한국학교수학회논문집 제 14 권, 제 3 호
Journal of the Korean School Mathematics Society Volume 14, Number 3, 277-293, September 2011
고등학교 1학년 함수단원 문제해결에서의 오류에 대한 분석
문혜영1)․김응환2)
본 논문은 수학문제해결 과정에서 고등학교 1학년 학생들이 공통적으로 범하는 실수 즉 오류를 분석을 통하여 수학의 교수학습방법의 보완을 위한 범례를 제시하고자 한다. 교사들 에게 제공되는 학생들의 수학적 지식에 대한 이해 정도 및 쉽게 빠지는 오류, 수학문제에 접 근하는 방법 및 잘못된 해결 전략 등의 정보는 대체로 학생들의 오류를 분석함으로써 얻어 질 수 있다. 실제로 많은 학생들이 고교수학을 어렵게 느끼는데 그 중 특히 ‘함수’문제에서 막연한 어려움과 부담감을 느끼며 함수와 관련된 문제풀이에서 많은 실패를 겪고 있다. 구체 적으로 본 연구에서는 고등학교 1학년 학생들의 함수단원 문제해결 과정에서 보이는 오류를 분석하여 함수단원 수학문제해결능력을 키우고자 충남의 ○○고등학교 1학년 학생 90명을 대상으로 함수단원 8문제로 구성된 검사지를 풀게 하고 그것을 토대로 오류를 분석하였다.
그 결과 학생들의 오류에서 몇 가지 공통적인 패턴이 있음을 발견하고 이것을 7가지 오류 분류 패턴을 설정하고 이를 분석하여 이를 보완할 수 있는 방법을 탐구하였다. 본 연구에서 나타난 결과를 토대로 학교현장에 투입하여 수학교육의 개선에 도움이 되길 기대한다.
주요용어 : 오류, 함수, 오류 분류 패턴, 수학문제해결능력
Ⅰ. 서 론 1. 연구의 필요성 및 목적
학교에서 수학을 배우는 목적은 학생들이 수학을 배움으로써 여러 가지 상황을 수학적 문 제 상황으로 바꾸고 그것을 해결하는 능력, 곧 문제해결능력을 신장시키는데 있다. 이러한 문제해결능력을 키우기 위한 교수․학습방법 중 하나로서 학생들의 수학문제 해결과정을 세 밀하게 관찰하고 문제해결과정에서 나타나는 오류를 분석하는 것이 있는데 그것은 다음의 이유에서 매우 중요하다. 첫째, 오류분석은 학생들의 수학적 지식에 대한 이해 정도 및 인지 상태를 아는데 유용한 정보를 제공한다. 둘째, 문제해결과정에서 학생들에게 발생할 오류를 미리 파악하여 오류를 사전에 예방 할 수 있다. 셋째, 학생 자신의 오류를 앎으로써 학습실 패의 원인을 찾아 정확하게 피드백 함으로써 개념을 재정립하고 같은 오류가 반복되지 않도
1) 공주대학교 교육대학원 ([email protected]) 2) 공주대학교 ([email protected])
록 하여 학습효과를 높인다. 넷째, 교사에게 학생들이 쉽게 빠지는 오류와 문제에 접근하는 학생들의 방법 및 잘못된 문제해결 전략 등을 알게 하여 교수에 도움이 되는 효과적인 정보 를 제공한다. 다섯째, 오류의 유형 및 빈도수는 교육과정 계획과 평가문항 개발 및 난이도 조절에 도움이 되는 정보를 제공한다.
이상에서 알 수 있듯이 수학교육에서 오류분석은 효과적인 교수․학습을 위하여 반드시 필요한 과정이다. 본 연구에서는 수학의 영역을 제한하여 오류분석을 실시하고자 한다. 현재 고등학교 수학과 교육 내용은 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘함수’, ‘확률과 통계’, ‘기하’의 5개 영 역으로 구성되어 있다. 각 영역 모두 수학에서 없어서는 안 될 중요한 부분이지만, 특히 함 수영역은 수학 내적 외적인 제현상을 이해하고 조직할 수 있는 수단으로 작용되는 수학의 심장부와 같은 역할을 하는 부분이다. 그러나 많은 학생들은 ‘함수’라는 용어에서부터 막연 한 어려움과 부담감을 느끼며 실제로 함수와 관련된 문제풀이에서 많은 실패를 겪어 수학에 서 함수는 중요하지만 어려운 것으로 생각하는 경향이 많다. 그러므로 교사는 평상시 학생 들의 함수단원 문제해결 과정을 면밀히 살펴보아 문제해결과정에서 발생하는 오류의 원인을 찾고 분석하여 그 결과 및 대응책을 함수단원 지도할 때에 적극 반영하는 자세가 필요하다.
이에 본 연구에서는 학생들이 함수단원 문제해결과정에서 나타나는 오류를 분석함으로써 보다 효율적인 교수 전략을 제공하고 학생들의 수학학습에 도움을 주고자 함수단원 문제로 구성된 검사지를 제작하여 학생들에게 검사를 실시함으로써 실제 학생들의 문제해결과정에 서의 오류를 추출하여 연구하고자 한다. 연구목표를 세분화하면 다음과 같다.
