5.2. Ë ÂÊ ÁÇ a h ÿ ? Ã ¡ > ´ Ç Ðx j Sh

(1)

Ë

ÂÊ ÁN ñ 5 Ñ

ïr &hìr&ño_ þj@/ 6£x6 xÉrK$3<ÊÃº\¦/"4åLÃºP∞

n=0an(z − z0)ⁿÐ

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h½+É Ãº eHכ s¦, :£¤y, >Ãº an[þt`¦&hìr+þAIÐ jtþÃº eHכ s.

Õ

ªX< K$3<ÊÃº m8¸ 6£§

· · · + a−n

(z − z0)ⁿ+ · · · + a−1

z − z0

+ a0+ a1(z − z0) + · · · + an(z − z0)ⁿ+ · · ·

õ

°ú s >h½+É Ãº eÜ¼ 9, y >Ãº[þtÉrïr &hìr/BNd\ ¸H >Ãº\¦ Õª@/

Ð æ¼)aH sכ Ð|½Ó &ños. ïr &hìr/BNd`¦ n = −1 âÄº ¶ú(RÐ

Õª@/Ð &hìr°úכsa). "f, sH&hìr°úכ`¦½¨ HX<\ H¸¹¡§s ÷&H X

<, s\¦s6 xôÇ &ìhr>íß`¦Ä»Ãº >ísß ôÇ. Ä»Ãº >íßÉr&hìr`¦ :x

#

"é¶r<ÊÃº\¦½¨½É Ã+º \OH<ÊÃº[þt_ &&ñhìr`¦½¨ HX<\ H¸¹¡§s|¨c ÷r

m, ÅÒ#Q /BG ?/ÂÒ\ eH H_ >hÃº\¦ ½¨ H 1px s:r&h 8£¤\"f

¸ BÄº ×æכ¹ôÇ %i½+É`¦ôÇ.

5.1. § ´l \ ø ×% ×; ³ ¹Ê Á

<ÊÃº f(z) #Q" &h\"f K$3ÊÃ<º u´ M:, s &h`¦ f (z)_ m; T

+8s ôÇ. ëß{9 <ÊÃº f(z) z⁰"\f K$3&hst ·ú§Ü¼ &h]XôÇ

%ò

%i D(z₀, r) \ {z0} A\0"f K$3&hs z ₀\¦ f (z)_ z ·m;T+8s 107

(2)

Â

ÒÉr. \V\¦ [þt#Q"f z = ±1 Ér<ÊÃº 1

z²− 1_ ¦wn:£¤s&hs¦, z = 0

Ér e^1/z_ ¦wn:£¤s&hs.

t

èß 4 ©\"f /BNÒôÂÇ ïr &hìr/BNdÉr /BG_ ?/ÂÒ\¦í<Ê H%ò

%

i\"f ÅÒ#Q <ÊÃº K$3&h âÄº\ ôÇ # &h6 xÉ Ã+½ º e%3HX<, s

]X\"fH /BG ? /ÂÒ\ :£¤s&hs eH âÄº #QbG> ÷&Ht ·úÐ

. %ò%i {z : r < |z − z₀| < R}0A\"f K$3<ÊÃº f(z) &ñ_÷&#Q e

`

¦M: (éß, 0 ≤ r < R), s îß\ eH¿º "é¶

C₁: |z − z₀| = R₁, C₂: |z − z₀| = R₂, (r < R₁< R₂< R)

`

¦Òqty . ÕªQ, tèß 4.2 ]X_ 1pxd (4) \¦ 7£x"î Hõ&ñõ =G°ú

É

rõ&ñ`¦u¦ ïr &hìr&ño\¦6&h x ¿º "é¶C₁õ C2s\ e

H e__ &h z \ @/ # 6£§ 1pxd f (z) = 1

2πi Z

C₂

f (ζ)

ζ − zdζ − 1 2πi

Z

C₁

f (ζ)

ζ − zdζ (1) s

$íwn<Ê`¦Ð ·ú Ãº e.

zs c

z0

C₂

C₁

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(3)

s

]jÂÒ'H &ño 4.3.2 _ 7£x"îõ&ñõ °ú Ér ~½Ód`¦Ér. Äº, ζ

"é¶C₂ 0A\ eÜ¼ |z − z₀| < |ζ − z0|sÙ¼Ð 1

ζ − z = 1

(ζ − z0) − (z − z0) = 1 ζ − z0

· 1

1 − z − z0

ζ − z0

= 1 ζ − z0

∞

X

n=0

z − z₀ ζ − z0

n

=

∞

X

n=0

(z − z₀)ⁿ (ζ − z0)ⁿ⁺¹ s

)a. ëß{9 ζ "é¶ C1 0A\ eÜ¼ |ζ − z₀| < |z − z0|sÙ¼Ð °ú Ér

~

½ÓdÜ¼Ð >íß

− 1 ζ − z =

∞

X

m=0

(ζ − z0)^m (z − z0)^m+1 e

`¦·ú Ãº e. s ¿º d`¦ (1)\ V,¦ ÁºôÇ½+Ëõ &hìr í_H"f\¦Ë¨

#

Q >íß

f (z) =

∞

X

n=0

1 2πi

Z

C2

f (ζ) (ζ − z0)ⁿ⁺¹dζ

(z − z0)ⁿ

+

∞

X

m=0

1 2πi

Z

C₁

f (ζ)(ζ − z₀)^mdζ

1

(z − z0)^m+1 (2)

s

)a. 0A 1pxd\ ¸H&hìrr "É é¶C1, C2¦\%ò%i r < |z − z₀| < R î

ß\ eÜ¼"f z⁰ ?/ÂÒ\ [þt#QHéß{9`/BG Γ Ð Ë¨#Q¸ t

·ú§H. "f, y n = 0, ±1, ±2, . . . \ @/ # a_n= 1

2πi Z

Γ

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ (3)

¿º, 6£§ 1pxd

f (z) =

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ+

∞

X

m=0

a_−m−1(z − z₀)^−m−1

=

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ

(4)

s

$íwn<Ê`¦ Ãú·º e. s /åLÃº\¦&h z0\¦ ×ædÜ¼Ð ôÇ <ÊÃº f(z) _ }

¹ç¡⁽¹⁾ ¬£ ÂÒÉr.

