Hierarchical Bayesian modeling for soil moisture

2019, 30

4)

713–721

계층적 베이지안 모형을 통한 강우가 토양수분에 미치는 영향 분석

기 ᆷ용구

¹

1경북대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 28ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 6ᄋ ᅯ ᆯ 5ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 6ᄋ ᅯ ᆯ 8ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄐ

ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄌ ᅵᄑ ᅭᄋ ᅴ ᄉ ᅡ ᆼᄐ ᅢᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄌ ᅦᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅭᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅮᄆ ᅮ ᆫ ᄒ ᅡ ᆨᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅧ ᆫᄉ ᅮᄋ ᅵᄆ ᅧ, ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄒ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅢ ᄋ ᅲᄀ ᅵᄆ ᅮ ᆯ ᄅ

ᅩᄇ ᅮᄐ ᅥ ᄋ ᅣ ᆼᄇ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆼᄎ ᅮ ᆯ ᄒ ᅡᄀ ᅦ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅳ ᆼ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄋ ᅴ ᄉ ᅢ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄀ ᅪ ᄇ ᅡ ᆯᄃ ᅡ ᆯ ᄀ ᅳᄅ ᅵᄀ ᅩ ᄉ ᅵ ᆨᄆ ᅮ ᆯ ᄋ ᅦ ᄆ ᅢᄋ ᅮ ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅭᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅧ ᆨᄒ ᅡ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄆ ᅢᄎ ᅦᄋ ᅵ ᄃ

ᅡ. ᄐ ᅳ ᆨ ᄒ ᅵ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄋ ᅴ ᄆ ᅮ ᆯᄉ ᅮ ᆫᄒ ᅪ ᆫ ᄀ ᅨᄐ ᅩ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄒ ᅢᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅢᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮ ᄆ ᅵ ᆾ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅴ ᄀ ᅪ ᆫ ᄀ ᅦᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄒ ᅢᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅥ ᆺᄋ ᅵ ᄑ ᅵ ᆯᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆨ ᄋ

ᅵᄆ ᅧ, ᄀ ᅵᄒ ᅮ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥᄃ ᅩ ᄀ ᅨᄌ ᅥ ᆯᄌ ᅥ ᆨ ᄀ ᅵᄒ ᅮᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄎ ᅳ ᆨ ᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆫ ᄒ ᅢᄉ ᅮᄆ ᅧ ᆫ ᄋ ᅩ ᆫ ᄃ ᅩᄂ ᅡ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄌ ᅩ ᆫ ᄒ ᅡᄆ ᅳ ᄅ

ᅩ ᄎ ᅩᄋ ᅧᄅ ᅳ ᆷ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅴ ᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅩᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅧᄅ ᅳ ᆷ ᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄋ ᅩ ᆫ ᄋ ᅨᄎ ᅳ ᆨ ᄀ ᅢᄉ ᅥ ᆫᄋ ᅦ ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅭᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅧ ᆨᄒ ᅡ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡᄀ ᅩ ᄒ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄂ

ᅳ ᆫ ᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄀ ᅩ ᆼᄀ ᅳ ᆸ ᄆ ᅵ ᆾ ᄀ ᅵ ᇁᄋ ᅵ ᄃ ᅳ ᆼ ᄃ ᅡᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅥᄅ ᅵᄋ ᅦ ᄄ ᅡᄅ ᅡ ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮᄀ ᅡ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅥᄄ ᅥ ᆫ ᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄆ ᅵᄎ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅡ ᆯᄋ ᅡᄇ ᅩᄀ ᅵ ᄋ ᅱ ᄒ

ᅢ ᄀ ᅨᄎ ᅳ ᆼᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅡ ᆫ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅩᄀ ᅢᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄋ ᅦ ᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮ, ᄀ ᅨᄎ ᅳ ᆼᄌ ᅥ ᆨᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅡ ᆫᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨ, ᄇ ᅮ ᆫᄒ ᅪ ᆯ ᄒ ᅬᄀ ᅱᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄐ ᅩᄋ ᅣ ᆼᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ.