1) 오류 분류 패턴을 설정한다.
2) 오류 분류 패턴에 따라 함수단원 문제해결과정에서 나타나는 오류를 분석한다.
2. 용어의 정의
1) 오류
오류의 정의를 국어사전에서 찾아보면 ‘그릇되어서 이치에 어긋남’, ‘생각이나 지식 등의 그릇된 일’ 등으로 풀이하고 있고, 영어사전에서 찾아보면 ‘잘못’, ‘실수’, ‘틀림’ 등으로 풀이 하고 있다. 교육학 용어사전에서는 오류(誤謬, error, fallacy)를 다음과 같이 풀이하였다. 논 리학에 있어서 바르지 못한 논리적 과정, 특히 외견상 바르게 보이면서 틀린 추리. 통속적 의미로는 참이 아닌 것으로 쓰이기도 하며 착각․관측상의 오차 등으로 인한 지각상의 착오 를 가리키기도 한다.
2) 수학적 오류
수학적 오류를 뜻을 살펴보면 오정현(1997)은 수학적 오류란 ‘수학의 개념상 바르지 못한 논리과정이다.’라도 말하고 있다. 특히 정혜진(2008)은 ‘수학적 오개념이란 학습 이전에 학생 스스로 형성하여 학생의 인지 구조 속에 내면화되어 있는 현재의 지식 중 수학적 개념과 일 치하지 않거나 제한된 영역에서만 성립하는 선행 지식을 뜻한다. 수학 학습을 할 때마다 이 러한 오개념에 의해서 체계적으로 나타나는 학습 과정과 결과를 수학적 오류라고 한다.’ 라 고 설명하고 있다.
3) 함수
함수개념은 여러 변화하는 현상 가운데서 그 종속관계를 설명, 기술, 조직하기 위한 도구 로서 도입되었다. 따라서 함수는 고전적으로 독립변수와 종속변수 사이의 종속관계를 의미 하는 것이었으나, 오늘날에는 많은 연구와 수학적 발전을 거쳐 추상화된 개념으로 ‘집합A의 각 원소에 집합B의 한 원소가 대응되는 관계’로 정의된다.
3. 연구의 제한점 및 기대효과
본 연구는 충남에 소재한 ○○고등학교 1학년 학생 90명을 대상으로 하였기에 다른 지역 의 학생들에게도 동일한 연구 결과가 나올 것이라고 일반화하는데 제한점이 있다. 또한 연 구자가 제작한 오류 검사지 8문항으로부터 발생한 오류만을 분석하였기에 검사도구가 다른 경우 연구 결과가 달라질 수 있으며, 오류를 분석할 때 연구자 본인의 개인적인 의견이 포 함될 가능성을 배제할 수 없다.
본 연구가 기대하는 효과로는 다음과 같다. 첫째, 학생들이 쉽게 빠지는 오류의 원인과 그 특성을 앎으로써 교사가 학생들을 지도할 때 보다 효율적으로 지도할 수 있는 정보를 제공 한다. 둘째, 학생들에게 자신이 보인 오류를 알려줌으로써 학생 스스로 학습실패의 원인을 찾아 보다 정확한 피드백을 제공하여 학습효과를 증대시킬 수 있다.
Ⅱ. 선행 연구 고찰 1. 오류에 관한 연구
독일의 Radatz(1979)는 정보처리 이론을 기초로 오류의 원인을 ‘언어의 난이성’, ‘공간 정 보의 획득의 어려움’, ‘사전지식의 습득 부족’, ‘사고의 경직성 또는 부정확한 연합’, ‘관련이 없는 법칙이나 전략의 적용’의 5가지로 분류하였다. 그는 오류의 원인은 서로 상호 작용이 있기 때문에 같은 문제에서도 서로 다른 오류가 일어날 수 있고, 서로 다른 문제에서도 같 은 오류가 일어날 수도 있다고 하였으며 오류의 원인에 대한 명확한 분류와 위계를 달성하 는 것은 어렵다고 하였다.
이스라엘의 Nitsa Movshovitz Hadar 와 Orit Zaslavsky(1987)는 이스라엘 고등학교 학생 들이 수학 졸업 시험에서 반복적으로 보이는 높은 비율의 공통된 실수에 관하여 알아보기 위해 연속적으로 2년에 걸친 실험을 하였다. 이 연구에서 18개의 주관식 문항에 대한 학생 들의 풀이 중 나타난 오류를 분석하기 위해 6개의 오류 범주를 제시하였다. 즉, ‘문제의 자 료를 잘못 사용하는 오류(Misused data)’, ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류 (Misinterpreted language)’, ‘논리적으로 부적절한 추론을 하는 오류(Logically invalid inference)’, ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(Distorted theorem or definition)’, ‘논 증되지 않은 해답을 쓰는 오류(Unverified solution)’, ‘기술적인 오류(Technical error)’이다.
두 해에 걸친 Movshovitz Hadar와 Orit Zaslavsky의 실험 연구에서 첫 해에 130개, 두 번 째 해에 150개의 총 280개의 오류를 뽑아 유형별로 분류하였다. 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류의 비율이 두 해 모두 가장 높게 나타났다.
