마르코프 사슬을 이용한 인공 바람 자료의 생성 및 통계적 검증
6
0
0
전체 글
(2) 유기완 바람자료의 생성도 어렵지 않다는 이점이 있다. 마르코프 사슬 (Markov chain) 방법을 통한 시계열 자료 생성은 많은 부분에 이미 활용되고 있다. 일례로 자동차 번호판을 인식하는 분야인 패턴인식 (pattern recognition)은 물론 식생, 강우량, 풍속, 태양복사, 등 [1-4]에 대해 응용되고 있다. Lei등은 [5] 마르코프 사 슬과는 다른 방법으로 풍속을 예측하기 위해 ARMA (auto-regressive moving average), ANN (artificial neural network), SVM (support vector machine) 등 에 대한 연구 사례들을 소개하기도 하였다. 하지만 마 르코프 사슬의 수학적 접근이랄지 풍력터빈의 바람자 료 생성을 위해 적용한 사례나 문헌은 다수 찾아볼 수 있으나, 실제로 마르코프 사슬 방법을 이용하여 얻어 낸 시계열 자료에 대한 일치성이나 연관성 등의 통계 적 검증에 관한 문헌은 찾아보기 어렵다. 본 연구에서는 1차 마르코프 사슬 방법을 이용하여 특정 지역의 풍속 관측에 따른 통계 결과를 바탕으로 인위적인 바람의 시계열 자료를 생성하고 검증하는데 목적을 두고 있다. 인공 바람 자료는 통계 분석을 통 해 최저풍속, 최고풍속, 평균풍속, 표준편차, 자기상관 도, Weibull 분포 등을 비교함으로써 인공 바람자료의 신뢰성을 검증하고자 한다. 바람자료는 편의상 기상청 에서 제공하는 방재기상관측 (AWS) 측정 정보를 활 용하였으며, 2020년 1년 동안의 전라북도 부안군 소재 위도에서 관측된 자료를 통계분석의 대상으로 선정하 였다 (Fig. 1). 관측 위치 선정을 위해 사전에 특별한 고민은 하지 않았으며, 관측자료는 결국 상태 전이 확 률의 추출을 위해 단순 활용되기 때문에 해상풍력으로 관심이 집중되는 서남해상의 한 섬으로 정하였다.. Fig. 1 Met-mast at Wido island 14. Fig. 2 Map of Wido island. 수치적인 절차는 관측된 시계열 자료의 연속성을 확인한 후 관측자료로부터 마르코프 사슬에 입력하기 위한 상태전이확률행렬 (state transition probability matrix)을 구성하고 난수 발생기를 통해 순차적인 확 률행렬을 만족하도록 시계열 자료를 생성해 나가는 순 서를 갖는다. 자세한 절차는 3장에서 언급하기로 한다. 2. 관측자료. 전라북도에는 총 33개의 AWS 관측소가 운용되고 있으며, 그 중의 하나가 부안군 위도(蝟島)에 설치되어 있다. 위도는 부안군 격포항에서 서쪽을 향해 배로 40 분 거리에 위치하는 면단위 지역이고, 면적은 14.14 km2, 인구는 1300여명이다. 섬의 형상은 Fig. 2와 같이 길이 방향으로 약 7 km, 폭은 1.5～2 km 정도로 섬의 주풍향인 북북서풍 (NNW)과 섬의 길이 방향이 서로 직교한다. 위도의 종심으로 해발 150～250 m의 산줄기 가 자리하는 산지 형태로 평균 해발고도가 낮은 평평 한 섬이라고 할 수는 없으며, 인근의 말도와 선유도에 비해 계측된 평균 풍속은 낮은 편으로 평가되었다 [6]. 기상탑에서 측정된 풍속의 확률분포는 Weibull 확률 분포에 가장 유사한 분포 특성을 나타낸다. 2개의 변 수로 구성되는 Weibull 확률분포는 척도 계수(scale parameter) C, 형상 계수(shape parameter) k를 가지 고 표현되고, Weibull 확률분포에 대한 누적확률분포 함수를 구하면 지수형태로 나타나는데 이를 로그를 취 해줌으로써 선형 방정식 꼴로 표현할 수 있다. 이 직 선이 측정된 풍속의 도수분포에서 가장 오차가 적은 기울기와 절편을 구하는 과정을 통해 측정된 자료에 대한 척도계수와 형상계수를 구할 수 있다. 풍력에너지저널 : 제12권, 제3호, 2021.