1. 서론 ᄐ

ᅩ양수분은지표의 상태를 통제하는 중요한 수문학적 변수이며, 침투나 침루를 통하여 강우와 지하수 르

ᆯ연결하는 기능과 함께 강우에 따른 유출 특성에 직접적인 영향을미치며 증발 등의 과정을 통해 에 ᄂ

ᅥ지 순환을연결하는 중요한 기능을한다. 또한 토양수분은토양의 생성 발달에 매우 중요한 매체이며, ᄐ

ᅩ양간의 화학반응을 통해 유기물로부터 양분을방출하게 하여 이를 식물이 이용하게 하는 중요한 역할 으

ᆯ한다. 특히 토양의 물순환계통을이해하기 위해서는강우 및 토양수분의관계를이해하는것이 필수 ᄌ

ᅥᆨ이며 기후 변화의 측면에서도 계절적 기후변화의 예측가능성은해수면 온도나 토양수분에 의존하므 ᄅ

ᅩ 초여름토양수분의 정보는여름의 기온예측개선에 중요한 역할을 한다 (Rind, 1982). 따라서 신뢰 ᄒ

ᅡᆯ 수 있는토양수분의 정보가 중요한데 정확한 토양수분의 실측자료는그 설치비용과 인력부족으로 매 ᄋ

ᅮ 빈약하며 이를대체할 만한 정보를획득하기 위한 연구 또한 부족한 편이다.

ᄎ

ᅬ근 우리나라에서도 토양수분관측을 통한 수문학적 연구가활발하게 이루어 지고 있는데, Son 등 (2007)은산지사면에서의 토양수분시계열 자료에 대한 단변량 분석을하였고, Kang 등 (2004)은산지 ᄉ

ᅡ면에서의 효과적인 토양수분 측정에관한 연구를 진행하였다. 이 외에 비포화 토양에서 천이상태의 ᄒ

ᅡᆷ수량과 상대 전기 전도도의관계에관한 연구 (Park 등, 1999),토양수분모니터링 자료를토양 증발 ᄅ

ᅣᆼ 평가에활용하는연구 (Gwak과 Kim, 2012; Gwak 등, 2013)그리고 수문모델링에서 모형의 보정 및 거

ᆷ증에 이용한 연구(Ahn 등, 2013)등의 다양한 연구가 이루어져왔다.

보

ᆫ 연구에서는 토양수분 (water potential 또는 volumetric water content)이 강우가 있기 전과 강 ᄋ

ᅮ가 있은 후에 어떻게 변화하는지를알아보기 위하여 계층적 베이지안 모형을 적용하였다. 계층적 베

1

(41566) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄅ ᅩ 80 ᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄇ ᅮᄀ ᅭᄉ ᅮ. E-mail: [email protected]

ᄋ

ᅵ지안 모형은 보다 복잡한 구조를 가지는 모형의 분석에 적합한 통계적 모형으로 기상, 환경, 생태 ᄒ

ᅡᆨ 등 다양한 분야에서 적용되고 있다 (Lee와 Kim, 2016; Park 등, 2017). 강우가 있기 전과 강우가 이

ᆻ은 후의 토양수분의 변화를 알아보기 위하여 두 시점에 대하여 분할선형모형 (piecewise regression model)을가정하고 그 회귀계수 (기울기)의 차이를 통해 토양수분의 변화를확인하였다.

Cardon 등 (2013)은강우가 있은후의 토양의 수분상승 (hydraulic lift)을조사하기 위해서 2007년 ᄋ

ᅧ름동안 Laketown 인근에서 토양수분 관측자료를 수집하였다. 효과적인 분석을 위해 다양한 조건을 ᄀ

ᅩ려하였는데, 인위적으로 토양에 수분을 공급하는지 여부 및 공급시점 (오전 또는오후), 그리고 습도 ᄀ

ᅨ를설치 하는깊이 (35 cm, 50 cm 그리고 100 cm)와 방향 등에 따라 다양한 식물에서 토양수분을관 ᄎ

ᅳ

ᆨ하였다. 참고로관측된 Cardon 등 (2013)의 토양수분자료는 중복된자료와 결측된자료로 인해 불 와

ᆫ전한 형태로 구성되어 있으므로, 본연구에서는 unbalanced design하에서 다양한 처리와 조건에 따 ᄅ

ᅡ 강우의 발생 유무가 토양수분변화에 어떤 영향을주는지를확인하기 위해서 계층적 베이지안 모형을 ᄐ

ᅩ

ᆼ해 알아보았다.