Clements(1980)와 Newman(1981)은 오스트리아에서 5-7학년을 대상으로 테스트를 실시하
여 문제풀이에 대한 단계별 계통조직을 ‘읽기단계’, ‘이해단계’, ‘변환단계’, ‘처리기술단계’,
‘기록단계’, ‘부주의’로 분류하였다. 그 결과 학생들은 교육제도를 통해 점점 발전하기 때문에 학년이 올라 갈수록 읽기(reading), 이해(comprehension), 변환(transformation)의 오류는 점 점 감소하나, 처리기술(process skill), 부주의(careless) 오류는 점차 늘어남을 알 수 있었다.
J. Dan Knifong와 Boyd Holtan(1976)은 초등학교 6학년 학생 35명 대상으로 MAT(Metropolitan Achievement Test)를 실시한 후 학생들의 오답을 ‘오기 및 계산상의 오 류’와 ‘그 밖의 다른 오류’의 범주로 구분하고 이 두 범주를 다시 세부항목으로 구분하여 빈 도수를 조사하였다. 그 결과 ‘계산상의 오류’의 세부 항목인 ‘분수에 의한’ 오류가 19%로 가 장 많이 나타났으며, 그 다음으로 ‘그 밖의 다른 오류’의 세부 항목인 ‘더 이상 문제를 풀고 자 하지 않음’이 18%, ‘계산상의 오류’의 세부항목인 ‘표기와 단위의 표준에 관한’ 오류가 17%의 순으로 나타났다(김옥경, 1991).
다무라 사부로(1992)는 『오답으로부터 배운다』라는 책에서 초등학생부, 중학생부, 고등 학생부로 나누어 각 학년수준에 맞는 문제를 제시하고 그 문제의 풀이과정에서 발생할 수 있는 오답상황을 자세히 설명하였다. 책 마지막 부분인 ‘종합진단실’에서는 ‘오답을 없애는 비결’이라는 주제를 두고 오답이 생기는 원인을 부주의로 인한 실수(잘못 읽음, 계산틀림, 빼놓고 씀), 오답이전(학습의욕이 없기 때문의 좌절감, 준비가 불충분한 좌절감), 본질적 오 답(수학적 내용이 파악 안되기 때문의 오답, 자기류의 계산법으로 하기 때문의 오답, 논리적 사고가 되지 않으므로 인한 오답)으로 분류하였다.
김옥경(1991)은 고등학교 3학년 문과 여학생 89명을 대상으로 「수학Ⅰ」의 전범위와
「수학Ⅱ-1」의 확률과 통계를 제외한 전 범위에 걸쳐 12개의 주관식 문항으로 검사지를 만들어 학생들의 답안지로부터 오류를 뽑아 오류를 분석하였다. 오류 분석 결과 8가지 유형 의 오류범주 모델을 설정하고 뽑힌 오류를 분류하였는데 그것은 Movshovitz Hadar의 6가 지 오류 범주를 수정․보완한 것이다. 8가지 오류분류모델을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 오용된 자료(Misused data), 둘째, 잘못 해석된 언어(Misinterpreted language), 셋째, 논리적 으로 부적절한 추론(Logically invalid inference), 넷째, 곡해된 정리나 정의(Misunderstood theorem or definition), 다섯째, 요구되지 않은 해답(Unmatched solution), 여섯째, 기술적 오류(Technical errors), 일곱째, 풀이과정의 생략(Omission of solving process), 여덟째, 오 류의 애매모호성(Ambiguity of error)이다. 연구 결과 ‘곡해된 정리나 정의’ 범주의 오류가 30.2%로 가장 많은 부분을 차지하였고, ‘오용된 자료’의 오류가 16.8%, ‘풀이과정의 생략’의 오류 16.2%로 그 뒤를 이었다.
오정현(1997)은 중학교 전체 학년 학생들에게 각 교육과정에 준하는 함수영역의 문제로 구성된 테스트를 실시하여 오류를 추출하고 오류를 분류 하는 등의 연구를 하였다. 오류의 분류는 오류의 성질에 따라 하되 김옥경(1991)의 8가지 분류 모델을 참고 하여 중학교 수준 에 알맞게 수정한 7종류의 오류분류모델을 다음과 같이 설정하였다. 첫째, 오용된 자료, 둘 째, 잘못 해석된 언어, 셋째, 논리적으로 부적절한 추론, 넷째, 필수적인 사실·개념의 부족한 숙련, 다섯째, 요구되지 않은 해답, 여섯째, 기술적 오류, 일곱째, 풀이과정의 생략의 범주이 다. 전체 학생의 연구 결과 ‘필수적인 사실이나 개념의 부족한 숙련’에서 오는 오류가 32.7%
로 가장 많았고, ‘기술적 오류’가 25.4%로 두 번째로 많은 오류를 차지하였다. 특히 중학교 3학년의 경우 ‘풀이과정의 생략’의 오류가 29.7%로 가장 많은 부분을 차지하였다. 오정현은 연구결과에서 학년이 높아질수록 필수적인 사실, 개념의 부족한 숙련에서 오는 오류는 감소 하는 대신 풀이과정의 생략은 점점 증가함을 볼 수 있고, 기술적인 오류는 전학년에 걸쳐
중요한 오류 범주 중의 하나로 자리잡고 있는데, 이것은 학년이 높아질수록 필수적인 사실, 개념에 대한 습득이 잘 된다기보다는 문제 풀이 과정에서 다음 단계가 잘 추론되지 않을 경 우 풀이과정을 더 이상 계속하지 않기 때문이라고 지적하였다.
