열 및 통계물리2. 5주

열 및 통계물리 2. 5주

6장 볼쯔만 통계

조선대학교 물리학과 정진



D(v) 에 대한 공식을 유도해보자



볼쯔만 인자와 3차원 공간에서 D(v)는 주어진 속력에 대하여 많은 속도벡터가 주어지므로 함수 D(v) 를

D(v)∝( 한 분자가 속도 𝐯𝐯를 가질 확률)×(속력 v에 해당하는 벡터 𝐯𝐯의 수) --(6.44)



각 속도벡터는 별개의 분자상태 에 대응



한 분자가 주어진 상태 s에 있을 확률은 볼쯔만 인자(e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ) 비례



( 한 분자가 속도 𝐯𝐯를 가질 확률) ∝ e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ---식(6.6) 볼쯔만 인자



E= mv

2

² 병진 운동에너지이므로 위 식에 대입하면



( 한 분자가 속도 𝐯𝐯를 가질 확률) ∝ e−mv2/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 ---(6.45)



이상기체에 성립( 분자의 공간내의위치, 내부운동 같은 분자의 상태에 영향 을 미칠 수 있는 속력 이외의 변수 생략)



(6.45)는 이상기체 내에서 한 분자의 최빈속도 벡터는 0.



(6.44)의 두 번째 인자 “ 속력 v에 해당하는 벡터 𝐯𝐯의 수”를 구하기 위하여 각 점이 속도벡터를 나타내는 3차원 벡터공간을 생각하자

6.4 맥스웰 속력 분포



주어진 속력 v 에 대응하는 속도 벡터들은 반경이 v(r)인 구 표면상에 있다.



V(r) 이 커질수록 더 많은 속도 벡터 들이 있다.



(6.44)두 번째 인자 속도 공간 내에 있는 구의 표면적



( 속력v에 대응하는 속도 𝐯𝐯 의수) ∝ 4𝜋𝜋v² ---(6.46)



(6.46)과 (6.45)를 (6.44)에 삽입하여 정리하면



D(v) ∝ C 4𝜋𝜋v²e−mv2/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 ---(6.47) C는 비례상수



임의속력에서 분자를 발견할 총 확률은1



(6.42)를 변형하면 1= ∫₀ ^∞ D(v)dv = 4𝜋𝜋 C∫₀ ^∞v²e−mv2/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 dv ---(6.48)



𝑥𝑥 = v m/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 치환하여 정리하면



1= 4𝜋𝜋 C(

^{𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌} m

^{)3/2 ∫0 ∞x2e−x2} dx ---(6.49)



이 경우 적분값은 ∫₀ ^∞x²e^−x2 dx = 𝜋𝜋 /4 따라서 C= (

m

𝟐𝟐

𝜋𝜋

^{𝒌𝒌𝒌𝒌}

)^3/2



따라서

D(v) = ( m

𝟐𝟐

𝜋𝜋

^{𝒌𝒌𝒌𝒌}

)

^3/2

4𝜋𝜋v

²

e

−mv2/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 ---(6.50)



이 결과를 이상기체의 속력에 대한

막스웰 분포

라고 한다.



그림 6.13 막스웰 분포 곡선



v 가 매우 작을 때 볼쯔만 인자는 1



곡선은 포물선



v=0 에서 분포함수는 0



이 결과는 분자의 최빈 속도가 0과 일치

그림처럼 막스웰 분포함수는볼쯔만 인자가 지수적으로 감소하기 때문에 매우 큰속력( kT/m 보다 훨씬 큰) 영역에서 0



0~ ∞ 사이에서 맥스엘분포 함수는 증가하다가 감소한다



D(v) = (

m

𝟐𝟐

𝜋𝜋

^{𝒌𝒌𝒌𝒌}

)^3/2 4𝜋𝜋v²e−mv2/𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 ---(6.50)의 값을 0으로 하면 v_max= 𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎 에서 D(v) 가 최대



온도가 증가하면 정점은 오른쪽으로 이동



최빈속력은 rms 속력과 같지않고 22% 작다. (v_rms=

^{3𝑘𝑘𝑘𝑘} _𝑚𝑚

)



(6.13) 그림처럼 평균속력도 다르다



평균속력을 계산하기 위하여 모든 가능한 속력을 확률로 가중치를 더하면



v_mean= ∑_{모든𝑣𝑣}vD(v)dv ---(6.51)



이식을 적분하면 v_mean = 𝜋𝜋

^{8𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚}

---(6.52) 그림6.13에서 보듯이 v_max와 v_rms사이에 있다



문제 어떤 특정 분자의 속도가 1000m/s보다 빠르게 운동할 확률은?