XN

ËP 5.1.1. *å*9{z : r < |z − z₀| < R} a;c"k +äqùÚH AI)oÈÕ¬£ f (z)

;

c 60 #l anÃç> (3) Üï ìm¥T WÄ^@ :? ûB¸

f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ, r < |z − z0| < R

T

)ç· Â6Ò.

' Ö

<<K 5.1.1. ^&ño 4.3.2 _ 7£x"~î½ÓZO`¦ÃÐ¦ #, 1pxd (2) \¦ 7x"£î Hõ&ñ

\

"f ÁºôÇ½+Ëõ &ìhr_ íH"f\¦ÜãJÃº e6£§`¦Ð#.

Ð|½Ó/åLÃº\¦ ½¨½+É M: Õª >Ãº\¦ (3)õ °ú s &hìr¼ÜÐ ½¨½+É 9כ¹H

\O

. @/ÂÒìr_ âÄº "/4åLÃº>h\¦ s6 x 1pxq/åLÃº\¦ s6 x

) a.

|

ºM 1. <ÊÃº f(z) = 2z

z²− 1Ér C \ {1, −1} 0A\"f K$3<ÊÃºs. 6

£

§%ò%i[þt

0 < |z − 1| < 2, 2 < |z − 1|, 1 < |z|

\

"f <ÊÃº f(z) _ Ð|½Ó/åLº\Ã¦ ½¨K Ð. Äº f (z) = 1

z − 1 + 1 z + 1

Ð +þA . &h z = 1 `¦ ×ædÜ¼Ð H%ò%i_ âÄº 1

z − 1Ér¦}9 כ s

\O. $ 0 < |z − 1| < 2 _ âÄº

z − 1 2

< 1 `¦%i¿º\ ¿º¦ 1pxq /

å

LÃº\¦s6x ôÇ. ÕªQ 1

z + 1 = 1 2· 1

1 +z − 1 2

= 1 2

∞

X

n=0

1 − z 2

n

=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2ⁿ⁺¹ (z − 1)ⁿ

(1) Pierre Alphonse Laurent (1813∼1854),áÔ|½ÓÛ¼ Ð3lql. Õª_ 7HëHÉrÊê\ Ø¦ ó

øÍ÷&%3.

(5)

`

¦%3H. "f, f (z) = 1

z − 1 +

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2ⁿ⁺¹ (z − 1)ⁿ, 0 < |z − 1| < 2 (4)

e

`¦·ú Ãº e. s]j %ò%i 2 < |z − 1| \"fH

2 z − 1

< 1sÙ¼Ð

1

z + 1 = 1

(z − 1) + 2 = 1

z − 1· 1 1 + 2

z − 1

= 1 z − 1

∞

X

n=0

−2 z − 1

n

s

. "f,

f (z) = 2 z − 1+

∞

X

n=2

(−2)ⁿ⁻¹

(z − 1)ⁿ, |z − 1| > 2 (5) s

)a.

%ò

%i |z| > 1 \"fH 1 z

< 1sÙ¼Ð

1 z − 1 = 1

z · 1 1 −1

z

=1 z ·

∞

X

n=0

1 z

n

, 1

z + 1 = 1 z ·

∞

X

n=0

−1 z

n

s

Ù¼Ð

f (z) =

∞

X

n=0

2

z²ⁿ⁺¹, |z| > 1 (6) e

`¦·ú Ãº e. '

Ö

<<K 5.1.2. %ò%i

|z| < 1, 0 < |z + 1| < 2, 2 < |z + 1|

0

A\"f f(z) = 2

z²− 1_ Ð|½Ó/LåÃº\¦½¨ #.

' Ö

<<K 5.1.3. <ÊÃº f(z) = 1

(z − 1)(z − 2)\ @/ #, 6£§%ò%i\"f Ð|½Ó/åLÃº

\

¦½¨ #.

() |z| < 1 () 1 < |z| < 2 () 2 < |z|

(6)

' Ö

<<K 5.1.4. <ÊÃº f(z) = 1

(z + 1)(z²+ 4)\ @/ #, 6£§%%òi\"f Ð|½Ó/åL Ã

º\¦ ½¨ #.

() 1 < |z| < 2 () |z| > 2 () |z| < 1

|

ºM 2. ëß{9 f (z) = sin z

z , sin z _ "4/åLÃº>h\¦s6 x # %ò%i

|z| > 00A\"f sin z

z = 1 − 1

3!z²+ · · · + (−1)ⁿ 1

(2n + 1)!z²ⁿ+ · · · , |z| > 0 (7) e

`¦·ú Ãº e. ðøÍtÐ,

e^1/z=

∞

X

n=0

1

n!z⁻ⁿ, |z| > 0 (8) s

.

|

ºM 3. y<ÊÃº sin z H z = 0\"fH`¦tÙ¼Ð <ÊÃº f(z) = 1 sin z

H z = 0\"f ¦wn:£¤s&h`¦tHX<, s <ÊÃº_ Ð|½Ó/åLÃº\¦½¨K Ð

. Äº sin z

z H 1pxd (7) \"f Ð1pws "4/åLÃº>h 0px Ù¼Ð z = 0

\

"f <ÊÃº°úכ`¦ 1s ¿º z´© K$3<ÊÃº ½+É Ãº e¦, z sin z %ir z = 0\"f K$3<ÊÃºs. s <ÊÃº_ "4/åLÃº>hP

na_nzⁿs 1px d

(7) \ _ #

1 − 1

3!z²+ 1

5!z⁴+ · · ·

(a0+ a1z + a2+ z²+ · · · ) = 1

s

$íwnK ôÇ. "f, a0= 1 a1− 1

3!a0= 0 a2− 1

3!a1+ 1 5!a0= 0

· · ·

(7)

s

$íwnK ¦, sÐÂÒ' a₀= 1, a₁=1

6, a₂= 7 360, . . .