(3) 마르코프 사슬을 이용한 인공 바람 자료의 생성 및 통계적 검증. 풍속을 보여준다. 이러한 바람 특성은 우리나라에서 관찰되는 전형적인 월별 풍속 분포 특성이라고 볼 수 있다. Fig. 4도 또한 하루 중의 풍속 분포 특성으로 일 출 후 풍속이 증가하고 일몰 후 풍속이 감소하는 전형 적인 우리나라 바람 특성을 보여준다. Fig. 5는 측정된 풍속을 Weibull 확률분포 함수의 2가지 변수 (C = 2.71, k = 1.40)를 구하여 관측치와 비교한 결과를 보 여준다.. 4. V [m/s]. 3. 2. 1. 0. 2. 4. 6 Month. 8. 10. 12. Fig. 3 Monthly wind speed 4. V [m/s]. 3. 2. 1. 0. 0. 6. 12 Hour. 18. 24. Fig. 4 Diurnal wind speed. 3. 마르코프 사슬. 풍속은 시간에 따라 연속해서 변하는 랜덤 변수이 다. 시간에 따른 랜덤 변수의 순차 데이터를 랜덤 프 로세스라고 하며, 마르코프 사슬로 모델링 할 수 있다 [7,8]. 마르코프 사슬 방법은 확률적인 과정으로 시간 t 에서의 풍속이 가장 최근의 k개의 풍속에 의존한다는 이론이다. k에 의해서 마르코프의 차수가 결정된다. 즉 1차 마르코프 모델은 시간간격이 일 때 시간 에서의 풍속은 시간 의 풍속에 의존한다. 마르코프 사슬을 이용한 바람의 시계열 자료 생성 을 위해서는 바람에 대한 상태 (state)를 정의하는데, 바람의 최저풍속과 최고풍속 사이를 n 개로 나누었을 때 각각의 구간을 상태라고 부른다. 나누는 구간은 보 통 등분을 하지만 마지막 구간 같은 경우는 구간의 길 이가 달라도 무방하다. 상태전이 확률 (state transition probability)을 라 하면 이는 시간간격 를 두고 상태 i에서 상태 j로 전이될 확률을 의미한다. 따라서 는 상태전이 확률 행렬(state transition probability matrix)의 한 요소이다. 상태의 총 개수가 n이라고 하 면 × 행렬 를 다음과 같이 구성할 수 있다. . 0.4 measured Weibull. . f(V). 0.3. 0.2. . . 0.1. 0. 0. 5. 10. . . (1). 15. 식 (1)의 두번째 행의 첫 번째 요소 을 예로 들면, 그 값은 전체 자료에서 시간 간격 를 두고 상태 2에 Fig. 5 Weibull distribution 서 상태 1로 변환된 경우의 수를 구한 다음 두 번째 행 Fig. 3는 2020년 1년 동안의 월별 평균풍속 분포를 의 모든 요소들에 대한 경우의 수의 합으로 나누면 상 2에서 상태 1로 전환되는 확률이 구해진다. 따라서 나타낸다. 10월부터 이듬해 3월까지 상대적으로 높은 태행렬의 2번째 행에 대한 행렬 요소의 합은 1로 정규화 풍속을 보여주고 있으며, 여름철에는 이에 비해 낮은 된다. 이를 i행에 대해 다음과 같이 일반화 한다. v [m/s]. . 풍력에너지저널: 제12권, 제3호, 2021. 15.
