염 홍 기
조선대학교 전자공학과
전 기 자 기 학
전하 (charge)가 이동하는 것을 current (전류)라고 한다.
전류에는 2가지 종류가 있다.
- Convection currents (대류 전류) - Conduction currents (전도 전류)
Resistance (저항)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
복습_Steady electric currents
∆𝐼 ∆𝑄
∆𝑡
--
-- -
-- -- -
-- -- -
𝐉 ∆𝐼 𝐄
∆𝐬 𝐼 𝐬 𝐉 · 𝑑𝐬 (A)
𝐉 𝜎𝐄 (A/𝑚 )
𝜎는 conductivity (전도율)로 매질이 전류를 얼마나 잘 흐르게 하는지 정도를 나타낸다.
Kirchhoff’s Current Law
Principle of conservation of charge: electric charge는 새롭게 생겨나거나 사라지지 않는다.
폐곡면 S로 둘러싸인 임의의 공간을 생각해보자.
전류가 이 공간으로부터 흘러나온다면 그 만큼 전하량이 줄어야 하고, 전류가 들어온다면 전하량이 증가해야 한다.
Divergence theorem을 적용하면 다음과 같다.
따라서 다음과 같은 관계를 가지면 이를 equation of continuity라고 한다.
𝐼 𝐉 · 𝑑𝐬 𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑣
𝛁 · 𝐉 𝑑𝑣 𝑑𝜌
𝑑𝑡 𝑑𝑣
𝛁 · 𝐉 𝑑𝜌 𝑑𝑡
Kirchhoff’s Current Law
Steady currents (일정한 전류)의 경우 시간에 따라 charge density가 변하지 않으므로 우변은 0이 된다.
양변을 부피에 대하여 적분을 한 후 divergence theorem을 적용하면 아래와 같이 된다.
이것은 어떤 공간 안으로 들어가는 전류와 나가는 전류들을 모두 합한 것은 0이 된다는 의미로 아래와 같이 표현되며, 이를 Kirchhoff’s current law라고 한다.
𝛁 · 𝐉 𝑑𝑣 0 𝐉 · 𝑑𝐬 0
𝛁 · 𝐉 0
By divergence theorem
𝐼 0
𝐼
𝐼
𝐼 𝑆
Governing Equation for Steady Current Density
3장에서 𝛁 𝐄 0가 되는 것을 보았다. 𝐉 𝜎𝐄이므로 𝛁 𝐉 0이 된다.
따라서 steady currents에 대해 아래와 같이 정리할 수 있다.
이로부터 다음과 같은 경계조건의 식을 도출할 수 있다.
𝛁 · 𝐉 0
𝛁 𝐉
𝜎 0
𝐉 · 𝑑𝐬 0 1
𝜎𝐉 · 𝑑𝒍 0 For Steady Currents
Differential form Integral form
𝑗 𝑗 𝑗
𝑗
𝜎
𝜎 𝐉𝟏
Governing Equation for Steady Current Density
𝑗 𝑗
증명
∮ 𝐉 · 𝑑𝐬 𝐉 · 𝒂𝒏𝟐 𝐉 · 𝒂𝒏𝟏 ∆S 𝒂𝒏𝟐 · 𝐉 𝐉 ∆S
= 𝑗 𝑗
0
증명
∮ 𝐉 · 𝑑𝒍 𝐉 · ∆𝒘 𝐉 · ∆𝒘 0
𝐉𝟏 𝐉𝟐
𝑎 𝑏
𝑑 𝑐
Resistance calculation
커패시터의 capacitance를 아는 경우 아래와 같이 커패시터의 resistance를 간단히 구할 수 있음
𝐶 𝑄
𝑉
∮ 𝐃 · 𝑑𝒔 𝐄 · 𝑑𝒍
∮ 𝜖𝐄 · 𝑑𝒔 𝐄 · 𝑑𝒍
𝑅 𝑉
𝐼
𝐄 · 𝑑𝒍
∮ 𝐉 · 𝑑𝒔
𝐄 · 𝑑𝒍
∮ 𝜎𝐄 · 𝑑𝒔 𝑅𝐶 𝜖
𝜎
𝑅 𝜖
𝜎𝐶
Resistance calculation
Dielectric constant를 알고 있는 것은 매우 제한적이며, 매우 다양한 경우가 존재하기에 resistance를 구하는 방법을 배워보자.
1. 주어진 형태에 적절한 coordinate를 선택한다.
2. Conductor 양단에 전압 𝑉 가 걸려있다고 가정한다.
3. Conductor에 발생하는 E를 계산한다. (Laplace’s equation 𝛻 𝑉 0이용, E=- 𝛻𝑉 이용) 4. E에 의해 발생하는 I를 구한다.
5. 𝑅 𝑉 /𝐼를 이용하여 resistance를 구한다.