\

¦%3H. "f, 1

sin z =1 z

1 +1

6z + 7

360z²+ · · ·

= 1 z +1

6 + 7

360z + · · · e

`¦·ú Ãº e.

Ð|½Ó/åLÃºH (7)\"f Ð1pws âÄº\ "f "4/åLÃº

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ _

g1Js)a. s âÄº, f(z⁰) = a0 &ñ_ f (z) H z´© K$3<Ê Ã

ºs.

XN

ËP 5.1.2. (oëß) +8z = z0;c"k z· m;T+8Ãç>U¤<AI)oÈÕ¬£ f (z) q

}¹ç¡ ¬£

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿÄ}¹ ®£#eB CHI, :?ª<ò6BVT.

() ~n = −1, −2, · · · ;c 60 #l an= 0 T, () ÈÕ¬£ f (z) ¤< z0q+8BÂ}6Ò £Ó ç¡ a;c"k ¤4T, () lim

z→z0

(z − z0)f (z) = 0 T.

7

£x"î: $ () =⇒ () =⇒ () H ©{ Ù¼Ð, () \¦ &ñ ¦ () \¦ 7£x"î )a. s\¦0A #, <ÊÃº g(z) ü< h(z) \¦6£§

g(z) =

((z − z₀)f (z), z 6= z₀, 0, z = z0

h(z) = (z − z0)g(z) õ

°ú s &ñ_ôÇ. ÕªQ h⁰(z0) = lim

z→z₀

h(z) − h(z0) z − z₀ = lim

z→z₀g(z) = 0 s

Ù¼Ð h(z) H z0\"f K$3&sh. ÕªX< h(0) = h⁰(0) = 0sÙ¼Ð, z0

_

H~½Ó\"f "4/åLÃº>h

h(z) = a2(z − z0)²+ a3(z − z0)³+ · · · + an(z − z0)ⁿ+ · · ·

(8)

\

¦. "f,

g(z) = a2(z − z0) + a3(z − z0)²+ · · · + an+1(z − z0)ⁿ+ · · · f (z) = a2+ a3(z − z0) + · · · + an+2(z − z0)ⁿ+ · · ·

s

. ô

Ç¼# (4) \"f Ð1pws Ð|½Ó/åLÃº 6£§+þAI

f (z) = a−n

(z − z0)ⁿ + · · · + a−1

(z − z0)+

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ, a_−n6= 0 (9)

Ð ÅÒ#QtHÄâº e. s âÄº g(z) = (z − z₀)ⁿf (z)

= a_−n+ a_−n+1(z − z₀) + · · · + a₋₁(z − z₀)ⁿ⁻¹+ a₀(z − z₀)ⁿ· · · (10)

H g(z0) 6= 0 K$3<ÊÃºs¦ f (z) = g(z)

(z − z₀)ⁿ, g(z0) 6= 0 (11)

`

¦ëß7á¤Çô. s M:, <ÊÃº f(z) H z = z0\"f n-^ïB`¦¦ ´úôÇ

. <ÊÉrÕªzª çéßßy z = z0\"f `¦ ¦ ´úôÇ. sH H, <Ê

Ér n-×æH\ @/q÷&H>h¥sÆ. <ÊÃº f(z) z = z⁰"\f n-^ïB£Ó `¦

H´úÉr

f (z) = (z − z0)ⁿg(z), g(z0) 6= 0

`

¦ëß7á¤ HK$3<ÊÃº g(z) r>FôÇH >pws. s âÄº, f(z) _ "4 /

å LÃºH

f (z) = an(z − z0)ⁿ+ an+1(z − z0)ⁿ⁺¹+ · · · , an6= 0 (12)

Ð ÅÒ#Q. ·ú¡Ü¼Ð, 1-×æFG x9 1-×æHrÉ yy ·ÿ x9 ·ÿ£Ó s ÂÒ

É r.

(9)

ë

ß{9 <ÊÃº f(z) z = z⁰\"f n-×æFG`¦t 1pxd (11) \ _ #

z→zlim₀ 1

f (z) = 0s $íwn HX<, 6£§&ño\"fHÕª %is $íwn<Ê`¦ 7£x"î ô

Ç. {9ìøÍ&hÜ¼Ð lim_z→z

0

1

f (z) = 0s $íwn½É M+:, 4¤è<ÊÃº f(z) ∞ Ð

¬

£&9ôÇ ´ú ¦ s\¦

z→zlim₀f (z) = ∞

H. ëß{9 <ÊÃº_ %i`¦oëß½¨ C ∪ {∞} Ü¼Ð Òtyq , sH z

z0\ 0>f\ f(z) oëß½¨_ ôÇ &h ∞ \ 0>f`¦ _

pôÇ.

XN

ËP 5.1.3. AI)oÈÕ¬£ f (z) +8 z = z0;c"k z· m;T+8Ãç> HB CI, z = z0;c"k GBx·L¢_u(ÛoÐZÌ ª< lim

z→z0

f (z) = ∞ T. ¡Â6Ò, n-^ïBT

RJ L·x¢_u(ÛoÐZÌ ª<

z→zlim0

(z − z0)ⁿf (z) = A, A 6= 0, A 6= ∞ T

.

7

£x"î: ëß{9 lim

z→z0

f (z) = ∞s, z₀_ &h]ôXÇ H~½Ó\"f 1

f (z)H Ä»> s

Ù¼Ð &ño 5.1.2 \ _ # "4/åLÃº>hP

nan(z − z0)ⁿ\¦ tHX<,

z→zlim₀ 1

f (z) = 0sÙ¼Ð a⁰ = 0s. "f, %6£§Ü¼Ð 0 an\¦ ¸ú Ü

¼ 1

f (z) = a_n(z − z₀)ⁿ+ a_n+1(z − z₀)ⁿ⁺¹+ · · · , a_n6= 0 e

`¦·ú Ãº e. s]j 1

(z − z0)ⁿf (z) = an+ an+1(z − z0) + · · · , an 6= 0 s

Ù¼Ð Õª %iÃº g(z) = (z − z0)ⁿf (z) g(z⁰) 6= 0 K$3<ÊÃºs¦,

"f f(z) H z = z0\"f n-×æFG`¦.