답0.0105. 1%의 질소분자만이 1000m/s 보다 빠르게 움직인다

6. 5 분배함수와 자유에너지

U가 고정된 고립계에서, 가장 기본적인 양은 겹침수 Ω(U)-가능한 상태들의 수



엔트로피 S= Kln Ω ---(2.45) 엔트로피는 증가



오른쪽 그림처럼 온도 T 열원과 평형 상태에 있는 계



Ω와 유사한 양이 분배함수 Z(T)이다 Ω(U)와 마찬가지로 분배함수도 어느 정도

는 계에 가능한 미시 상태들의 수

Z(T) 로그값은 온도고정, 에너지가 변하는

계에서 증가. 이 조건에서 헬름 홀쯔 자유에너지는 감소.(F=U-TS)



증가 경향이 있는 양은 –F, 차원이 없는 양은 –F/kT



F=-kT ln Z 또는 Z=e ^–F/kT---(6.56)



F=U-TS ---(6.57)(5.2) 편도함수로 바꾸면 (

^𝜕𝜕

F

𝜕𝜕

T)^V,N =-S ---(6.58)



S=

U−F

T

를 (6.58)에 넣으면 (

^𝜕𝜕

F

𝜕𝜕

T)^V,N =

F−U

T

---(6.59)



F=-kT ln Z 또는 Z=e ^–F/Kt를 증명하기 위하여 -kT ln Z =Ḟ라하자

 ^𝜕𝜕

Ḟ

𝜕𝜕

T=

^{𝜕𝜕 𝜕𝜕}

T(- kT ln Z )= -klnZ-kT

^{𝜕𝜕 𝜕𝜕}

TlnZ −−−−−−− −(6.60)



𝛽𝛽=kT 를 사용하여 다시 쓰면

^{𝟏𝟏 𝜕𝜕 𝜕𝜕}

Tln Z =

^𝜕𝜕

𝛽𝛽

𝜕𝜕

T

^{𝜕𝜕 𝜕𝜕}

𝛽𝛽 lnZ=kT

^−𝟏𝟏

² Z

^{𝟏𝟏 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝒁𝒁}

𝛽𝛽 =kT

^𝑼𝑼

² ----(6.61)



계의 에너지를 Ẽ=U쓸 수 있다. (6.60)에 대입하면

 ^𝜕𝜕

Ḟ

𝜕𝜕

T= -klnZ-kTkT

^𝑼𝑼

² =ḞT - U

T ---(6.62) T=0일때 F=U=U⁰



T=0 에서 분배함수는 e ^–U0/kT 이다. Ḟ(0)=-kTlnZ(0)= U0=F(0) ---(6.63)



모든 T에서 Ḟ=F 이다. F=-kT ln Z 의 유용성은 S= -(

^𝜕𝜕

F

𝜕𝜕

T)^V,N , P=-(

^𝜕𝜕

F

𝜕𝜕

V)^T,N



𝜇𝜇= (

^𝜕𝜕

F

𝜕𝜕

N)^V,T ---(6.64) 를 이용하여 계의 엔트로피, 압력, 화학 퍼텐셜을

계산할 수 있다. ---3장의 공식과 대응 S-F



여러 개의 입자들로 된 계에 대한 분배함수가 개별입자에 대한 분배함수 가 어 떻게 연관되는가에 대하여 알아보자



두 계의 입자 1, 2로 구성된 계를 생각하자



입자들이 상호 작용이 없다면 총 에너지 E=E₁+ E₂



분배함수 Z_전체 = ∑_𝑆𝑆 𝑒𝑒^{−𝛽𝛽[𝐸𝐸1 𝑆𝑆 +𝐸𝐸2 𝑆𝑆 ]} = ∑_𝑆𝑆 𝑒𝑒^{−𝛽𝛽𝐸𝐸1 𝑆𝑆 −𝛽𝛽𝐸𝐸2 𝑆𝑆} ---(6.65)이다.



