다.
* 경우에 따라 미방의 해가 적분 정의 함수(integral-defined function)를 포함할 수도 있다.
( )
x( )
F x
ag t dt
(11)'( )
x( ) ( )
a
F x d g t dt g x
dx
(12)식 (11)은 때로 비기초적(nonelementary)일 수 있다.
기초함수(elementary functions): 상수(constant), 다항식(polynomial), 유리함수(rational), 지수함수 (exponential), 로그함수(logarithm), 삼각함수(trigonometric), 역삼각함수(inverse trigonometric)
* 음함수해
G x y ( , ) 0
은 완벽히 미분가능한 미방의 해
를 정의할 수 있으나, 이것이 반드시 해석적인 방법으로G x y ( , ) 0
을 풀어
를 얻을 수 있음을 의미하지는 않는다.* 해가 존재하지 않는 미분방정식이 있을 수 있다.
* 만일 구간