(10)

' Ö

<<K 5.1.5. ₆£§ <ÊÃº[tþ_ :£¤s&h`¦Ô1¹¦, ¦wn:£¤s&ht, FGt ¶ú(RÐ

.

() tan z () 1

e^1/z+ i () 1 sin z − cos z () 1

(1 − z)³ () Log1 − z 1 + z

Ð|½Ó/åLÃº_ >Ãº (3) \"f, :¤£y n = −1 âÄº\¦Ð Z

Γ

f (z)dz = 2πia−1

s

Ù¼Ð sHÐ &ìhr°úכ`¦½¨ HX<\ H¸¹¡§s)a.

|

ºM 4. tFKt ¶ú(R:r\ _ 1pxd (4), (5), (6) Ü¼ÐÂÒ' Z

|z−1|=1

2z dz

z²− 1 = 2πi, Z

|z−1|=3

2z dz

z²− 1 = 4πi, Z

|z|=2

2z dz z²− 1 = 4πi 1

p

x`¦%3H. '

Ö

<<K 5.1.6. ₆^£^§&hìrכ`°ú¦>íß #.

() Z

|z|=1

sin z

z dz ()

Z

|z|=1

e^1/zdz

() Z

|z|=1

1 sin zdz

5.2. Ë ÂÊ ÁÇ a h ÿ ? Ã ¡ > ´ Ç Ðx j Sh

ë

ß{9 <ÊÃº f(z) z = z0"\f ¦wn:£¤s&h`¦ t &]hXôÇ %ò%i D(z0, r + ) \ {z0} 0A\"f <ÊÃº K$3&hs¦,

an= 1 2πi

Z

|z−z0|=r

f (ζ)

(ζ − z0)ⁿ⁺¹dζ, n = 0, ±1, ±2, . . .

¿º Ð|½Ó/åLÃº f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ, 0 < |z − z0| < r

(11)

\

¦ %3H. s M: ¸H>Ãº a−1\¦ z = z0\"f <ÊÃº f(z) _ ¤¬£

¦, s\¦ Res (f ; z0)Ð ³ðrôÇ. ëß{ Γ z9 0\¦ ôÇ 3' ÑütQH é

ß{9`/BGs¦ Õª ?/ÂÒ\ ¢¸ Ér :£¤s&hs \O

Res (f ; z0) = a−1 = 1 2πi

Z

|z−z0|=r

f (z) dz = 1 2πi

Z

Γ

f (z) dz (13)

s

. ·ú¡_ 5.1 ]X_ Ðl 4 \"f Ð¤1pws /BG Γ ?/ÂÒ\ ¢¸Ér :£¤s

&

hs eÜ¼ 0A 1pxd (13) rÉ$íwn t ·ú§H.

|

ºM 1. ·ú¡_ 5.1 ]X\"f ¶ú(R:rÐl 1, Ðl 2, Ðl 3 \ _

Res

2 z²− 1; 1

= 1, Res sin z z ; 0

= 0

e

`¦·ú Ãº e. ôÇ¼#

Res e^1/z; 0

= 1, Res

1 sin z; 0

= 1

s

.

´ ú

§ÉrâÄº, :£¤y z = z0\"f FG`¦tHâÄº Ð|½Ó/åLÃº\¦¸¿º > í

ß t ·ú§¦¸ Ä»Ãº\¦>í½ß+É Ãº e. <ÊÃº f(z) z = z⁰\"f n-×æ F

G`¦ t¦ Õª Ð|½Ó/åLÃº (9) ü< °ú s ÅÒ#Qt <ÊÃº g(z) \¦ (10)Ü¼

Ð &ñ_ . ÕªQ

a−1= 1

(n − 1)!g⁽ⁿ⁻¹⁾(z0) e

`¦·ú Ãº e. "f, <ÊÃº f(z) z = z⁰\"f n-×æFG`¦t 6

£

§ /BNd

Res (f ; z₀) = 1

(n − 1)! lim

z→z₀

dⁿ⁻¹

dzⁿ⁻¹[(z − z₀)ⁿf (z)] (14)

`

¦%3H.

(12)

|

ºM 2. &hìr°úכ Z

|z−1|=1

z⁴+ z³+ 5

(z − 1)³ dz \¦ >í ß# Ð. $ ï r

&hìr/BNd`¦ s6 xÉ Ã+½ º e. s âÄº g(z) = z⁴+ z³+ 5 ¿º g⁰⁰(1) = 18sÙ¼Ð ½¨ H&hìr°úכÉr

Z

|z−1|=1

g(z)

(z − 1)³dz = 2πi

2! g⁰⁰(1) = 18πi s

. ôÇ¼#, Ä»Ãº\¦$ >íß

Res (f ; 1) = 1 2!lim

z→1g⁰⁰(z) = 1

2g⁰⁰(1) = 9 s

Ù¼Ð (13) \ _ # °ú Érõ\¦%3H. s

]jÂÒ' éß{9`/BG Γ ?/ÂÒ\ ¦wn:£¤s&h z₁, z₂, . . . , z_ns eHâ Ä

º\¦ÒqtyôÇ. s âÄº &h zi¦ ×\ædÜ¼Ð H "é¶ Ci : |z − zi| = r \¦ Õ

ª§4`¦ M:, r > 0 `¦ Øæìry > # C1, C₂, . . . , C_ns "fÐ ut

· ú

§¦ Γ ?/ÂÒ\ e¸2¤½+É Ãº e. s]j, tèß 4.2 ]X_ 1xdp (4) \¦ 7£x"î

Hכ õ °ú ÉrÓZ½~O`¦6 x Z

Γ

f (z)dz =

n

X

k=1

Z

|z−z_i|=r

f (z)dz

s

Ù¼Ð, (13) \ _ # 6£§oñ&\¦%3H.