분배함수 Z= ∑_𝑆𝑆𝑒𝑒^{−𝛽𝛽𝐸𝐸 𝑆𝑆} ---(6.13)



두 입자가 고정된 위치나 본질적인 성질에 대하여 구별 가능하다면



복합계에 대한 가능한 상태들의 집합은 두 개의 개별입자에 대한 상태들의 모든



가능한 쌍(s1, s2)의 집합과 같다.



Z_전체 = ∑_𝑠𝑠𝑠∑_𝑆𝑆2𝑒𝑒^{−𝛽𝛽𝐸𝐸1 𝑆𝑆 −𝛽𝛽𝐸𝐸2 𝑆𝑆} ---(6.66) 이식에 s1은 입자 1의 상태,



s2는 입자의 2의상태를 나타내고

Z_전체 =Z₁ Z₂ (상호작용 없고 구별 가능한 입자)---(6.67) 이상 겹침수와 동일 (6.66)식은 모든 상태를 두 번씩 고려했으므로 정확한 식은

Z_전체 =

1

2

^{Z1 Z2} (상호 작용 없고 서로 구별 불가능한 입자)---(6.68)이다.

두 입자가 같은 상태 S₁=S₂ 고려 되지 않음 (이상기체에서는 무시)

6. 6 복합계에 대한 분배함수



(6.67)과(6.68)을 두 개 이상의 입자와 계에 대하여 일반화 시키면



입자들이 구별 가능하다면 총분배 함수는 개별 입자들의 분배함수의 곱



Z_전체= Z₁Z₂ Z₃----Z_N (상호 작용하지 않고 구별 가능한 입자)----(6.69)



여러가지 방법으로 에너지를 저장하는 단일입자의 분배 함수에도 적용



Z₁은 x방향의 분배함수일수도 있고 Z₂은 y방향의 분배 함수 일수도 있다



N개의 입자로 된

입자 밀도가 크지 않은 계에 대한 일반적인

공식은 Z_전체=

_𝐍𝐍! ^𝟏𝟏

Z₁^N (상호 작용하지 않고 구별 불가능한 입자)----(6.70) Z1은 개별입자에 대한 분배함수, N개의 입자들이 서로 교환하는 방법의 수이므로 N! 이므로 나눴다.



이상기체가 모두 동일한 N개의 분자들을 포함하고 있다면 분배함수는



Z=

_𝐍𝐍! ^𝟏𝟏

Z₁^N ---(6.71) ; Z₁은 개별입자에 대한 분배함수



Z₁을 계산하기 위하여 단일 분자의 모든 미시 상태들의 볼쯔만 인자를 합해 야 한다.



e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ---식(6.6) 볼쯔만 인자 에서 e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} = e−Etr(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌 e−Eint(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌 ----(6.72)



^Etr(s)는 s 에 대한 분자들의 병진운동 에너지 ^Eint(s) 는 분자의 내부 에너지



Z₁ =Z_tr Z_int ---(6.73)



Z_tr =∑ _병진e−E(tr)/𝒌𝒌𝒌𝒌 , Z_int = ∑_내부e−E(int)/𝒌𝒌𝒌𝒌 ---(6.74) 이다.

6. 7 이상기체의 재탐방

 이상기체가 모두 동일한 N개의 분자들을 포함하고 있다면 분배함수는

 Z= ^𝟏𝟏

𝐍𝐍! Z₁^N ---(6.71) ; Z₁은 개별입자에 대한 분배함수

 Z₁을 계산하기 위하여 단일 분자의 모든 미시 상태들의 볼쯔만 인자를 합해야 한다.

 e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ---식(6.6) 볼쯔만 인자.

 e^{−E(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} = e^{−Etr(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} e^{−Eint(s)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ----(6.72)

 ^Etr(s)는 s 에 대한 분자들의 병진운동 에너지. ^Eint(s) 는 분자의 내부 에너지(진동,회전)

 모든 단일 입자상태들에 대한 합은 병진 상태들과 내부 상태들의 이중합으로 쓸 수 있으므로

Z

₁

=Z

_tr

Z

_int ---(6.73)이다.