2. 계층적 토양수분 모형 ᄆ

ᅥᆫ저 Yijk(t)를 t 시간에 i 처리를 한 j 번째 식물의 k에 위치한 습도계 (psychrometer)에서 관 ᄎ

ᅳ

ᆨ된 토양수분이다. 단, k에 위치한 습도계는 j번째 식물에 중첩되어 있고 j 번째 식물은 i번째 처 ᄅ

ᅵ에 중첩되어 있다. 여기에서 수분 공급에 관한 i = 1, 2, 3이고 각각 “no water”, “morning wa- ter” 그리고 “evening water”를 의미하며, j = 1, 2, . . . , 6는 각 처리 하에서의 식물을 의미한다. 또 ᄒ

ᅡᆫ k = 1, 2, . . . , nj는각 식물에서의 습도계 위치를의미하는데, 본연구에서는 35 cm, 50 cm 그리고 100 cm 깊이가 각각 고려되었다. 마지막으로 t = (t¹, t2, . . . , t5, t6, . . . , t10)는관측시점을나타내는데, t1, . . . , t5는강우가 있기 전의 시간을그리고 t6, . . . , t10는강우가 있은후의 시간을각각 의미한다. 본 ᄋ

ᅧᆫ구에서는강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후에 대하여 다음과 같은 분할선형모형을고려하였다.

Yijk(t)

( δ^(b)_0,ijk+ δ^(b)_1,ijkt + eijk if t ≤ t5;

δ^(a)_0,ijk+ δ^(a)_1,ijkt + eijk if t ≥ t6, (2.1) ᄋ

ᅧ기에서 eijk는모형의 오차항으로 N(0, σe²)를가정하며 첨자 b와 a는각각 강우가 발생하기 전과 강우 ᄀ

ᅡ 발생한 후를의미한다. 위의 모형은다음과 같은형태로도 표시할 수 있다.

Y = Xδ + e, ᄋ

ᅧ기에서 X와 e는설명변수와 오차항에 대한 행렬과 벡터이다.

δ_1,ijk^(b) 와 δ^(a)1,ijk를각각 i 처리를한 j 번째 식물의 k에 위치한 습도계에서관측된강우가 발생하기 전 ᄀ

ᅪ 강우가 발생한 후의 토양수분 모형의 기울기라고 하면 k = 1, 2, . . . , Kij, j = 1, 2, . . . , Ji,와 i = 1, 2, 3에 대하여 다음과 같은모형을가정할 수 있다.

δ =

δ^(b)_1,ijk, δ^(a)_1,ijk′

∼ M V N (ϕ_ij, Σδ). (2.2) ᄋ

ᅧ기에서 ϕij=

ϕ^(b)_ij, ϕ^(a)_ij ′

느

ᆫ각각 i 처리를한 j 번째 식물에서관측된강우가 발생하기 전과 강후가 ᄇ

ᅡᆯ생한 후의 토양수분모형의 기울기이고 Σδ는 습도계의 위치에 대한 공분산 행렬이다.

ᄃ

ᅡ음으로 i 처리 하에서 j 번째 식물에서관측된강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후의 토양수분 ᄆ

ᅩ형의 기울기 ϕ^(b)ij 와 ϕ^(a)ij 에 대해서는다음과 같이 가정한다.

ϕ_ij=

ϕ^(b)_ij, ϕ^(a)_ij ′

∼ M V N (η_i, Σϕ). (2.3) ᄋ

ᅧ기에서 ηi =

η_i^(b), η_i^(a) 느

ᆫ각각 i 처리 하에서 강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후의 토양수분 ᄆ

ᅩ형의 기울기이고, Σϕ는 식물에 대한 공분산 행렬이며 i = 1, 2, 3 그리고 j = 1, 2, . . . , Ji이다.