rm rm

rm

i

Γ

(13)

XN

ËP 5.2.1. (Ä»Ãº&ño) ·ÿB@Gnð`9 Γ *å*9Ω ¼ÿ;c W#l. ÈÕ¬£ f (z) Γ 50«»;c¤<z· m;T+8z₁, z₂, . . . z_nÃç>KJ<YÂ6ÒΩ a;c"k AI )

o

ÈÕ¬£ . ½_^@ ûB¸ 1 2πi

Z

Γ

f (z)dz =

n

X

k=1

Res (f ; zk)

T

)ç· Â6Ò.

|

ºM 3. <ÊÃº f(z) = z + 1

z²(z − 2)_ &hìr`¦ #Q /BG\ @/ # ½¨ K

Ð. $ Ä»Ãº\¦½¨ z = 0 \ "f f(z) H 2-×æFG`¦tÙ¼Ð Res (f ; 0) = 1

1! lim

z→0

d dz

z + 1 z − 2

= −3 4 Res (f ; 2) = 1

0! lim

z→1

z + 1 z² = 2 s

. "f, Z

|z−2|=1

z + 1

z²(z − 2)dz = 2πiRes (f ; 2) = 4πi Z

|z|=1

z + 1

z²(z − 2)dz = 2πiRes (f ; 0) = −3 2πi Z

|z|=3

z + 1

z²(z − 2)dz = 2πi(Res (f ; 0) + Res (f ; 1)) = 5 2πi

\

¦%3H. '

Ö

<<K 5.2.1. ₆£§&hìr°úכ`¦½¨ #.

() Z

|z|=2

e^−z

(z − 1)²dz () Z

|z|=2

z²+ 1 z(z − 2)dz

|

ºM 4. &hìr°úכ Z

|z|=1

dz

z(e^z− 1)`¦½¨KÐ. Äº e^z− 1_HÉr 2πi _

&ñÃºCsÙ¼Ð |z| = 1 ?/ÂÒ_ :£¤&shÉr z = 0 ÷rs. ÕªX<

z(e^z− 1) = z²+ 1 2!z³+ 1

3!z⁴+ · · ·

(14)

s

Ù¼Ð 1

z(e^z− 1)H z = 0\"f 2-×æFG`¦. "f, ½¨ H&hìr

° ú כÉr

Z

|z|=1

dz

z(e^z− 1) = 2πi lim

z→0

d dz

z e^z− 1

= 2πi lim

z→0

e^z− 1 − ze^z (e^z− 1)²

X<, s FGôÇ°úכ`¦½¨ l ÐÄº Ð Ð|½Ó/åLÃº\¦½¨½+É Ãº¸ e

. z´]jÐ 1

z(e^z− 1) = 1

z²· 1 1 + 1

2!z + 1

3!z²+ · · ·

= 1 z²

1 −1

2z + · · ·

s

Ù¼Ð

Z

|z|=1

dz

z(e^z− 1) = 2πi ·

−1 2

= −πi s

. ' Ö

<<K 5.2.2. ₆^£^§^&^h^ìr°úכ`¦½¨ #.

() Z

|z|=1

1

cos zdz () Z

|z|=2

1 cos zdz '

Ö

<<K 5.2.3. /BG |z| = 2 \¦ 6£§ÊÃ<º[þt`¦&hìr #.

() e^−z

z³ () z⁴e^z⁻² () z + 1 z²− z () z⁶

1 − z³ () 1 1 + z³

&

h

z = z₀\"f <ÊÃº f(z) _ Ð|½Ó/åLÃº f(z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z − z₀)ⁿ\¦

½

¨ %i`¦M:, Õª >Ãº {an : n = −1, −2 . . . }îrX< 0 כ s Ä»ôÇ

>

h ÷rs . s M:,

Ord (f ; z₀) = min{n ∈ Z : an6= 0}

s

éH. ëß{9 <ÊÃº f(z) z = z0"\f n-×æFG`¦t 1pxd (9) \

"

f Ð1pws Ord (f; z⁰) = −ns. ôÇ¼#, <ÊÃº f(z) z = z⁰\"f n-×æ

H`¦t 1pxd (12) \"f Ð1pws Ord (f; z0) = ns.

(15)

s

]j <ÊÃº Ord (f; z⁰) = ms . ÕªQ

f (z) = a_m(z − z₀)^m+ a_m+1(z − z₀)^m+1+ · · ·

= a_m(z − z₀)^m[1 + g(z)]

Ð jþt Ãº e. #l"f, g(z) H g(z0) = 0 K$3<ÊÃºs. f]X >íß

f⁰(z) f (z) = m

z − z₀+ g⁰(z) 1 + g(z)

`

¦%3H. "f, Res f⁰

f ; z₀

= 1 2πi

Z

Γ

f⁰(z) f (z) dz

= 1 2πi

Z

Γ

m z − z0

dz = m = Ord (f ; z0)

e

`¦·ú Ãº e. #l"f Óüt:r Γ H z0¦\]jü@ Õª ?/ÂÒ\ FGsH s

\O¸2¤¸úH. Ä»Ãº&ño\¦s6 x 6§`£¦%3H.

XN

ËP 5.2.2. (¼#y "é¶) ·o ÿGB@nð`9 Γ *å*9 Ω ¼ÿ;c W#l . ÈÕ

¬£ f (z) Γ 50«»;c ¤< z· m;T+8 z1, z2, . . . , zn>çÃ <KJYÂ6Ò Ω a;c

"

k AI)oÈÕ¬£Tz, ~¡¥<z· m;T+;8c"k Ãç> >.z . ¡Â6Ò, ÈÕ

¬£ f (z) ¤< Γ 50«»q+8zn+1, zn+2, . . . , zn+m;c"k £Ó Ãç>.> z .

