New Physics: Sae Mulli,
Vol. 69, No. 10, October 2019, pp. 989∼992 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.69.989
Focusing of Electron Beam via a Ferromagnetic Gate in Graphene
Gukhyung Ihm
∗Department of Physics, Chungnam National University, Daejeon 34134, Korea (Received 10 June 2019 : revised 26 August 2019 : accepted 27 August 2019)
In graphene, the linear dispersion and zero-gap band structure admit highly transparent n−p junctions due to simple electrostatic gating. The transparent ballistic n−p junctions of graphene with electrostatic gates have been known to exhibit negative refractive behavior. In this work, the focusing of an electron beam by using a single n−p junction with an additional ferromagnetic gate in graphene is theoretically studied. The additional use of the ferromagnetic gate in the p-type region is found to provide a step-like magnetic barrier in the applied region and leads to an up-and-down movement of the focal point of the beam. Thus, position control of the focal point of the focused beam is now possible either up-and-down through the magnetic potential or right-and-left through the electrostatic potential applied in the gate. Our results pave the way for realizing electron optics based on graphene n−p junctions.
PACS numbers: 72.80.Vp, 75.47.−m, 78.20.Jq
Keywords: Focusing, Electron beam, Graphene, Ferromagnetic gate
그래핀에서 강자성 게이트에 의한 전자빔의 초점 조정
임국형
∗충남대학교 물리학과, 대전 34134, 대한민국
(2019년 6월 10일 받음, 2019년 8월 26일 수정본 받음, 2019년 8월 27일 게재 확정)
그래핀에서는 선형적인 분산과 갭이 없는 띠구조로 인해 간단한 전기적인 게이트에 의해 아주 투명한 n−p 접합이 가능하다. 그래핀에서의 투명하고 탄동적인 n−p 접합구조는 전기적 게이트의 조절에 의해 음의 굴절을 보이는 것으로 알려져 있다. 본 연구에서는 그래핀에 형성된 강자성 게이트를 추가한 n−p 접합 구조에서 일어나는 전자빔의 초점 조정에 대해 이론적으로 공부하였다. 이를 통해 우리는 이 구조 위에 강자성 게이트를 p-타입 그래핀에 추가하면 스텝과 같은 자기적 장벽을 도입할 수 있고 이로 인해 초점의 위치를 위 아래로 변화시킬 수 있음을 발견하였다. 따라서 전자빔의 초점의 위치를 자기 퍼텐셜을 이용해 위 아래로 변화시키고, 전기 퍼텐셜을 이용해 좌우로 변화시키는 방법을 통해 상하좌우로의 조정 이 가능하게 되었다. 우리의 결과는 그래핀 n−p 접합에 기반한 전자광학을 실현시키는 길을 열어줄 것이다.
PACS numbers: 72.80.Vp, 75.47.−m, 78.20Jq Keywords: 초점, 전자빔, 그래핀, 강자성 게이트
∗E-mail: ghihm@cnu.ac.kr
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990 New Physics: Sae Mulli, Vol. 69, No. 10, October 2019
I. 서 론
양자역학의 세계에서는 모든 물질이 입자와 파동의 양면 성을 가짐은 잘 알려진 사실이다. 대표적인 입증으로 데이비 슨과 검머에 의한 전자회절실험 [1]을 들 수 있는데 드 브로 이 물질파의 성격을 가진 전자빔이 기하광학에서의 빛처럼 행동하며 간섭과 회절을 일으킨 것이다. 반도체 전자공학에 서는 광학과의 유사성이 많이 존재하는데 전자현미경을 그 예로 들 수 있다. 그러나 무엇보다도 그래핀에 형성된 전자 빔 만큼 광학에서의 빛과 유사한 것은 없을 것이다. 그래핀 의 밴드 구조는 벌집 모양의 격자구조에 기인하여 브릴루앙 영역의 디랙점 부근에서 선형적인 분산관계를 보여준다.
그 결과 전자들은 그래핀 안에서 질량이 없는 빛처럼 실리 콘보다 200배 빠르게 움직이며 (vF ∼ c/300) 전기나 열을 가장 잘 전달한다 [2–4]. 또한 그래핀은 광 투과도가 97%
를 상회하는 투명한 물질인 한편, 그래핀 나노리본의 경우 긴 파장 영역대의 빛인 THz전파를 발생할 수 있는 광원의 후보로 손꼽힌다 [5,6]. 그래핀의 열전도도는 열전도도가 높은 구리나 은보다 약 열배 가량 크다 [7]. 그래핀은 가장 우수한 전도성 물질로써 전자 이동도(electron mobility)는 현재 반도체 산업의 대부분을 점유하고 있는 실리콘에 비해 약 열배 이상 크다 [2,3].