(4) 유기완 Table 1 A 28-state transition probability matrix fo annual hourly mean wind speed at Wido island .2768 .1228 .0499 .0187 .0094 .0021 .0000 .0042 .0010 .0000 .0000 .0000 .3452 ,2161 .1272 .0309 .0168 .0084 .0065 .0019 .0009 .0000 .0000 .0000 .2197 .2849 .2151 .1061 .0335 .0102 .0093 .0019 .0009 .0000 .0000 .0000 .1074 .2138 .2757 .2147 .0901 .0282 .0146 .0045 .0036 .0036 .0009 .0000 .0483 .1208 .2193 .2870 .1845 .0744 .0232 .0077 .0068 .0039 .0010 .0010 .0226 .0501 .1311 .2277 .2753 .1788 .0727 .0226 .0131 .0000 .0036 .0000 .0111 .0127 .0413 .1413 .2397 .2825 .1460 .0651 .0317 .0095 .0048 .0048 .0060 .0081 .0262 .0262 .0665 .1452 .1915 .2460 .1452 .0706 .0585. .0262 .0000 .0057 .0057 .0430 .0602 .1117 .2235 .2120 .1777 .0688 .0430 .0315 .0000 .0000 .0035 .0106 .0177 .0813 .1837 .2049 .1661 .1555 .0954 .0459 .0041 .0082 .0041 .0163 .0082 .0367 .0816 .1388 .1796 .2286 .1429 .0735 .0000 .0000 .0049 .0049 .0049 .0049 .0439 .0829 .1366 .2000 .2098 .1415 .0000 .0000 .0000 .0000 .0187 .0187 .0125 .0375 .0563 .1437 .2313 .1875 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···. .5151 .2460 .1173 .0428 .0222 .0024 .0063 .0000 .0000 .0000 .0041 .0000 .0000 ···. ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···. 대한 시계열 자료를 생성한 결과이다. 마르코프 행렬 이용한 풍속을 생성하기 위해서 0과 1사이의 랜덤 (2) 을 변수를 이용하여 바람의 상태 전이에 해당하는 확률을 정하는데 사용한다. 인공 바람은 총 5000개의 자료를 인공 바람 자료를 생성하기 위해서는 식 (1)로부터 생성하였고 Fig. 6(b)에서는 이중 일부만을 도시하였 각 행에 대해 누적 상태전이 확률 행렬 다. 통계적으로 측정된 풍속과 인공 풍속의 최대, 최소, (cummulative state transition probability matrix)을 평균, 및 표준편차를 구하여 Table 2에 나타내었다. 구성한다. 이 행렬의 요소 는 다음과 같은 식으로 Table 2에서 최대 풍속은 약간의 차이를 보이지만 나 머지 변수들에 대해서는 높은 정확도를 가지고 서로 구성된다. 일치하고 있음을 알 수 있다. 최대 풍속은 오차라기보 다는 인공 풍속의 데이터의 길이를 현재 5000개에서 (3) 더 늘리면 충분히 얻어낼 수 있는 풍속으로 간주된다. 이 정도의 정확도라면 난류(turbulence) 지식에 바탕을 둔 인공 바람을 생성하지 않아도 시뮬레이터의 입력자 4. 결과 분석 료로 충분히 활용할 수 있을 것으로 판단된다. 위도에 설치된 기상탑의 1년 동안의 풍속 계측자료 를 통계분석 하면서 상태의 구간을 정해야 한다. 보통 1～2 m/s의 범위이나 [7], 정확도를 높이기 위해서는 상태의 개수를 더 늘리는 것을 추천하기도 한다 [8]. 본 연구에서는 상태를 결정하기 위한 최대 풍속은 계 측기에서 얻어낸 최대값을 반영하여 14 m/s로 정하고 0.5 m/s 간격으로 등분하여 × 행렬의 상태전이 확률 행렬을 Table 1과 같이 얻어내었다. Fig. 6(a)는 AWS에서 제공되는 위도의 관측 풍속 의 1시간 평균 시계열 자료를 도시한 것이다. 제시한 풍속의 시점은 2020년 1월 1일부터이나, 그래프의 시 작 시점을 언제부터 하느냐에 따라 풍속 선도는 차이 가 있을 수 있다. Fig. 6(b)는 식 (3)으로 표현되는 누 (a) Measured data 적 상태전이 확률 행렬 를 이용하여 인공 바람에 . . . . . . . . . 20. v [m/s]. 15. 10. 5. 0. 0. 200. 400. 600. 800. 1000. t [h]. . 16. 풍력에너지저널 : 제12권, 제3호, 2021.