ᄆ

ᅡ지막으로 i 처리 하에서 강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후의 토양수분모형의 기울기 η^(b)i 와 η^(a)_i 에 대하여 다음을가정한다.

η_i=

η_i^(b), η_i^(a)′

∼ M V N ((θ^(b), θ^(a)), Ση) (2.4) ᄋ

ᅧ기에서 θ^(b)and θ^(a)는각각 강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후의 overall 토양수분모형의 기울 ᄀ

ᅵ이고, Σ^η는처리 간의 공분산 행렬이며, i = 1, 2, 3이다.

3. 베이지안 모형분석

최우도 추정량 (maximum likelihood estimate; MLE)의 점근적 충분성으로 인해, δ의 최우도추 저

ᆼ량 (maximum likelihood estimate)인 bδ에 대하여 [δ|Y] = [δ|bδ]가 성립한다. 여기에서 [w|x]를 x가 주어졌을 때 확률변수 w의 조건부 확률분포함수를 의미한다. 따라서 관측값에 대한 우도함수 [Y|δ, σ²e]는 bδ ∼ M V N (δ, ΣY)로 나타낼 수 있으며 Σ^Y는 bΣY에 의해서 추정될수 있다. 또한관측시 ᄀ

ᅡᆫ을 (t1, . . . , t5) = (−5, −4, −3, −2, −1)와 (t6, . . . , t10) = (1, 2, 3, 4, 5)로 나누어 설정함으로써 두 기 우

ᆯ기 δ0와 δ1가 서로 독립인 것으로 가정할 수 있다.

ᄆ

ᅥᆫ저 i 처리 하에서 j 번째 식물의 k에 위치한 습도계에서 관측된 강우가 발생하기 전 모형의 기울 ᄀ

ᅵ와 강우가 발생한 후의 모형 기울기의 로그비 (log-ratio), δ^∗1,ijk = log(δ^(a)_1,ijk/δ^(b)_1,ijk)의 분포를 k = 1, 2, . . . , Kij, j = 1, 2, . . . , Ji와 i = 1, 2, 3에 대하여 다음과 같이 가정할 수 있다.

δ^∗1,ijk∼ N ϕ^∗ij, σ(ij)²
, (3.1)

ᄋ

ᅧ기에서 ϕ^∗ij는 i처리 하에서 j 번째 식물의 강우가 발생하기 전 모형의 기울기와 강우가 발생한 후의 ᄆ

ᅩ형 기울기의 로그비 (log-ratio)이고 σ²(ij)는 습도계 위치의 차이에 대한 모형의 분산이다.

ᄃ

ᅡ음으로 i 처리 하에서 j 번째 식물의 강우가 발생하기 전 모형의 기울기와 강우가 발생한 후의 모형 ᄀ

ᅵ울기의 로그비 (log-ratio), ϕ^∗ij는 j = 1, 2, . . . , Ji와 i = 1, 2, 3에 대하여 다음과 같은 분포를가정한 ᄃ

ᅡ.

ϕ^∗ij∼ N η^∗i, σϕ(i)²
, (3.2) ᄋ

ᅧ기에서 η^∗i는 i처리 하에서 강우가 발생하기 전 모형의 기울기와 강우가 발생한 후의 모형 기울기의 ᄅ

ᅩ그비 (log-ratio)이고 σϕ(i)² 는 식물간의 차이에 대한 모형의 분산이다. 마지막으로 i 처리 하에서 강 ᄋ

ᅮ가 발생하기 전 모형의 기울기와 강우가 발생한 후의 모형 기울기의 로그비 (log-ratio), ηi^∗의 분포는 i = 1, 2, 3에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

η_i^∗∼ N θ^∗, σ_η²
, (3.3) ᄋ

ᅧ기에서 θ^∗는강우가 발생하기 전 모형의 기울기와 강우가 발생한 후의 모형 기울기의 overall 로그비 (log-ratio)이고, σ²η는처리간의 차이에 대한 모형의 분산이다.