 Z_tr =∑_병진e^{−E(tr)/𝒌𝒌𝒌𝒌} , Z_int = ∑_내부e^{−E(int)/𝒌𝒌𝒌𝒌} ---(6.74) 이다.

 내부 분배 함수는 제외 하고

병진 분배함수 Z

_tr 에 대하여 논의하자.

 Z_tr 를 계산하기 위하여서는 분자의 모든 가능한 병진 상태들에 대하여

 볼쯔만 인자 을 더하자. 모든 가능한 위치벡터와 운동량을 고려하여 넣고,

 양자역학을 고려하기 위하여 인자 1/h³을 곱하자.

 1차원 상자내의 속박된 분자로 부터 출발하면 그림(6.16) 을 보자.

 분자가 상자에 속박되어 있으므로 파동함수는 상자의 양끝에서 0이다.

허용된 정상파형의 파장은 λn =2L

n , n=1,2,….. ----(6.75) 로 제한된다.

 L은 상자의 길이, n은 파동에서 마루 또는 골의 수. 각 정상파동은 크기가 같고 방향 이 반대인 운동량을 갖고 오른쪽과 왼쪽으로 진행하는 파동의 중첩.

 각파동의 운동량 크기는 드브로이 관계식 p =h

λ 으로 부터 출발하여

 p_n =h

λ_n =h^𝒏𝒏

2L ---(6.76) .로 쓸 수 있고

 비 상대론적인 입자의 에너지와 운동량 사이의 관계식은 E= p²

2m 이므로(m은 입자의 질량)

 1차원 상자 안에 속박된 분자의 허용된 에너지는

 E_n=p_n²

2m = h^{𝟐𝟐𝒏𝒏𝟐𝟐}

8mL² ---(6.77)이다.



1차원 병진 분배함수 Z_1d = ∑_𝑛𝑛 e^{−E(tr)/𝒌𝒌𝒌𝒌} =∑_𝑛𝑛 e^-

^h

2𝑛𝑛2/ 8mL2kT ---(6.78)



L과 T가 극히 작지 않으면 에너지준위는 매우 가깝다.



적분으로 다시 표현하면 Z_1d = ∫₀ ^∞e⁻

^h

2𝑛𝑛2/ 8mL2kTdn=

2 ^𝜋𝜋

^8mL

2kT

h

²



= 2

^𝜋𝜋

mkT

h

^{2 L≡}

l ^𝑳𝑳 _Q

---(6.79) ) l_Q

≡ h

2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘 를 양자길이라 명한다.

 l

_Q



𝜋𝜋를 제외하고는 운동에너지가 kT이고 질량이m인 입자의 드보르이 파장 값과 동일하다.



실온에서 질소분자의 양자길이는 1.9×10^-11m이다 어떤 실제 상자에 대해서 L/l_Q 값이 상당 히 크다. 이조건 아래서 한 분자가 많은

병진 상태들에 놓일 수 있다는 것을 의미.



대략 내부에 맞는 드브로이 파장의 수만큼 병진상태가 가능.



3차원 으로 확장하여 운동하는 입자의 운동에너지는



E=

p _x ²

2m +

p _y ²

2m +

p _z ²

2m ---(6.81)이다.



3차원 운동량 성분들에 대한 n값은 독립적으로 택해지므로 분배함수는



3차원의 각 성분으로 아래와 같이 분해 될 수 있다.



Z_tr =∑_𝑠𝑠 e^{−E(tr)/𝒌𝒌𝒌𝒌} =∑_{𝑛𝑛𝑥𝑥} ∑_{𝑛𝑛𝑦𝑦}∑_{𝑛𝑛𝑧𝑧} e⁻

^h

2𝑛𝑛𝑥𝑥2/ 8mLx2kT e⁻

^h

2𝑛𝑛𝑦𝑦2/ 8mLy2kT e⁻

^h

2𝑛𝑛𝑧𝑧2/ 8mLz2kT

=

^𝑳𝑳 l _Q

^𝒙𝒙

l ^𝑳𝑳 _Q

^𝒚𝒚

l ^𝑳𝑳 _Q

^{𝒛𝒛 =}

v ^𝑽𝑽 _Q

---(6.82) ; V는 상자의 체적,

v _Q

^{를 양자체적} v_Q= l³_Q =(

h

2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘

)³ ---(6.83)



양자체적은 양자길이세제곱, 실온에 있는 분자의 크기는 매우 작다.