최근에 그래핀에 형성된 n−p 접합에서 흥미로운 현상이 예측되고 관측되었는데 [8–10] n 형 그래핀에서 p 형으로 입사하는 전자빔이 음의 굴절률을 가진 것처럼 p 형 지역을 투과하여 한 초점으로 모이는 현상으로 n−p 접합 부근이 렌즈의 역할을 하는 것이다. 이러한 현상은 통상적인 반도 체 n−p 접합에서는 일어나지 않는데 그 이유는 접합 부근에 존재하는 결핍층(depletion layer)의 존재 때문에 전자빔의 조정이 어렵기 때문이다. 그래핀에서는 전기적 게이트에 의한 전하농도의 미세조정이 가능하고 [2,3] 전하들이 n−p 접합을 아주 잘 통과하기에 [11,12] 접합을 투과하는 전자 들은 음의 굴절률을 가진 메타 물질의 표면에서 일어나는 빛의 굴절 [13–15]과 아주 유사하고 n 형 그래핀 사이의 p 형 그래핀은 렌즈의 역할을 수행하는 것이다.
본 연구에서는 n−p 접합 구조에 탐침(probe) 게이트의 뒤로 강자성 게이트(back gate)를 추가로 걸어주면 자기장 에 의한 자기 장벽을 만들어 줄 수 있고 [16,17] 이로 인해 Fig. 1과 같이 초점을 위 아래로 조정할 수 있음을 밝히고 자 한다. 이로 인해 기존의 전기적 게이트 전압이 전기적 장벽을 만들어 (n−p 접합) 게이트 전압에 따라 전자빔의 초점을 좌우로 조정할 수 있다면 추가적인 강자성 게이트 는 자기적 장벽을 만들어 위 아래로 조정 가능하게 만들어 이 둘의 효과를 합하면 상하좌우로 초점 조정이 가능함을 제안하는 것이 본 연구의 목적이다. 다음 장에서는 n−p 접
Fig. 1. (Color online) Negative refraction of electrons (a) Graphene n−p junction as in reference 8. (b) Down- ward movement of focal point by the effect of additional ferromagnetic gate.
합 구조에서 일어나는 음의 굴절 현상을 살펴보고, 이어서 본론에서는 강자성 게이트 효과를 소개한 뒤에 이에 따른 초점 조정 효과를 기술하였다. 마지막으로 결론을 통해 본 연구의 내용과 성과를 요약하였다.
II. n−p 접합에서의 음의 굴절
육방 브릴루앙 존의 모퉁이인 디랙점에서 n 형 그래핀은 에너지 분산 ϵc(k)과 전자들의 군속도 vc = dϵ/d(¯hk)는 다음과 같이 주어진다.
ϵc(k) = ¯hvFk, vc= vFk/k (1) 반면에 p 형 그래핀에서는 다음과 같이 부호가 바뀌어 진다.
ϵc(k) =−¯hvFk, vv=−vFk/k (2) Figure 1(a)와 같은 분리 게이트 구조 [8]에서 두 게이트에 각각 가해진±U 전압은 전자의 분산원뿔을 왼쪽은 ¯hvFkc
만큼 밑으로 내리고 오른쪽은 ¯hvFkv만큼 올리게 되어 n− 지역에서는 전자밀도 ρc= k2c/π가 형성되고 p−지역에서는 홀밀도 ρh= k2v/π가 형성된다. 여기서 kc와 kv는 각각 전 도띠와 원자가띠의 페르미 원의 반경이다. n 지역에서 입사 하는 전자의 드 브로이파는 속도 vc= (vFcos θc, vFsin θc) 와 파수벡터 k = (kccos θc, kcsin θc)를 갖고 있다. 그리 고 일부는 반사되지만 p 지역으로 투과되는 파는 식 (2) 에 따라 속도 vv = (vFcos θv, vFsin θv)와 파수벡터 k = (−kvcos θv,−kvsin θv)를 가진다. 투과할 확률 T 는 다음 장에서와 같이 쉽게 계산할 수 있는데 다음과 같이 주어진다 [11,12].
T = cos2θc
cos2(θc/2 + θv/2) (3)
Focusing of Electron Beam via a Ferromagnetic Gate in Graphene – Gukhyung Ihm 991
y 방향의 전자의 운동량은 보존되므로 kcsin θc =
−kvsin θv이고 다음과 같은 스넬의 법칙이 결정된다.
sin θc
sin θv
=−kv
kc ≡ n (4)
식 (4) 로부터 θv는 음수이고 Fig. 1(a) 는 이를 반영하여 그린 것으로 음의 굴절률을 보여준다. 대칭적인 접합에서는 kc= kv이고 n =−1이 된다.