ᄆ

ᅡᆫ약 bδ_1,ijk^∗ 를 i처리 하에서 j 번째 식물의 k에 위치한 습도계에서관측된강우가 발생하기 전 모형의 ᄀ

ᅵ울기와 강우가 발생한 후의 모형 기울기의 로그비 (log-ratio), δ^∗1,ijk에 대한 최우도 추정량이라 하면 k = 1, 2, . . . , Kij, j = 1, 2, . . . , Ji와 i = 1, 2, 3에 대하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

bδ_1,ijk^∗ ∼ N δ^∗_1,ijk,σb_δ(ijk)²
, (3.4)

ᄋ

ᅧ기에서 bσ²_δ(ijk)는 추정된 Σbδ로부터 구할 수 있다. 즉, bσ²_δ(ijk)는 ∆−method와 같은 수치적 방법을 ᄋ

ᅵ용하여 구해진다. 그 다음은 이전과 동일한 모형으로 표현할 수 있다. 즉, k = 1, 2, . . . , Kij, j = 1, 2, . . . , Ji와 i = 1, 2, 3에 대하여

δ^∗1,ijk∼ N ϕ^∗ij, σ(ij)²
, (3.5)

ᄋ

ᅵ고 j = 1, 2, . . . , Ji와 i = 1, 2, 3에 대하여

ϕ^∗ij∼ N η^∗i, σ_ϕ(i)²
, (3.6) ᄋ

ᅵ며 i = 1, 2, 3에 대하여

η_i^∗∼ N θ^∗, σ_η²
, (3.7) ᄋ

ᅵ다. 위에서 기술한 계층적 모형에 대한 베이지안 분석을위해 각 단계별 모형의 모든모수에 대하여 vague사전분포를가정할 수 있다. 예를 들어, σ²ψ와 σ²ϕ에 대한 사전분포로 IG(.01, .01)를가정할 수 있 ᄀ

ᅩ ηi^∗에 대한 사전분포로 N(θ^∗= 0, σ_η² = 10⁴)를가정할 수 있다. 여기에서 IG는 inverse gamma 분 ᄑ

ᅩ를의미한다.

4. 분석 결과

Cardon 등 (2013)은 강우가 있은 후에 토양수분의 유압적 상승 (hydraulic lift)을 조사하기 위해서 2007년 여름 동안 유타주 Laketown 인근에서관련 자료를수집하였다. 본연구에서는제안된모형을 Cardon 등 (2013)의 자료에 적용하였다. 관련 자료는열전쌍 습도계를이용하여관측되었는데, 참고로 과

ᆫ련된실험은 Ryel 등(2002)의 연구와 유사한 설계 하에 진행되었다. 다만, Cardon 등 (2013)의 실험 ᄋ

ᅳ

ᆫ조금더 건조한 지역에서 진행되었고 다양한 깊이에서 물을 공급하는 처리를 함께 고려하였다는 점 ᄋ

ᅦ서 기존의 실험과 차이가 있다. Cardon 등 (2013)은각각 35 cm, 50 cm, 100 cm의 깊이에 습도계 르

ᆯ설치하여 다양한 깊이에서 토양수분을 조사하였다. 전체 18개의 식물에 3가지의 서로 다른 물처리 ᄅ

ᅳᆯ하였는데, 6개의 식물에는 물을주지 않았고 (no water), 6개의 식물에는오전에 3 리터의 물을주고 (morning water),나머지 6개의 식물에는저녁에 3 리터의 물을주었다 (evening water). 이러한 설계 ᄒ

ᅡ에서 200일 동안 매 1.5시간 마다 각 습도계를 통해서 토양수분을 측정하여 기록하였다.

ᄋ ᅡ

ᇁ에서 가정한 모형과 사전분포를 이용한 베이지안 분석을 위해 MCMC (Markov Chain Monte Carlo)방법을이용하여 모형의 모든 모수에 대한 사후분포를 추정하였다. 참고로 본 논문의 예제에서 느

ᆫ 40,000번의 반복을 통해 얻은 MCMC 표본 중 25,000개는 제거하고 나머지를 분석에 사용하였다.