병진 분배함수는 본질적으로 상자 전체 체적 내부에 들어맞는 드브로이 파 장 입방체의 수이고, 보통의 조건에서는 매우 큰 수.



이 결과를 식(6.73)과 결합하여 단일입자의 분배함수를 얻는다.



Z₁=

v ^𝑽𝑽 _Q

^Zint ---(6.84) N개의 분자로 된 전체 기체에 대한 분배함수는



Z=

_𝐍𝐍! ^𝟏𝟏

Z₁^N 에서 Z=

^𝟏𝟏

𝐍𝐍!

(VZ

v _Q

^int)N ---(6.85)

 분배함수 로그는 lnZ= N[ lnV + lnZ_int- lnN - lnv_Q+1]---(6.86)이다.



앞장에서 작은 계는 열원과 에너지를 교환하지만 입자들을 교환하지 않는다고 가정하였다



이 장에서는 환경과 입자가 교환하는 계를 고려해보자(그림 참조) 두개의 미시 상태의 확률의 비

^P(s

²

⁾

P(s

₁

)

=

^Ω _Ω

^R

^(s

²

⁾

R

(s

₁

)

=

e

^SR(s2)/k

e

^{SR(s 1)/k = e} [SR(s2)- SR(s1)]/k

----(7.1)



지수는 계가 상태 1에서 2로 변할 때 열 저장체의 엔트로피 변화를 포함한다.

이는 열 저장체에서 무한소의 변화 이다.



무한소 변화에서 열역학 항등식

dS

_R

=1/T (dU

_R

+PdV

_R

-𝝁𝝁dNr )

을 적용 할



수 있다. 열저장체의 에너지, 부피, 입자수의 증가는 계의 에너지, 부피, 입자수의 감소와 같아야 하므로 우변의 변화값은

계의 변화량에 반대 부호를 붙여 표시 할 수 있다.



6.1에서 유도된 식에서 PdV 항은 매우 작으므로 무시하고 𝝁𝝁dN 을 대신 사용하면



S_R(s₂)-S_R(s₁)=

1

T

^{[E(s2) - E(s1)- 𝝁𝝁N(s2) + 𝝁𝝁N (s1})]----(7.3)으로 쓸 수 있다.



우변의E와 N은 계의 값이므로 –값을 붙였다.

7.1 깁스인자



이식을 (7.1)에 대입하면 P(s

₂

)

P(s

₁

)

=

e

−E(s2)− 𝝁𝝁N(s2)]/k^𝑘𝑘

e

−E(s1)− 𝝁𝝁N(s1)]/k^𝑘𝑘

---(7.4)



확률의 비는 지수인자의 비이다



지수인자의 비는 열 저장체의 온도와, 이 온도에 해당되는 미시상태의 에너지 함수.



이 인자는 상태 s에 있는 계의 입자수 에도 의존. 이 지수인자를

깁스 인자

라고 한다

 Gibbs factor= e

^[−E(s)− 𝝁𝝁N(s)]/k𝑇𝑇 ---(7.5)



확률비 대신 절대 확률로 나타낸다면 지수 앞에 비례상수를 도입하여



P(s)=

1

Ž

e

−[E(s)− 𝝁𝝁N(s)]/k𝑇𝑇 ---(7.6) 로 쓸 수 있다.



Ž 를 큰 분배함수= 깁스합 이라 한다.



모든 상태의 확률의 합이 1이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 Ž = ∑ _𝑠𝑠 ^e

−E(s)− 𝝁𝝁N(s)]/k𝑇𝑇 ---(7.7)



여기서 합은 모든 가능 상태에 대하서 취할 수 있다.



여러 형태의 입자들이 있을 때 식 7.2 𝝁𝝁dN 대신에 𝝁𝝁_idN_i 로 할 수 있다.



두 종류의 입자가 있으면 (7.5)는 G= e −[E(s)− 𝝁𝝁ANA(s)−𝝁𝝁BNB(s)]/k𝑇𝑇 ---(7.8) 이다.

 예)일산화 탄소의 중독



깁스인자의 사용을 설명하는 예로서 혈액 내 산소를 운반하는



헤모글로빈 분자의 흡착 위치를 보자.