½

_^@ ûB¸

1 2πi

Z

Γ

f⁰(z) f (z) dz =

m+n

X

k=1

Ord (f ; zk) T

)ç· Â6Ò.

¼

#y "é¶oH6£§õ °ú s ~1> Û¦#Q jþtÃº e. éß{9`/BG Γ _ ?/ Â

Ò\Hs N >h e¦ FGs P >h eÜ¼ 1

2πi Z

Γ

f⁰(z)

f (z) dz = N − P

(16)

Hכ s. #l"f, n-×æHÉr Óütr n: >h_HÜ¼Ð çßÅÒ 9 n-×æFG¸

ðøÍts.

#

\¦·úÐ. Äº Ω " é¶&h`¦í<Ê t ·ú§HéßíH%ò%is

. ÕªQ Ω \ 5Åq Hyy_ z \ ¼#y`¦ m @/6£xr&ÅÒH5Åq

<ÊÃº >rFôÇ. sQôÇ 5Åq<ÊÃº\¦ Ω \ &ñ_)a@~½Zq U¦ ÂÒ Ø

Ô 9 Ð:x arg^∗Ð ³ðlôÇ. ¼#y_ tH 2πi_ &ñÃºC s\¦Áºr Ùþ

¡`¦M: Ä»{9 > >rFôÇ. tèß 3.2 ]X_ 1pxd (7) \"f ÐHü< °ú s

Arg z H 4¤è¨î\"f "é¶&h x9 6£§_ z´Ãº»¡¤`¦]jôÇ %ò%i\ &ñ_

)

a ¼#y_ t îrX< s.

##

# aa

aa a

@

HH H

r−π r

−π/2 r0 π/2r

rπ

r 3π/2

r2π r2π

' Ö

<<K 5.2.4. ₀_A7H_\"f %%òi Ω "é¶&h`¦í<Ê t ·ú§HéßíH%ò%is

H &ñs = 9כ¹ôÇ [O"î #.

"

é

¶&h`¦í<Ê t ·ú§HéßíH%ò%i Ω \"f ÊÃ<º log^∗z \¦6£§ log^∗z = log |z| + i arg^∗z, z ∈ Z

õ

°ú s &ñ_ôÇ. tèß 3.2 ]X_ Ðl 3 \"f ¶ú(RÐ¤1wps arg^∗z HÅÒ

#

Q &hH~½Ó\"f arctany

x <ÊÉr− arctanx

M:ëH\ log^∗z H Log z _ âÄºü< °ú s K$3<ÊÃºs. sXO> &ñ_)a log^∗z \¦ Ω\ &ñ_)a}¹½q U¦ ÂÒÉr. ¼y#_ tü< ðøÍ

(17)

t

Ð ÐÕª_ t¸ 2πi _ &ñÃºC s\¦ºrÁÙþ¡`¦M: Ä»{9 > >rF ô

Ç. ¢¸ôÇ tèß 3.2 ]X_ Ðl 3 \"f ¶ú(R:r Log z_ âÄºü< ðøÍt

Ð 6£§ 1pxd

e^log^∗^z= z, d

dzlog^∗z = 1

z, z ∈ Ω, s

$íwn<ÊÉrÐSX)a.

é

"é¶&h`¦í<Ê t ·ú§HéßíH%ò%iΩe\ í<Ê)a¦ &ñ . Õª

Q WZOgË:\ _ # d

dzlog^∗f (z) = f⁰(z)

f (z), z ∈ Ω

$íwn Ù¼Ð, &ño 4.1.1 \ _ # 6£§ 1pxd Z

Γ

f⁰(z)

f (z) dz = log^∗f (Γ(b)) − log^∗f (Γ(a)) s

$íwnôÇ. 7£¤, &shìr_ z´ÃºÂÒü< )ÃºÂÒHyy /BG Γ \¦ &h z s1lx<Ê\ Ér log |f (z)|ü< arg^∗f (z)_ o|¾Ós. ëß{9 Γ {

2³/BGs s &ìhr_ z´ÃºÂÒH

log |f (Γ(b))| − log |f (Γ(a))| = 0 s

)a. ¢¸ôÇ, /BG_ &ñ_%i`¦¸ú> ³nuÜ¼Ð+, /BG f ◦ Γ _ y ÂÒ ì

rs éßíH%ò%i\ [þt#Q¸2¤½+É Ãº e. "f, s &hìr_ °úכ i [arg^∗f (Γ(b)) − arg^∗f (Γ(a))]

Ér z /BG Γ \¦ ôÇ 3' [U\ Ér f (z)_ ¼#y_ o|¾Ó\ i

\

¦ YLôÇ כ s. ÕªX<, Γ {2³/BGs s ¼#y_ o|¾ÓÉr "é¶&h

`

¦ tt ·ú§H{2³/BG f ◦ Γ : [a, b] → C s "é¶&h`¦>rìøÍ@/~½Ó¾ÓÜ¼

Ð yÉrSÃº\ 2π \¦ YLôÇ °úכs.

(18)

f (z) = z² p

p p

p

pp p

p p p p p p p p p p p p p p p p

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p p

p

p p

q q

qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq

q q

q

q q

q

q q

q

q q

q

"f ¼#y"é¶o >pw H H, &ño\ ÅÒ#Q ¸| `¦ &ñ ¦ é

ß{9`/BG Γ _ ?/ÂÒ\"f <ÊÃº f tHHõ FG_ >hÃº\¦yy N, P , /BG f ◦ Γ s "é¶&h`¦>rìøÍ@/~½Ó¾ÓÜ¼Ð N − P yH

Hכ s. ¼#y "é¶oHH_ ìrí\¦·ú?/HX<\ BÄº Ä»6 x > æ¼

.

XN

ËP 5.2.3. (ÀÒ[V⁽²⁾) ·ÿB@Gnð`9 Γ *å*9 Ω ¼ÿ;c W#lz, ÈÕ¬£ f (z) ã#g(z) Ω a;c"k AI)o+8T. ¹ÿBGð`9 Γ aq ~¡¥< +8z ∈ Γ

;

c 60 #l «»ûB¸

|f (z) − g(z)| < |f (z)|, z ∈ Γ T

)ç· ^@, Γ 50«»;c"k f (z) ã#g(z) ¤< ìm¥ª<¬£q £Ó Ãç>.> .