MCMC의 수렴도는각 모수의 MCMC 표본에 대한 trace plot 등을 통해서확인할 수 있다. 제안된계 ᄎ

ᅳᆼ적 베이지안 모형을 Cardon 등 (2013)의 자료에 적용한 결과, 통계적으로 유의한 물처리에 대한 효 ᄀ

ᅪ를 확인할 수 있었다 (Table 4.1). “no water”에서 가장 유의한 차이를 확인할 수 있었고, “evening water”는 “morning water”와 통계적으로 유의한 차이가 없었지만 조금더큰차이가 있는것으로 나타 ᄂ

ᅡ ᆻ다.

Table 4.1 Bayesian inference of η

s treatment mean sd 95% credible interval

1 1.1471 0.1294 (0.8901, 1.4082) 2 0.3222 0.1235 (0.0833, 0.5757) 3 0.3926 0.1231 (0.1574, 0.6397)

Table 4.2에서는각 물처리 (1: “no water”, 2: “morning water”, 3: “evening water”)하에서 6개의 시

ᆨ물들이 어떠한 차이가 있는지를보여준다. 분석 결과로부터 각 처리 하에서 6개의 식물들사이에는 ᄋ

ᅲ의한 차이가 없는것으로 보인다. 본 실험에서 각 식물은 실험의 반복 측정을위해서 사용되었고 식물 ᄎ

ᅡ이에 의한 효과를차단하기 위한 목적도 있으므로 본 실험에서 블락효과는유의하지 않은것으로 보인 ᄃ

ᅡ.

Table 4.2 Bayesian inference of ϕ

s

treatment plant mean sd 95% credible interval

1 1 0.9392 0.1521 (0.6284, 1.2290)

2 1.3201 0.1810 (0.9764, 1.6902) 3 1.3532 0.1598 (1.0580, 1.6771) 4 1.0320 0.1586 (0.7112, 1.3333) 5 1.1882 0.2094 (0.7913, 1.6242) 6 1.0481 0.1883 (0.6551, 1.4084)

2 1 0.2899 0.1541 (-0.0115, 0.5914)

2 0.3957 0.1674 (0.0715, 0.7349) 3 0.2356 0.1483 (-0.0641, 0.5211) 4 0.4292 0.1886 (0.0758, 0.8225) 5 0.3877 0.2144 (-0.0055, 0.8481) 6 0.2945 0.1804 (-0.0628, 0.6535) 7 0.2206 0.1561 (-0.0960, 0.5249)

3 1 0.2176 0.1427 (-0.0659, 0.4891)

2 0.3192 0.1642 (-0.0080, 0.6409) 3 0.5433 0.1675 (0.2343, 0.8815) 4 0.4012 0.1498 (0.1011, 0.6994) 5 0.4673 0.2117 (0.0732, 0.9118) 6 0.4101 0.1851 (0.0523, 0.7893) 7 0.3753 0.1633 (0.0506, 0.6978)

ᄆ

ᅡ지막으로 Table 4.3에서 Table 4.5는각 식물내에서 다양한 깊이의 습도계 위치에 따라 어떠한 차 ᄋ

ᅵ가 있는지 보여준다. 단, 실험에서 얻어진 자료는각 물처리에 대하여 동일하게 6개의 식물을고려하 ᄋ

ᅧᆻ지만 각 식물마다 다른수의 습도계를각각 다른깊이 (35 cm, 50 cm, 100 cm)에 설치하였다. 즉,각 ᄎ

ᅥ리마다 습도계의 수는 21개로 동일하지만 각 식물마다 관측된 습도계의 개수는다르다 (Table 4.3 - Table 4.5참고). Table 4.3에서 Table 4.5로부터 35 cm 깊이에서는낮 동안에는 습도가 낮아졌다가 밤 ᄋ

ᅵ 되면 수분의 재분배를 통해 다시 습도가 높아지는현상을보여주었다. 하지만 50 cm 깊이에서는 35 cm 깊이와는조금다른결과를보여주었다. 이러한 결과는 35 cm 깊이에서 보다 더 얕은뿌리 구조를 ᄀ