헤모글로빈분자는 4개의 흡착 자리를 갖고, 각각의 흡착 자리는



여러 개의 다른 분자로 둘러 쌓인 Fe²⁺ 이온으로 구성한다.



각각의 자리는 O₂분자를 운반 할 수 있다



간단히 하기 위하여 1개의 흡착자리와 3개는 독립적이라고 하면



아래 그림 처럼 미점유 상태와 점유상태의 두 개의 가능한 상태로 갖는다.



이 두 상태의 에너지를



0과 ɛ=-0.7eV 로 택하면



단일 자리 계의 큰 분배함수



두 항만 갖는다



Ž = 1+ e−(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 ---(7.9) 화학 퍼텐셜 𝜇𝜇는 산소가 풍부한 폐에서는



상대적으로 높지만 산소가 소모되는 세포에서는 매우 낮다.



폐 근방에서 혈액이 산소 분압이 0.2atm 인 이상시체의 대기와



근사적으로 분자 수적으로 평형에 있다.



화학 퍼텐셜 식 𝜇𝜇 = ( ^𝜕𝜕F

𝜕𝜕N)^V,T=-kTln(VZNv^int_Q )로 부터



체온 310K의 화학 퍼텐셜을 구하면 𝜇𝜇 = -kTln(VZNv^int_Q )≈-0.6eV ----(7.10) 이들의 값을 대입하면 제2의 깁스인자는 e−(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇≈e^{(0.1𝑒𝑒𝑒𝑒)/k310} ≈40---(7.11)



k=1.38×10^-23 J/K



임의자리가 점유될 확률은 앞에서 같은 이치로 P(O₂로의 점유)= 401+40=98%



그림 7.2처럼 약간의 일산화 탄소가 있어서 흡착 자리에 흡착한다고



가정한다면 비어있는 상태, O2가 차있는 상태, CO가 차있는 상태에서



대 분배함수 Ž 는 Ž = 1+ e−(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 + e−(ɛ′− 𝝁𝝁′)/k𝑇𝑇 ---(7.13)



ɛ′ 는 얽매인 CO분자의 음의 에너지, 𝝁𝝁′는 주위환경에 있는 CO의 화학 퍼텐셜



CO는 산소처럼 풍부하지 않고 산소의1/100정도 있다고 하면



화학퍼텐셜 kTln100= 0.12eV정도 더 낮고 따라서



화학 퍼텐셜 𝝁𝝁

′

은 -0.72eV이다.



반면에 CO는 산소보다 더 얽매여 있으므로 ɛ′ ≈ -0.85eV 가 된다 이들 수치를 대입하면 깁스인자는 e −(ɛ′− 𝝁𝝁′)/k𝑇𝑇≈e ^(0.13𝑒𝑒𝑒𝑒)/k310 ≈𝑠20---(7.14)



따라서 산소분자가 흡착자리를 차지할 확률은P(O₂로의 점유)= 40

1+40+120=25% ---(7.15)으로 떨어진다.

 7.2 보오존과 페르미온



깁스인자의 응용의 중요한 것은 두 개 또는 그이상의 동일한 입자들이



같은 단일 입자 상태를 차지할 기회를 갖는 조밀한 계의 연구인



양자통계이다. 6.6절에서 구한 N개의 구별 불가능한 입자들에 대한 분 배함수 Z=

^𝟏𝟏

𝐍𝐍!

Z₁^N ---(7.16) =(6.70)은 맞지 않다.



여러 가지 상태에 입자들을 바꾸어 넣는 방법의 수인 수셈인자 𝐍𝐍!가



입자들이 항상 다른 상태(단일입자상태)에서만 있을 때 만



올 바르다는 것이다.

이 문제를 더 이해하기 위하여 (7.3)그림처럼



5개의 상태를 점유 할 수 있는 상호 작용을



하지 않는 입자가 2개 있는 계를 생각하자



5개의 상태의 에너지는 0이라고 가정



볼쯔만 인자는 1 (Z= Ω)



두 입자가 구별가능하고 각 입자는 5개의 상태를 가지므로 총 상태수



Z=5×5=25이다. 두 입자가 구별 불가능하면 식7.16은 Z=

_𝟐𝟐! ^𝟏𝟏

5² =12.5



계가 정수이므로 이 값은 맞지 않다.



