제 4장 엔트로피

제 4장 엔트로피

• 유용한 일로 전환할 수 있는 능력의 판단이 필요

• 계의 무질서도 :

• 양말을 정돈하는 방법의 수 : 

• 학습목표

1. 엔탈피 변화를 미시적이고 거시적인 차원에서 말과 숫자로 설명하라.

터빈, 펌프, 열교환, 혼합기, 동력사이클과 관련된 일반적인 표현.

2. 주어진 상황에 대하여 완전한 엔트로피 수지를 간단하게 나타내고 가역공정의 생산성을 풀이하라.

3. 대표적인 공정에 대한 T-S, T-V, H-S 및 P-H 선도를 그리고 해석하라.

4. 터빈/압축기와 관련된 일을 결정하기 위하여 입력 및 출력 조건과 효율을 이용하라.

5. 실제 계에 대한 기준점으로서 가역공정에 대한 최대 일을 결정하라.

4.1 엔트로피의 개념

• 비가역 공정에 의한 열 에너지로의 소산

• 거시적 정의: 세기 엔트로피는 상태성질

• 미시적 정의: 분자규모의 무질서한 정도

sys rev

T Q S d

d 

 



 



 









P k P S p

k

S_i ln _i 또는

4.2 엔트로피의 미시적 관점

• 배열 엔트로피와 열 엔트로피

• 운동에너지가 3인 분자와 1인 원자 대 운동에너지가 2인 두 개의 원자

• 엔트로피와 공간분포

• 두 입자가 두 상자에 들어가는 방법: 미소상태와 거시상태

• 동일 확률의 원리(principle of equal a priori probabilities)

• 최빈확률분포(The most probable distribution)

-입자수가 많아지면, 미소입자의 수 = M ^N

-입자가 5개, 상자가 두개인 경우

-미소상태의 수는 M ^N = ^ = ^

- 일반적으로 N개의 입자를 두 상자에 넣을 때 미소상태의 수

- M상자에 대한 일반식

- 이상기체의 엔트로피와 등온 부피/압력의 변화

- 관계식을 이용하면

- N>100 일때 stirling 근사식 사용

- 일반적으로 혹은

)!

(

!

j i i

j

j m N m

p N

 

!

!

m ij

M

i j j

P N







       















 



 



 













! / / ln ! /

ln

!, /

! / , !

!

!

! N N

p N p

N P N N

P N



 





 

 



 



 



 







 N

N ! ln

ln

  ln ! ln / !

ln _/   







S S_ S_ k p_ p_ k N N

 ^{N!  N ln} ^{N  N}

ln

( )Δ _T = ln _i V R V

S ( )Δ T = ln _i

P R P S

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( )











 ln

= Δ ln

=

+ ln +

ln ln

=

/ +

/ ln / ln

=

nR S

kN

N N

N N

N N

N k

N N

N N

N N

k S

⇒

⇒

• 이상기체 혼합에 의한 엔트로피 변화

• 이상용액 혹은 이상기체의 엔트로피









i

i i is

mix R x x

S ln













i

i i i

i i is

i

i i i

i i mix

i i i

is n S S n S R n x or S x S R x x

S ln ln

엔트로피와 온도 변화 : 열 엔트로피

ᆞ에너지의 양자화가 엔트로피와 무질서의 연관성을 설명 : - 온도가 상승하면 미시상태의 수가 증가

ᆞ Einstein의 고체 모델 : hf의 간격으로 양자화된 에너지 준위 - 고체의 전체에너지 M 조화 진동자의 합이다.

- 각 차원에서 진동자는 독립적이다.

ᆞM = 3(3,1,1)인 진동자는 첫번째가 3단위, 다른 둘은 1단위 이며 ݍ_ெ= 6이고 - ݍ_ெ의 크기를 올리면 엔트로피 증가

ᆞM = 4인 진동자들로 Einstein 고체내에서 ݍ_ெ= 3 단위의 에너지는 20개의 다른 분배를 갖는다.