III. 본론: 강자성 게이트 효과와 결과
투과 장벽이 존재하는 분리게이트에 의한 n−p−n 구조를 생각해 보자 [18]. 이 때 게이트 전압에 의해 p 형 지역에 만들어지는 투과 장벽은 참고문헌 [18]의 Fig. 6에서와 같 이 높이 V0길이 D 를 가진다. n−p−n 구조에서 왼쪽부터 영역을 I, II, III 으로 표시하자. 영역 I 과 II 의 경계를 x = 0으로 놓고 입사하는 전자의 에너지가 E 이고 입사 각이 ϕ 인 경우를 생각해 보자. 여기에 더하여 영역 II 에 뒤에서 걸어주는(back gate) 강자성 게이트를 이용하여 그 래핀 면에 수직인 델타함수와 같은 자기장 Bz를 인가할 수 있다 [16–20]. 이 때 강자성의 방향은 그래핀 면에 나란한 x 방향으로 인가한다.
Bz(x) = BlB{δ(x) − δ(x − D)} (5) 여기서 lB = √
¯
h/eB0은 특정 자기장 B0로 주어지는 길이 스케일이다. 이러한 자기장은 식 (6) 의 스텝과 같은 자기 벡터퍼텐셜을 만들어낸다.
B =∇ × A, Ay(x) = BlB{θ(x) − θ(x − D)} (6) 전기적 퍼텐셜과 자기적 퍼텐셜이 함께 p 영역에 인가 될 때 입사된 전자의 굴절각은 θ 로 표현된다. 영역 I 에서의 전자의 파동함수는
ψI(x, y) = 1
√2 (1
eiϕ )
ei(kxx+kyy)+ r
√2
( 1
ei(π−ϕ) )
ei(−kxx+kyy) (7)
으로 주어지고 tan ϕ = ky/kx이고 E = ¯hvF
√ kx2+ k2y 이다. 영역 II 에서는
ψII(x, y) = a
√2 ( 1
s′eiθ )
ei(qxx+kyy)+ b
√2
( 1
s′ei(π−θ) )
ei(−qxx+kyy) (8)
이고 s′은 손지기(chirality)를 나타내는데 홀 밴드이므로 s′ =−1이다. 여기서 또한 다음을 만족한다.
tan θ = qy/qx, qy= ky+ eBlB/¯h (9)
E− V0=−¯hvF
√
qx2+ q2y (10) 영역 III 에서는 투과된 전자의 파동함수가 존재한다.
ψIII(x, y) = t
√2 ( 1
eiϕ )
ei(kxx+kyy) (11) 전자의 투과확률은 경계면에서 파동함수가 연속적이라 는 경계조건으로부터 구할 수 있으나 이것은 우리의 목적이 아니다.
위에서 한 가지 알 수 있는 것은 수직으로 입사하는 경우, 즉 ky = 0, ϕ = 0인 경우에도 자기퍼텐셜의 영향으로 식 (9) 에서와 같이 θ ̸= 0이라는 사실이다. 중요한 것은 p−
영역에 해당하는 식 (8)의 둘째 항이 음의 굴절률을 가지고 굴절되는 전자빔에 해당된다는 사실이다. 이는 이 항(≡ ψ) 에 대한 확률전류밀도 J 를 계산해 보면 알 수 있는데 그 결과는 놀랍게도 식 (2) 의 군속도와 같이 표현된다.
ψ = ( 1
−ei(π−θ) )
ei(−qxx+kyy) (12)
J =⟨ψ|vFσ|ψ⟩ = (vFcos θ,−vFsin θ) (13) 이 사실은 Fig. 1(b) 의 θv는 식 (9) 의 θ 에 해당되며 (사 실은 θv=−θ) 음의 굴절률을 보여주지만 영역 Π(p−영역) 에 추가로 인가된 자기퍼텐셜의 영향으로 전자빔의 초점이 아래로 이동한 것을 알 수 있다. 자기장의 방향이 바뀌면 초점은 당연히 위로 움직일 것이다.
IV. 결 론
우리는 그래핀에 형성된 n−p 접합구조에서 최근에 발 견된 n−영역에서 입사된 전자빔이 p−영역을 투과하면서 음의 굴절률을 가지고 초점에 모이는 현상에 관심을 가지고 이 초점의 위치를 조정할 수 있는 방법에 대해 연구하였다.
본 연구를 통하여 p−영역에 추가로 강자성 게이트를 이용 하여 자기 장벽을 인가해 주면 자기장의 방향에 따라 초점 의 위치가 위 아래로 움직이는 것을 발견하였다. 따라서 전기적 게이트의 전압의 세기에 따라 전기 퍼텐셜이 바뀌고 이로 말미암아 초점의 위치가 좌우로 조정되는 것을 감안 하면 초점의 위치를 상하좌우로 조정할 수 있게 되었다. 본 연구가 아무쪼록 전자광학의 연구와 소자로의 응용에 있어 일익을 담당하기를 기대한다.
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감사의 글
본 연구는 2018년 충남대학교 자체연구과제에 의하여 수행되었습니다.
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