(5) 마르코프 사슬을 이용한 인공 바람 자료의 생성 및 통계적 검증 1. 20. measured data synthetic data. 0.8. Autocorrelation. v [m/s]. 15. 10. 0.6. 0.4. 0.2. 5 0. 0. 0. 200. 400. 600. 800. -0.2. 1000. 0. 50. 100. t [h]. 150 t [hour]. 200. 250. 300. (b) Synthetic data Fig. 6 Wind data according to time. Fig. 8 Auto-correlation for measured and synthetic wind speed. Table 2. Comparison of statistical parameters between measured and synthetic data Relative Measured Synthetic error (%) Minimum 0 0 0 Maximum 13.60 12.58 7.5 Mean 2.42 2.54 5.0 Standard 1.84 1.86 1.1 deviation. Fig. 7은 위도의 기상탑에서 관측된 풍속과 인공 풍 속의 시계열 자료로부터 확률 돗수분포를 구하여 서로 비교한 것이다. 인공 풍속의 데이터 개수 은 총 5000 개이며, 돗수분포는 상당한 정확도로 일치하고 있다. Table 2의 결과에서 평균과 표준편차가 같으면 난 류 신호가 같다고 할 수 있는가라는 의문을 가질 수 있다. 결론적으로 말하면 그렇지 않다는 점을 주의할 필요가 있다. 평균과 표준편차가 같은 시계열 자료라 고 해도 시간에 따른 신호의 변동 양상은 전혀 다를 수 있다. 이러한 시계열 자료의 특성을 구분할 수 있 도록 하는 변수가 자기상관도 (autocorrelation)이다. 두 속도의 시간간격이 일 때, 두 시계열 값에 대 한 자기상관도 는 다음과 같다.. 0.4. . measured data synthetic data. . f(V). 0.3. . . 0.2. (4). . 0.1. 0. 여기서 이고, 이며, 는 평균 풍속이다. Fig. 8은 식 (4)로부터 측정된 풍속과 인공 풍속의 자기상관도를 상호 비교한 것이다. 풍속간의 시간차이 가 없는 경우는 자기상관도가 1이며 시간간격이 커질 수록 자기상관도는 급격히 감소하는 경향을 보여준다. 또한 Table 2나 Fig. 7의 결과와는 달리 자기상관도에 는 관측 풍속과 인공 풍속 간에 상대적으로 약간 더 큰 오차를 가지고 있음이 확인된다. 이는 1차 마르코 . 0. 5. 10. 15. V [m/s]. Fig. 7 Probability distribution for measured and synthetic wind speed. 풍력에너지저널: 제12권, 제3호, 2021. 17.