ᅡ지고 있기 때문으로 해석된다. 즉, 밤 동안에 수분의 재분배는뿌리의 깊은 쪽에서 뿌리의 얕은 쪽으 ᄅ

ᅩ 일어나므로 토양내 수분이 50 cm 깊이에서 35 cm 깊이로 이동한다. 다만 폭우가 있은후에는밤 동 ᄋ

ᅡᆫ의 토양내 수분의 이동이 깊이에 상관없이 동일하였다. 또한 100 cm 깊이에 대해서는 35 cm 깊이와 50 cm 깊이 모두가 얕은뿌리 구조의 역할을함을확인할 수 있었다. 즉, 유사한 역학적 원리에 의해서 ᄇ

ᅡ

ᆷ 동안 토양내 수분이 100 cm 깊이에서 50 cm 깊이와 35 cm 깊이로 이동한다.

Table 4.3 Bayesian inference of δ

s for treatment 1 plant psychrometer mean sd 95% credible interval

1 1 0.7648 0.1096 (0.5515, 0.9797)

2 0.8916 0.1900 (0.5158, 1.2551) 3 0.9932 0.1218 (0.7609, 1.2302) 4 0.1765 0.0841 (0.0135, 0.3394) 5 0.8812 0.0608 (0.7622, 1.0020) 6 1.0181 0.1101 (0.8021, 1.2341)

2 1 1.904 0.0595 (1.7861, 2.0204)

2 1.2312 0.1037 (1.0231, 1.4330) 3 1.5493 0.0560 (1.4384, 1.6592)

3 1 0.4820 0.0633 (0.3599, 0.6049)

2 1.0981 0.1048 (0.8927, 1.3032) 3 2.0910 0.1852 (1.7391, 2.4523) 4 1.9713 0.0886 (1.7998, 2.1482) 5 2.0072 0.0911 (1.8298, 2.1861)

4 1 0.6594 0.1213 (0.4207, 0.8955)

2 1.0861 0.1091 (0.8708, 1.3012) 3 0.8739 0.1252 (0.6372, 1.1234) 4 1.0191 0.1160 (0.7924, 1.2513)

5 1 1.3480 0.0767 (1.1991, 1.4963)

6 1 0.5446 0.0658 (0.4186, 0.6738)

2 1.1811 0.1001 (0.9814, 1.3812)

Table 4.4 Bayesian inference of δ

s for treatment 2 plant psychrometer mean sd 95% credible interval

1 1 0.3040 0.1066 (0.0951, 0.5111)

2 -0.0609 0.0776 (-0.2125, 0.0911) 3 0.5564 0.0784 (0.4033, 0.7136) 4 0.2442 0.1291 (-0.0099, 0.5014) 5 0.2943 0.4257 (-0.5569, 1.1352) 6 0.2927 0.4235 (-0.5393, 1.1213)

2 1 0.5931 0.1262 (0.3419, 0.8362)

2 0.3606 0.06217 (0.2386, 0.4821) 3 0.5429 0.0897 (0.3681, 0.7229)

3 1 0.0569 0.1315 (-0.2023, 0.3165)

2 -0.1966 0.1123 (-0.4211, 0.0210) 3 0.0979 0.0944 (-0.0870, 0.2784) 4 0.4916 0.0493 (0.3933, 0.5891) 5 0.3627 0.1233 (0.1250, 0.6057)

4 1 0.4918 0.0895 (0.3205, 0.6709)

2 0.7986 0.0430 (0.7135, 0.8817) 3 0.4314 0.4389 (-0.4473, 1.2813) 4 0.4324 0.4422 (-0.4519, 1.2902)

5 1 0.6424 0.0959 (0.4533, 0.8313)

6 1 0.0942 0.0561 (-0.0148, 0.2044)

2 0.3886 0.0502 (0.2901, 0.4868)

7 1 0.1782 0.0976 (-0.0143, 0.3724)

2 -0.1090 0.1069 (-0.3157, 0.1002)

3 0.4645 0.1616 (0.1465, 0.7837)

4 -0.0680 0.1167 (-0.3004, 0.1572)