7

£x"î: $ h(z) = g(z)

f (z) ¿º h⁰

h = f

g ·g⁰f − gf⁰ f² = g⁰

g −f⁰ f s

. "f, Γ : [a, b] → Ω s Z

Γ

g⁰ g −

Z

Γ

f⁰ f =

Z

Γ

h⁰ h =

Z b a

h⁰(Γ(t))

h(Γ(t))Γ⁰(t)dt = Z

h◦Γ

1 zdz

(2) Eug`ene Rouch´e (1832∼1910),áÔ|½ÓÛ¼ Ãº<Æ

(19)

s

. ÕªX< &ñ\ _ |h(Γ(t)) − 1| =

g(Γ(t)) f (Γ(t))− 1

< 1s. s

H /BG h ◦ Γ \P2;"é¶óøÍ D(1, 1) 0A\ e6£§`¦´úôÇ. ÕªX< <ÊÃº 1 z

H D(1, 1)0A\"f K$3&hsÙ¼Ð Z

Γ

g⁰ g −

Z

Γ

f⁰ f =

Z

h◦Γ

1 zdz = 0 s

¦, ¼#y "é¶oÐÂÒ' "é¶ H:r`¦%3H. À

Ò[V &ño\¦s6x @/Ãº<Æ_ l:r&ño\¦ 7£x" îHX<\ Õªut

· ú

§¦H_ ]X@/°úכs #QÖ¼ &ñ¸t &|9 Ãº eHt ·ú^¦Ãº eHX<, l

:r&h ~½ÓZOrÉ<ÊÃº zⁿs n-×æH`¦Hz´`¦s6 x Hכ s

. $

pn(z) = a0+ a1z + · · · + an−1zⁿ⁻¹+ anzⁿ= pn−1(z) + anzⁿ

¿º (éß, an6= 0). ëß{9 |z| > 1 s

pn−1(z) a_nzⁿ

≤ 1

|an||z|ⁿ(|a₀| + |a₁| + · · · + |a_n−1|)|z|ⁿ⁻¹

= 1

|a_n||z|(|a0| + |a1| + · · · + |an−1|) s

. s]j, R = max

1, 1

|an|(|a0| + |a1| + · · · + |an−1|)

¿º,

|z| = R + =⇒ |anzⁿ− pn(z)| = |pn−1(z)| < |anzⁿ| s

Ù¼Ð ÀÒ[V &ño\ _ # pⁿ(z) H "é¶|z| = R + ?/ÂÒ\ aⁿzⁿõ °ú

Ér n >h_H`¦ . #l"f, > 0 Ér e__ ªÃºsÙ¼Ð pn(z) H

"

é

¶øÍ D(0, R) 0ó A\"f n >h_H`¦.

|

ºM 5. ½Ód p(z) = z⁵+ 6z³+ 2z + 10_H_ 0Au\¦¶ú(RÐ.

$ |z| = 1 \"f

|p(z) − 10| = |z⁵+ 6z³+ 2z| ≤ |z|⁵+ 6|z|³+ 2|z| < 10

(20)

s

Ù¼Ð p(z) H <ÊÃº f(z) = 10 õ °ú Ér hÃ>º_ H`¦ . ÕªX<

|z| = 1?/ÂÒ\"f f(z) = 10 sH`¦tt ·ú§Ü¼Ù¼Ð p(z) ¸ |z| < 1 \

"

fH`¦tt ·ú§H. s]j |z| = 3 \"f

|p(z) − z⁵| = 6|z|³+ 2|z| + 10 = 6 · 3³+ 2 · 3 + 10 < 3⁵= |z⁵| s

Ù¼Ð p(z) H "é¶|z| = 3?/ÂÒ\"f z⁵ü< ðøÍtÐ $Á >h_H`¦

. éß0A"é¶|z| = 1\"fH|p(z)| ≥ 10 − |z⁵+ 6z³+ 2z| ≥ 1sÙ¼ÐH

`

¦|9 Ãº \O. ²DG½Ód p(z) _ ¸HHÉr%ò%i 1 < |z| < 3 0A\ e

6£§`¦·ú Ãº e. '

Ö

<<K 5.2.5. ^%ò%i 1 < |z| < 2 îß\ ½Ód 2z ⁵− 6z²+ z + 1_ Hs Y> >h e

Ht ¶ú(RÐ.

' Ö

<<K 5.2.6. ^%ò%i |z| < 1 îß\ 6§£½Ód_Hs Y> >h eHt ¶ú(RÐ.

() z⁴− 5z + 1 () z⁷− 5z⁴+ z²− 2

5.3. \ & P + N ñ 5 Ñ

z

´<ÊÃº 1

1 + x² Ér arctan x_ ¸<ÊÃºsÙ¼Ð Z ∞

−∞

1

1 + x²dx = π e

`¦¸ú ·ú¦ e. s &hìr°úכ`¦ 4¤è&hìr`¦s6 x # ½¨K Ð. s\¦ 0

A # y ªÃº R > 0 \ @/ # 6£§

CR(t) = Re^iθ (0 ≤ θ ≤ π), LR(t) = t (−R ≤ t ≤ R) õ

°ú s &ñ_a)ìøÍ"é¶CRõ ìr LR`¦Òqty . s]j <ÊÃº 1 1 + z²\¦ CR+ LR`¦"f &hìr HX<, ìøÍ¨î Im z ≥ 0 \"f z = i Ä»{9 ô

Ç :£¤s&hs¦ Res

1 1 + z²; i

= 1

2isÙ¼Ð R > 1 s π =

Z

CR+LR

dz 1 + z² =

Z

CR

dz 1 + z²+

Z

LR

dz

1 + z² (15)

(21)

s

. ÕªX<

Z

L_R

dz 1 + z² =

Z R

−R

dx 1 + x²s¦

Z

CR

dz 1 + z²

≤ Z

CR

1

|1 + z²||dz| ≤ 1

R²− 1 · πR s

Ù¼Ð (15) \ lim

R→∞\¦2[ "é¶ H:r`¦%3H.