김경원(2005)은 고등학교 1학년 학생 100명을 대상으로 고등학교 1학년 수학의 이차함수 활용에 관한 주관식 9문제를 테스트하여 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 오류를 분 석․분류하였다. 오류의 분류는 Movshovitz Hadar의 6가지 오류 분류 모델을 참고로 이차 함수 활용 영역에 대한 문제의 특성에 맞게 수정하여 첫째, 문제의 자료를 잘못 사용하는 오류, 둘째, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류, 셋째, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류, 넷째, 기술적인 오류, 다섯째, 풀이과정을 생략한 오류, 여섯째, 해석이 불가능하거나 애매한 오류로 분류하였다. 연구 결과 ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류’가 34.7%로 가장 많은 오류를 나타내었으며 그 다음으로 ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류’가 28.6%,
‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류’가 17%로 나타났다.
Ⅲ. 연구방법 및 절차 1. 연구 대상
본 연구는 충남에 소재한 ○○고등학교 1학년 학생 90명을 임의 선정 하여 실시하였다.
검사를 실시하기전 학생들은 고등학교 1학년 『수학』교과내용을 모두 배운 상태였다.
2. 검사문항의 구성
학생들의 오류 분석을 위한 검사지를 만들기 위해 동료수학교사 셋과 논의한 결과, 최근 몇 년 동안 고등학교 1학년 학업성취도평가에 출제되었던 문제가 가장 적합하다는 결론을 얻었다. 따라서 최근 학업성취도평가 기출문제를 검토하여 함수단원의 문제를 추출하고, 다 시 동료수학교사들과 여러 차례 협의하여 최종 8문제를 선정하였다. 마지막으로 선정된 8문 제 중 객관식 문제를 모두 주관식문제 수정하여 검사문항을 구성하였다.
3. 검사 실시 방법
오류분석 검사는 고등학교 1학년 학생들이 수학의 함수단원을 모두 배우고 정기고사까지 끝낸 시점인 2011년 2월 8일 정규수업시간에 현장 수학 교사 3명의 감독 아래 3반이 동시에 실시하였다.
4. 오류 분석 방법
오류 분석은 학생들이 검사지에 기록한 문제풀이과정을 보고 오류가 발생한 부분에 대하 여 그 원인을 추측하고, 오류를 성질에 따라 유형별로 분류하여 몇가지 오류 패턴을 설정한 다음 각 영역별 오류 빈도수를 구하는 방법을 사용하였다. 동일한 문제를 푸는 과정 중 여 러 개의 오류가 발생한 경우에는 제일 처음 발생한 오류만을 분석하였으며, 문제풀이 과정 이 모두 올바르게 진행되어 정답을 제시한 경우는 오류분석 대상에서 제외시켰다. 또한 학 생들이 어떤 문항에 대해 아무표시가 없거나 글자를 알아보기가 어렵게 써 정확한 식별이 불가능한 경우, 그리고 답만 제시한 경우는 모두 무응답으로 처리하고 오류분석 대상에서
제외시켰다. 연구자는 학생들의 검사지로부터 추출한 오류를 성질에 따라 분류하기 위하여 국내외 연구자료를 검토한 결과 이스라엘의 Nitsa Movshovitz Hadar 와 Orit Zaslavsky(1987) 등이 제시한 6가지 오류범주가 가장 적합하다고 결정하였다. Movshovitz Hadar의 6가지 오류 범주를 기준으로 추출된 오류를 분류해보니 총 211개의 오류가 각 항 목별로 속하였다. 그러나 211개의 오류 이외에 학생들이 문제를 풀다가 중도에 포기하는 경 우가 종종 있음을 발견하였다. 그리하여 Movshovitz Hadar의 오류 범주에 ‘풀이과정의 생 략’과 ‘오류의 애매 모호성’ 범주를 추가한 김옥경(1991)의 8가지 오류분류모델을 참고하게 되었다. 그 결과 ‘오류의 애매 모호성’ 범주는 이미 앞에서 제시한 무응답 처리기준에 속하 여 ‘풀이과정의 생략’ 범주만 필요하게 되었다. 연구자는 ‘풀이과정의 생략’ 범주를 ‘풀이과정 의 중단’ 로 이름을 고치고 총 7가지 오류 분류 패턴을 선정하였다. 앞서 추출된 211개의 오 류에 ‘풀이과정의 중단’에 속하는 36가지 오류를 포함하여 총 247개의 오류를 분류하였다.
다음은 연구자가 오류를 분석할 때 사용한 오류 분류 패턴으로 분류 기준 및 그 세부 내용 을 정리한 것이다.
(1) 잘못 사용된 자료의 오류(Misused Data)
이 범주는 주어진 자료와 학생들이 사용한 자료 사이의 불일치로 인한 오류로서 세부사항 으로는 문제에 주어진 정보로부터 바로 얻을 수 없고 진술되지도 않은 것을 주어진 정보처 럼 지적하는 경우, 답을 구하기 위해서 필요한 어떤 자료를 무시하고 명백히 관련 없는 자 료를 더함으로써 정보의 부족을 보충하는 경우, 문제에서 요구하지 않은 것을 요구한 것으 로 나타내는 경우, 문제를 답지에 옮겨 적을 때 어떤 세부항목을 잘못 옮겨 적는 경우이다.