Table 4.5 Bayesian inference of δ

s for treatment 3 plant psychrometer mean sd 95% credible interval

1 1 0.0984 0.1287 (-0.1567, 0.3444)

2 0.5208 0.1499 (0.2243,0.8147) 3 -0.0771 0.0983 (-0.2700, 0.1109) 4 0.0166 0.0564 (-0.0936, 0.1281) 5 -0.1496 0.0721 (-0.2891, -0.0109) 6 0.1555 0.0431 (0.0706, 0.2410)

2 1 0.2587 0.0667 (0.1287, 0.3906)

2 0.5704 0.0877 (0.3997, 0.7423) 3 -0.1154 0.1250 (-0.3621, 0.1239)

3 1 0.9953 0.0793 (0.8399, 1.1492)

2 -0.0617 0.0953 (-0.2526, 0.1213) 3 1.2840 0.0958 (1.0972, 1.4711)) 4 0.6033 0.2098 (0.1802, 1.0213) 5 0.5483 0.4239 (-0.2916, 1.3932)

4 1 0.0003 0.1045 (-0.2046, 0.2044)

2 0.1107 0.0820 (-0.0525, 0.2709) 3 0.9524 0.0762 (0.8035, 1.1010) 4 0.5745 0.1265 (0.3285, 0.8239)

5 1 0.7335 0.1065 (0.5231, 0.9449)

6 1 0.3935 0.1320 (0.1384, 0.6504)

2 0.5195 0.0764 (0.3712, 0.6725)

7 1 -0.2301 0.0400 (-0.3071, -0.1505)

2 0.6385 0.0642 (0.5107, 0.7659) 3 0.6743 0.1326 (0.4092, 0.9291) 4 0.3813 0.4334 (-0.4567, 1.2592)

5. 결론 보

ᆫ연구에서는강우의 발생이 토양수분에 미치는영향을계층적 베이지안 모형을이용하여 알아보았 ᄃ

ᅡ. 이를위해 토양에 물을 공급하지 않거나 오전 또는 오후에 공급하는서로 다른처리를 고려하였고 ᄀ

ᅡ

ᆨ 처리 하에서 여러 식물에 대하여 다양한 깊이에서의 습도계를이용하여 토양수분을관측하였다. 그 ᄅ

ᅵ고 강우가 발생하기 전과 강우가 발생한 후의 토양수분모형의 기울기를비교함으로써 다양한 요인에 ᄃ

ᅢ하여 강우의 발생이 토양내 수분상승에 미치는영향을 분석하였다. 제안된모형을미국내 유타지역 ᄋ

ᅴ 토양수분자료에 적용하였고 MCMC 방법을 통해 각 요인의 유효성에 대하여 베이지안관점에서 분 ᄉ

ᅥᆨ하였다. 본연구를 통해 강우의 발생이 지표의 다양한 과정을 통제하는 중요한 수문학적 변수인 토양 ᄉ

ᅮ분에 어떠한 영향을미치는지 알아 보았고 그 결과를여름철 기온예측의 개선에활용할 수 있을것으 ᄅ

ᅩ 생각된다.

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Meteorology, 9, 88-99.

2019, 30

4)

713–721

Hierarchical Bayesian modeling for soil moisture

Yongku Kim

¹

1Department of Statistics, Kyungpook National University

Received 28 May 2019, revised 5 June 2019, accepted 8 June 2019

Abstract

oil moisture is an important hydrologic parameter that controls the various pro- cesses of the surface. It functions to connect rain water and ground water through infiltration, and directly affects the run-off characteristics according to rainfall. In or- der to understand the water circulation system, it is essential to study relationship between rainfall and soil moisture. In this paper, we introduced hierarchical Bayesian model for water potential or volumetric water content to assess hydraulic redistribu- tion. We then investigate the slope change of volumetric water content before and after a rainstorm event.

Keywords: Bayesian analysis, hierarchical model, piecewise regression model, rainfall, soil moisture.

1

Corresponding author: Associate professor, Department of Statistics, Kyungpook National University,

Daegu 41566, Korea. E-mail: [email protected]