(6) 유기완 프 사슬이 풍속에 대해서 표현할 수 있는 한계이며, 이를 극복하기 위해서 어떤 연구자들은 2차 마르코프 사슬을 제안하기도 한다 [2,8]. 그러나 실제 풍속은 Fig. 3 및 Fig. 4에서 나타난 바와 같이 하루 중의 풍 속의 변동이나 월별 풍속의 변동을 마르코프 사슬 방 법에 완벽히 반영하여 인공풍속을 생성시키기 위해서 는 추가적인 변수의 고려가 필요하다. 예를 들면 계절 적인 영향을 풍속에 반영하기 위해서는 1년 동안의 통 계자료를 월별 통계자료로 분할하여 인공 풍속을 만들 어주는 것이다. 그러나 때로는 하루 동안 또는 계절별 풍속 특성과 같은 결정론적인(deterministic) 인자들을 제거해야 만이 확률 통계적(stochastic) 관점에서 인공 적인 시계열 바람자료 생성에 더 타당하다는 주장도 있음을 주지할 필요가 있다 [8]. 지금까지의 결과를 종합해보면 특정 지역의 관측자 료로부터 얻어진 통계변수를 바탕으로 마르코프 사슬 을 이용하여 장기적인 바람 자료를 생성시키는 방법에 대한 통계적 검증을 실시하였으며, 따라서 마르코프 사슬 방법을 통해 얻어낸 인공 바람자료를 이용하여 해당지역의 풍속에 따른 풍력터빈 시스템의 제어 성능 및 정해진 기간 동안의 출력을 파악하는 용도로 매우 유용한 방법이 될 것임을 확인 할 수 있다. 5. 결 론. 위도에 설치된 기상청의 AWS 관측자료로부터 얻 어진 통계자료를 바탕으로 1차 마르코프 사슬을 이용 하여 시계열 인공 바람자료를 생성하고 관측 풍속과 인공 풍속에 대한 최대 풍속, 최소 풍속, 평균 풍속, 표 준편차 및 풍속의 확률 분포, 자기상관도 등, 주요 통 계 변수들에 대해서 상호 비교 검증하였다. 비교 검증 결과 주요 통계 변수들이 서로 잘 일치하였으며, 1차 마르코프 사슬은 관측지역의 바람특성을 통계적으로 잘 반영하는 것으로 확인되었다. 자기상관도에 대해서 관측 풍속과 인공 풍속 간에 는 일간 풍속이나 연간 풍속 변동 등과 같은 결정론적 인 인자들이 차이를 줄 수 있으나 통계학적인 관점에 서의 1차 마르코프 사슬은 유의미한 오차를 발생시키 지 않는다고 볼 수 있다. 만일 어떤 특정지역의 풍속 에 대한 관측자료로부터 상태전이행렬을 알 수 있다면 마르코프 사슬을 통해 장기간의 인공 바람 자료를 생 성시킬 수 있으며, 그 지역에 설치 예정인 풍력터빈 시스템에 대한 제어 성능 및 장기간의 출력을 파악하 18. 고, 시스템의 성능을 검증하는데 매우 유용한 입력 자 료를 만들어 줄 수 있을 것으로 기대된다. 후기. 본 연구는 한국전력공사의 2021년 착수 연구개발 과 제 연구비에 의해 지원되었음. (과제번호: R21XO01-6) 참고문헌. [1] Balzter, H., 2000, "Markov chain models for vegetation dynamics," Ecological Modelling, Vol. 126, pp.139~154. [2] Srikanthan, R., and McMahon, T. A., 2001, "Stochastic generation of annual, monthly and daily climate data: a review," Hydrology and Earth System Sciences, Vol. 5 No. 4, pp.653~670. [3] Balouktsis, A., Tsanakas, D., and Vachtsevanos, G., 1986, "Stochastic simulation of hourly and daily average wind speed sequences," Wind Engineering, Vol. 10, No. 1, pp. 1~11. [4] Poggi, P., Notton, G., Muselli, M., and Louche, A., 2000, "Stochastic study of hourly total solar radiation in Corsica using a Markov model," Int. J. of Climatology, Vol. 20, pp. 1843~1860. [5] Lei, M., Shiyan, L., Chuanwen, J., Hongling, L., and Yan, Z., 2009, "A review on the forecasting of wind speed and generated power," Renewabe and Sustainable Energy, Vol. 13, No. 4, pp. 915~920. [6] Lee, D. I., 2007, Research report on development of wind resources map, Technical Note 2007-9, Data Management Service Team, Korea Meteorological Administration [7] Dukes, M. D. G., and Palutikof, J. P., 1995, "Estimation of extreme wind speeds with very long return periods," J. of Applied Meteorology, Vol. 34, pp. 1950~1961. [8] Pesch, T., Schröders, S., Allelein, H. J., and Hake, J. F., 2015, "A new Markov-chain-related statistical approach for modelling synthetic wind power time series," New Journal of Physics, Vol. 17, pp. 1~15. 풍력에너지저널 : 제12권, 제3호, 2021.
(7)
수치
관련 문서