= klnw S













 _{Mi i Mi i}

i M M

P q q























 q_{M q} M _q/ M/ atoms q_M q_M /M U/M _q / U

4.3 엔트로피의 거시적 정의

sys rev

T Q S d

d 







 ^state

state sys rev

T S dQ

1. 비가역과정은 우주의 엔트로피를 증가시킨다. (비가역과정은 엔트로피 생성을 초래한다).

이것은 또한 일을 하는 역량을 잃는다.

2. 가역과정은 우주의 엔트로피를 증가시키지 않는다. (가역과정은 엔트로피 생성을 초래하 지 않는다. 이 원리는 공정의 최대 일 출력과 최소일 입력을 계산하는 데 유용하다.)

3. 우주의 엔트로피를 감소 시키는 어떤 공정도 불가능하다.(어떤 공정도 음의 엔트로피 생성 을 초래하지 못한다.)

•

열역학 제2법칙

•

거시적인 엔트로피의 정의

- 엔트로피의 변화는 상태 1과 2에만 의존: 가역적 경로를 따라 적분 - T sys 는 열전달이 일어나는 계의 경계에서의 온도

• Carnot cycle에 대하여

사이클 카르노

C C H

C C

C H

H

T T Q

Q T

Q T

S Q   

 



   

닫힌 계에서의 엔트로피 변화

•

축일이 없는 닫힌계에 대한 에너지 수지

- 등압공정(dp = 0)

- 등적공정(dV = 0)

dQrev

dH 

dT C dH  _p

 _P ^P  dT _P T

dS  C

T dT S C

T

T









dT C dU

dQ dU

V rev



 dT

T S C

T

T









EC s

rev c

z c

dW dW

g dQ g g U v

d   



 



 

  ^ [dU  PdV] dQ_rev

V RTdV dQ

pdV dQ

dU

 /







 Δ = ln Δ = ln









P R P V S

R V

S^ig 또는 ^ig













sys rev

T S dQ

Δ

sat vap sat rev

vap rev

T dQ Q T

T

S  dQ   

  

Tm

S Q

fus fus



m fus fus

sat vap

T S H

T

S^vap H Δ

Δ Δ ,

Δ  

- 등온공정 (dT=0)

- 단열경로 (dQ=0)

- 상전이가 있는 경우

• 기화:

• 용융:

• 일정압력에서는:

•

임의의 가역경로에 대하여 이상기체의 엔트로피 변화는

•

상태변수에 따라서

•

일반적으로

V dV dT R T dS^ig  C^V 

i P i

ig i

V i ig

P R P T C T V S

R V T C T

S ln ln or Δ ln ln

Δ    

T C T

S

T C T

S

P P

V V

 



 









 



 









• 예제 4.5

-

- 경로 B를 따라서(dV=0)

- 경로 A + 경로 B

PdV dQ

or PdV

dQ

dU  _rev  _rev 

 

PdV T

dS _T  dQ^re 

 

V R dV VT

RTdV T

dSig  

rev V

rev C dT dQ

dQ

dU 혹은 

 

C dT T

dS _V  dQ^rev  _V

 

 

 dV

V dT R T Cv T V ^ig

ig

adiabat dS dS

dS

4.4 엔트로피 수지

•

엔트로피 생성 예제 4.6과 4.7

•

일반적인 엔트로피 수지식

‐ 정상상태에서는

‐ 닫힌 계에서는

gen surfaces sys

out outlets

out in

inlets

in S

T m Q

S m

dt S S

d  



   



  

 

out

in S

T S Q

S

m  

   





Sgen

T d Q S d

d  

주의 : 비가역과정에 대한 엔트로피 변화를 구하기 위해 엔트로피 수지를 적용하지 않는다. 언제나 같은 상태에 이르는 가역경로를 선택하여 엔트로피 변화를 계산하고 엔트로피 수지를 사용하여 엔 트로피 생성이 얼마나 되는지를 구한다.