(2) 잘못 해석된 언어의 오류(Misinterpreted Language)
이 범주는 수학적인 사실들을 하나의 수학적인 기호 언어에서 다른 언어로 옮기는 과정의 부정확에서 오는 오류로서 세부사항으로는 문제에서 제시하고 있는 것과는 다른 의미로 해 석하여 수학적인 용어 또는 방정식으로 나타내는 경우, 그래프상의 기호를 수학적 용어로 잘못 해석하거나 그 반대의 경우이다.
(3) 논리적으로 부적절한 추론의 오류(Logically Invalid Inference)
이 범주는 주어진 정보 또는 앞서 추론된 정보로부터 부적절한 새로운 정보를 끌어내는 것을 포함한다.
(4) 잘못 이해된 정리 또는 정의의 오류(Distorted Theorem or Definition)
이 범부는 특정하고 동일한 원리, 규칙, 정리 또는 정의 등이 왜곡되어 사용되는 것을 포 함하며 세부사항으로는 정리가 적용되는 조건 이외의 곳에 정리를 적용하는 경우, 분배법칙 이 성립하지 않는 함수 또는 연산에 분배성질을 적용하는 경우, 인식할 수 있는 정의, 정리 또는 공식을 틀리게 인용하는 경우이다.
(5) 논증되지 않은 해답의 오류(Unverified Solution)
이 범주는 학생들이 문제를 푸는 각 단계는 옳지만, 그러나 제시된 마지막 결과는 문제에 서 요구하는 해답이 아닌 경우이다. 이것은 학생들이 주어진 문제에 대하여 최종목표를 검 토하지 않아 발생할 수 있는 오류이다.
(6) 기술적인 오류(Technical Errors)
이 범주는 계산상의 오류, 도표로부터 자료를 뽑을 때의 오류, 기초적인 대수기호를 다룰 때의 오류, 초등학교 또는 중학교 수학에서 습득된 연산 방식에서의 오류, 풀이과정에서 이 전단계에서 다음단계로 잘못 옮겨 적을 때의 오류이다.
(7) 풀이 과정의 중단의 오류(Discontinuance of solving process)
이 범주는 학생들의 문제풀이과정이 현 단계까지는 옳으나 다음단계가 생략된 경우이다.
Ⅳ. 오류 분석 결과 1. 오류 분류 패턴에 따른 오류 분석
고등학교 1학년 학생 90명의 검사지로부터 추출한 247가지 오류를 Movshovitz Hadar의 6가지 오류 범주에 ‘풀이과정의 중단’의 오류를 추가한 7가지 오류 분류 패턴으로 분류한 결 과가 아래 <표 1>과 같다.
<표 1> 오류 범주별 백분율(%)
오 류 범 주 백분율(%)
잘못 사용된 자료의 오류 15.0
잘못 해석된 언어의 오류 18.6
논리적으로 부적절한 추론의 오류 4.9 잘못 이해된 정의 또는 정리의 오류 21.1 논증되지 않은 해답의 오류 12.1
기술적 오류 13.8
풀이과정의 중단의 오류 14.5
합 계 100
이상에서 보면 고등학교 1학년 학생들의 함수단원의 문제해결과정에서 나타난 오류는 ‘잘 못 이해된 정의 또는 정리의 오류’가 21.1%로 가장 많았다. 이는 학생들이 수학적 개념이나 성질 또는 규칙을 이해하고 적용하는데 문제가 있다는 것을 보여준다. 그 다음 오류 종류별 발생 빈도를 차례로 살펴보면 ‘잘못 해석된 언어의 오류’가 18.5%, ‘잘못 사용된 자료의 오 류’가 15.0%, ‘풀이과정의 중단의 오류’가 14.5%, ‘기술적 오류’가 13.8%, ‘논증되지 않은 해 답의 오류’가 12.1%, ‘논리적으로 부적절한 추론의 오류’가 4.9%의 순으로 나타났다. 특히 문 제를 끝까지 풀지 못하고 중간에 그만두는 ‘풀이과정의 중단의 오류’가 14.5%나 나타난 것 은 고등학교 함수단원의 특성상 여러 가지 함수의 개념이나 성질 및 그래프로의 표현 등의 지식, 곧 수학적 정의나 정리, 수학적 용어나 기호 등의 이해가 많이 요구되지만 학생들의 이해부족으로 말미암아 더 이상 풀이과정을 진행할 수 없었던 것이 아닌가 짐작된다. 또한 풀이자체를 시도하지 않은 경우와 단지 답만 제시한 경우, 즉 무응답으로 처리된 경우도 많 았는데 이 역시 함수단원에서의 수학적 정의, 정리, 용어, 기호 등에 대한 학생들의 이해부 족이 원인이 아닌가 생각된다.