𝐼 𝐬 𝐉 · 𝑑𝐬 𝐬 𝜎𝐄 · 𝑑𝐬
Example 4-4
다음과 같이 굵기가 h이고, 안쪽 원의 반지름은 a, 바깥쪽 반지름은 b인 ¼원 conductor의 conductivity 𝜎를 가질 때 conductor 양 끝 사이의 resistance를 구해라.
h a
b
x y
∅
Example 4-4
Example 4-4
전체 복습
Electric field E를 scalar의 gradient로 나타냈고, 이를 Electric potential V이라고 정의함
Electric potential V는 전기적 위치 에너지라고 생각할 수 있음
V는 E에서 다음과 같이 계산됨
E와 V의 관계는 아래와 같음
Electric potential
𝐄 𝛻𝑉
+
+
위치에너지𝐸 𝑚𝑔ℎ
𝑉 𝑉 𝐄 · 𝑑𝑙
𝑉 𝑞
4𝜋𝜖 𝑅 𝐄=𝑎
𝑉 𝐄 · 𝑑𝑙
𝑅 𝑉
+
Conductor에서의 electric field intensity
Dielectric (또는 insulator)의 경우 polarization (분극) 성분을 고려해 주어야 함
Conductor and Dielectric
Inside a Conductor
(Under static conditions)
𝜌 0
𝐄 0
Boundary Conductor
(Conductor-free space)
𝐸 0
𝐸 𝜌
𝜖 - -
- - -
-
𝜌 0
𝐄 0 𝜌
-
𝐄𝒐
-
- -
+ + + +
𝐄𝒑 𝐄
(𝐄𝒐+𝐄𝒑)
𝐏
𝐃 𝜖 𝟏 𝜒 𝐄
𝐄 𝐄 𝐄
𝐃 𝜖𝐄 𝜖 𝜖 𝜖
2 종류의 매질 (경계조건)에서 E와 D는 다음과 같은 관계를 갖는다.
Boundary Conditions
Tangential components: 𝐸 𝐸
Normal components: 𝐷 𝐷 𝜌
𝒂 · 𝐃 𝐃 𝜌
Capacitor (or condenser)는 전하를 저장하는 역할을 한다.
Capacitances
𝐶 𝑄
𝑉
+ + + + - - - -
Capacitance C는 아래와 같은 과정으로 구할 수 있다.
1. 주어진 형태에 적절한 coordinate를 선택한다.
2. Conductor 위에 +Q와 –Q가 있다고 가정한다.
3. 𝐷 𝐷 𝜌 나 Gauss’s law 등을 활용하여 Q로부터 E를 구한다.
4. -Q전하가 있는 conductor에서 +Q전하가 있는 conductor까지 E를 적분하여 V를 구한다.
정확한 전하분포를 알기 어려울 때 전하분포 대신 매질 (conductor/dielectric/free space)의 경계에서의 값이 주어졌을 때 문제를 푸는 방법에 대해 배워보자.
Solution of Boundary-Value Problems
V V
V 0
𝛻 𝑉 𝜌
𝜖
𝛻 𝑉 0
Poisson’s equation
Laplace’s equation
free charge가 없는 경우 전하 (charge)가 이동하는 것을 current (전류)라고 한다.
전류에는 2가지 종류가 있다.
- Convection currents (대류 전류) - Conduction currents (전도 전류)
Resistance (저항)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
Steady electric currents
∆𝐼 ∆𝑄
∆𝑡
--
-- -
-- -- -
-- -- -
𝐉 ∆𝐼 𝐄
∆𝐬 𝐼 𝐬 𝐉 · 𝑑𝐬 (A)
𝐉 𝜎𝐄 (A/𝑚 )
𝜎는 conductivity (전도율)로 매질이 전류를 얼마나 잘 흐르게 하는지 정도를 나타낸다.
Resistance calculation
Dielectric constant를 알고 있는 것은 매우 제한적이며, 매우 다양한 경우가 존재하기에 resistance를 구하는 방법을 배워보자.
1. 주어진 형태에 적절한 coordinate를 선택한다.
2. Conductor 양단에 전압 𝑉 가 걸려있다고 가정한다.
3. Conductor에 발생하는 E를 계산한다. (Laplace’s equation 𝛻 𝑉 0이용, E=- 𝛻𝑉 이용) 4. E에 의해 발생하는 I를 구한다.
5. 𝑅 𝑉 /𝐼를 이용하여 resistance를 구한다.
𝐼 𝐬 𝐉 · 𝑑𝐬 𝐬 𝜎𝐄 · 𝑑𝐬