- I

pppppppppppppp pppppppppppppp pppppppppppppp ppppppppppppppp ppppppppppppppppp pppppppppppppppp pppppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppp pppppppppppp pppppppppppp pppppppppppp pppppppppppp pppppppppppppp pppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppp 0

A\"f 6 xôÇ ~½ÓZOÉrBÄº +þA&h כ s. ëß{9 <ÊÃº f(z) ìøÍ

¨î

Im z ≥ 0 `¦í<Ê H %ò%i\"f Ä»ôÇ>h_ :£¤s&h`¦ ]jü@ôÇ ÂÒìr

\

"f K$3<ÊÃºs¦ z´f Im z = 0 \"f :£¤s&h`¦ tt ·ú§H¦

. ëß{9 /BG C _R+ LRîß\ ¸H :£¤s&hs [þt#Q°ú &ñ¸Ð R > 0 `¦ ß

¼> ¸úÜ¼ Z R

−R

f (x)dx + Z

C_R

f (z)dz = 2πiX

{Res (f ; z) : Im z > 0}

s

)a. ëß{9 lim

z→∞zf (z) = 0s, lim

R→∞

Z

C_R

f (z)dz

≤ lim

R→∞πR max{|f (z)| : z ∈ CR} = 0 s

−∞

1

p(x)dx = 2πiX {Res

1 p(z); z

: Im z > 0} (16) e

`¦·ú Ãº e.

|

ºM 1. \V\¦ [þtQ"#f p(z) = 1 + z⁴s ¿º Z ∞

−∞

dx

1 + x⁴ = 2πi Res

1 p(z); e^πi/4

+ 2πi Res

1

p(z); e^3πi/4

(22)

s

. #l"f p(z) \¦ ÃºìrK # Ä»Ãº\¦½¨ lêøÍ BÄº Ðîr {9 s

. {9ìøÍ&hÜ¼Ð K$3<ÊÃº f(z) z = z0\"f éßH`¦t (14) \ _

# Res

1 f (z); z0

= lim

z→z0

z − z0

f (z) = lim

z→z0

z − z0

f (z) − f (z0) = 1 f⁰(z0) s

. ÕªX<, p⁰(e^πi/4) = 4e^3πi/4, p⁰(e^3πi/4) = 4e^πi/4sÙ¼Ð Z ∞

−∞

dx

1 + x⁴ = 2πi 1

4e^−3πi/4+1 4e^−πi/4

= πi 2 · (−√

2i) = π

√2

s

. ' Ö

<<K 5.3.1. &hìr°úכ Z∞

−∞

x²

1 + x⁴ dx \¦½¨ #.

' Ö

<<K 5.3.2. 6£§&hìr°úכ`¦½¨ #.

() Z ∞

0

dx

(x²+ 1)² () Z ∞

0

x²dx (x²+ 1)(x²+ 4) ()

Z ∞

−∞

dx

(x²+ 2x + 2) () Z ∞

−∞

dx (x²+ 2x + 2)²

6£§\ >íß½É :+£¤s&hìr Z ∞

0

sin x

x dx = π

2 (17)

É

rÉÒo\/åLÃº\¦ /BNÂÒ½+É M: BÄº ×æ¹ôכÇ %i½+É`¦Çô.⁽³⁾ s &hìr_ x

&

h

ìr<ÊÃºH x 7x£<Ê\ "f ªÃºü< 6£§Ãº°úכ`¦ °ú 2[ H<Ê Ã

ºÐ"f, s :£¤s&hìrÉrÃº§4ôÇ.

|

ºM 2. <ÊÃº e^iz

z _ )ÃºÂÒ z´Ãº»¡¤ 0A\"f Äºo "é¶ H <ÊÃº sin x

x s. s <ÊÃºH "é¶&h\"f FG`¦tÙ¼Ð s\¦x l 0A #, R

\

"f −R t r>ìøÍ@/~½Ó¾ÓÜ¼Ð ìøÍ"é¶CR`¦¦, −R ÂÒ' −r

(3) &hìr`¦6 x t ·ú§¦ 1pxd (17) `¦>íß H~½ÓZOÉrÐÃ¦ëH³ [2], 8.1 ]X`¦ÃÐ¸

. ¢¸ Ér~½ÓZOÜ¼Ð 6£§\ ¸H 5.4 ]X`¦ÃÐ¸ .

(23)

t

ìr`¦ ¦ (éß, 0 < r < R), −r ÂÒ' r t r>~½Ó¾ÓÜ¼Ð ìøÍ

"

é

¶C_r`¦¦, t}Ü¼Ð r \"f R t ìr`¦Héß{9` /

BG Γ \¦Òqty .

- -

I

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pppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppp Õ

ªQ 0 =

Z

Γ

e^iz z dz

= Z

CR

e^iz z dz +

Z

Cr

e^iz z dz +

Z R r

e^ix x dx +

Z −r

−R

e^ix x dx

(18)

s

. Äº Z R

r

e^ix x dx +

Z −r

−R

e^ix x dx =

Z R r

e^ix x −e^−ix

x

dx

= 2i Z R

r

sin x x dx s

. s]j e^iRe^iθ

= e^{−R sin θ}sÙ¼Ð

Z

C_R

e^iz z dz

≤ Z π

0

e^{−R sin θ}dθ = 2 Z π/2

0

e^{−R sin θ}dθ

e

`¦·ú Ãº e. ÕªX< ½¨çßh 0,π

2

i0A\"f sin θ ≥ 2

πθsÙ¼Ð

Z

CR

e^iz z dz

≤ 2 Z π/2

0

e^−2Rθ/πdθ = π

R 1 − e^−R

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R→∞

Z

C_R

e^iz

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