2. 학생들의 풀이과정에서 나타난 오류 비교
실제 학생들의 문제풀이 과정에서 나타난 오류를 오류 분류 패턴에 따라 각각 살펴봄으로 써 학생들에게 주로 발생하는 실수와 잘못된 문제풀이전략에 대해 알아보자. 검사지의 문제 를 토대로 학생들의 문제풀이 과정에서 발생한 오류를 각 오류범주별로 분류하여 살펴보면 다음과 같다.
1) 잘못 사용된 자료의 오류 예시
[그림 1]에서 보는 바와 같이 1번 문제에서 정의역을 무리수 전체의 집합이라고 하였는데, 학생은 문제의 주어진 자료와 다르게 정의역을 실수로 보는 오류가 발생하였다.
[그림 1] 잘못 사용된 자료의 오류 예시 ①
[그림 2]에서 보는 바와 같이 6번 문제에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 제한된 범위에 서 구하라고 하였는데, 학생은 문제의 주어진 자료와 다르게 실수 전체에서의 최댓값을 구 하는 오류가 발생하였다.
[그림 2] 잘못 사용된 자료의 오류 예시 ②
그 외에 학생들에게 발견된 ‘잘못 사용된 자료의 오류’로는 다음과 같다. 1번 문제에서 제 시한 정의역 는 ‘무리수 전체의 집합’ 이지만 ⋯으로 놓는 경우, 5번 문제에 서 ∘ 을 풀이용지에 옮겨 적을 때 ∘ 으로 오기하는 경우, 6번 문 제에서 제시한 의 범위가 ≤ ≤ 이지만 의 값만 문제에 적용하는 경우, 7번 문제의 를 풀이용지에 옮겨 적을 때 으로 잘못 적는 경우, 7번 문제에서 ‘시간’을 ‘1초, 2초, 3초, 4초’의 제한된 값으로만 문제에 적용하는 경우 등을 찾아볼 수 있었다.
2) 잘못 해석된 언어의 오류 예시
[그림 3]에서 보는 바와 같이 7-⑴번 문제는 으로 식을 세운 뒤 이차방정 식 의 해를 구하는 것인데, 학생은 문제에서 제시하는 것과는 다른 의미로 해석하여 좌변을 으로 놓고 오답을 제시하였다.
[그림 3] 잘못 해석된 언어의 오류 예시 ①
[그림 4]에서 보는 바와 같이 4번 문제에서 직선 가 이차함수 의 꼭 짓점 에서 접하지 않지만 학생은 두 그래프가 이차함수의 꼭짓점 에서 접하도록 그리는 오류, 즉 수학적 용어를 그래프로 잘못 옮기는 오류가 발생하였다.
[그림 4] 잘못 해석된 언어의 오류 예시 ②
그 외에 학생들에게 발견된 ‘잘못 해석된 언어의 오류’로는 다음과 같다. 4번 문제에서
의 그래프를 그릴 때 기울기의 방향을 잘못 나타낸 경우, 5번 문제에서 대응도를 잘못 해석하여 함숫값을 틀리게 찾는 경우, 7번 문제에서 로 식을 세우고 의 값을 구해야 하는데 문제에서 제시하고 있는 것과 다르게 해석하여 또는
로 식을 세우는 경우 등의 오류가 발생하였다.
3) 논리적으로 부적절한 추론의 오류 예시
[그림 5]에서 보는 바와 같이 3번 문제에서 합성함수 ∘ ∘ 를 구하는 과정에서 부 적절하게 ‘ ’을 삽입하여 함수식을 방정식으로 바꾸는 오류가 발생하였다.
[그림 5] 논리적으로 부적절한 추론의 오류 예시 ①
[그림 6]에서 보는 바와 같이 7-⑵번 문제에서 의 최댓값을 구해야 하는 데 이므로 식을 로서 임의로 변형한 후 의 최댓값은 이라고 잘못된 정보를 끌어내었다.
[그림 6] 논리적으로 부적절한 추론의 오류 예시 ②
그 외 학생들에게 발견된 ‘논리적으로 부적절한 추론의 오류’로는 1번 문제에서 가 무리수에서 무리수로의 함수가 아닌 이유를 ‘정의역의 한 원소에 대응하는 값이 하 나가 아니어서’라고 한 경우, 4번 문제에서 의 판별식을 이용하여 값을 구해야 하는데 이라고 잘못된 정보를 끌어내는 경우 등이다.
4) 잘못 이해된 정리 또는 정의 오류 예시
[그림 7]에서 보는 바와 같이 4번 문제에 적용해야 하는 판별식의 조건은 ≥ 이지만,
으로 잘못 적용하는 오류가 발생하였다.
[그림 7] 잘못 이해된 정리 또는 정의 오류 예시 ①
[그림 8]에서 보는 바와 같이 3번 문제에서 함수의 합성에 대한 성질을 잘못 이해하여 분 배법칙이 성립하지 않는 함수의 합성에 분배성질을 적용하였다.