입자들이 구별 불가능 하므로 문제가 되는 것은 주어진 상태에 있는 입자의 수이다. 계의 어떤 상태는 5개의 정수 열로 나타낼 수 있는데



각 정수는 특정 상태의 입자수 이다.



예를 들면 01100은 2상태와 3상태가 각각 하나의 입자를 포함하고



나머지는 비어있다는 것이다



모든 허용된 상태를 기록하면 그림 7.3의 아래처럼 이다



11000~ 00002까지 15개이다.



11000~00011까지 10개는 두 입자가 다른 상태를 갖는 경우이고,



20000~00002까지 5개의 경우는 두 입자가 같은 상태에 있는 경우이다.



만약 입자가 구별 가능하면 11000~00011까지 10개는 두 가지 순서로



배열될 수 있으므로 20개이다. 그러나 20000~00002까지 5개의 경우는



여전히 5개 따라서 총 25개. 식 (7.16)에서 1/𝐍𝐍! 과 모순



두 개의 똑같은 입자가

같은 상태를

점유하고 있다고 가정하면 이들을

보존(boson)이라 하고 광자, 파이입자(pion),헬륨 4원자등이 보존입자이다.



두 개의 똑같은 입자가

하나의 상태를 공유 할 수 없는 경우, 이들을 페르미온(fermion)이라 하고 전자, 양성자, 중성자,중성미자,헬륨3원자

등이 페르미온 입자이다. 페르미온에서 위의 허용된 계의 상태수는

5개의 입자가 같은 상태를 점유 할 수 없으므로 Z= 10.

파울리베타원리: 두개의 꼭 같은 페르미온이 같은 상태를 점유 할 수 없다



보오존 입자: 정수 스핀값을 갖는다(0,1,2---) 단위는 h/2𝜋𝜋.



페리미온입자: 반정수 스핀값을 갖는다(1/2, 3/2,---)



파울리가 상대론적 양자역학의 결과로 유도한 입자의 본성



단일 입자 상태수가 입자수 보다 매우 크기 때문에



일반적으로 보오존 입자냐 페리미온 입자냐는 중요치 않다.



Z₁≫N ---(7.17) 이면 두 입자가 같은 상태를 점유할 기회는 무시될 수 있다



계상태의 일부만이 중복해서 점유되는 상태수를 갖는다.



 단일 입자 분배함수가 Z₁=VZ_int/v_Q이고,여기서 Z_int는 매우 작은수, v_Q 는 양자부피

 v_Q= l³_Q =(

h

2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘)³ ---(7.18) l_Q

≡

h

2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘

---(6.80) ;



양자길이 정의 

𝜋𝜋를 제외하고 운동에너지가kT이고 질량이m인 입자의 드보르이 파장 값과 동 일

 Z=^𝟏𝟏

𝐍𝐍!Z₁^N 적용 하기 위한 조건(7.17) Z₁≫N 은

V

N ≫ v^Q ---(7.19)인데 입자 사이의 평균거리가 드보르이 파장보다 훨씬 크다는 것을 의미한다.

 공기의 경우 분자간의 평균거리는 3nm,드보르이 파장은 0.02nm미만, 계의 밀도 뿐만 아 니라

v_Q 에 포함된 온도와 입자의 질량에도 의존. 여러 개의 입자가 같은 상태에 들어 갈려고 생각할 때 그림(7.4 참조)

각각의 입자가 v_Q 의 부피를 채울 양자 파동함수 영역을 칠한 것이다

 정상기체에서는 모든 입자가 점유하는 유효부피가 그릇의 체적보다 훨씬 적다

 기체의 밀도가 충분히 크던지 v_Q 가 충분히크면 파동함수들이 서로 겹치려고 한다

 이시점에서 보오존이냐 페르미온이냐에 문제가 되고 정상기체와 매우 다르게 거동이 일어난다. 입자계가 중성자별 처럼 밀도가 크던지 액체 헬륨처럼 차던지, 금속내 전자등이 나 난로안의 광자처럼 매우 가벼운 입자등으로 구성이 되어 있으면 Z₁≫N을 만족하지 않는다

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