•

예제 4.9 정상상태의 엔트로피 생성

- 벽이 정상상태이므로

• 에너지 수지식은

• 두 저장조에 대한 엔트로피 수지식은

• 벽에 대한 엔트로피 수지식에서

• 벽 내의 온도구배가 엔트로피 생성의 원천

C H C H boundaries

Q Q Q Q

Q      

 

0

gen out

out out in

in C in

or

H S

T m Q

S m

dt S S d

sys

 



   



 

C C

C T

Q T

Q T

Q dt

S d T

Q T

Q dt

S

d _{Cwall Hwall}

H wall H H

H   , ; c   .  ^,

 



 





W gen

wall S

T Q T

Q dt

S d

C C H

H   ,

  







wall , gen C

wall , C H

wall , C H

H wall

univ S

T Q T

Q dt

S d dt

S d dt

S d dt

S

d   

 

 



















 

 ^

TH TC

W Q , S gen

H

1

 1

- (b)의 경우

• 엔진에 대한 에너지 수지

• 엔진이 정상상태로 운전되고 내부적으로 가역성이면

• 엔진의 효율은

• 엔트로피 생성을 억제하기 위해서는 온도구배를 줄인다.

• 엔진의 일은

• 얻는 일없이 열전달공정을 운전할 수 있다면, 잃은 일은

H C

H C C

C H

H gen boundaries

out

out out in

in in

T T Q

Q T

Q T S Q

T Q T

m Q S m

S

sys

 









































 















  _

H C H

S C S

boundaries H Q

Q Q

W W Q Q W

Q 





 



 







S QH T T

W /   /





_  

단면적 여기서 

 A

dx AkdT Q



 



   







 







H C C H

H C net H

S T Q T T

T Q T W _,

gen C lost T S

W   _^









 

 ^

TH TC

W Q , S gen

H

1

 1

4.5 내부 가역성

• 계와 외부의 경계에서 비가역성이 발생

• 열기관

• 열펌프



 





 













 



_

H C H

C H

net S

T T Q

Q Q

W







 _,

C H

C C

H net

S C

T T

T T

T W

COP Q

 



 



 









 ,



4.6 공정장치에 대한 엔트로피 수지

• 간단한 닫힌 계(예제 4.10)

• 열교환기

• 조름밸브(dH=0)

• 노즐 :

• 단열터빈, 압축기, 펌프

-정상상태에서

-입구와 출구가 각각 하나씩이면

gen out sys

out out in

in

in S

T m Q

S m

dt S

dS  



   



 





ln

ΔS^ig  C_P T Tⁱ  R P^out Pⁱⁿ



gen  S

gen out sys

out out in

in

in S

T m Q S m

dt S S

d  



   



 

'

' in

out S

S 

•

열교환기

•

조름밸브(ࢊࡴ ൌ ૙)

•

노즐 :

•

단열터빈, 압축기, 펌프

-정상상태에서

-입구와 출구가 각각 하나씩이면

gen out sys

out out in

in

in S

T m Q

S m

dt S

dS  



   



 





ln

ΔS^ig  C_P T Tⁱ  R P^out Pⁱⁿ



gen  S

gen out sys

out out in

in

in S

T m Q S m

dt S S

d  



   



 

'

' in

out S

S 

4.7 터빈, 압축기, 펌프효율

• 펌프 혹은 압축기의 효율

• 터빈 혹은 팽창기의 효율

• 먼저 가역과정에 대한 일을 계산하고 경험에 의한 효율을 적용한다.

%

'







 W

W

C

' %



 W

W

E

4.8 엔트로피를 포함하는 도표

• T‐S 도표

• 2‐상 영역의 경계는 상당히 대칭적

• 가역적 공정은 수직선으로 나타냄

• P-H 도표

• H-S 도표 (Mollier diagram)

4.9 터빈에 대한 계산

• 가역터빈은 등엔트로피 공정

- 터빈출구 조건의 결정: 예제 4.13, 4.14, 4.15

• 다단 터빈

• 전체 효율 :

• 각 단계의 효율 :

'

overall

E H

H

overall H



 

 ^{ }

, '

i i i

E H

H H



 

 ^{ }

4.10 펌프와 압축기

• 등 엔트로피 공정(예제 4.16)

•

다단 압축기 (예제 4.17)

4.11 엔트로피 수지의 적용 전략

• 엔트로피 생성이 원인들

1. 온도구배를 따른 열전달 2. 농도구배를 따른 확산 3. 성분이 다른 물질의 혼합

4. 초기에(T,P)차이로 인해 몰 엔트로피가 다른 동일한 물질의 등적 조건에서의 단열 혼합 5. 장치 내의 속도구배, 이것은 유체역학 교과서에 설명된 마찰인자에 의한 파이 내의 흐름을

설명한다.