[그림 8] 잘못 이해된 정리 또는 정의 오류 예시 ②
그 외에 학생들에게 발견된 ‘잘못 이해된 정리 또는 정의 오류’로는 1번 문제에서 → 로의 함수의 정의를 잘못 이해하여 일 조건으로 잘못 인용하는 경우, 3번 문제에서 함수의 합성에 대한 정의를 잘못 이해하여 ∘ ∘ 를
∘ ∘ 으로 잘못 푸는 경우, 4번 문제에서 와 의
를 소거한 이차방정식 에 판별식 적용해야 하는데 에 판별식 을 적용하는 경우, 4번 문제에서 판별식
를 근의 공식 ±
과 혼 동하여 사용하는 경우, 8번 문제에서 무리함수 가 정의되기 위한 조건 즉 정의역을 틀리게 적용하는 경우 등 이다.
5) 논증되지 않은 해답의 오류 예시
[그림 9]에서 보는 바와 같이 2번 문제에서 문제를 푸는 각 단계는 옳았지만 문제의 최종
목표를 검토하지 않아 의 값만 옳게 구하고 문제에서 요구한 의 값은 구하지 않는 오류가 발생하였다.
[그림 9] 논증되지 않은 해답의 오류 예시 ①
[그림 10]에서 보는 바와 같이 7번 문제는 실생활 관련 문장제 문제로서 문제의 조건에 알맞게 식을 세우면 이차방정식 가 되고 여기에서 해를 구하면 의 값이 두 개 나오지만 문제에서는 ‘처음’의 경우만 물었으므로 답은 1개인데 두 개 모두 답으로 썼다.
[그림 10] 논증되지 않은 해답의 오류 예시 ③
그 외에 학생들에게 발견된 ‘논증되지 않은 해답의 오류’로는 다음과 같다. 4번 문제에서 주어진 조건에 알맞게 문제를 풀면 ‘ ≤ ’가 나오는데 문제에서 그러한 자연수 를 구하라 고 하였으므로 최종 답을 라고 해야 하지만 ‘ ’라고 쓴 경우, 7번 문제에 서 주어진 조건에 알맞게 식을 세우면 이차방정식 가 되고 여기에서 해를 구하면 또는 가 되며 문제의 최종목표에 적합한 의 값은 이지만 그것과는 다른 값인 를 최종 답으로 제시한 경우 등을 찾아볼 수 있었다.
6) 기술적인 오류 예시
[그림 11]에서 보는 바와 같이 2번 문제에서 풀이과정 중 을 로 잘못 약 분하는 계산상의 오류가 발생하였다.
[그림 11] 기술적인 오류 예시 ①
[그림 12]에서 보는 바와 같이 4번 문제 풀이과정 중 ≤ 인 자연수 를 로 쓰 는 부등호 다룰 때의 오류가 발생하였다.
[그림 12] 기술적인 오류 예시 ②
그 외에 학생들에게 발견된 ‘기술적인 오류’로는 2번 문제 풀이과정 중 의 우변을 좌변으로 이항시킬 때 ‘’앞에 ‘ ’를 빠뜨리는 경우, 4번 문제 풀이과정 중
의 좌변을 우변으로 이항시킬 때 ‘’ 앞에 ‘’를 빠뜨리는 경우 등이다.
7) 풀이 과정의 중단의 오류 예시
[그림 13]에서 보는 바와 같이 4번 문제에서 판별식의 조건(≥ )과 이차방정식
을 세우는 단계까지는 옳으나 그 다음 단계가 중단되었다.
[그림 13] 풀이 과정의 중단의 오류 예시 ①
[그림 14]에서 보는 바와 같이 5번 문제에서 ∘ 을 ∘ 으로 정리하는 단계까지는 옳으나 그 다음 단계로 넘어가지 못했다.
[그림 14] 풀이 과정의 중단의 오류 예시 ②
그 외에 학생들에게 발견된 ‘풀이 과정의 중단의 오류’로는 3번 문제에서 를 구 하는 것 까지는 옳으나 그 다음단계가 없는 경우, 4번 문제에서 요구하는 주어진 함수의 위 치관계를 그래프로 옳게 표현했으나 그 다음단계가 없는 경우, 5번 문제의 대응도와 그래프 를 보고 함숫값을 올바르게 구했으나 그 다음단계가 없는 경우, 8번 문제에서 주어진 함수 의 정의역과 치역은 잘 구했으나 함수의 그래프를 그리지 않은 경우 등이다.
Ⅴ. 결론 및 제언
본 연구에서는 고등학교 1학년 학생들의 함수단원 문제해결과정에서의 오류를 7가지 패턴 으로 나누어 분석하였는데 그 결과 ‘잘못 이해된 정리 또는 정의의 오류’ 범주에 속하는 오 류가 21.1%로 가장 많이 나타났고, 그 다음으로 ‘잘못 해석된 언어의 오류’가 18.5%, ‘잘못 사용된 자료의 오류’가 15.0%, ‘풀이과정의 중단의 오류’가 14.5%, ‘기술적 오류’가 13.8%,
‘논증되지 않은 해답의 오류’가 12.1%, ‘논리적으로 부적절한 추론의 오류’가 4.9%의 순으로
많이 나타났다. 또한 오류 분류 패턴에 의한 오류 분석과 그 빈도수를 토대로 다음과 같은 결론을 얻었다.
첫째, 함수개념을 정확하게 이해하지 못하고 자신만의 왜곡된 개념을 갖고 있거나, 혹 알고 있더라도 문제에 활용하는 능력이 부족하다. 둘째, 함수를 그래프로 나타낼 때에 곧잘 실수 를 하며 실생활 관련 문장제 문제를 식으로 변형하는데 어려움을 느낀다. 또한 수학적 개념 을 식이나 기호, 그래프, 그림 등의 다른 수학적 용어로 번역하는 과정에서 많은 실수를 한 다. 셋째, 문제를 잘못 읽거나 혹은 다른 이유로 문제의 조건으로 주어진 자료를 잘못 사용 하거나 문제에서 요구하지 않은 것을 답으로 제시한다. 넷째, 풀이를 끝까지 하지 않고 중단 하거나 아예 풀이 자체를 시도하지 않는 경우가 빈번하다. 다섯째, 풀이과정에서 계산상의 실수를 하거나 이항 또는 괄호를 풀 때 +, - 를 잘못 쓰는 등의 실수를 자주 한다. 여섯째, 학생들은 때때로 아무 근거 없이 자신만의 논리를 펼치거나 동의할 수 없는 부적절한 추측 으로 답을 제시한다.
이러한 오류 분석 결과에 대한 제언으로 다음 사항을 강조하고자 한다. 첫째, 개념 학습을 강조하여 학생이 단편적으로 수학적 개념을 외우는 것에서 벗어나 수학적 개념을 정확하고 폭넓게 이해하여 여러 가지 문제 상황에 활용할 수 있도록 한다. 둘째, 수학적 용어 사이의 상호 관계성을 알도록 하나의 수학적 개념을 식, 기호, 그래프, 그림 등의 여러 가지 수학적 용어로 번역하는 활동을 강조한다. 셋째, 문제를 풀 때 문제를 정확히 읽는 것이 매우 중요 하며 문제를 다 푼 후에 풀이과정을 검토하는 습관을 필요함을 지도한다. 넷째, 교사는 평소 수업시간에 학생들의 문제풀이 과정을 면밀히 관찰하여 학생들에게 나타나는 오류를 즉시 지도함으로써 오류가 고착화 되지 않도록 한다. 다섯째, 오류 분석 후 학생들에게 자신의 오 류를 알려주어 스스로 학습실패의 원인을 찾고 부족한 개념을 재정립함으로써 문제해결 능 력을 향상시키고 동일한 오류를 반복하지 않도록 한다. 여섯째, 교사는 수학을 가르치기 전 에 학생들이 쉽게 빠지는 오류를 충분히 연구하여 학생들의 오류를 최소화할 수 있는 교수 자료로 활용한다. 마지막으로 오류에 관한 연구는 앞으로도 지속적이고 체계적으로 실시해 야 한다. 앞에서 살펴보았듯이 학생들에게 나타나는 오류의 모습은 공통적인 특성이 있어 몇가지 유형으로 분류할 수 있으며, 그 오류 유형에 따라 오류발생 빈도는 차이가 난다. 따 라서 오류를 연구함으로써 학생들에게 발생할 오류를 미리 파악하여 오류를 사전에 예방 할 수 있으며, 학생들에게 쉽게 발생하는 오류를 토대로 평가문항의 난이도를 조정할 수도 있 다. 또한 학생 자신의 오류를 앎으로써 스스로 학습실패의 원인을 찾아 집중치료 하는 등 학습효과를 높일 수 있으며, 교사는 교수에 도움이 되는 효과적인 정보를 얻게 될 것이다.
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An analysis of errors in problem solving of the function unit in the first grade highschool
Mun, Hye Young3)․Kim, Yunghwan4)
Abstract
The purpose of mathematics education is to develop the ability of transforming various problems in general situations into mathematics problems and then solving the problem mathematically. Various teaching-learning methods for improving the ability of the mathematics problem-solving can be tried. However, it is necessary to choose an appropriate teaching-learning method after figuring out students' level of understanding the mathematics learning or their problem-solving strategies. The error analysis is helpful for mathematics learning by providing teachers more efficient teaching strategies and by letting students know the cause of failure and then find a correct way. The following subjects were set up and analyzed. First, the error classification pattern was set up. Second, the errors in the solving process of the function problems were analyzed according to the error classification pattern.
For this study, the survey was conducted to 90 first grade students of ○○high school in Chung-nam. They were asked to solve 8 problems in the function part. The following error classification patterns were set up by referring to the preceding studies about the error and the error patterns shown in the survey. ①Misused Data, ②Misinterpreted Language, ③Logically Invalid Inference, ④Distorted Theorem or Definition, ⑤Unverified Solution, ⑥Technical Errors, ⑦Discontinuance of solving process
The results of the analysis of errors due to the above error classification pattern were given below First, students don't understand the concept of the function completely.
Even if they do, they lack in the application ability. Second, students make many mistakes when they interpret the mathematics problem into different types of languages such as equations, signals, graphs, and figures. Third, students misuse or ignore the data given in the problem. Fourth, students often give up or never try the solving process.
The research on the error analysis should be done further because it provides the useful information for the teaching-learning process.
Key Words : Error, Function, Error classification pattern, Ability of the mathematics problem-solving, Misused Data, Misinterpreted Language, Logically Invalid Inference, Distorted Theorem or Definition, Unverified Solution, Technical Errors, Discontinuance of solving process.
3) Kongju National University, Graduate School ([email protected]) 4) Kongju National University ([email protected])