6. 마찰 7. 전기저항

8. 측정할 수 있는 속도에서 화학 반응 경로

주의 : 가역과정에서는 엔트로피 변화를 구하기 위해 엔트로피 수지를 적용하지 않는다.

우리는 항상 동일한 최종상태에 이르는 다른 가역경로를 택해 엔트로피 변화를 계산하 고, 엔트로피가 얼마만큼 생성되었는가를 결정하기 위하여 엔트로피 수지를 적용한다.

또는 가역적인 일을 구하고 효율을 사용하여 에너지 수지로부터 최종상태를 규정한다.

가역과정에서의 또 다른 방법으로는 엔트로피 생성항을 0으로 두고 엔트로피 수지를 적 용한다.

4.12 최적 일과 열전달

gen outlets sys

out out inlets

in in

S outlets

out out inlets

in in

S T d

Q dn d

S dn

S S

d

W d V Pd Q d dn

H dn

H U

d





























gen S d

   

gen sys S

sys

outlets

out out sys out

inlets

in in sys in

S d T W

d V Pd S d T

dn S

T H

dn S T H U

d

















 

   

out outlets

out in

inlets

indn B dn dW TdS

B S

d T V Pd U

d   _ 





• 열린 계에서 운동에너지와 퍼텐셜 에너지를 무시하면

- 내부적으로 가역적인 공정에서는

- 유일한 온도 에서만 열전달이 일어난다면 두 식을 결합하여

- Exergy 를 이용하면 Tsys

) (B HT_S

   

inlets in out

outlets

out dn B dn dW TdS

B    _



Δ^H^T_Δ^S^dnout^dW_S^T_^dS_gen Δ^H^W_S, ^T_Δ^S^T_^S_gen

gen

S PdV TdS

W d S d T U

d  _    _

gen

S TdS

W d S d T V Pd U

d   _   _ - 정상상태로 흐를 때

- 잃은 일 T_Sgen은 열전달이 없는 경우에는 모호하다.

•

닫힌 계에서는

- 일정압력에서는

- 압력이 일정하고 온도가 이면 dB=dG. 여기서 G=H-TS - 계가 로 일정하면 A=U-TS를 이용하면 dB=dA

•

유용성분석은 엔트로피 생성을 결정하기 위해 사용될 수 있음

T

T

gen

s TdS

dW dB dS T

dH _    _

• 분리를 위한 최소일:

등온공정에서 주입량 F에 대하여 생산량 P와 부생산 수분 B를 얻기 위한 일

• 정상상태 에너지 수지식

• 이상용액에서 혼합열이 없으므로

• 그러므로 에너지 수지식은

• 온도 T에서 열교환이 일어나는 정상상태 엔트로피 수지식은

• 주입흐름의 엔트로피 를 대입하면

• 성분 2가 원하는 화학종이라면

rev S P

P B

B F

Fn H n H n Q W

H         





 





 ^{B B P P}



F

Fn H n H n xH n H n H n

H      

rev W S

Q   













 _{F i i F i i}

F

FS n xS n R x x

n   ln

 _

_



_



 T nF xiSi nFR xilnxi SBnB SPnP Qrev nFRT xilnxi Qrev

 

F rev

F x x x x Q

n

RT _ln _ _ln _  

   





















  

 

n Q x

x x x x RT n

x x x x n

RT _{F F F rev}







 ln ln ln ln  











  



n W x

x x x x

RT _{F S}

 ln 

ln